Sơ đồ sai phân ổn định: Phương pháp đặc trưng cho dòng chảy một chiều

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP

ĐẶC TRƯNG ĐỐI VỚI DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU

Nguyễn Hữu Thọ

Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn

1. GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp đặc trưng (xem [3]) là một

trong các phương pháp kinh điển để tìm

nghiệm địa phương cho phương trình đạo

hàm riêng phi tuyến. Báo cáo này trình bày

kết quả về sự ổn định của sơ đồ sai phân theo

phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy

một chiều.

2. NỘI DUNG BÁO CÁO

Hệ phương trình nước nông một chiều

(xem [2]) mô phỏng dòng chảy không dừng

trong kênh hình chữ nhật, được suy ra từ định

luật bảo toàn có dạng:

u u H

u g gS u

t x x

H H u

t x x



  

   



  

  

  

  



(1)

trong đó:

( , )u x t

là vận tốc trung bình của dòng

chảy.

( , ) ( ) ( , )H x t h x x t





là độ sâu của

nước tính từ đường chuẩn.

()hx

là phương trình đáy.

( , )xt



là cao trình mặt nước tính từ

đường chuẩn.

là gia tốc trọng trường.



là hệ số ma sát.

Sdx



là độ dốc đáy.

Thông thường hệ số ma sát đáy được cho

bởi:

gCH





, trong đó

là hệ số ma sát

Chezy. Hệ phương trình (1) có thể viết dưới

dạng đặc trưng với các ẩn hàm

( , )uxt

và

( , ) 2z x t gH

sao cho mỗi phương trình

chứa các đạo hàm theo một hướng duy nhất.

Một trong các dạng đó là

u u z z

C C gS u

t x t x

u u z z

C C gS u

t x t x



    

   

    

   

   

   

   

   

    

   

   

   



(2)

trong đó

C u gH

và

C u gH

là

các độ dốc của các đăc trưng. Với ký hiệu hai

hướng đặc trưng là



và



thì hệ (2) được

rút gọn thành:

111

222

uzgS u













  













  









(3)

trong đó

   

1 1 2 2

1 , 1CC



   

Để giải số hệ phương trình (3), ta vẽ hai

đường đặc trưng đi qua điểm

 



với độ

dốc là các giá trị

và

tại thời điểm

Ký hiệu

x

và

x

là hai giao điểm của hai

đường đặc trưng



và



tương ứng qua

điểm

 



với đường thẳng

tt

. Khi

đó

và

được xác định như sau:

 

(4)

i a i a

i b i b

a C u gH

b C u gH













  













  









Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5

Các phương trình (3) được rời rạc hóa dọc

theo các đường đặc trưng, khi đó ta nhận

được các phương trình sai phân:

( )

( ) ( )

. (1 ) (5)

( ) ( )

. (1 )

k k k k

i i a i i a

k k k

i i a i a i

k k k k

i i b i i b

k k k

i i b i b i

u u z z

t gS u u

u u z z

t gS u u

g a a

ï- + - =

ïéù

ï= D - - +

ïêú

ïëû

ï- - - =

ïéù

ï= D - - +

êú

ïëû

trong đó





Với:

0a=

sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân

hiện.

1a=

sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân ẩn.

sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân.

Crank – Nicolson (xem [1]).

Nói chung

và

không phải là số nguyên

nên

ia

và

ib

không thể là các điểm mắt

lưới. Do đó ta phải sử dụng công thức nội suy

để xấp xỉ

k k k

i a i a i b

u z u

  

và

k k k

i b i a i b

z H H

  

. Để

xác định

, ta tìm số nguyên

sao cho:

   

i n i

in in

x C t x

x C t

 



   

  

(6)

Đặt

, 0 1a n p p   

với

được xác

định từ phương trình

( ) ( )

(1 ) .

i n i n

n p p C p C x

- - -

éù

+ = - +

êú

ëû

(7)

Với

và

đã biết, khi đó

u

và

z

được xác định bởi nội suy tuyến tính

(1 )

k k k

i a i n i n

k k k

i a i n i n

u p u pu

z p z pz

   

  



  





(8)

Cách xác định

bu

và

z

hoàn toàn

tương tự, chỉ cần thay thế

bởi

. Như

vậy bằng cách đặt

, 0 1b m q q   

thì

i b i b



được xác định bởi:

(1 )

k k k

i b i m i m

k k k

i b i m i m

u q u qu

z q z qz

   

  



  





(9)

Ta sẽ chứng minh sự ổn định của sơ đồ sai

phân với giả thiết



và

là các hằng số

và

0S

. Với giả thiết này, hệ phương trình

(5) được rút gọn thành:

( ) ( )

. (1 )

( ) ( )

. (1 )

k k k k

i i a i i a

i a i

k k k k

i i b i i b

i b i

u u z z

t u u

u u z z

t u u

  

















   



    



   





    





(10)

trong đó

và

là các hằng số. Từ (10) ta có:

1 (1 )

( ) ( )

2(1 )

1 (1 )

( ) ( )

k k k k

i a i b i a i b

k k k k

i a i b i a i b

u u z z





   



   

  





   

  

   









  









(11)

Sử dụng phương pháp Fourier để chứng

minh sự ổn định của sơ đồ sai phân, cụ thể

như sau. Các hàm

trong (11) được đặt

bằng

k Ii



và

k Ii



tương ứng, trong đó

21I

và

02qp£<

. Thế vào (11) sẽ được

hệ sau:

( ) ( ) ( ) ( )

1 (1 )

( ) ( )

2(1 )

1 (1 )

( ) (

(12)

)

k Ii

I i a I i b k I i a I i b k

k Ii

I i a I i b k I i a I i b k

e e U e e Z

e e U e e

q q q q

- - - -

- - D

= - - D

ìéù

ï=´

ïëû

ï+-

ï´

ïéù

ïëû

ï-+

ï´

Các phương trình (12) có thể đơn giản hóa

thành:

11 (1 ) 22

1 (1 ) 22

Ia Ib Ia Ib

e e e e

t U Z

Ute e e e

t U Z

   



   



   

   









  



    

  



















Hoặc dưới dạng véc tơ:



   



   

   

trong đó

là ma trận bước có dạng:

G PQR

với













101

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5

   

















  







   



1 (1 ) 0 .

Ia Ib Ia Ib

e e e e

Qe e e e

Điều kiện cần và đủ để (12) có nghiệm là

21G

. Do đó, nếu các chuẩn của các ma

trận

,,P Q R

không vượt quá

thì phương

pháp sẽ ổn định.

Vì



và



không âm nên

21P

. Ma

trận

là normal nên chuẩn của nó bằng bán

kính phổ



, nghĩa là





trong đó

max 22

Ia Ib Ia Ib

e e e e

   



   





hay

 

max ,

Ia Ib









. Giả sử các giá trị

, , ,

k k k k

i a i a i b i b

u z u z

   

được xác định nội suy

tuyến tính bởi (8) và (9), khi đó

( 1)

(1 )

(1 ) .

Ia In I n

Ib Im I m

e p e pe

e q e qe

  

   

  



  





Do vậy:

( 1)

(1 ) ,

max (1 )

In I n

Im I m

p e pe

q e qe





  















Ta luôn có





với mọi



, và vì

0 , 1pq

nên

 

max (1 ) ,(1 ) 1p p q q



     

Như vậy ta có

21Q

với mọi



và

t

Cuối cùng, để

21R

ta cần có

t

phải

thỏa mãn điều kiện:

1 (1 ) 1.t



   

3. KẾT LUẬN

Bằng cách xét các đường đặc trưng cho

phương trình nước nông một chiều mô phỏng

dòng chảy không dừng trong kênh hình chữ

nhật bài báo cáo trình bày kết quả về sự ổn

định của sơ đồ sai phân theo phương pháp

đặc trưng đối với dòng chảy này.

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, NXB

Đại học Quốc Gia.

[2] Yao-Hsin Hwang, (2013), A characteristic

particle method for the Saint Venant

equations, Computers & Fluids Volume 76,

pp. 58–72.

[3] Tran Duc Van, Mikio Tsuji and Nguyen

Duy Thai Son, (2000), The characteristics

method and its generalizations for first order

nonlinear PDEs, ChapmanHall/CRC.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5

Sự ổn định của sơ đồ sai phân theo phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy một chiều

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi