VI TÍCH PHAÂN A2
CHÖÔNG 1: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ
A. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn ñi tìm cöïc trò cuûa haøm soá
Cho haøm soá f(x,y) xaùc ñònh treân mieàn D:
B1: Giaûi heä
0
0
'
'
y
x
f
f ñeå ñi tìm ñieåm döøng cuûa haøm soá
B2: Xeùt daáu cuûa bieåu thöùc
=B2-AC taïi töøng ñieåm döøng trong
ñoù: A = ''
xx
f; B = ''
xy
f; C = ''
yy
f
- Neáu
<0, A >0 haøm soá ñaït cöïc tieåu
- Neáu
<0, A <0 haøm soá ñaït cöïc ñaïi
- Neáu
>0 haøm soá khoâng coù cöïc trò
- Neáu
=0 chöa khaúng ñònh lieàn ñöôïc
B. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn ñi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá
Cho haøm soá f(x,y) xaùc ñònh treân mieàn D:
B1: Giaûi heä
0
0
'
'
y
x
f
f ñeå ñi tìm ñieåm döøng cuûa haøm soá naèm
trong mieàn D
B2: Tìm caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá treân bieân D
B3: Tính giaù trò taïi caùc ñieåm döøng vöøa tìm ñöôïc ôû B1, B2. So
saùnh vaø keát luaän
C. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn tìm cöïc trò coù ñieàu kieän
Cho haøm soá f(x,y) trong ñoù x,y bò raøng buoäc bôûi g(x,y)=0
B1: Ñaët F(x,y,
)=f(x,y) +
g(x,y)
Giaûi heä
0),(
0
0
'
'
yxg
F
F
y
x
ñeå tìm caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá
B2: ÖÙng vôùi töøng ñieåm döøng M. Xeùt daáu cuûa cuûa bieåu thöùc:
dF(M,
)= 2'' ),( dxMFxx
+dxdyMFxy ),(
''
+2'' ),( dyMFyy
- Neáu dF(M,
)<0 haøm soá ñaït cöïc ñaïi
- Neáu dF(M,
)>0 haøm soá ñaït cöïc tieåu
- Neáu dF(M,
)=0 chöa theå khaúng ñònh
D. Baøi taäp maãu
Baøi 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau:
f(x,y) = x4 +y4- 2(x-y) 2
Giaûi:
Giaûi heä
0
0
'
'
y
x
f
f
0)(44
0)(44
3
3
yxy
yxx
2
2
0
y
y
y
yx
2;2
2;2
0
yx
yx
yx
Haøm soá coù 3 ñieåm döøng 0(0,0); M1(2,2 ); M2(2,2)
Tính A = ''
xx
f=12x2 – 4; B = ''
xy
f=4; C = ''
yy
f=12y2 – 4
b. Taïi ñieåm 0(0,0) ta coù
=B2-AC =0 ta chöa theå khaúng
ñònh ngay ñöôïc
Xeùt f(0,k)-f(0,0) =k4 – 2k2 = k2(k2-2) thay ñoåi daáu khi k thay ñoåi
neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi 0(0,0)
- Taïi ñieåm M1(2,2 ); M2(2,2) ñeàu coù
=-
384<0 vaø A=20>0 neân haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M1, M1
fCT=f(M1)=f(M2)=-8
Baøi 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá sau:
f(x,y) = )( 22 yx
e (2x2+3y2)
trong mieàn D={(x,y): x2+y2
1}
Giaûi:
Giaûi heä
0
0
'
'
y
x
f
f
0)323(
0)322(
22)(
22)(
22
22
yxye
yxxe
yx
yx
0)323(
0)322(
22
22
yxy
yxx
0;1
1;0
0
yx
yx
yx
Haøm soá coù 1 ñieåm döøng naèm trong mieàn D
laø 0(0,0)
f(0)=0
- Tính caùc giaù trò cuûa haøm soá treân bieân
D
Ta coù x2+y2=1
y2= x2 – 1 vôùi x
[-1,1]
thay vaøo haøm soá ta coù
f(x,y)=g(x)=
e
x2
3 vôùi x
[-1,1]
nhaän thaáy
e
2
g(x)
e
3 vôùi x
[-1,1]
g(x)=
e
2
x=0
y=
1; g(x)=
e
3
x=
1
y=0
So saùnh taát caû caùc giaù trò ta coù:
GTLN Maxf =
e
2 taïi (0,1); (0,-1)
GTNN Minf =
e
3 taïi (1,0); (-1,0)
Baøi 3: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x,y) =x+y
vôùi ñieàu kieän 1
11 yx
3
Giaûi:
Ñaët F(x,y,
) = x+y +
(1
11 yx )
Giaûi heä
01
11
0
0
'
'
yx
F
F
y
x
01
11
01
01
2
2
yx
y
x
)3(01
11
)2(
)1(
2
2
yx
y
x
Töø (1) vaø (2)
x2 = y2
y=
x
- Vôùi y =x thay vaøo phöông trình (3) ta coù x=2 öùng vôùi
=4
- Vôùi y =-x thay vaøo phöông trình (3) ta coù -1=0 voâ lyù
Vaäy haøm soá chæ coù duy nhaát moät ñieåm döøng laø M(2,2) öøng vôùi
=4
Xeùt dF(M,
)
= 2'' ),( dxMFxx
+dxdyMFxy ),(
''
+2'' ),( dyMFyy
(*)
Trong ñoù ),(
''
MFxx =3
2
x
=
8
4.2 =1; ),(
''
MFxy =0;
),(
''
MFyy =3
2
y
=
8
4.2 =1
Vaø dy=dx
Thay taát caû vaøo (*) ta coù dF(M,
)=2dx2 > 0
Vaäy haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M(2,2); fCT = 4
Baøi 4: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y)
vôùi D ={(x,y): 0
x
2
3
;0
y
2
3
}
Giaûi:
- Tìm caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá trong mieàn D
Giaûi heä
0
0
'
'
y
x
f
f
)2(0)sin(cos
)1(0)sin(cos
yxy
yxx
Laáy (1) tröø (2)
cosx=cosy
2
2
kyx
kyx ; vôùi k
Z
- Vôùi x=-y+k2
x+y = k2
thay vaøo heä ta coù:
0)2sin(cos
0)2sin(cos
ky
kx
0cos
0cos
y
x
ky
kx
2
2
2
3
;
2
2
3
;
2
y
x
Do x,y
D
-
Vôùi x= y+k2
thay vaøo pt (2) ta coù:
cosy – sin(y+k2
+y)=0
cosy=sin(2y+ k2
)=sin2y
cosy=cos(
2
- 2y)
2
2
2
22
2
hyy
hyy
hy
h
y
2
3
2
6
2
3
;
6
5
;
2
;
6
y do y
D
2
2
3
;
2
3
2
6
5
;
6
5
2
2
;
2
2
6
;
6
kxy
kxy
kxy
kxy
2
3
;
2
3
6
5
;
6
5
2
;
2
6
;
6
xy
xy
xy
xy
Vaäy haøm soá coù 6 ñieåm döøng:
M1(
6
,
6
); M2(
2
,
2
); M3(
6
5
,
6
5
); M4(
2
3
,
2
3
);
M5(
2
,
2
3
); M6(
2
3
,
2
)
Tính A = ''
xx
f=-sinx – cos(x+y); B = ''
xy
f= -cos(x+y);
C = ''
yy
f=-siny – cos(x+y)
- Taïi ñieåm M1, M3 thì: A =-1; B =-
2
1; C =-1
=-
4
3<0 . Maø A =-1<0 neân haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi M1, M3
fCÑ = f(M1)=f(M3)=
2
3
- Taïi ñieåm M2, M4 thì A =0; B =1; C=0
=1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M2, M4
b. Taïi ñieåm M5 thì A = -2; B = -1; C = 0
=1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M5
- Taïi ñieåm M6 thì A = 0; B = -1; C = -2
=1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M6
Vaäy haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi M1(
6
,
6
); M3(
6
5
,
6
5
)
vaø fCÑ =
2
3
4
CHÖÔNG 2: TÍCH PHAÂN BOÄI
A. Caùc daïng baøi toaùn tích phaân keùp
D
dxdyyxf ),(
1. Neáu D={(x,y): a
x
b; c
y
d} thì:
D
dxdyyxf ),( =
d
c
b
a
dyyxfdx ),(
2. Neáu D={(x,y): a
x
b; y1(x)
y
y2(x)}
thì:
D
dxdyyxf ),( =
)(
)(
2
1
),(
xy
xy
b
a
dyyxfdx
3. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå ñöa mieàn D giôùi haïn bôûi x,y
D’ giôùi haïn bôûi u, v
Vôùi x=x(u,v); y=y(u,v) vaø J = ''
''
vu
vu
yy
xx hoaëc
''
''
1
yx
yx
vv
uu
khi ñoù
D
dxdyyxf ),( =
'
||)),(),,((
D
dudvJvuyvuxf
4. Duøng phöông phaùp chuyeån veà toïa ñoä cöïc ñöa mieàn D giôùi haïn
bôûi x,y
D’ giôùi haïn bôûi r,
Vôùi x=rcos
; y=rsin
vaø J=r
0
D
dxdyyxf ),( =
'
||)sin,cos(
D
drdJrrf
B. ÖÙng duïng trong tích phaân keùp
1. Tính dieän tích hình phaúng:
D
dxdyS
2. Tính dieän tích maët cong:
D
yx dxdyzzS 2'2' )()(1
3. Tính theå tích cuûa vaät theå:
D
dxdyyxzV ),(
C. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn tích phaân 3 lôùp
V
dxdydzzyxf ),,(
1. Neáu V laø theå truï môû roâng giôùi haïn bôûi
2 maët cong 1
, 2
xung quanh maët
truï coù ñöôøng sinh song song vôùi truïc 0z
thì:
V
dxdydzzyxf ),,( =
D
yx
yx
dxdydzzyxf )),,((
),(
),(
2
1
2. Neáu V laø hình hoäp giôùi haïn bôûi caùc
maët: x=a; x=b; y=c; y=d; z=e; z=f thì
V
dxdydzzyxf ),,( =
f
e
d
c
b
a
dzzyxfdydx ),,(
3. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá sang heä toïa ñoä truï ñöa mieàn V
giôùi haïn bôûi x,y,z
V’ giôùi haïn bôûi r,
, z
Vôùi x=rcos
; y=rsin
; z=z vaø J=r
0
V
dxdydzzyxf ),,( =
'
||),sin,cos(
V
dzdrdJzrrf
4. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá sang heä toïa ñoä caàu ñöa mieàn V
giôùi haïn bôûi x,y,z
V’ giôùi haïn bôûi r,
,
Vôùi x=rcos
sin
; y=rsin
sin
; z=rcos
vaø |J|=r2sin
V
dxdydzzyxf ),,(
=
'
||)cos,sinsin,sincos(
V
ddrdJrrrf
D. Moät soá maët caàn löu yù
1. Trong maët phaúng
2. Trong khoâng gian
E. Baøi taäp maãu
Baøi 1: Tính tích phaân sau:
5
D
yx
yx
dxdyeI , D={(x,y): x
0; y
0; x+y
1}
Giaûi:
Ñaët 2
1
||
2
2
J
vu
y
vu
x
yxv
yxu
D
D’={(u,v): u+v
0; -u+v
0; v
1}
D
yx
yx
dxdyeI =
'D
v
u
dudve
=
v
v
v
u
duedv
1
0
=)(
4
11
ee
Baøi 2: Tính tích phaân sau:
D
dxdyyxI 22
4
vôùi D laø nöûa hình troøn 1)1( 22 yx
Giaûi:
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët rJ
ry
rx
||
sin
cos
D
D’ giôùi haïn bôûi 0
r
2cos
; 0
2
D
dxdyyxI 22
4=
'
2
4
D
drdr
=
cos2
0
2
2
0
4rdrrd =)
3
2
2
(
3
8
Baøi 3: Tính tích phaân sau:
D
dxdyxyI 2 vôùi D laø mieàn giôùi haïn bôûi caùc
ñöôøng troøn 1)1( 22 yx vaø
04
22 yyx
Giaûi:
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët
rJ
ry
rx
||
sin
cos
D
D’ giôùi haïn bôûi 2sin
r
4sin
; 0
D
dxdyxyI 2=
'
2
)sin(cos
D
rdrdrr
=
sin4
sin2
4
0
2cossin drrd =0
Baøi 4: Tính tích phaân sau:
D
yxyx dxdyeI )( 22 với D={(x,y): 1
22 yxyx }
Giải:
Ta coù: 1
22 yxyx
1)
2
3
()
2
(22 yy
x
Ñaët:
2
3
2
y
v
y
xu
3
2
3
v
y
v
ux
3
2
|| J
D
D’={(u,v): 1
22 vu }
D
yxyx dxdyeI )( 22 =
'
)( 22
3
2
D
vu dudve
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët rJ
rv
ru
||
sin
cos
D’
D’’: 0
r
1; 0
2
'
)( 22
3
2
D
vu dudveI =
1
0
2
0
2
3
2rdred r
=)
1
1(
3
2
e
Baøi 5: Tính dieän tích phaàn maët 22 yxz naèm trong
hình truï xyx 2
22
Giaûi:
22
'
yx
x
zx
;
22
'
yx
y
zy
2)()(1 2'2' yx zz
Hình chieáu cuûa D xuoáng mp 0xy laø
D’: xyx 2
22
'
2'2' )()(1
D
yx dxdyzzS
=
'
2
D
dxdy =
2)'(2 DS (ñvdt)
Baøi 6: Tính dieän tích phaàn maët phaúng
z=2x naèm phía trong parabolid
22 yxz
Giaûi:
2
'
x
z; 0
'
y
z; 5)()(1 2'2' yx zz
Hình chieáu cuûa D xuoáng mp 0xy laø D’: 1)1( 22 yx
'
2'2' )()(1
D
yx dxdyzzS
6
=
'
5
D
dxdy =
5)'(5 DS (ñvdt)
Baøi 7: Tính tích phaân sau:
V
dxdydzyxzI 22 vôùi V laø
mieàn giôùi haïn bôûi xyx 2
22 ;
0
y; z=0; z=a
Giaûi:
Hình chieáu cuûa V xuoáng mp 0xy laø D:
xyx 2
22 ; 0
y
Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët
rJ
zz
ry
rx
||sin
cos
V
V’: 0
r
2cos
; 0
2
, 0
z
a
V
dxdydzyxzI 22 =
'
2
V
dzdrdzr
= a
zdzdrrd
0
cos2
0
2
2
0
=
9
82
a
Baøi 8: Tính tích phaân sau:
V
dxdydzxzyI )cos( trong ñoù V laø mieàn giôùi haïn bôûi
y=0; y= x; z=0; x+z=
2
Giaûi:
V
dxdydzxzyI )cos(
=
x
o
x
o
dzxzydydx
22
0
)cos(
=x
xxz
y
dx
2
00
2
2
0
|)sin(.|
2
.
=
2
02
)sin1(
dx
x
x=)
8
(
2
12
J
vôùi
2
0
sin
xdxxJ =1
)1
8
(
2
12
I
Baøi 9: Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi zzyx 2
222 ;
222 zyx
Giaûi:
Ta coù heä:
222
222 2
zyx
zzyx
1;0022 2 zzzz
Hình chieáu cuûa V xuoáng mp 0xy laø mieàn
D: 1
22 yx
Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët
rJ
zz
ry
rx
||sin
cos
V
V’: 0
2
; 0
r
1; r
z
1+ 2
1r
V
dxdydzV =
'V
drdzrd
=
2
111
0
2
0
r
r
dzrdrd
=
1
0
2
2
0
)11( drrrrd
= 2
.
2
1=
(ñvtt)
Caùch khaùc: chuyeån sang heä toïa ñoä caàu
Ñaët x=rcos
sin
; y=rsin
sin
; z=rcos
vaø |J|=r2sin
V
V’: 0
4
; 0
2
; 0
r
2cos
V
dxdydzV =
'
2sin
V
drddr
=
cos2
0
2
2
0
4
0
sin drrdd =
4
0
3sincos
3
16
d
= 4
0
4|cos
4
1
.
3
16
=
Baøi 10: Tính theå tích cuûa vaät theå
naêm trong maët caàu 6
222 zyx
vaø naèm treân parabol 22 yxz
Giaûi:
Ta coù heä
22
222 6
yxz
zyx
2;36
2 zzzz
Hình chieáu cuûa V leân mp 0xy laø mieàn D: 2
22 yx
Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët x=rcos
; y=rsin
; z=z
|J|=r
V
V’: 0
2
; 0
r
2; 2
r
z
2
6r

2
2
62
0
2
0
r
r
V
dzrdrddxdydzV
= )1166(
3
2
(ñvtt)
7