intTypePromotion=3

Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích

Chia sẻ: Trantrongbinh Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

2
977
lượt xem
198
download

Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong Bài toán tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích

  1. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH TÍCH Ư NG CONG y = f(x) I. DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC NH B I 1. DI N TÍCH HÌNH PH N G GI I H N B I 1 Ư N G CONG: ( C ) : y = f ( x )  Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y = 0 1 .1. Bài toán:  x = a, x = b  y y f (x ) > 0 O a b x S S Oa b x f (x ) < 0 b ∫ 1 .2. Công th c t ng quát : f ( x ) dx S= a 1 .3. Công th c khai tri n: y f (x ) > 0 b a. S = ∫ f ( x ) dx a n u f(x) ≥ 0 f (x ) > 0 a b S3 x ∫ S1 b. S = − f ( x ) dx n u f(x) ≤ 0 O a c d b a S2 c d b c. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx f (x ) < 0 a c d 2. DI N TÍCH HÌNH PH N G GI I H N B I 2 Ư N G CONG: ( C1 ) : y = f ( x )  Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) 2 .1. Bài toán:   x = a, x = b b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx S= 2 .2. Công th c t ng quát: a y y f (x ) g(x ) f (x ) S1 S2 S x x c O a b O a b f (x ) g( x ) g( x ) 2 17
  2. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 .3. Công th c khai tri n: b ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx n u f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b] a. S = a b ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx n u f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b] b. S = a c b ∫ ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + c. S = a c 3. DI N TÍCH HÌNH PH N G GI I H N B I C ÁC Ư N G CONG T C T K HÉP KÍN ( C1 ) : y = f ( x )  Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i  3 .1. Bài toán 1: ( C2 ) : y = g ( x )  y x = a f (x ) Bư c 1: Gi i phươ ng trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔  x = b  S b g( x ) x ∫ f ( x ) − g ( x ) dx Bư c 2: S d ng S = O b a a y g ( x ) C f (x ) Tìm di n tích hình ph ng 3 .2. Bài toán 2: ( C1 ) : y = f ( x ) A h( x )   S S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) B  ( C3 ) : y = h ( x )  O a c b x Bư c 1: Gi i phươ ng trình tươ ng giao → tìm hoành giao i m C ≡ ( C1 ) ∩ ( C2 ) gi i phươ ng trình f(x) = g(x) C ≡ C1 ∩ C2    A ≡ C ∩ C  A ≡ ( C2 ) ∩ ( C3 ) gi i phươ ng trình g(x) = h(x)  2 3  B ≡ C ∩ C  B ≡ ( C3 ) ∩ ( C1 ) gi i phươ ng trình h(x) = f(x)    3 1 c b ∫ ∫ ( g ( x ) − h ( x ) ) dx ( f ( x ) − h ( x ) ) dx + Bư c 2: S d ng S = a c C n p h i i n " v dt" vào k t q u c u i c ùng trong các bài toán 4. CHÚ Ý: tính di n tích hình ph n g 2 18
  3. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích 5. CÁC BÀI T P M U MINH H A {( P ) : x } B ài 1. T ính S: = ay ; ( P2 ) : y 2 = ax ( a > 0) 2 1 y Gi i  2 x4  x2 y = y = 2 a ( P1 ) ∩ ( P2 ) :  a ⇔  (P ) a 1  y2 = ax  y2 = ax   S x 4 4 3  x = 0, y = 0 a O  = ax x = a x x ⇔  a2 ⇔ 2 ⇔  x = a, y = a  y = ax  y2 = ax  (P )  2 a 2 a x3  a  x2  2a 2 a 3 a 2 ∫  dx =  x x−  = S =  ax − − = ( vdt)  a 3 3a  3 3a 3 0 0 { } B ài 2. T ính S: (C ) : y 2 − 2y + x = 0 ; ( D ) : x + y = 0 y Gi i (C ) : y 2 − 2y + x = 0 (C ) : x = − y 2 + 2y   3   ⇔ ( D ) : x + y = 0 ( D ) : x + y = 0   2 x S  y = 0; x = 0 + 1 (C ) ∩ ( D ) : − y 2 + 2y + y = 0 ⇔  y =  y = 3; x = −3 0 3 3 -3 S = ( − y 2 + 2y ) − ( − y )  dy = ∫ ∫ (−y + 2y + y ) dy 1 x 2 2 y O y +2   x=- 0 0 3 3  y3 3y 2  1 3 9 ∫ = ( − y + 3y ) dy =  − + 2  = − ⋅ 27 + ⋅ 9 = ( vdt) 3 2 3 2 2 0 0 { } B ài 3. T ính S: ( P ) : y 2 = 2x ; ( D ) : x − 2y + 2 = 0 ; Ox : y = 0 y Gi i  y2 = 2 ( 2y − 2 ) 2 ( P ) ∩ ( D ) ⇔  y = 2x ⇔  2   x = 2y − 2  x = 2y − 2   1  y2 − 4y + 4 = 0  y = 2  S ⇔ ⇔ 2 x = 2y − 2 x = 2 -2 O x  (D) 2  y2   y3  2 (P) 8 ∫ S =  − ( 2y − 2 )  dy =  − y 2 + 2y  = ( vdt) -2 2  6  6 0 0 2 19
  4. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương { } 7−x 1 ( ) B ài 4. T ính S: ( P ) : y = − x 2 − 8x + 7 ; ( H ) : y = x −3 3 y Gi i ( P ) ∩ ( H ) : − 1 ( x 2 − 8x + 7 ) = 7 − x 3 (P) x −3 3 S O x = 0 x ( x 2 − 11x + 28 ) x 1 34 7 -1 x = 4 ⇔ =0⇔  3 (3 − x ) 7 x = 7 (H)  3 7 1 7 − x ∫ S =  − ( x 2 − 8x + 7 ) − dx x − 3 3  4 7  x3 4x 2 4  7  x 2 8x 4 4 ∫  dx =  − + − x − 4ln x − 3  = 9 + 8ln 2 ( vdt) = − + −− 9  3 3 3 x − 3 33 4 4 { } B ài 5. C ho: ( P ) : y 2 = 2x ; ( C ) : x 2 + y 2 = 8 . (P) chia (C) thành 2 ph n, tìm t s di n tích c a 2 ph n ó. Gi i y 2  y2  ∫ th ta có: S2 = 2  8 − y 2 −  dy Nhìn vào  2 2 0 2 2 2 S y3 8 O 22 2 ∫ ∫ 2 2 =2 8 − y dy − y dy = 2I − = 2I − x 3 3 0 0 0 2 -2 ∫ t y = 2 2 sin t ⇒ dy = 2 2 cos tdt 8 − y 2 dy . Xét I = 0 π4 π4 2 ∫ ∫ ∫ 2 2 1 − sin 2 t cos tdt I= 8 − y dy = 8 − 8sin t .2 2 cos tdt = 8 0 0 0 π4 π4 π4 (1 + cos 2t ) dt = 4  t + 1 sin 2t  π 1 ∫ cos ∫ 2 = 4 +  = π + 2 =8 t dt = 4    0  4 2 2 0 0 8 8 4 2 ( vdt). Ta có: S1 + S2 = π ( 2 2 ) = 8π V y S2 = 2I − = 2π + 4 − = 2 π + 3 3 3 6π − 4 18π − 4 9π − 2 ) ( 4 = 6π − 4 ( vdt) ⇒ S1 = 3= ⇒ S1 = 8π − 2π + = 3 S2 2π + 4 6π + 4 3π + 2 3 3 2 20
  5. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích { } B ài 6. T ính S: ( P ) : y = x 2 − 4x + 3 ; ( D ) : y = x + 3 Gi i  x + 3 = x 2 − 4x + 3  x 2 − 5x = 0  x = 0, y = 3 ( P) ∩ ( D) :  ⇔ 2 ⇔  x = 5, y = 8 2  x + 3 = − x + 4x − 3  x − 3x + 6   y x = 1 8 ( P ) ∩ Ox : y = 0 ⇒ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔  x = 3 1 S = ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3)  dx + ∫   S3 0 3 3 + ( x + 3) + ( x 2 − 4x + 3)  dx +  ∫  S2 S1 1 5 + ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3)  dx ∫   -3 O 2 1 3 x 5 3 -1 1 3 5 = ∫ ( − x 2 + 5x ) dx + ∫ ( x 2 − 3x + 6 ) dx + ∫ ( − x 2 + 5x ) dx 0 1 3 1 3 5  x 3 5x 2   x 3 3x 2   x 3 5x 2  109 = −  + + 6x  +  − = + − + ( vdt) 3 2 3 1  3 2 2 6 0 3  π 3x 12x B ài 7. T ính S: ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 ; ( C2 ) : y = 1 + ; ( D) : x =  π  2 2 y Gi i 7 A 3x ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 = cos 3x 2 th ta có: S = SANOI − 3SOIK Nhìn vào π6 π6 7 +1 π ∫ S = ⋅ − 3 cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 1 22 0 0 B ài 8. T ìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i M B 1 N (P): y = x2 − 2x + 2 và các ti p tuy n c a (P) C π π π O x 2 3 6 i qua A(2; − 2). 2 21
  6. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương Gi i ư ng th ng qua A có d ng (d): y = k(x − 2) − 2.  x 2 − 2x + 2 = k ( x − 2 ) − 2  (d) là ti p tuy n c a (P) khi  ( x 2 − 2x + 2 )′ = [ k ( x − 2 ) − 2]′  2x − 2 = k 2x − 2 = k  x = 0; k = −2   ⇔2 ⇔ 2 ⇔  x = 4; k = 6 ( 2x − 2 )( x − 2 ) − 2  x − 2x + 2 =  x − 4x = 0    V y 2 ti p tuy n c a (P) i qua A là: (d1): y = − 2x + 2 ti p xúc v i (P) t i y B(0, 2) và (d2): y = 6x −14 ti p xúc v i (P) t i C(4, 10). 10 { } V y S: ( P) : y = x2 − 2x + 2; ( d1 ) : y = −2x + 2 ; ( d2 ) : y = 6x −14 2 4 S = ( x2 − 2x + 2) − ( −2x + 2)  dx + ( x2 − 2x + 2) − ( 6x − 14)  dx   ∫ ∫   0 2 2 4 2 4 (P) ∫ ∫ ( x − 8x + 16) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − 4) d ( x − 4) 2 = x 2 dx + 2 2 0 2 0 2 2 s2 34 2 ( x − 4) x3 8   −8  8 8 16 =  − 0 +  0 −  = + = s1 = + ( vdt) O 3   3 3 3 3 30 3 127 4x 2 3 d1 d  27  x2 2 B ài 9. T ính S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =  2  x 27 y 9 Gi i x2 ⇔x =0⇒y =0 ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = (P1 ) 27 9 (H) 2 27 s2 ( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 3 x s1 x2 27 (P2 ) ( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 27 x 9x 3 6 O Nhìn vào th ta có: 9 3 3 9  2 x2   27 x 2   x3  26x 3 ∫ ∫ S = x −  dx +   dx = +  27 ln x −  −  27   x 27   81  81 0 3 0 3  26  1 =  − 0  +  27 ln 9 − 27 ln 3 − 9 +  = 27 ln 3 ( vdt) 3  3 2 22
  7. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích  8 x2 2 B ài 10. T ính S: ( P1 ) : y = x 2 ; ( P2 ) : y = ; ( H1 ) : y = ; ( H 2 ) : y =   x 4 x y Gi i (P ) 2 1 ⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 2 ⇒ y = 3 4 ( P1 ) ∩( H1 ) : x2 = (P ) 2 x 4 8 ( P1 ) ∩( H2 ) : x2 = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4 x 3 16 (H2) s2 2 x2 3 S1 4 ( P2 ) ∩( H1 ) : = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1 4x 1 (H1) 2 x8 = ⇔ x3 = 32 ⇔ x = 2 3 4 ⇒ y = 2 3 2 ( P2 ) ∩( H2 ) : O x 3 3 2 2 24 4x 3 2 32 3  8 x2   x3   x3  2 32  2 ∫ ∫ S =  x 2 −  dx +  −  dx =  − 2ln x  +  8ln x −  = 4 ln 2 ( vdt) 3 x x 4   12  3 3 2 2 2 2 { } 3 B ài 11. T ính S: ( P ) : y 2 = 4x; ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) Gi i Phươ ng trình c a (P) và (C) u ch n i v i y, vì th S là mi n nh n Ox làm i x ng. G i S1 là ph n n m trên tr c Ox, khi ó S = 2S1 tr c y ( P) ∩ ( C) : 4x = ( 4 − x)3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = 0 (P) 22 ⇔ ( x − 2) ( x −10x + 32) = 0 ⇔ ( x − 2) ( x − 5) + 7 = 0 2 2   (C) 1 ⇔x =2⇒y=2 2 S1 O 2 3 ( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 4 x -1 ( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4 -2 2 2 4 2 4 1 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ( 4 − x )3 dx = 2 x 2 dx − ( x − 4) 2 d ( x − 4) 4x 2 dx + S1 = 0 2 0 2 2 4 8 2  8 2  64 2 3 5 4 2 128 2 − ( x − 4) 2 = − 0 −  0 + = . V y S = 2S′ = = x2 3  5 3 5 15 15 0 2 ( ) 12 ( ) 2 2 1 2  P :x = y 128 2 ∫ ⇒ S1 =  4 − y 3 − y 2  dy = Cách 2: S:  ( vdt) 4  4 15  ( C ) : x = 4 − y2 3 0  2 23
  8. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương { } 3 B ài 12. T ính S: ( P ) : y 2 = 2x; ( C ) : 27y 2 = 8 ( x − 1) Gi i y G i S ′ là ph n n m phía trên tr c Ox, t tính ch t 22 (P) i x ng khi ó S = 2S′. c a 2 hàm ch n s uy ra tính Do y ≥ 0 ⇒ (x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 2 3 S1 (C) ( P) ∩ ( C) : 2x = 8 ( x −1)3 O 1 4 x 27 2 ⇔ ( x − 4) ( 2x +1) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 2 2 ( P) ∩ Ox : 2x = 0 ⇔ x = 0 ; ( C) ∩ Ox: ( x −1)3 = 0 ⇔ x =1 22   4 )3 41 4 ( 3  2x − 8 x − 1  dx = 2 2 x 2 dx − 4 2 ( x − 1) 2 d ( x − 1) = 68 2 ∫ ∫ ∫ S = 2S1 = 2   1  15 27 3 31 1 x2 y2 B ài 13. T ính di n tích hình elip gi i h n b i (E): + 2 =1 a2 b Gi i 2 2 x y + 2 = 1 ch n Phươ ng trình i v i x và y nên elip nh n O là tâm i x ng. 2 a b G i S 1 là di n tích c a ph n e lip thu c góc ph n tư (I) trên m t ph ng Oxy. a { } b2 b ∫ y ⇒ S1 : x = 0; y = 0; y = a − x2 a 2 − x2 dx và S = 4S1 = 4 a a0 b x = 0 ⇒ α = π 2 S1 t x = acosα :  ; Khi ó O x = a ⇒ α = 0 ax π2 a 0 1 − cos 2α b 4b ( 2 ∫ ∫ ∫ −a sin 2 α ) dα = 4ab a 2 − x 2 dx = S=4 dα = πab ( vdt) a a π2 2 0 0 { } 2 B ài 14. T ính S: 0 ≤ y ≤ 1; y = ( x + 1) ; x = sin πy Gi i 2 x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = ( x + 1) ⇔ x = y − 1 1 1  1 3 2 21 ∫( ) sin πy − y + 1 dy =  − cos πy − y 2 + y  = + S= ( vdt) π 0 π 3 3 0 2 24
  9. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích TH TÍCH KH I TRÒN XOAY I. VX SINH B I D I N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y (C) ( C ) : y = f ( x )  S: Ox : y = 0 S  ∆ , ∆ : x = a, x = b 1 2 a b O x b Vx = π ∫ f 2 ( x ) dx C ông th c : a II. VX SINH B I D I N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: (C1) y ( C1 ) : y = f ( x )  S ( C ) : y = g ( x ) S:  2 (C2) 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) a ∆ , ∆ : x = a, x = b b O x 1 2 b Vx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x )  dx   C ông th c: a ( C1 ) : y = f ( x )  S:  III. VX SINH B I D I N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: ( C2 ) : y = g ( x )  x = a Gi i phươ ng trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔  Bư c 1: x = b b ∫ Gi s 0 ≤ g(x) ≤ f(x),∀x∈[a, b]. Khi ó: Vx = π f ( x ) − g ( x )  dx 2 2   Bư c 2: a IV. VX SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C HAI f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Ox: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành Bư c 1: y ( C1 ) : y = f1 ( x ) (C1)   ( C2 ) : y = f 2 ( x )  (C2) và gi s 0 ≤ f2(x) ≤ f1(x) a b O n h c n x = a, x = b. Xác x Bư c 2: b ∫ Khi ó: Vx = π f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx   a 2 25
  10. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương V. Vy SINH B I D I N TÍCH S C A 1 TH Q UAY XUNG QUANH Oy: y ( C ) : y = f ( x ) f(b)  Oy : x = 0 S:  ∆1 : y = f ( a ) S ∆ : y = f ( b ) 2 (C) −1 y = f(x) ⇔ x = f (y) Bư c 1: f(a) f (b) 2 ∫ f ( y )    −1 Vy = π dy Bư c 2: a bx O () fa VI. Vy SINH B I D I N TÍCH S C A 2 TH Q UAY XUNG QUANH Oy: y ( C1 ) : y = f ( x )  ( C ) : y = g ( x ) S:  2 f(b) ∆1 : y = f ( a ) = g ( m )  ∆ 2 : y = f ( b ) = g ( n ) (C2 ) S (C1) ( C1 ) : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y )   Bư c 1: f(a) −1 ( C2 ) : y = g ( x ) ⇔ x = g ( y )  ma n b O x f (b) ) ∫( 2 2 f −1 ( y )  −  g −1 ( y )  dy −1 ( y ) ≤ f −1 ( y ) ⇒ Vy = π 0≤g Gi s    Bư c 2: f (a ) VII. Vy SINH B I D I N TÍCH: Ư N G CONG B C 2 f (x, y) = 0 Q UAY XUNG QUANH Oy: ( C1 ) : x = f1 ( y )  Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành  Bư c 1: ( C2 ) : x = f 2 ( y )  và gi s 0 ≤ f2(y) ≤ f1(y) b ∫ nh c n x = a, x = b. Khi ó: Vx = π f12 ( y ) − f 22 ( y )  dy Xác   Bư c 2: a VIII. PH ƯƠ NG PHÁP BAO TR TÍNH Vy K HI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy: b ∫ Vy = 2π xf ( x ) dx C ông th c: a C n p h i i n " v tt" vào k t q u c u i c ùng trong các bài toán tính C HÚ Ý: th tích kh i tròn xoay 2 26
  11. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích IX. CÁC BÀI T P M U MINH H A B ài 1. T ìm Vx sinh b i S : {( C ) : y = ln x ; Ox : y = 0; ( ∆ ) : x = 2} quay quanh Ox Gi i 2 2 2 Xét ( C ) ∩ Ox : ln x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Vx = π ∫ ( ln x ) dx = π x ( ln x ) 1 − π ∫ x d ( ln x ) 2 2 2 1 1 2 2 = 2π ( ln 2 ) − 2π ∫ ln x dx = 2π ( ln 2 ) − 2π x ln x 1 + 2π ∫ x d ( ln x ) 2 2 2 1 1 2 = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π ∫ dx = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π = 2π ( ln 2 − 1) 2 2 2 ( ®vtt ) 1 { } B ài 2. T ính Vx khi S: ( L ) : y = x ln (1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 quay quanh Ox. Gi i 1 + x > 03  x > −1  ln (1 + x ) ⇒  3 ⇒y≥0 ⇒ (1 + x 3 ) ≥ 0 1 + x 3 ≥ 1 y=x ⇔ x≥0  ln  1 1 ( L) ∩ Ox : x ln (1 + x3 ) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Vx = π x2 ln (1 + x3 ) dx = π ln (1 + x3 ) d ( x3 + 1) ∫ 3∫ 0 0 1 1 1 π ( 2 ln 2 − 1) π( 3 ) ( π 2π ln 2 π 3 ∫ ( x + 1) d ln (1 + x ) = x + 1 ln 1 + x ) − 3 3 3   = −x = 3 3 3 3 3 0 0 0 { } B ài 3. C ho S: ( C) : y = 1 2 ; ( D) :x =1;y = 0, x = 0 . Tính Vy khi S quay quanh Oy 1+ x y Gi i 1 1 1 > 0 ⇒ (C) : x2 = − 1 y= (C) (D) 2 y 1+ x 1/2 ( C ) ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = 1   ( C ) ∩ ( D ) : x = 1 ⇒ y = 1 2  O 1 x 12 1  1 1 π ⇒ Vy = π dy + π  1 − 1 dy = πy 0 + π ( ln y − y ) 1 2  1 ∫ ∫ 12 = + π  − ln −  = π ln 2 y  2 2 1 2  2 0 2 27
  12. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 B ài 4. C ho S: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ; 0 < a ≤ b y B a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b I b . T ìm Vy khi S quay quanh Oy C A Gi i D 2 2 2 2 2 2 a. Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ ( y − b ) = a − x a -a O x ⇒ A1 B 2 A2 : y = b + a 2 − x 2 ; A1 B1 A2 : y = b − a 2 − x 2 a   2 2 ∫( ) − (b − ) 2 2 2 2 Vx = π  b + a − x  dx a −x   −a a a x 0 a ∫ ∫ 2 2 2 2 t x = asint ⇒ = 4πb a − x dx = 8πb a − x dx . t 0 π/2 −a 0 dx a cost dt π2 π2 a (1 − sin t ) a cos t dt = 4πa b ∫ ∫ 2 cos 2 2 2 2 Vx = 8πb t dt 0 0 π2 π2 ∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 4πa 2 2 22 b ( t + sin 2t ) = 2π a b ( ®vtt ) = 4πa b 0 0 2 2 b . Ta có: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ⇔ x 2 = a 2 − ( y − b ) 2 2 ⇔ B1 A 2 B2 : x = a 2 − ( y − b ) ; B1 A1 B2 : x = − a 2 − ( y − b ) Do các cung B1 A 2 B2 , B1 A1 B2 i x ng nhau qua Oy nên  3 2a3  4πa 3 b +a b+a a 2 − ( y − b )2  dy = π a 2 y − 1 ( y − b )3  ∫ = π  2a − = Vy = π ( vtt)        3 3 3 b −a b −a ( x − 4 )2 y 2 B ài 5. C ho S là di n tích c a (E): + =1 4 16 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b . T ìm Vy khi S quay quanh Oy Gi i 2 28
  13. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích ( x − 4 )2 y 2 2 ( x − 4 )2 y ⇔ y = 4 4 − ( x − 4)  2 2 a. (E):   + =1⇔ =1− 4 16 16 4 ( E ) ∩ Ox : 4 − ( x − 4 )2 = 0 ⇔ x = 2; x = 6 2 2 ⇔ ABC : y = 2 4 − ( x − 4 ) ; ADC : y = −2 4 − ( x − 4 ) Do các cung ABC, ADC i x ng nhau qua Ox nên 6 6 2 ∫ (2 ) dx = 4π  4 − ( x − 4 )  d ( x − 4 ) ∫ 2 2 4 − ( x − 4)   Vx = π 2 2 6  ( x − 4 )3   8  128π 8 ( ®vtt ) = 4π  4 ( x − 4 ) −  = 4π  8 − + 8 −  =  2  3 3 3 3 ( x − 4 )2 y 2 2 ( x − 4 )2 y y b . (E): + =1⇔ =1− 4 16 4 16 B 4 1 (16 − y2 ) 2 ⇔ ( x − 4) = 4 A C 1 6x O 2 2 4 ⇔ BAD : x = 4 − 16 − y 2 1 2 BCD : x = 4 + 16 − y -4 2 D   4 2 2 4 2  2 1 1 ∫ ∫ 2 Vy = π  4 + 16 − y   dy = 8π 16 − y dy 16 − y  −  4 −    −4  2 2 −4 π2 y 4 −4 16 (1 − sin 2 t ) 4 cos t dt ∫ t y = 4sint ⇒ ⇒ Vy = 8π t −π/2 π/2 −π 2 dy 4 c ost dt π2 π2 π2 ∫ ∫ 2 cos 2 t dt = 64π = 64π2 (1 + 2 cos 2t ) dt = 6 4π ( t + sin 2t ) ( ®vtt ) = 64π −π 2 −π 2 −π 2 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox  2 ( P ) : y = 2x − x B ài 6. C ho S:  Ox : y = 0 b . T ìm Vy khi S quay quanh Oy  2 29
  14. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương Gi i y a. ( P ) ∩ Ox : 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 1 2 2 22 ∫ ( 2x − x ) dx = π∫ ( 4x − 4x + x ) dx 2 3 4 ⇒ Vx = π 0 0 2 O 2x 4 1 16 = π  x 3 − x 4 + x 5  = π ( ®vtt ) 3 5  0 15 2 b . ( P ) : y = 2x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y ⇒ OA : x = 1 − 1 − y ; AB : x = 1 + 1 − y y A 1 ⇒ Vy = π  1 + 1 − y  dy 2 2 ∫( ) − (1 − ) 1 1− y   0 1 1 ∫ ∫ 12 1 − y dy = −4π (1 − y ) d (1 − y ) = 4π 0 0 B 1 8π 8π O 2x (1 − y )3 2 ( ®vtt ) =− = 3 3 0 { } π B ài 7. T ìm Vx khi quay S: y = cos6 x + sin 6 x ; y = 0; x = 0; x = quanh Ox. 2 Gi i π2 π2 2 ∫( ) ∫ ( cos x + sin x ) dx 6 6 6 6 Vx = π cos x + sin x dx = π 0 0 π2 π2 3  = π ∫ ( cos2 x + sin 2 x ) ( cos2 x + sin 2 x ) − 3sin 2 x cos2 x  dx = π ∫ 1 − sin 2 2x  dx 2     4 0 0 π2 π2 2  3( ) 5  5π 3 ∫ ( ®vtt ) 1 − 8 1 − cos 4x  dx = π  8 x + 32 sin 4x  = 16 =π    0 0 ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox  B ài 8. C ho S: ( D1 ) : y = −3x + 10 ( D ) : y = 1 b . T ìm Vy khi S quay quanh Oy 2 2 30
  15. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích y Gi i a. ( D1 ) ∩ ( D 2 ) : −3x + 10 = 1 ⇔ x = 3 4 ( P ) ∩ ( D2 ) : x 2 = 1 ⇒ x = 1 > 0 (P) D1 S ( P ) ∩ ( D1 ) : x 2 = −3x + 10 ⇒ x = 2 > 0 ; y = 4 D2 1 2 3 = π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3x + 10 ) − 1 dx 2 4   Vx x 1 2 3 O 1 2 3 2  1 ( −3x + 10 )3   x5  31π 61π ( ®vtt ) − x + π ⋅ − x = = π + 6π = 5 1  −3 2 3 5 5 10 − y b . ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) ⇔ x = y ; ( D1 ) : y = −3x + 10 ⇔ x = 3 4  (10 − y )2 4 4 π 2 () ∫ ∫ ∫ 2 Vy = π   dy = ( y − 10 ) d ( y − 10 ) − π ydy − y   9 9 1 1 1 4  π ( y − 10 ) π 3 152π 15π 101π = ⋅ − y2  = − = 9 2 1 3 27 2 54 2 2 y B ài 9. C ho S là di n tích c a (E): x 2 + 2 = 1 (0 < b < a) a b a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b . T ìm Vy khi S quay quanh Oy Gi i y B 2 2 2 2 2 y y b a. (E): x2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 2 ( a 2 − x 2 ) a b b a a A O x ⇔ BA : y = b a 2 − x 2 ; CA : y = −b a 2 − x 2 a a C Do các cung BA, AC i x ng nhau qua Ox nên a πb2  x3  a a πb2 4πab2 2 ) ∫(a b a −x dx = 2 ( a − x ) dx = 2  a 2 x −  = ∫ 2 2 2 2 Vx = π ( vtt) a 3  −a 3 a −a −a 2 31
  16. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 2 2 2 2 y y a b . (E): x 2 + 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 − 2 ⇔ x 2 = 2 ( b 2 − y 2 ) a b a b b y B ⇔ AB : x = a b 2 − y2 b BC : x = −a b 2 − y 2 A C b O x Do các cung AB, BC i x ng nhau qua Oy nên b 2πa 2  2 y3  b b 2πa 2 4πa 2 b 2 ∫( ) dy = a b2 − y2 ( b − y ) dy = 2  b y −  = ∫ 2 2 Vy = 2π ( vtt) b 3 0 b2 b 3 0 0 { } B ài 10. Cho S: ( P1 ) : y = 4 − x 2 ; ( P2 ) : y = x 2 + 2 . Tính Vx khi S quay quanh Ox y Gi i 4 (P2 ) ( P1 ) ∩ ( P2 ) : 4 − x 2 = x 2 + 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 3 1 ⇒ V = 2π ( 4 − x ) − ( x + 2)  dx 22 2 ∫ 2   0 2 (P1 ) 1   1 3 x = 24π ∫ (1 − x ) dx = 24π  x − 2  = 16π ( ®vtt )  3 0 O 0 x 2 1 2 1 B ài 11. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R = 1 quay quanh tr c Oy. y Gi i C Phươ ng trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = 1 2 2 2 ⇔ ( x − 2) = 1 − y ⇔ x = 2 ± 1 − y A I B 3x O 1 2 ⇒ CA : x = 2 − 1 − y 2 ; BC : x = 2 + 1 − y 2 1 1  )  dy = 16π∫ 2 2 ∫( ) − (2 − ⇒ Vy = 2π  2 + 1 − y 2 2 2 1− y 1 − y dy    0 0 π2 π2 ∫ ∫ cos 2 2 t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π 1 − sin t cos t dt = 16π t dt 0 0 π2 π2   1 = 8π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 8π  t + sin 2t  2 ( ®vtt ) = 4π  0 2 0 2 32
  17. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích B ài 12. Cho S: {( P ) : y = 2x ; ( D ) : y = 2x + 4} . 2 y Tính Vx khi S quay quanh Ox 8 Gi i ( C ) ∩ ( D ) : 2x 2 = 2x + 4 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ∨ x = 2 4 2 ⇒ Vx = π ( 2x + 4 ) − 4x  dx ∫ 2 4   2 −1 2 x  3π ( 2x + 4 )3 4πx 5  2 -1 O 288 = = ( ®vtt ) −  5  −1 2 5  27  x2 B ài 13. Cho S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =   x 27 Gi i y 2 9 x ⇔x =0⇒y =0 ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = 27 27 ( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 x (P1 ) 9 (H) 2 x 27 2 ( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 s2 27 x 3 s1 Nhìn vào th ta có: (P2 ) 3 9 9 27 2 x4 ∫ ∫ ∫ 9x Vx = x 4 dx + 3 6 O dx − dx x2 27 2 0 3 0 53 9 9 27 2 x5  81 1  583 ( x 243 − ( 81 − 243) −  −  = ®vtt ) = − −2 =  5 15  5 x 5 3 27 .5 3 0 3 27 b . ( P1 ) : x = y ; ( P2 ) : x = 27y ; ( H) : x = (x, y ≥ 0) y 3 9 3 9  27   27    2 2 2 ∫( )() () ∫ ∫ ∫ ⇒ Vy =  −  dy +  y −  dy = 26ydy +  y − y  dy 27y y y 3  3  0 0 9  1 2 81 9 23 +  27 ln y − y  = 117 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − + = 81 + 27 ln 3 ( ®vtt ) = 13y  2 3 0 22 2 33
  18. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương Bài 14. Cho S: {( C) : y = x, ( D) : y = 2 − x, y = 0} . Tính Vy khi S quay quanh Oy Gi i y ( C) : x = y2 ( y ≥ 0) ; ( D ) : x = 2 − y 2 ⇒ ( C) ∩ ( D ) : y2 = 2 − y ⇔ y2 + y − 2 = 0 (C) 1 ⇔ (x − 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0 1 Vy = π ( 2 − y ) − y 4  dy ∫ 2   x O 0 2 (D) 1 1 y 5 32π 3 = π  ( y − 2) − ( ®vtt ) = 3 5  0 15 2 2 ( H ) : x − y = 1 và (D) là ti p tuy n c a ( H) i qua A(2, −1) v i B ài 15. C ho 16 4 h s góc dươ ng. Tính th tích kh i tròn xoay t o b i m i n ph ng gi i h n b i (H), (D) và tr c Ox khi quay quanh tr c Oy. Gi i y (D) (D) i qua A(2, − 1) nên 1,5 (H) (D): y = k(x − 2) − 1 2 O ⇔ ( D): kx − y − ( 2k + 1) = 0 x 45 4 16 5 -1 A Ta có: (D) ti p xúc (H) 8 2 2 2 3 ⇔ 16k − 4 = ( 2k + 1) ⇔ 12k − 4k − 5 = 0 5 1 5 8 6 16 ∨ k = − (lo i) ⇒ ( D): y = x − ⇔ x = y + ⇔ k= 6 2 6 3 5 5 2 ( D ) ∩ ( H ) : 4y 2 + 16 =  6 y + 16  ⇔ 4y 2 − 12y + 9 = 0 ⇔ y = 3 ; x = 5    5 5 2 32 2  6y + 16    4y3  32 2 3 2 )( ) ∫( 36π ⇒ Vy = π ( 4y + 16) −  y+ 8 d y+ 8 ∫  dy = π  + 16y  −   5  3 0 0 3 3 25 0 3 32 9  36π () 72π y+8 ( ®vtt ) = π  + 24  − = 2  75 3 25 0 2 34
  19. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích { } 2 B ài 16. Cho S: ( C ) : y = ( x − 2 ) , ( D ) : y = 4 . a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b . T ính Vy khi S quay quanh Oy y Gi i (P) 2 a. ( P ) ∩ ( D ) : ( x − 2 ) = 4 ⇔ x = 0, x = 4 (D) 4 ⇒ Vx = π 16 − ( x − 2 )  dx ∫ 4   S 0 4  ( x − 2 )5  256π ( ®vtt ) = π 16x − =  0 5 5 x 2 O 4 b . ( P ) : x − 2 = ± y ⇒ AI : x = 2 − y ; IB: x = 2 + y 4 ⇒ Vy = π  2 + y  dy 2 2 ∫( ) − (2 − y )   0 4 4 16π 3 2 128π ∫ ( ®vtt ) = 8π ydy = = y 3 3 0 0   2 2 y y ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ; ( P2 ) : x = − + 3y ( y ≤ 2 ) ; ( D ) : x = 4 B ài 17. Cho S:   4 2 a. Tính S b . T ính Vx khi S quay quanh Ox y Gi i (P2 ) 6 (D) 2 2 y = 0 y y 2 a. + 3y ⇔ y − 4y ⇒  =− y = 4 4 4 2 2 y = 4 ⇒ y = −4 < 0 ( P1 ) ∩ ( D ) : 2 4 2 O y = 2 −y + 3y = 4 ⇒  ( P2 ) ∩ ( D ) : x 4 y = 4 > 2 2 S Nhìn vào th suy ra: (P1 )  y2    0 2 y2 -4 ∫ ∫ S = 4 −  dy +  4 + − 3y  dy  4   2 −4 0 0 2  y  3y  3 3 2  16    y 4  =  16 −  +  8 + − 6  = 14 ( ®vdt ) =  4y −  +  4y + −  12  −4  2 0  3   6 3 2 35
  20. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 y b . ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ⇔ y = −2 x 4 4 4 24 2 ∫ ( −2 x ) dx = 4π x dx = 2πx ∫ ⇒ Vx = π = 32π ( ®vtt ) 0 0 0 y  2 3 x 9 B ài 18. Cho S: ( C ) : y = ; ( P) : y = x  .   3 Tính Vx khi S quay quanh Ox. Gi i (P) 3 (C) ∩ ( P ) : x = x 2 ⇔ x = 0 x = 3  3 O x 3  2 2  3   4 x6  2 3 3 (C) Vx = π ( x ) −  x   dx = π  x − ∫ ∫  dx 3   9 0 0 3  x5 x7  486 π ( ®vtt ) = π = −  5 63  0 35 { } 3 B ài 19. Cho S: ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) ; ( P ) : y 2 = 4x . Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy y Gi i (P) 22 A ( C ) ∩ ( P ) : ( 4 − x )3 = 4x (C) ⇔ x 3 − 12x 2 + 52x − 64 = 0 S N ⇔ ( x − 2 ) ( x − 5 ) + 7  = 0 2   x 2 4 O ⇔ x = 2 ⇒ y = ±2 2 ( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4 B -2 2 ( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 3 3 OA : y = 4x ; AN : y = ( 4 − x ) ; OB : y = − 4x ; BN : y = − ( 4 − x ) Do (C), (P) nh n Ox làm tr c i x ng nên: 2 4 4 2 dx + π∫ ( ) π 2 22 ∫( 4x ) ( 4 − x )3 4 = 12π ( ®vtt ) − (4 − x) Vx = π dx = 2πx 4 0 2 0 2  y4   y4  22 22 2 ∫( ) 1024 2 ∫ π ( ®vtt ) 32 43 23 Vy = 2π  4− y −  dy = 2π 16 + y − 8y −  dy =  16   16  35 0 0 2 36

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản