Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
94
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP
ĐẶC TRƯNG ĐỐI VỚI DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Phương pháp đặc trưng (xem [3]) là một
trong các phương pháp kinh điển để tìm
nghiệm địa phương cho phương trình đạo
hàm riêng phi tuyến. Báo cáo này trình bày
kết quả về sự ổn định của sơ đồ sai phân theo
phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy
một chiều.
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
Hệ phương trình nước nông một chiều
(xem [2]) mô phỏng dòng chảy không dừng
trong kênh hình chữ nhật, được suy ra từ định
luật bảo toàn có dạng:
0
u u H
u g gS u
t x x
H H u
uH
t x x
(1)
trong đó:
+
( , )u x t
là vận tốc trung bình của dòng
chảy.
+
( , ) ( ) ( , )H x t h x x t

là độ sâu của
nước tính từ đường chuẩn.
+
()hx
là phương trình đáy.
+
( , )xt
là cao trình mặt nước tính từ
đường chuẩn.
+
g
là gia tốc trọng trường.
+
là hệ số ma sát.
+
là độ dốc đáy.
Thông thường hệ số ma sát đáy được cho
bởi:
2
Z
u
gCH
, trong đó
Z
C
là hệ số ma sát
Chezy. Hệ phương trình (1) có thể viết dưới
dạng đặc trưng với các ẩn hàm
( , )uxt
và
( , ) 2z x t gH
sao cho mỗi phương trình
chứa các đạo hàm theo một hướng duy nhất.
Một trong các dạng đó là
11
21
u u z z
C C gS u
t x t x
u u z z
C C gS u
t x t x

(2)
trong đó
1
C u gH
và
2
C u gH
là
các độ dốc của các đăc trưng. Với ký hiệu hai
hướng đặc trưng là
1
và
2
thì hệ (2) được
rút gọn thành:
111
222
uzgS u
uzgS u
















(3)
trong đó
22
22
1 1 2 2
1 , 1CC

.
Để giải số hệ phương trình (3), ta vẽ hai
đường đặc trưng đi qua điểm
1
,
ik
xt
với độ
dốc là các giá trị
1
C
và
2
C
tại thời điểm
k
t
.
Ký hiệu
ia
x
và
ib
x
là hai giao điểm của hai
đường đặc trưng
1
và
2
tương ứng qua
điểm
1
,
ik
xt
với đường thẳng
k
tt
. Khi
đó
a
và
b
được xác định như sau:
1
12
(4)
kk
i a i a
ia
kk
i b i b
ib
tt
a C u gH
xx
tt
b C u gH
xx












Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
95
Các phương trình (3) được rời rạc hóa dọc
theo các đường đặc trưng, khi đó ta nhận
được các phương trình sai phân:
( )
( )
11
1
11
1
( ) ( )
. (1 ) (5)
( ) ( )
. (1 )
k k k k
i i a i i a
k k k
i i a i a i
k k k k
i i b i i b
k k k
i i b i b i
u u z z
t gS u u
u u z z
t gS u u
g a a
g a a
++
--
+
--
++
--
+
--
ì
ï- + - =
ï
ï
ïéù
ï= D - - +
ïêú
ïëû
í
ï- - - =
ï
ï
ïéù
ï= D - - +
êú
ïëû
ï
î
trong đó
01

.
Với:
+
0a=
sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân
hiện.
+
1a=
sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân ẩn.
+
1
2
a=
sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân.
Crank – Nicolson (xem [1]).
Nói chung
a
và
b
không phải là số nguyên
nên
ia
và
ib
không thể là các điểm mắt
lưới. Do đó ta phải sử dụng công thức nội suy
để xấp xỉ
,,
k k k
i a i a i b
u z u
và
,,
k k k
i b i a i b
z H H
. Để
xác định
a
, ta tìm số nguyên
n
sao cho:
11
1
1
i n i
in
in in
x C t x
x C t
 
(6)
Đặt
, 0 1a n p p
với
p
được xác
định từ phương trình
( ) ( )
11
1
(1 ) .
i n i n
t
n p p C p C x
- - -
D
éù
+ = - +
êú
ëû
D
(7)
Với
n
và
p
đã biết, khi đó
k
ia
u
và
k
ia
z
được xác định bởi nội suy tuyến tính
1
1
(1 )
(1 )
k k k
i a i n i n
k k k
i a i n i n
u p u pu
z p z pz
(8)
Cách xác định
,k
ib
bu
và
k
ib
z
hoàn toàn
tương tự, chỉ cần thay thế
1
C
bởi
2
C
. Như
vậy bằng cách đặt
, 0 1b m q q
thì
,
kk
i b i b
uz

được xác định bởi:
1
1
(1 )
(1 )
k k k
i b i m i m
k k k
i b i m i m
u q u qu
z q z qz
(9)
Ta sẽ chứng minh sự ổn định của sơ đồ sai
phân với giả thiết
1
,C
và
2
C
là các hằng số
và
0S
. Với giả thiết này, hệ phương trình
(5) được rút gọn thành:
11
1
11
1
( ) ( )
. (1 )
( ) ( )
. (1 )
k k k k
i i a i i a
kk
i a i
k k k k
i i b i i b
kk
i b i
u u z z
t u u
u u z z
t u u








(10)
trong đó
a
và
b
là các hằng số. Từ (10) ta có:
1
1
1 (1 )
( ) ( )
2(1 )
1 (1 )
( ) ( )
2
k
i
k k k k
i a i b i a i b
k
i
k k k k
i a i b i a i b
ut
u u z z
t
zt
u u z z







(11)
Sử dụng phương pháp Fourier để chứng
minh sự ổn định của sơ đồ sai phân, cụ thể
như sau. Các hàm
,
kk
ii
uz
trong (11) được đặt
bằng
k Ii
Ue
và
k Ii
Ze
tương ứng, trong đó
21I
và
02qp£<
. Thế vào (11) sẽ được
hệ sau:
1
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
1 (1 )
( ) ( )
2(1 )
1 (1 )
( ) (
2
(12)
)
k Ii
I i a I i b k I i a I i b k
k Ii
I i a I i b k I i a I i b k
t
e e U e e Z
t
t
e e U e e
Ue
Ze
Z
q
q q q q
q
q q q q
ag
ag
ag
+
- - - -
+
- - - -
- - D
+
+D
= - - D
+
ìéù
ï=´
ïëû
ï
ï+-
ï
ï´
ï
ï
í
ïéù
´
ïëû
ï
ï
ï-+
ï´
ï
ï
î
Các phương trình (12) có thể đơn giản hóa
thành:
1
11 (1 ) 22
1
1
1 (1 ) 22
Ia Ib Ia Ib
k
k
Ia Ib Ia Ib
kk
kk
e e e e
t U Z
Ute e e e
t U Z
Z














Hoặc dưới dạng véc tơ:
1
1
kk
kk
UU
G
ZZ
,
trong đó
G
là ma trận bước có dạng:
G PQR
với







10
101
Pt
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
96













22
22
1 (1 ) 0 .
01
Ia Ib Ia Ib
Ia Ib Ia Ib
e e e e
Qe e e e
t
R
Điều kiện cần và đủ để (12) có nghiệm là
21G
. Do đó, nếu các chuẩn của các ma
trận
,,P Q R
không vượt quá
1
thì phương
pháp sẽ ổn định.
Vì
và
không âm nên
21P
. Ma
trận
Q
là normal nên chuẩn của nó bằng bán
kính phổ
, nghĩa là
2
Q
trong đó
max 22
Ia Ib Ia Ib
e e e e


hay
max ,
Ia Ib
ee


. Giả sử các giá trị
, , ,
k k k k
i a i a i b i b
u z u z
được xác định nội suy
tuyến tính bởi (8) và (9), khi đó
( 1)
( 1)
(1 )
(1 ) .
Ia In I n
Ib Im I m
e p e pe
e q e qe
Do vậy:
( 1)
( 1)
(1 ) ,
max (1 )
In I n
Im I m
p e pe
q e qe









.
Ta luôn có
1
I
e
với mọi
, và vì
0 , 1pq
nên
max (1 ) ,(1 ) 1p p q q
.
Như vậy ta có
21Q
với mọi
và
t
.
Cuối cùng, để
21R
ta cần có
t
phải
thỏa mãn điều kiện:
1 (1 ) 1.t

3. KẾT LUẬN
Bằng cách xét các đường đặc trưng cho
phương trình nước nông một chiều mô phỏng
dòng chảy không dừng trong kênh hình chữ
nhật bài báo cáo trình bày kết quả về sự ổn
định của sơ đồ sai phân theo phương pháp
đặc trưng đối với dòng chảy này.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, NXB
Đại học Quốc Gia.
[2] Yao-Hsin Hwang, (2013), A characteristic
particle method for the Saint Venant
equations, Computers & Fluids Volume 76,
pp. 58–72.
[3] Tran Duc Van, Mikio Tsuji and Nguyen
Duy Thai Son, (2000), The characteristics
method and its generalizations for first order
nonlinear PDEs, ChapmanHall/CRC.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
97