309
TÌM HIỂU VỀ TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
RIEMANN LIOUVILLE
Nguyễn Thị Linh1
1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số công thức của tích phân và đạo
hàm cấp phân số Riemann-Liouville . Kèm theo đó là một số ví dụ minh hoạ.
Từ khoá : Fractional derivatives; Fractional integral; Riemann-Liouville.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Mối quan tâm đối với phương trình vi phân cấp phân số và những ứng dụng của nó tăng lên
mạnh mẽ trong nhiều năm gần đây. Chúng tôi quay về lịch sử tìm hiểu về nguồn gốc của khái niệm
này. Theo nhiều nguồn tài liệu thì thế kỷ XVII là thời điểm mà Newton và Leibniz phát triển nền tảng
của phép tính vi phân và tích phân. Vào năm 1695, trong lá thư Leibniz gửi L'Hospital, Leibniz đã
giới thiệu biểu tượng 𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛𝑓(𝑥)
để chỉ đạo hàm bậc 𝑛 của hàm 𝑓 với 𝑛 là một số tự nhiên. L'Hospital đã trả lời: “ 𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛𝑓(𝑥) có nghĩa là
gì nếu 𝑛=1/2?”. Từ phân số 1/2 mà L'Hospital đề cập trong thư đã dẫn đến tên gọi “fractional
derivatives”, “Fractional integral”. Và tên gọi này được sử dụng đến ngày nay. Mặc dù đến nay
người ta đã biết rõ rằng không có lý do gì để hạn chế 𝑛 trong tập hợp số hữu tỷ. Trên thực tế, ngay cả
các số phức cũng được chấp nhận cho khái niệm này.
Khái niệm này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học lỗi lạc như Euler, Laplace, Riemann,
Liouville,… nghiên cứu trong các thế kỷ tiếp theo, thế kỉ XVIII và XIX. Tích phân phân số Riemann-
Liouville như là nguồn gốc cho tất cả các loại đạo hàm cấp phân số được đưa ra sau này và có nhiều
ứng dụng như đạo hàm phân số Caputo, đạo hàm phân số Hilfer, đạo hàm phân số Hadamard.
Trong bài báo cáo này, chúng tôi tìm hiểu về tích phân phân số Riemann-Liouville và đạo hàm
phân số Riemann-Liouville. Việc này thực sự cần thiết cho những ai mới bắt đầu tìm hiểu về phương
trình vi phân cấp phân số.
2. NỘI DUNG
2.1. Hàm Gamma và hàm Beta
Trong phần này ta xét 𝛼,𝛽∈ℝ và 𝛼,𝛽>0.
2.1.1. Định nghĩa
Hàm Gamma kí hiệu là Γ hàm Beta kí hiệu là Β, được định nghĩa như sau
Γ(α)=∫𝑡𝛼−1𝑒−𝑡𝑑𝑡, Β(α,β)=∫(1−𝑡)𝛼−1𝑡𝛽−1𝑑𝑡 .
∞
0
∞
0
2.1.2. Một số tính chất Γ(1)=1; (1)
310
Γ(α+1)=αΓ(α);(2)
Γ(𝑛+1)=n! (3)
với mọi n∈ℕ .
Chứng minh.
Từ định nghĩa hàm Gamma dễ thấy
Γ(1)=∫𝑒−𝑡𝑑𝑡=lim
𝑡→∞(1−1
𝑒𝑡)=
∞
01.
Như vậy (1) được chứng minh xong.
Tiếp theo ta chứng minh (2). Từ định nghĩa hàm Gamma ta có
Γ(α+1)=∫𝑡𝛼𝑒−𝑡𝑑𝑡=−𝑡𝛼𝑒−𝑡|∞
0+∫𝛼𝑡𝛼−1𝑒−𝑡𝑑𝑡
∞
0
∞
0
=𝛼∫𝑡𝛼−1𝑒−𝑡𝑑𝑡=
∞
0αΓ(α).
Từ (1) và (2) ta có
Γ(𝑛+1)=nΓ(𝑛)=n(n−1)Γ(𝑛−1)=n(n−1)(n−2)Γ(𝑛−2)
=n(n−1)(n−2)(𝑛−3)…3.2.Γ(2)=n!.
Như vậy (3) được chứng minh.
2.1.3. Mối liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Beta
Β(α,β)=Γ(α)Γ(β)
Γ(α+β).
Chứng minh.
Từ định nghĩa hàm Gamma và hàm Beta ta có
Γ(α)Γ(β)=∫𝑢𝛼−1𝑒−𝑢𝑑𝑢∫𝑣𝛽−1𝑒−𝑣𝑑𝑣=∫∫𝑒−𝑢−𝑣𝑢𝛼−1𝑣𝛽−1𝑑𝑢𝑑𝑣
∞
0
∞
0
∞
0.
∞
0
Đổi biến 𝑢=𝑠𝑡,𝑣=𝑠(1−𝑡) ta có
Γ(α)Γ(β)=∫∫𝑒−𝑠(𝑠𝑡)𝛼−1[𝑠(1−𝑡)]𝛽−1𝑠𝑑𝑡𝑑𝑠
1
0
∞
0
=∫𝑠𝛼+𝛽−1𝑒−𝑠𝑑𝑠∫𝑡𝛼−1(1−𝑡)𝛽−1𝑑𝑣=Γ(α+β)Β(α,β)
1
0.
∞
0
Từ đây suy ra Β(α,β)=Γ(α)Γ(β)
Γ(α+β).
2.2. Tích phân phân số và đạo hàm phân số Riemann-Liouville
2.2.1. Định nghĩa
Cho 𝑎,𝑏,α∈ℝ,α>0,a< x<b. Tích phân phân số Riemann-Liouville bên trái bậc α kí hiệu
là 𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼𝑓 , tích phân phân số Riemann-Liouville bên phải bậc α kí hiệu là 𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑏−
𝛼𝑓(𝑥) được định nghĩa
như sau
311
𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑎+
𝛼𝑓(𝑥)= 1
Γ(α)∫𝑓(𝑡)
(𝑥−𝑡)1−α𝑑𝑡 ,
𝑥
𝑎
𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑏−
𝛼𝑓(𝑥)= 1
Γ(α)∫𝑓(𝑡)
(𝑡−𝑥)1−α𝑑𝑡.
𝑏
𝑥
Đạo hàm phân số Riemann-Liouville bên trái bậc α kí hiệu là 𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼𝑓 , đạo hàm phân số
Riemann-Liouville bên phải bậc α kí hiệu là 𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑏−
𝛼𝑓(𝑥) được định nghĩa như sau
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼𝑓(𝑥)=(𝑑
𝑑𝑥)𝑛𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑎+
𝑛−𝛼𝑓(𝑥) ,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑏−
𝛼𝑓(𝑥)=(−𝑑
𝑑𝑥)𝑛𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑏−
𝑛−𝛼𝑓(𝑥).
Ở đây 𝑛={[𝛼]+1 𝑛ế𝑢 𝛼∉ℕ∗;
𝛼 𝑛ế𝑢 𝛼∈ℕ∗.
Đặc biệt khi 𝛼∈ℕ thì 𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
0𝑓(𝑥)= 𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑏−
0𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) ,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝑛𝑓(𝑥)=𝑓(𝑛)(𝑥) ,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑏−
𝑛𝑓(𝑥)=(−1)𝑛𝑓(𝑛)(𝑥).
Ví dụ 2.1
Xét 𝑓(𝑥)=𝐶 , 𝐶 là hằng số, α>0,𝑎=0, ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿0+
𝛼𝑓(𝑥)= 𝐼
⬚
𝑅𝐿 0+
𝛼(𝐶)=1
Γ(α)∫𝐶
(𝑥−𝑡)1−α𝑑𝑡
𝑥
0=𝐶(𝑥−𝑡)α
𝛼Γ(α)|𝑥
0=𝐶𝑥α
Γ(α+1).
Ví dụ 2.2
Xét 𝑓(𝑥)=𝑥,𝛼=1
2,𝑎=0 ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿0+
1
2𝑓(𝑥)= 𝐼
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2(𝑥)1
Γ(1
2)∫𝑡
(𝑥−𝑡)1
2𝑑𝑡
𝑥
0=1
Γ(1
2)∫𝑥−𝑢
𝑢1
2𝑑𝑢
𝑥
0
=1
Γ(1
2)(2𝑥𝑢1
2−2
3𝑢3
2)|𝑥
0=4
3Γ(1
2)𝑥3
2 ,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2𝑓(𝑥)= 𝐷
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2(𝑥)=𝑑
𝑑𝑥 𝐼
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2𝑓(𝑥)=𝑑
𝑑𝑥(4
3Γ(1
2)𝑥3
2)=2
Γ(1
2)𝑥1
2.
Ví dụ 2.3
Xét 𝑓(𝑥)=𝑥2, 𝑎=0 và α∈ℝ ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿0+
𝛼𝑓(𝑥)= 1
Γ(α)∫𝑡2
(𝑥−𝑡)1−α𝑑𝑡=
𝑥
0𝑥𝛼−1
Γ(α)∫𝑡2(1−𝑡
𝑥)α−1𝑑𝑡.
𝑥
0
Đổi biến 𝑡=𝑢𝑥 ta có
312
𝐼
⬚
𝑅𝐿0+
𝛼𝑓(𝑥)=𝑥𝛼−1
Γ(α)∫𝑢2(1−𝑢)α−1𝑥3𝑑𝑢=𝑥𝛼+2
Γ(α)∫𝑢2(1−𝑢)α−1𝑑𝑢
1
0
1
0
=𝑥𝛼+2
Γ(α)Β(3;α)=𝑥𝛼+𝑘
Γ(α)Γ(α)Γ(3)
Γ(α+3)=Γ(3)
Γ(α+3)𝑥𝛼+2.
2.2.2. Một số công thức thông dụng
Cho 𝑎,𝑏,𝛼,𝛽∈ℝ và 𝛼,𝛽>0, ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽=Γ(β+1)
Γ(α+β+1)(𝑥−𝑎)𝛼+𝛽,(4)
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑏−
𝛼(𝑏−𝑥)𝛽=Γ(β+1)
Γ(α+β+1)(𝑏−𝑥)𝛼+𝛽.(5)
Nếu 𝛽+ 1>𝛼 ta có
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽=Γ(β+1)
Γ(β−α+1)(𝑥−𝑎)𝛽−𝛼,(6)
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑏−
𝛼(𝑏−𝑥)𝛽=Γ(β+1)
Γ(β−α+1)(𝑏−𝑥)𝛽−𝛼.(7)
Nếu 𝑎→−∞ ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼𝑒𝑘𝑥 =𝑒𝑘𝑥
𝑘𝛼.(8)
Chứng minh.
Theo định nghĩa tích phân phân số Riemann-Liouville ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽=1
Γ(α)∫(𝑡−𝑎)𝛽
(𝑥−𝑡)1−α𝑑𝑡.
𝑥
𝑎
Đổi biến 𝑡=𝑎+𝑠(𝑥−𝑎),𝑣=𝑠(1−𝑡), khi đó ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽=1
Γ(α)∫[𝑠(𝑥−𝑎)]𝛽[(𝑥−𝑎)(1−𝑠)]𝛼−1(𝑥−𝑎)𝑑𝑠
1
0
=(𝑥−𝑎)𝛼+𝛽
Γ(α)∫𝑠𝛽(1−𝑠)𝛼−1𝑑𝑠
1
0
=(𝑥−𝑎)𝛼+𝛽
Γ(α) Β(β + 1,α)
=(𝑥−𝑎)𝛼+𝛽
Γ(α) Γ(α)Γ(β+1)
Γ(α+β+1)
=Γ(β+1)
Γ(α+β+1)(𝑥−𝑎)𝛼+𝛽.
Như vậy công thức (4) được chứng minh. Tiếp theo ta có
313
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽=(𝑑
𝑑𝑥)𝑛𝐼
⬚
𝑅𝐿𝑎+
𝑛−𝛼(𝑥−𝑎)𝛽=(𝑑
𝑑𝑥)𝑛Γ(β+1)
Γ(n−α+β+1)(𝑥−𝑎)𝑛−𝛼+𝛽
=Γ(β+1)
Γ(n+β−α+1)Γ(n+β−α+1)
Γ(β−α+1)(𝑥−𝑎)𝛽−𝛼
=Γ(β+1)
Γ(β−α+1)(𝑥−𝑎)𝛽−𝛼.
Như vậy công thức (6) được chứng minh. Chứng minh tương tự ta được hai công thức (5) và
(7). Cuối cùng ta chứng minh (8). Ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼𝑒𝑘𝑥 =1
Γ(α)∫𝑒𝑘𝑡
(𝑥−𝑡)1−α𝑑𝑡
𝑥
𝑎=1
Γ(α)∫𝑒𝑘(𝑥−𝑢)
𝑢1−α 𝑑𝑢
𝑥−𝑎
0
=𝑒𝑘𝑥
Γ(α)∫𝑒−𝑘𝑢
𝑢1−α𝑑𝑢
𝑥−𝑎
0=𝑒𝑘𝑥
𝑘𝛼Γ(α)∫𝑒−𝑦
𝑦1−α𝑑𝑦
𝑘(𝑥−𝑎)
0.
Nếu 𝑎→−∞ ta có
∫𝑒−𝑦
𝑦1−α𝑑𝑦
𝑘(𝑥−𝑎)
0=Γ(α).
Vậy (8) được chứng minh.
Ví dụ 2.4
Xét 𝛼=1
2,𝛽=1,𝑎=0 ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽= 𝐼
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2(𝑥)=Γ(2)
Γ(5
2)𝑥3
2=4
3Γ(1
2)𝑥3
2 ,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2(𝑥)=Γ(2)
Γ(3
2)𝑥1
2=2
Γ(1
2)𝑥1
2.
Xét 𝛼=1,𝛽=1,𝑎=0 ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽= 𝐼
⬚
𝑅𝐿 0+
1(𝑥)=Γ(2)
Γ(3)𝑥2=1
2𝑥2,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽= 𝐷
⬚
𝑅𝐿 0+
1(𝑥)=Γ(2)
Γ(1)𝑥0=1.
Ví dụ 2.5
Xét 𝛼=1
2,𝛽=2,𝑎=0 ta có
𝐼
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽= 𝐼
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2𝑥2=Γ(3)
Γ(7
2)𝑥5
2=8
15Γ(1
2)𝑥5
2 ,
𝐷
⬚
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼(𝑥−𝑎)𝛽= 𝐷
⬚
𝑅𝐿 0+
1
2𝑥2=Γ(3)
Γ(5
2)𝑥3
2=2
3Γ(1
2)𝑥3
2.