Vi tích phân A2

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

258
lượt xem 71
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

) Tìm miền xác định của các hàm số: a) z = x2 + y2. b) z = 1 − x 2 − y 2 c) z = x 2 + y 2 − 1 + ln( 4 − x 2 − y 2 ) 2) Cho hàm số: f ( x, y ) = xy + y y . Tìm f(y,x); f(- x, - y); f (1, ) x

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vi tích phân A2

x   y  x  y  0 VI TÍCH PHAÂN A2  y  0     x  2; y   2  y   2 x   2; y  2 CHÖÔNG 1: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ  y  2   A. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn ñi tìm cöïc trò cuûa haøm soá Haøm soá coù 3 ñieåm döøng 0(0,0); M1( 2 , 2 ); M2(  2, 2 ) Cho haøm soá f(x,y) xaùc ñònh treân mieàn D: '' 2 Tính A = f =12x – 4; B = f =4; C = f '' '' 2 =12y – 4 xx xy yy  f x'  0 b. Taïi ñieåm 0(0,0) ta coù  =B2-AC =0 ta chöa theå khaúng B1: Giaûi heä  ' ñeå ñi tìm ñieåm döøng cuûa haøm soá  f y  0 ñònh ngay ñöôïc Xeùt f(0,k)-f(0,0) =k4 – 2k2 = k2(k2-2) thay ñoåi daáu khi k thay ñoåi B2: Xeùt daáu cuûa bieå u thöùc  =B2-AC taïi töøng ñieåm döøng trong '' '' '' neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi 0(0,0) ñoù: A = f xx ; B = f xy ; C = f yy - Taïi ñieåm M1( 2 , 2 ); M2(  2 , 2 ) ñeàu coù  =- - Neáu  0 haøm soá ñaït cöïc tieåu 3840 neân haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M1, M1 - Neáu 
Giaûi: - Vôùi x= y+k2  thay vaøo pt (2) ta coù: 1 1 cosy – sin(y+k2  +y)=0  cosy=sin(2y+ k2  )=sin2y Ñaët F(x,y,  ) = x+y +  (   1 ) x y    y   2 y  h 2 Giaûi heä  2  cosy=cos( - 2y)     2  y  2 y    h 2  1  2  0  F  0'  x   x 2 (1)  2  x      h 2 '  Fy  0  1  2  0    y 2 (2) y  6  3   5 3   y 1 1  y ; ; ; do y  D 1 1   1  0 1 1    1  0(3)  y    h 6 2 6 2  x y   1  0  x y  2 x y Töø (1) vaø (2)  x2 = y2  y=  x       - Vôùi y =x thay vaøo phöông trình (3) ta coù x=2 öùng vôùi  =4  y  6 ; x  6  k 2 y  6 ; x  6   - Vôùi y =-x thay vaøo phöông trình (3) ta coù -1=0 voâ lyù  y   ; x    k 2 y   ; x   Vaäy haøm soá chæ coù duy nhaát moät ñieåm döøng laø M(2,2) öøng vôùi  2 2  2 2  =4   Xeùt dF(M,  )  y  5 ; x  5  k 2  y  5 ; x  5 '' 2 '' '' 2  6 6  6 6 = Fxx ( M ,  ) dx + Fxy ( M ,  ) dxdy + F yy ( M ,  )dy (*)   3 3 3 3 '' 2 2.4 '' y  ;x   k 2 y  ;x  Trong ñoù Fxx ( M ,  ) = 3 = =1; Fxy ( M ,  ) =0;  2 2  2 2 x 8 2  2 .4 Vaäy haøm soá coù 6 ñieåm döøng: F yy'' ( M ,  ) = 3 = =1 y 8     5 5 3 3 M1( , ); M2( , ); M3( , ); M4( , ); Vaø dy=dx 6 6 2 2 6 6 2 2 Thay taát caû vaø o (*) ta coù dF(M,  )=2dx2 > 0  3 3  M5( , ); M6( , ) Vaäy haøm soá ñaït cöï c tieåu taïi M(2,2); fCT = 4 2 2 2 2 '' '' Tính A = f xx =-sinx – cos(x+y); B = f xy = -cos(x+y); Baøi 4: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y) '' 3 3 C = f yy =-siny – cos(x+y) vôùi D ={(x,y): 0  x  ;0  y  } 2 2 1 - Taïi ñieåm M1, M3 thì: A =-1; B =- ; C =-1 Giaûi: 2 - Tìm caù c ñieåm döøng cuûa haøm soá trong mieàn D 3   =- 0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M5   x   k - Taïi ñieåm M6 thì A = 0; B = -1; C = -2 cos x  sin(k 2 )  0 cos x  0   2      =1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M6 cos y  sin( k 2 )  0 cos y  0   y   k Vaäy haøm soá ñaït cöï c ñaïi taïi M1(  ,  ); M3( 5 , 5 )  2 6 6 6 6 vaø fCÑ = 3   3 2 x ;  2 2 Do x,y  D   y  ; 3   2 2 4
 2 ( x, y ) CHÖÔNG 2: TÍCH PHAÂN BOÄI  f ( x, y, z )dxdydz =  (  f ( x, y, z )dz)dxdy D V 1 ( x, y ) 2. Neáu V laø hình hoäp giôùi haïn bôûi caùc A. Caùc daïng baøi toaùn tích phaân keùp maët: x=a; x=b; y=c; y=d; z=e; z=f thì  f ( x, y )dxdy D  f ( x, y, z )dxdydz = V 1. Neáu D={(x,y): a  x  b; c  y  d} thì: b d f b d  f ( x, y )dxdy =  dx  f ( x, y)dy  dx dy  f ( x, y, z )dz a c e D a c 3. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá sang heä toïa ñoä truï ñöa mieàn V giôùi haïn bôûi x,y,z  V’ giôùi haïn bôûi r,  , z 2. Neáu D={(x,y): a  x  b; y1(x)  y  y2(x)} thì: Vôùi x=rcos  ; y=rsin  ; z=z vaø J=r  0 b y2 ( x )  f ( x, y )dxdy =  dx  f ( x, y )dy  f ( x, y, z )dxdydz =  f (r cos  , r sin  , z ) | J | drddz V V' D a y1 ( x ) 4. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá sang heä toïa ñoä caàu ñöa mieàn V giôùi haïn bôûi x,y,z  V’ giôùi haïn bôûi r,  ,  3. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå ñöa mieàn D giôùi haïn bôûi x,y Vôùi x=rcos  sin  ; y=rsin  sin  ; z=rcos  vaø |J|=r2sin   D’ giôùi haïn bôûi u, v xu' xv' 1  f ( x, y, z)dxdydz Vôùi x=x(u,v); y=y(u,v) vaø J = hoaëc khi ñoù V yu' yv' u x' u 'y = f ( r cos  sin  , r sin  sin  , r cos  ) | J | drd  d   v x' v 'y V'  f ( x, y )dxdy =  f ( x(u, v), y(u, v)) | J | dudv D. Moät soá maët caàn löu yù D D' 1. Trong maët phaúng 4. Duøng phöông phaùp chuyeån veà toïa ñoä cöïc ñöa mieàn D giôùi haïn bôûi x,y  D’ giôùi haïn bôûi r,  Vôùi x=rcos  ; y=rsin  vaø J=r  0  f ( x, y )dxdy =  f (r cos  , r sin  ) | J | ddr D D' B. ÖÙng duïng trong tích phaân keùp 1. Tính dieän tích hình phaúng: S   dxdy D 2. Tính dieän tích maët cong: S    1  ( z x' ) 2  ( z 'y ) 2 dxdy D 3. Tính theå tích cuûa vaät theå: V   z( x, y)dxdy D 2. Trong khoâng gian C. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn tích phaân 3 lôùp  f ( x, y, z )dxdydz V 1. Neáu V laø theå truï môû roâng giôùi haïn bôûi 2 maët cong 1 ,  2 xung quanh maët truï coù ñöôøng sinh song song vôùi truïc 0z thì: E. Baøi taäp maãu Baøi 1 : Tính tích phaân sau: 5
x y Baøi 4  : Tính tích phaân sau: x y I   e dxdy , D={(x,y): x  0; y  0; x+y  1} 2  xy  y 2 ) D I   e  ( x dxdy với D={(x,y): x 2  xy  y 2  1 } Giaûi: D Giải:  uv  x y 2 y 3 2 u  x  y  2 1 2 Ta coù: x  xy  y  1  ( x  2 ) ( ) 1 Ñaët   | J | 2 2 v  x  y y   u  v 2  2  y  v u  x   xu  2  3 2 D  D’={(u,v): u+v  0; -u+v  0; v  1} Ñaët:   | J |  y  2v x y x y u v  y 3 3 v I   e dxdy =  e dudv  2  3 D D' 1 v u 1 D  D’={(u,v): u  v  1 } 2 2 = dv e du =   v (e  e 1 ) 0 v 4 2  xy  y 2 ) 2 ( u 2  v 2 ) I   e  ( x dxdy =  e dudv D 3 D' Baøi 2: Tính tích phaân sau: u  r cos  I   4  x  y dxdy 2 2 Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët  | J | r v  r sin  D 2 2 D’  D’’: 0  r  1; 0    2  vôùi D laø nöûa hình troøn ( x  1)  y  1 Giaûi: 2 1 2 (u 2  v2 ) 2 r 2 2 1  x  r cos  I  e dudv =  d  e rdr = (1  ) Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët  | J | r 3 D' 3 0 0 3 e  y  r sin   D  D’ giôùi haïn bôûi 0  r  2cos  ; 0    Baøi 5 : Tính dieän tích phaàn maët z  x 2  y 2 naèm trong 2 2 2 hình truï x  y  2 x I   4  x 2  y 2 dxdy =  4  r 2 drd D D' Giaûi:  x ; z 'y  y 2 2 cos  z x'  8  2 x y 2 2 x  y2 2 = d   4  r 2 rdr = (  ) 3 2 3 0 0  1  ( z x' ) 2  ( z 'y ) 2  2 Hình chieáu cuûa D xuoáng mp 0xy laø Baøi 3 : Tính tích phaân sau: 2 2 D’: x  y  2 x 2 I   xy dxdy vôùi D laø mieàn giôùi haïn bôûi caùc D S    1  ( z x' ) 2  ( z 'y ) 2 dxdy 2 2 D' ñöôøng troøn x  ( y  1)  1 vaø =  2dxdy = 2 S ( D' )  2 (ñvdt) x2  y2  4y  0 D' Giaûi: Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët Baøi 6 : Tính dieän tích phaàn maët phaúng  x  r cos  z=2x naèm phía trong parabolid  | J | r  y  r sin  z  x2  y2 D  D’ giôùi haïn bôûi 2sin   r  4sin  ; 0     Giaûi: 2 I   xy dxdy =  r cos  (r sin  ) rdrd 2 z x'  2 ; z 'y  0 ; 1  ( z x' ) 2  ( z 'y ) 2  5 D D' 2 2 Hình chieáu cuûa D xuoáng mp 0xy laø D’: ( x  1)  y  1  4 sin  2 4 = sin   cos d  r dr =0 S   1  ( z x' ) 2  ( z 'y ) 2 dxdy 0 2 sin D' 6
=  5dxdy = 5S ( D' )  5 (ñvdt)  x 2  y 2  z 2  2 z D' Ta coù heä:   x 2  y 2  z 2 Baøi 7: Tính tích phaân sau:  2 z 2  2 z  0  z  0; z  1 I   z x 2  y 2 dxdydz vôùi V laø V Hình chieáu cuûa V xuoáng mp 0xy laø mieàn 2 2 mieàn giôùi haïn bôûi x  y  2 x ; 2 2 D: x  y  1 Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët y  0 ; z=0; z=a Giaûi:  x  r cos   Hình chieáu cuûa V xuoáng mp 0xy laø D:  y  r sin  | J | r x2  y 2  2 x ; y  0 z  z  Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët 2 V  V’: 0    2  ; 0  r  1; r  z  1+ 1  r  x  r cos   2 1 1 1 r 2  y  r sin  | J | r V   dxdydz =  rddrdz =  d  rdr z  z V V' 0 0  dz r   2 1 1 = d r (1  1  r 2  r )dr = 2  . =  (ñvtt) V  V’: 0  r  2cos  ; 0    2 , 0za   0 0 2 2 2 2 I   z x  y dxdydz =  zr drddz V V' Caùch khaùc: chuyeån sang heä toïa ñoä caàu  Ñaët x=rcos  sin  ; y=rsin  sin  ; z=rcos  vaø |J|=r2sin  2 cos  a 2 2 8a 2  =  d  r dr  zdz = V  V’: 0    ; 0    2  ; 0  r  2cos  0 0 0 9 4 V   dxdydz =  r 2 sin dddr Baøi 8: Tính tích phaân sau: V V'   I   y cos( z  x) dxdydz trong ñoù V laø mieàn giôùi haïn bôûi 4 2 2 cos  4 2 16 V = sin d   d  r dr =   cos 3  sin d  0 0 0 3 0 y=0; y= x ; z=0; x+z=  2 16 1 Giaûi: =   . cos 4  |04 =  3 4 I   y cos( z  x) dxdydz V Baøi 10: Tính theå tích cuûa vaät theå   2 2 2 x 2 x 2 naêm trong maët caàu x  y  z  6 =  dx  ydy  cos( z  x)dz 0 o o vaø naèm treân parabol z  x  y 2 2  Giaûi:  x 2  y 2  z 2  6 y2 x Ta coù heä  2 x =  dx. | 0 . sin( z  x) | 2  2 0  z  x 2  y 2 0    z 2  z  6  z  3; z  2 2 2 2 x 1  Hình chieáu cuûa V leân mp 0xy laø mieàn D: x  y  2 2 2 = (1  sin x )  dx = (  J ) vôùi J   x sin xdx =1 0 2 2 8 0 Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët x=rcos  ; y=rsin  ; z=z  |J|=r 2 1  V  V’: 0    2  ; 0  r  2 ; r2 z  6  r2 I (  1) 2 8 2 2 6 r 2 2 V   dxdydz   d  rdr  dz = 3 (6 6  11) (ñvtt) Baøi 9: Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi x  y  z  2 z ; 2 2 2 V 0 0 r2 x2  y2  z2 Giaûi: 7
C. Tích phaân maët loaïi 1 CHÖÔNG 3: TÍCH PHAÂN ÑÖÔØNG & TÍCH PHAÂN MAËT  f ( x, y, z )dS S A. Tích phaân ñöôøng loaïi 1 - Neáu maët cong S coù phöông trình z=z(x,y)  f ( x, y)ds L  f ( x, y, z )dS =  f ( x, y, z ( x, y )) 1  ( z x' ) 2  ( z 'y ) 2 S D - Neáu L : x=x(t); y=y(t);  t  D laø hình chieáu cuû a S xuoáng maët phaúng 0xy   f ( x, y)ds =  f ( x(t ), y (t )) ( x' (t )) 2  ( y' (t )) 2 dt D. Tích phaân maët loaïi 2: sinh vieân töï soaïn theâm nheù, chöa coù L thôøi gian ñeà caäp - Neáu L : y=y(x); a  x  b b E. Moät soá baøi taäp maãu  f ( x, y) ds =  f ( x, y( x)) 1  ( y' ( x)) 2 dx L a Baøi 1 : Tính tích phaân ñöôøng: B. Tích phaân ñöôøng loaïi 2 x2 I   xyds trong ñoù L laø elip  y 2  1 naèm trong goùc 4  P( x, y )dx  Q( x, y )dy L L phaàn tö thöù nhaát - Neáu L : x=x(t); y=y(t);  t  Giaûi:  x  2 cos t  x'  2 sin t   P( x, y )dx  Q( x, y )dy Ñaët   ; t  [0, ] L  y  sin t  y '  cos t 2 = [ P( x (t ), y (t )) x ' (t )  Q( x (t ), y (t )) y ' (t )]dt  I   xyds L L - Neáu L : y=y(x); a  x  b  2  P( x, y )dx  Q( x, y )dy L = 2 cos t sin t 4 sin 2 t  cos 2 t dt  0 = [ P( x, y ( x ))  Q ( x , y ( x )) y ' ( x )]dx   L 2 - Coâng thöùc Green ñoái vôùi ñöôøng cong kín = 2 sin t cos t 3 sin 2 t  1.dt  Q P 0 L P( x, y )dx  Q( x, y )dy  D ( x  y )dxdy  2 1 1 - Tích phaân khoâng phuï thuoäc vaøo ñöôøng noái 2 ñieåm maø chæ phuï =  (3 sin 2 t  1) 2 d (3 sin 2 t  1) 30 thuoäc vaøo 2 ñieåm ñoù 3  Q P 2 2 14 Neáu  khi ñoù: = (3 sin t  1) 2 | 02 = x y 9 9  P( x, y )dx  Q( x, y )dy Baøi 2 : Tính 2 L ( xb ; yb ) ( xb ; yb ) x L ds doïc theo ñöôøng cong laø giao cuûa 2 maët =  P ( x, y )dx  Q( x, y )dy =  d ( ( x, y)) ( xa ; ya ) ( x a ; ya ) phaúng x-y+z =0 vaø x+y+2z =0 töø goác 0 ñeán ñieåm (3,1,-2) Giaûi: d: x-3y =0 laø giao tuyeán cuûa 2mp khi ñoù x y 1 Trong ñoù:  ( x, y )   P ( x, y 0 ) dx   Q ( x, y) dy L : y= x; 0  x  3 3 x0 y0 3 2 Hoaë c x y  ( x, y )   P( x, y )dx   Q( x0 , y )dy  x ds =  x 2 1  ( y' ( x)) 2 dx L 0 x0 y0 3 10 3 3 D. ÖÙng duïng cuûa tích phaân ñöôøng loaïi 2 = 10 x 2 dx = x | 0 = 3 10  3 9 1 0 Tính dieän tích: S ( D )  xdy  ydx 2 L 8
Baøi 3: Tính  ( x  y)ds Baøi 5 : Tính  (2a  y)dx  (a  y)dy L L vôùi L laø nöûa ñöôøng troøn y  ax  x 2  x  a (t  sin t ) Vôùi L :  töø ñieåm O(0,0) ñeán A(2  a,0) Giaûi  y  a (1  cos t ) a Giaûi: x Ta coù: y  ax  x  ( 2 2 )2  ( y )2  1 Ta tính x’ = a(1-cost); y’ =asint a a Nhaän thaáy f(t)=t –sint ñoàng bieán neân Vôùi 0  x  2  a  0  t-sint  2   f(0)  f(t)  f(2  ) 2 2 a a  0  t  2    x  2 (1  cos t )  x'   2 sin t  (2a  y)dx  (a  y)dy Ñaët    ; vôùi 0  t   L  y  a sin t  y '  a cos t 2   2 2 2 =a  [(1  cos t )(1  cos t )  cos t sin t ]dt 0  ( x  y)ds L a 2 2  a a 2 2 = 2  (1  cos 2t  sin 2t )dt 0 =  [ (1  cos t )  sin t ] ( x ' (t )  y ' (t ) dt 0 2 2 a 2 1 1 a2 1 1  = (t  sin 2t  cos 2t ) |02 = ( 2   ) = a 2 a2 a2 2 2 2 2 2 2 = (1  cos t  sin t ) dt = (t  sin t  cos t ) |0 4 0 Baøi 6 : Tính  2 xydx  x dy vôùi L laø bieân mieàn D giôùi haïn 2 4 L a2 a2 2 bôûi y  x ; y  x laáy theo chieàu döông. Tính dieän tích mieàn D = (  1  1) = (  2) 4 4 Giaûi: - Aùp duïng coâng thöùc Green ñoái vôùi ñöôøn g cong kín Baøi 4: Tính Q P 2 2 2  2 xydx  x dy =  (  )dxdy  2( x  y )dx  x(4 y  3)dy trong ñoù L L D x y 1 x 1 L laø ñöôøng gaáp khuùc 0AB vôùi 0(0,0); 2 1 = dx ( 2 x  2 x )dy = 4 x ( x  x )dx =     A(1,1); B(2,0) 3 0 x2 0 Giaûi: b. Ta coù coân g thöùc: 1 1 Q P S ( D)   xdy  ydx =  (  )dxdy  Pdx  Qdy =  Pdx  Qdy +  Pdx  Qdy L OA AB 2L 2 D x y 1 x 1 Trong ñoù OA: y=x; OB: y=2-x 1 2 1 1 =  (1  ( 1))dxdy =  dx  dy =  ( x  x ) dx = (dvdt) 2 2 2 D 0 x2 0 6  Pdx  Qdy =  [2( x  x )  x(4 x  3)]dx OA 0 ( 3,1) ( x  2 y )dx  ydy Baøi 7 : Tính  1 2 8 3 3 2 1 8 3 25 (1,1) ( x  y) 2 = (8 x  3 x )dx = ( x   x ) |0 =  = 0 3 2 3 2 6 Giaûi: Nhaän thaáy Q P  2 y Choïn ñieåm (1,0) coá ñònh:   2 x y ( x  2 ) 3 2 2  Pdx  Qdy =  [2( x  (2  x) )  x(4(2  x)  3)]dx 1 x y y AB 1  ( x, y )   dx   dy 2 x ( x  y) 2 2 19 2 8 3 11 1 0 = (8 x  19 x  8) dx = ( x   x  8 x ) |12 =  ( 3,1) 2 3 6 x ( x  2 y )dx  ydy 1 = ln( x  y )  1   25 11 7 x y (1,1) (x  y)2   2( x 2  y 2 )dx  x( 4 y  3)dy =  = ( 3,1) 6 6 3 = 3,1) = ln 2  1 L  d ( ( x, y)) =  ( x, y) |(1,1) (1,1) 4 9
 Y  xex Qn (x) CHÖÔNG 4: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN  TH:  laø nghieäm boäi cuû a pt (3)  Y  x 2 e x Qn ( x ) A. Phöông trình vi phaân caáp 1 Tìm Y’ vaø Y’’. Sau ñoù thay ngöôïc vaøo pt(1), ñoàng nhaát heä soá ñeå 1. Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly M(x)dx+N(y)dy=0 tìm Qn (x) Caùch giaûi: tích phaân 2 veà - Xeùt tröôøng hôïp: dy f ( x )  e  x ( Pn ( x ) cos  x  Q ( x ) sin  x ) 2. Phöông trình thuaàn nhaát:  f ( x, y ) dx  TH:   i khoâng laø nghieäm phöùc cuûa pt (3) Haøm f(x,y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát neáu:  Y  ex (U l ( x) cos x  Vl ( x) sin x) f (x, y)  n f ( x, y )  TH:    i laø nghieäm phöùc cuûa pt (3) Caùch giaûi: y dy du  Y  xex (U l ( x) cos  x  Vl ( x) sin  x) Ñaët u   y=u.x  ux thay vaøo phöông trình Vôùi l  max{n, m} x dx dx du Tìm Y’ vaø Y’’. Sau ñoù thay ngöôïc vaøo pt(1), ñoàng nhaát heä soá ñeå ta coù: u  x  f (u ) tìm U l (x) , U l (x ) dx du Suy ra nghieäm cuûa phöông trình toång quaùt (1): y  y  Y  x  f (u )  u : Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly dx 3. Phöông trình tuyeán tính caáp moät: y’ +P(x)y=Q(x) C. Baøi taäp maãu B1: Giaûi pt thuaàn nhaát y’ +P(x)y =0 Baøi 1 : Giaûi phöông trình: xy ' y  1  0 2 (1) Phöông trình coù nghieäm toån g quaùt laø: y  Ce   P ( x ) dx y =0 cuõng laø nghieäm cuûa pttt thuaàn nhaát öùng vôùi C=0 Giaûi: B2: Giaûi phöông trình tuyeán tính caáp moät: y’ +P(x)y=Q(x) dy (1)  x  y 2  1  xdy  ( y 2  1) dx Ta coù nghieäm toång quaùt: dx 2 TH: x ( y  1)  0  x=0; y  1 laø nghieäm cuûa pt y  y (  Q( x )e  P ( x ) dx dx  C ) 2 2 TH: x ( y  1)  0 . Chia 2 veá cuûa pt(1) cho x ( y  1) B. Phöông trình vi phaân caáp 2 dy dx xdy  ( y 2  1) dx  2  Trong chöông trình naøy chæ trình baøy phöông phaùp giaûi phöông y 1 x trình vi phaân caáp 2 vôùi heä soá khoân g ñoåi Tích phaân 2 veá ta coù: y’’+py’+q=f(x) (1) 1 1 dy dx 1 y 1 B1: Giaûi phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát y’’+py’+q=0 (2) 2  y 2  1   x  ln C 2  2 ln | y  1 | ln | x |  ln C 2 - Giaûi phöông trình ña thöùc ñaëc tröng: k  pk  q  0 (3) y 1 y 1 1  Cx 2  TH: pt (3) coù 2 nghieäm k1 , k 2 ln | | ln Cx 2   Cx 2  y  y 1 y 1 1  Cx 2  Pt (2) coù nghieäm toång quaùt: y  C1 e k1x  C 2 e k2 x 1  Cx 2  TH: pt (3) coù nghieäm keùp k Vaây pt coù nghieäm toång quaùt: y  ; y  1 1  Cx 2  Pt (2) coù nghieäm toång quaùt: y  C1 e kx  C 2 xe kx  TH: pt (3) coù 2 nghieäm phöùc a  bi Baøi 2 : Giaûi phöông trình: y  x y '  xy. y ' 2 2 (2)  Pt (2) coù nghieäm toång quaùt: Giaûi: y  C1e ax cos bx  C 2 e ax sin bx 2 (2)  ( xy  x ) y '  y 2 B2: Giaûi tìm nghieäm rieâng Y cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng TH: x =0  y =0 laø nghieäm phöông trinh thuaàn nhaát: y’’+py’+q=f(x) TH: y=x khoâng laø nghieäm phöông trình x - Xeùt tröôøng hôïp f ( x )  e Pn ( x ) 2 TH: xy  x  0 . Chia 2 veá cho xy  x ta coù: 2   laø khoâng laø nghieäm cuûa pt (3) TH: y 2 : haøm thuaàn nhaát ( xy  x 2 ) y '  y 2  y '   Y  ex Qn (x) xy  x 2  TH:  laø nghieäm ñôn cuûa pt (3) 10
y y ' '4 y '8 y  e 2 x (2) ( )2 dy y dy du  x . Ñaët u   y  ux  2x  ux Xeùt f ( x )  e    2 ; P(x)=1 dx y x dx dx Do 2 khoâng laø nghieäm cuûa pt ña thöùc ñaëc tröng, baäc P(x)=0 neân 1 x nghieäm rieân g coù daïng: thay vaøo phöông trình ta coù: Y1  e 2 x A  Y1'  2e 2 x A ; Y1''  4e 2 x A du u2 1 ux   x(u  1) du  udx Thay vaøo pt(2) ta coù: 4 Ae 2x  e2x  A  dx u  1 4 TH: u =0  y =0 laø nghieäm pt 1 2x u 1 1  Y1  e TH: u  0. Chia 2 veá cho ux ta coù: du  dx 4 u x - Tìm nghieäm rieân g cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát: 1 1 y' '4 y '8 y  sin 2 x (3) Tích phaân 2 veá ta coù:  (1  )du   dx  ln C u x Xeùt f ( x )  sin 2 x  e 0x (0 cos 2 x  1. sin 2 x)  u  ln | u | ln | x |  ln C    0 ;   2 ; P(x) =0 vaø Q(x) =1 y y Do 0  2i khoâng laø nghieäm phöùc cuûa pt ña thöùc ñaëc tröng, baäc   ln | | ln | x |  ln C x x cuûa P(x) vaø Q(x) baèn g 1 neân nghieäm rieâng coù daïng: y y Y2  A cos 2 x  B sin 2 x   ln | y |  ln C  ln | y |  ln C x x  Y2'  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x y y y x ln C x Y2''  4 A cos 2 x  4 B sin 2 x  ln | y |  ln C  y  e  Ce x Thay vaøo pt(3) ta coù: y x (4 A  8 B) cos 2 x  (8 A  4 B ) sin 2 x  sin 2 x Vaäy pt coù nghieäm toång quaùt: y  Ce ; y =0 öùng vôùi C=0  1 A  1 4 A  8 B  0  10 Baøi 3: Giaûi phöông trình: y ' y  3x Ñoàng nhaát heä soá ta coù:   x 8 A  4 B  1 B  1 Giaûi:  20 1 Ta coù: P(x)= ; Q(x)=3x x 1 1  Y2  cos 2 x  sin 2 x Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát 10 20 1 1   dx 1 Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát laø: y  0 coù daïng: y  e   P ( x ) dx y '  e x = e  ln x = x x y  y  Y1  Y1 2x  Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn = C1e cos 2 x  C 2 e 2 x sin 2 x + nhaát coù daïng: 1 2x 1 1 1 + e + cos 2 x  sin 2 x 1  dx y  y (  Q( x )e  P ( x ) dx dx  C ) = (  3x.e x dx  C ) 4 10 20 x 1 ln x 1 2 1 3 = (  3 x.e dx  C ) = (3 x dx  C ) = ( x  C ) x x x Baøi 4: Giaûi phöông trình: y ' '4 y '8 y  e 2x (1)  sin 2 x Giaûi: - Tìm nghieäm toång quaùt cuû a PTTT thuaàn nhaát: y ' '4 y '8 y  0 k1  2  2i Xeùt pt ña thöùc ñaëc tröng: k 2  4k  8  0   k 2  2  2i  Nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát coù daïng: y  C1 e 2 x cos 2 x  C 2 e 2 x sin 2 x - Tìm nghieäm rieâng cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát: 11
Thoûa maõn ñieàu kieän y(0)=5; y’(0)=10 MOÄT SOÁ ÑEÀ THI TUYEÅN SINH CAO HOÏC CAÀN THÔ Ñeà thi naêm 2009 TÖØ NAÊM 2006 ÑEÁN 2011 Caâu 1 : Tính tích phaân ñöôøng vôùi C laø moät chu tuyeán baát kyø: I   ( x 2  y 2 )( xdx  ydy ) Ñeà thi naêm 2006 C 2 4 y 2 Caâu 2 : Cho mieàn D giôùi noäi bôûi: ( x 2  y 2 ) 2  2a 2 ( x 2  y 2 ) Caâu 1 : Tính tích phaân: I  2   (4  x 0 0 ) dxdy a. Tính dieän tích mieàn D Caâu 2 : Tính tích phaân ñöôøng: I  b. Tính  xydxdy  xyds vôùi L laø ñöôøng D L Caâu 3 : Tìm cöïc trò cuû a haøm soá: 2 giao tuyeán cuûa caù c maët z  2  x  2 y vaø 2 z  x 2 töø ñieåm f ( x, y )  x 3  y 3  3 xy  5 A(0,1,0) ñeán B(1,0,1) Caâu 3 : Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y) Caâu 4 : Tìm nghieäm cuûa pt sau: 3 3 y' '4 y'3 y  x 2  3 x  5 vôùi D ={(x,y): 0  x  ;0  y  } 2 2 Ñeà thi naêm 2010 Caâu 4 : Vieát nghieäm toång quaùt cuû a phöông trình: Caâu 1 : Tính tích phaân ñöôøng doïc theo C laø caùc caïn h cuûa tam 2x a. y ' '4 y '4 y  2e ( x 2  2 x  10) giaùc noái caùc ñænh O(0,0); A(2,0); B(0,2) 2 2 b. ( x  y  x) dx  ydy  0 I   x 2 y ( ydx  xdy) Ñeà thi naêm 2007 C Caâu 1 : Cho mieàn V giôùi noäi bôûi caù c maët z=0; y=z; y=x2; y=1 Caâu 2 : Cho mieàn D giôùi noäi bôûi: a. Bieåu dieãn mieàn V D  {( x, y) :  2  x 2  y 2  4 2 } b. Tính theå tích mieàn V a. Bieåu dieãn hình hoïc mieàn D c. Tính  ( x  y)dxdydz V b. Tính I   sin x 2  y 2 dxdy D Caâu 2 : Tính tích phaân ñöôøng Caâu 3 : Tìm cöïc trò cuû a haøm soá: I   ( 2 x 2  2 y 2 ) dx  (ln y  4 xy ) dy vôùi L laø ñöôøng noái 2 f ( x, y )  x 2  y 2  3 xy  5 L Caâu 4 : Vieát nghieäm toång quaùt cuû a pt: ñieåm A(-1,1); B(4,e) xy'(1  2 x) y  x Caâu 3 : Tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x,y)=(x-2)lnxy Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 1) Caâu 4 : Tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt: Caâu 1 : Cho haøm f(x,y)=x+y-xy vaø taäp y ' '6 y '9 y  e 2 x ( x 2  5) Ñeà thi naêm 2008 D  {( x, y) : 0  y  1; y  x  2 y  y 2 } Caâu 1 : Tính tích phaân ñöôøng doïc theo C  C1  C 2 a. Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm f treân mieàn D I   ( 4 x 2  4 y 2 ) dx  (ln y  8 xy) dy trong ñoù: b. Tính  f ( x, y )dxdy D C Caâu 2 : Tính tích phaân ñöôøng: C1  {( x, y ) : 1  x  2, y  x 2 } vaø (3 , 2 ) x y C 2  {( x, y ) : 2  x  4, y  8  2 x} I e [(1  x  y) dx  (1  x  y )dy] Caâu 2 : Cho mieàn D giôùi haïn bôûi x  4  y ; x=0; -1  x  1 2 ( 2,1) a. Bieåu dieãn mieàn D y2 Caâu 3 : a. Giaûi pt vi phaân sau: y '  b, Tính dieän tích mieàn D xy  x 2 c. Tính  xydxdy D b. GPT vi phaân sau: (y  2 3 )dx  ( x  2 ) dy  0 2 x y Caâu 3 : Tìm cöïc trò haøm soá sau: Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 2) f ( x, y )  4 x 3  10 xy  2 y 2  10 Caâu 1 : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm f ( x, y )  x ye 2  ( x y ) treân Caâu 4 : Tìm nghieäm cuûa pt sau: mieàn D ñoùng vaø bò chaën bôûi x  0; y  0 vaø x+y  4 5 y' '4 y ' y  e 2 x ( x 2  4 x  5) 12
Caâu 2 : Tính theå tích vaät theå naèm trong maët caàu Y '  e 2 x ( 2 Ax 2  ( 2 A  2 B) x  B  2C ) x 2  y 2  z 2  4 vaø trong maët truï x 2  y 2  2 y Y ' '  e 2 x ( 4 Ax 2  (8 A  4 B) x  2 A  4 B  4C ) y 1 1 75 Caâu 3 : Tính tích phaân ñöôøng  arctg dy  dx Thay vaøo PT ñoàng nhaát heä soá ta coù A  ; B  ; C  (OmAn ) x 8 8 64 Trong ñoù O(0,0); A(1,1); OmA: y  x ; OnA:y=x 2 Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: 2 x 1 1 75 Caâu 4 : a. GPT vi phaân: y ln ydx  x (1  ln y )dy  0 y= C1e  C 2 xe 2 x + e 2 x ( x 2  x  ) 8 8 64 b. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt: 2 2 b. ( x  y  x) dx  ydy  0 x x y ' '3 y'2 y  xe 2 x (sin  cos ) 2 Ñeà thi naêm 2007 2 2 Caâu 1 : Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 2) 1 1 y Caâu 1 : Tìm cöïc trò haøm aån z=z(x,y) xaùc ñònh bôûi phöông trình b. V  x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11  0  dxdydz =  dx  dy  dz V 1 x2 0 Caâu 2 : Tính theå tích vaät theå naèm treân mp 0xy vaø giôùi haï n bôûi 1 1 1 1 2 2 2 2 2 = dx ydy =    (1  x 4 ) dx maët parabolid z  x  y vaø maët truï x  y  a (a>0) 2 1 1 x2 Caâu 3 : Tính tích phaân maët sau: 4 2 2 3 2 = (ñvtt)  xz S dydz  ( x y  z )dzdx  (2 xy  y z )dxdy 5 c.  ( x  y )dxdydz Vôùi S laø nöûa treân hình caàu giôùi haïn bôûi caùc maët V x 2  y 2  z 2  a 2 (a>0) vaø z=0 1 1 y 4 2 3 = dx dy ( x  y )dz =    Caâu 4 : a. GPT: ( y  2 )dx  ( x  2 )dy  0 ; y(1)=1 7 1 x2 0 x y b. Tìm daïng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: Q P y ' '3 y'2 y  x(e  x  e 2 x ) Caâu 2 : nhaän thaáy   4 y x y Höôùng daãn : Choïn (0,1) laøm ñieåm coá ñònh Ñeà thi naêm 2006 x y 4 y 2 4 y 2 2 2  ( x, y) =  ( 2 x 2  2) dx   (ln y  4 xy) dy Caâu 1 : I  2 2   (4  x 0 0 )dxdy =  dy 0  (4  x 0 )dx 0 1 2 3 2  = x  y ln y  y  2 xy  1 1 2 y  2 sin t 16 2 3 =  ( y 2  8) 4  y 2 dy   (sin 2 t  2) cos 2 tdt 127 30 3 0  L   ( x, y ) |(( 4,1e,1) ) =  8e 2 3  2 Caâu 4 : Nghieäm toång quaùt cuû a PTTT thuaàn nhaát: 16 1  cos 2t 1  cos 2t  (  2) dt = 3 y  C1e 3 x  C 2 xe 3 x 3 0 2 2 Nghieäm rieân g cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát coù daïng: Caâu 2 : Giao tuyeán coù daïn g: x  y  1  y  1 x2 2 2 Y  e 2 x ( Ax 2  Bx  C ) x 1 Y '  e 2 x ( 2 Ax 2  ( 2 A  2 B) x  B  2C )  y'   1  ( y x' ) 2 = 1 x2 1 x2 Y ' '  e 2 x ( 4 Ax 2  (8 A  4 B) x  2 A  4 B  4C ) 1 1 1 Thay vaøo PT ñoàng nhaát heä soá ta coù A  1; B  4; C  11 I   xyds =  x 1  x 2 . 1  ( y x' ) 2 dx =  xdx = L 0 0 2 Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: 3x y= C1e  C 2 xe 3 x + e 2 x ( x 2  4 x  11) Caâu 3 : Baøi 4 chöông 1 Ñeà thi naêm 2008 Caâu 4 : a. Nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát: Caâu 1 : y  C1 e 2 x  C 2 xe 2 x Caâu 2 : b, Tính dieän tích mieàn D Nghieäm rieân g cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát coù daïng: 13 Y  e 2 x ( Ax 2  Bx  C )
1 4 y 2 1 17 107 Caâu 4 : y  C1e  C 2 e x 3x S   dxdy =  dy  x2  x  D 1  dx 0 3 9 27 Ñeà thi naêm 2010 1 22 2) Caâu 1 : Aùp duïng ct Green: =  (4  y dy = (ñvdt) 1 3 Q P 2 2 x 8 1 4 y 2 1 I   (  ) dxdy =  dx  x 2 ydy  1 5 D x y 15 c.  xydxdy =  dy  xydx 2  ( y  8 y 3  y 5 )dy =0 0 0 D 1 0 1 Caâu 2 : 2 2 25 125 Caâu 3 : Haøm soá coù 2 ñieåm döøng O(0,0) vaø M ( ; ) 2 2 12 24 b. I   sin x  y dxdy =  d  sin r.rdr D 0  Khoâng ñaït cöïc trò taïi O vaø ñaït cöïc tieåu taïi M; f CT   6985 2 2 432 = 2 2 Caâu 4 : Nghieäm toång quaùt cuû a PTTT thuaàn nhaát:  r sin rdr = 2 [r cos r |    cos rdr ]  1 2 x = 2 [3  sin r | ] = 2 (3 ) =  6 2 y  C1e x  C 2 e 5  Caâu 4 : Vieát nghieäm toång quaùt cuû a pt: Nghieäm rieân g cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát coù daïng: xy'(1  2 x) y  x Y  e 2 x ( Ax 2  Bx  C ) TH: x=0  y=0 laø nghieäm cuû a pt Y '  e 2 x ( 2 Ax 2  ( 2 A  2 B) x  B  2C ) 1  2x TH: x  0. Chia 2 veá pt cho x ta coù: y '  1 daïng Y ' '  e 2 x ( 4 Ax 2  (8 A  4 B ) x  2 A  4 B  4C ) x Thay vaøo PT ñoàng nhaát heä soá ta coù y’+P(x)y=Q(x) 1  76 1711 1 2 x  1 2 x 1 2 x A  ;B  ;C  Nghieäm toång quaùt: y  e ( xe  e  C ) 11 121 1331 x 2 4 Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 1) 1 76 1 x 1711 Caâu 1 : a. Maxf=1 taïi (1,1), Minf=0 taïi (0,0) 2x y  C1e x  C 2 e ( x2  5 x +e) 1 2 y y2 11 121 1331  y (0)  5 2662  14450 b.  f ( x, y )dxdy =  dy  ( x  y  xy )dx D 0 y Do   C1  ; C2   y ' (0)  10 363 3993 1 3 Ñeà thi naêm 2009 = (y  3 y 2  y  y 2 y  y 2 )dy 0 Caâu 1 : 1 2  y  2 cos  1 Caâu 2 : =   y 2 y  y 2 dy   7  2 2 4 0 4 12 Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc ta coù r  2a cos 2 ( 3, 2 )  Caâu 2 : I  x y D  D’: 0  r  a 2 cos 2 ; 0    4 e ( 2,1) [(1  x  y )dx  (1  x  y )dy]   ( 3, 2) x y 4 a 2 cos 2 4 =  ( x, y ) | ( 2 ,1) = e ( x  y) |(( 3,22,1) ) = 5e  e 3 2 a. S  4 d   rdr = 4a  cos 2d Caâu 3 : a. baøi 2 chöông 4 0 0 0  b. Nhaän thaáy Q  P  1 2 2 x y = 2 a sin 2 | 04 = 2a (ñvdt) 2 3  a 2 cos 2 (y  2 )dx  ( x  2 )dy  d ( ( x, y ))  0 4 3 x y b.  xydxdy = 4  d  r D 0 0 cos  sin dr  d (  2  3  xy  2)  0   2  3  xy  2  C  x y x y 4 a4 a4  Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 2) 4 2 = 2a  cos 2 sin 2d =  cos 3 2 | = 4 0 Caâu 1 : Maxf= 4e taïi (2,1); Minf=0 taïi caùc ñieåm coøn laïi tröø 3 0 3 3 8 4 Caâu 3 : Haøm soá coù 2 ñieåm döøng O(0,0) vaø M(-1,-1) trong ñoù ñieåm ( , ) 3 3 haøm soá khoân g ñaït cöïc trò taïi O vaø ñaït cöï c ñaïi taïi M; f CD  6 14
 2 2 sin  Caâu 2 : V  4 d 4  r 2 r.dr  0  0 = 32 (   2 ) (ñvtt) 3 2 3 Caâu 3 : AÙp duïng ct y 3 Green:  arctg dy  dx = 3 (OmAn ) x 4 Caâu 4 : 1 y  C1 e x  C 2 e 2 x  e 2 x ( x 2  2 x) 2 1 1  e 2 x [( x  1) cos x  ( x  1) sin x ] 2 2 Ñeà thi naêm 2012 (ñôït 1) Caâu 1 : a 4 Caâu 2 : V  3  z( x, y )dxdy   r drd  D D' 2 (ñvtt) P Q R Caâu 3 : I   (   )dxdydz V x y z  2 2 a 2 2 2 4 =  ( z  x  y )dxdydz = V  sin d  d  r dr 0 0 0  5 5 r a 2a =  cos | . |02 . 2 0 |0 = 5 5 Caâu 4 : a. vi phaân toaøn phaàn Choïn (1,1) laøm ñieåm coá ñònh ta coù x y 2 3  ( x, y)   (1  2 ) dx   ( x  2 )dy 1 x 1 y 2 x 3 y 2 3 = ( x  ) |1  ( xy  ) |1  xy    2 x y x y 2 3   ( y  2 ) dx  ( x  2 )dy  C x y   d ( ( x, y ))  C   ( x, y)  C 2 3  xy    2  C maø y(1)=1 neân C=0 x y 2 3 Nghieäm toång quaùt: xy    2  0 x y b. Nghieäm toång quaùt: 1 1 y  C1 e  x  C 2 e  2 x  e  x ( x 2  x)  e 2 x ( x 2  x) 2 2 15