BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN
Hoàng Nguyễn Mỹ Anh
CÁCH VIẾT CÂU HỎI
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân
Học phần : Lý luận dạy học toán nâng cao và đánh giá
trong dạy học toán.
GVHD : Nguyễn Đăng Minh Phúc.
Huế, 4/2017
Mục đích của chủ đề này nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm
khách quan đặt ra nhiệm vụ xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù
hợp, và trình bày một số điểm cần tránh khi soạn câu hỏi. Giả sử một giáo viên
phải soạn những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho một phần nội dung nào đó
của chương trình và giáo viên đó biết ở mức độ khả năng nào để đặt những câu
hỏi của mình. Đòi hỏi sau này đặt ra 2 điều phải cân nhắc cho người viết câu
hỏi, thứ nhất là những câu hỏi phải đúng mức độ khó và thứ 2 là chũng phải bao
quát được các mức độ tư duy đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay những khả
năng cao nhất.
Sau đây là một ví dụ về chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi
truyền thống chúng ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù
hợp.
I. Câu hỏi truyền thống
Giả sử chúng ta đang cần viết một hay nhiều câu hỏi để đánh giá khả năng
toán của học sinh trong một tình huống cụ thể là sử dụng công thức và các
phương pháp khác nhau để tính nguyên hàm của một hàm số. Trong kì thi thông
thường, điều này có thể được làm tốt bằng cách dùng công cụ câu hỏi sau:
Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số:
2
12.
4
xdx
I
x
³
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các kiến thức về nguyên hàm
đã được học để có thể giải quyết bài toán. Bước này liên quan đến khả năng hệ
thống các kiến thức của học sinh, khả năng áp dụng lý thuyết, công thức vào
một bài toán tính nguyên hàm cụ thể.
Ở bài toán này học sinh thấy rằng mẫu số là căn bậc 2 và phương pháp
giải quyết thích hợp là đổi biến số để đơn giản hóa bài toán. Và khi gặp dạng
căn bậc 2 có chứa
22
ax
thì một trong các công cụ hữu hiệu mà các em có là
phương pháp đổi biến lượng giác hóa.
Nếu hàm f(x) có chứa
22
ax
thì đặt:
2
22 22 2
tan cos
tan
tan cos
adt
dx d a t t
xa t a
xa a ta t
°
°
o
®
°
°
¯
Nhìn vào hàm số có dạng
22
ax
, học sinh đặt
tanxa t
với
2a
và tiếp
theo học sinh sẽ thu được tích phân mới đơn giản hơn tích phân ban đầu, từ đó tiếp tục
áp dụng các phép biến đổi thích hợp để có thể đưa ra đáp số.
Đặt
2
2
22
2
2tan 2 1 tan
cos
2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
t
xt
xt
°
o
®
°
¯
22
22
2
22 2
2
34 2
4tan .2 1 tan 4 tan 1 tan
2 1 tan
sin sin .cos sin . (sin )
44
cos cos 1 sin
ttdt
Ittdt
t
ttttdt
dt dt
tt t
o
³³
³³ ³
Đặt
sinut
2
2
2
22
2
2
22
22
11
1
() 4 4
1211
1
11 11 11
11 11 11 1 1
11 2
11 (1)(1)11
1111
(1 ) (1 )
uu
uu
I d u du du
uuu
u
du du
du
uu uu uu u u
du du du
du
uu u u uu
du du u ud
uu
§·

§·
o ¨¸
¨¸

©¹
©¹
§·
¨¸
 
©¹
§·
¨¸

©¹


³³³
³³³
³³³³
³³
11
u
uu
³
3
11 11 1
ln 1 ln 1 ln
11 11 1
1 1 1 1 1 sin 1
ln ln
1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u
uu C C
uu u uu
ut
IC C
uu u t t t


o

Từ giả thiết
2tanxt
22
222
222
2
3
2
22 2
14
tan 1 tan 1 cos sin
2 cos 4 4 4
1
11
4
sin ln
411 1
44 4
xx x
tttt
txx
x
xx
tI C
xx x
x
xx x
o o

o


Khi phân tích theo cách này, ta thấy bài toán đang cố gắng để làm nhiều
thứ cùng một lúc. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, không biết cách đổi
biến số sao cho phù hợp thì bài toán tự luận này không cho ta biết điều gì về khả
năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi, ví dụ như:
¾ Đổi biến số theo phương pháp lượng giác hóa.
¾ Xử lí khi gặp tích phân chứa hàm lượng giác. Bởi vì, khi đặt ẩn phụ,
học sinh thu được tích phân hàm lượng giác. Qua đó, kiến thức về
nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản, các công thức của hàm
lượng giác như công thức nhân đôi, công thức nhân 3, hạ bậc,…sẽ được
thể hiện.
¾ Đổi biến số và cách xử lí hàm hữu tỉ. Nếu tích phân lượng giác thu
được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng
giác cơ bản để tính được thì khía cạnh cụ thể được thể hiện trong bài
toán tự luận trên là khả năng đổi biến, đưa hàm lượng giác về hàm hữu
tỉ để xác định nguyên hàm.
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào
của bài toán thì học sinh có thể trả lời được.
II. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương
Khía cạnh 1:
Đầu tiên chúng ta sẽ kiểm tra phương pháp đổi biến theo phương pháp
lượng giác hóa. Với cách đổi biến như ở ví dụ trên, một số câu hỏi phù hợp để
kiểm tra kiến thức này như sau:
Ví dụ 1:
Đổi biến
3tanxt
thì tích phân
29Ix
³
trở thành:
3
9
..
cos cos
..cos
cos2
dt dt
AB
tt
dt
C D tdt
t
³³
³³
Đặt
2
22
3
3tan cos
3tan 3
9 9tan 9 cos
dt
dx d t t
xt
xt
t
°
°
o
®
°
°
¯
2
3
3cos
.cos
cos
dt dt
It
t
t
o
³³
Đáp án B.
Phương án gây nhiễu: B, C, D gây nhầm lẫn cho học sinh trong quá trình
biến đổi tương đương, nhẫm lẫn khi chia cho phân số, rút gọn cos t.
Ví dụ 2:
Nếu đặt
tanxa t
thì
2
22
0
;0
adx
Ia
xa
!
³
sẽ trở thành tích phân nào?
/4 /4
33
00
/4
33
00
11
.1cos .1cos2
22
11
.1cos2 .1cos2
22
a
AI tdt BI tdt
aa
CI tdt DI tdt
aa
SS
S
³³
³³
Ở bài toán này với
2
tan tan cos
adt
xa t dxda t t
Đổi cận:
00
/4
xt
xa t
S
®
¯
/4 /4
223
2222 2
00
4
/4 /4
2
33
00
1
1
cos . tan cos .cos
11
cos 1 cos2
2
adt dt
Ia
ta a t tt
tdt t dt
aa
SS
SS
³³
³³
Đáp án B.
Ở câu trắc nghiệm này đã có sẵn hướng đi, việc các em cần làm là biến đổi
tương đương.
Phương án gây nhiễu: Phương án A, C kiểm tra xem học sinh có nắm chắc
công thức hạ bậc không. Khi học sinh đã ra kết quả, phương án D sẽ đánh
bẫy đối với các học sinh quên đổi cận.
Ví dụ 3:
Nếu đổi biến
3tanxt
thì
3
2
3
;0
3
dx
Ia
x
!
³
sẽ tương đương với tích
phân nào?