BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN A2
1) Tìm miền xác định của các hàm số:
a) z = x2 + y2. b) 22
1yxz −−= c )4ln(1 2222 yxyxz −−+−+= )
2
2
2
2
2
2
1c
z
b
y
a
x
z−−−= 22222222 ryxzzyxRu −+++−−−= (0 < r < R) e) )
d
x
y
xyyxf +=),( . Tìm f(y,x); f(- x, - y); ),1(
x
y
f
2) Cho hàm số:
xy
yx
yxf 2
),(
22 −
=. Tính )
1
,
1
(yx
f, f(- x, -y). 3) Cho
Giới hạn của hàm hai biến.
1) Tìm các giới hạn sau:
1
a) )462(lim 22
3
1
+−
+
−
→
→yyxx
y
x b )(lim 22
3
1yx
y
x
+
→
→ c )
11
(lim 22
22
0
0−++
+
→
→yx
yx
y
x ) )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
2
22
yx
yx
yx
xy
z
2) Xét sự liên tục của hàm tại O(0,0):
Đạo hàm và vi phân
1). Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a) z = x2y + 3xy4 +4y2. b) z = xy (x > 0) c) 22
uxyz x y z
2
=
++− + +
2). Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a) z = (sinx)xy (sinx > 0) b) 22
zln(x x y)=++ c) 222
1
uxyz
=++−
1
a) 22
xy
z10
−
=
b) 22
xy ( x y ) 2 y
ze sin
x
+
=+
3). Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
4). Cho z = yln(x2 – y2). Chứng minh rằng: 2
1z 1z z
xx yy y
∂
∂
+
=
∂∂
Hàm khả vi và vi phân toàn phần
1) Tìm vi phân của hàm số sau: z = xy2
2) Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau: x
zarctg
y
=
3) Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau: z = yx + xy, với y > 0.
4) Cho 22
1
uxyz
=++
2
. Tính du.
Ứng dụng của vi phân
Tính gần đúng giá trị của biểu thức: 3
A ln( 1,03 0,98 1)
+−, A = 23
(0,98) (0,03)+
Đạo hàm của hàm hợp:
1). Cho z = eu.sinv, với u = x2 + y2, v = xy. Tính zz
,
xy
∂
∂
∂
∂
2). Cho hàm z = (1 + xy)y, x = u2 – v2, y = u + v. Tính zz
,
uv
∂
∂
∂
∂
3). Cho z = ex.siny với x = uv, y = u + v. Tính zz
,
uv
∂
∂
∂
∂
4). Cho 3
zx y=+ trong đó y = sin2x. Tính dz
dx
5). Cho hàm z = sin2(x + y2), trong đó x = cos3t, y = sin3t. Tính dz
dt
Đạo hàm của hàm ẩn:
1). Tính y’x, biết: a)
22
22
xy
1
ab
+=
b). y + tg(x + y) = 0
2). Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z = z(x,y) các định bởi pt: x2 + y2 + z2 = 1
3). Tính các đạo hàm riêng của hàm z, biết:
a) x2 + z3 – 3xyz = a3 b) z3 – x3 – y3 = a3 c) x3 + y3 – z3 = sin(xyz)
4). a) x3 + y3 + ln(x2 + y2) = a2. Tính y’. b) yy
sin y
xx
+
=. Tính dx
dy
c) z
xzln
y
=. Tính dz và dx. d) xey + yex – xez = 1. Tính dz.
Đạo hàm và vi phân cấp cao:
1). Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của: a) z = 2x2y3 b) z = sinx.cosy
2). Cho hàm . Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z.
2
xy
ze
+
=
3). Cho hàm
y
x
zx.e
−
=. Chứng minh rằng:
22
2
zzz
x2
xy x y y
⎛⎞
z
∂
∂∂ ∂
++=
⎜⎟
∂
∂∂∂∂
⎝⎠
4). Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)ex + y
Cực trị của hàm nhiều biến:
2
1). Tìm cực trị của hàm a) z = x3 + 3xy2 – 30x – 18y. b) z = x2 + y2 + xy – 3x – 6y
2). Tìm cực trị của hàm số: 2
z1xy=−−
2
, với điều kiện x + y – 1 = 0.
3). Tìm cực trị của hàm số: f(x,y) = 6 – 4x – 3y, với điều kiện x2 + y2 = 1.
TÍCH PHÂN BỘI
1). Tính: a) b) trong đó D là miền
D
(x y)dxdy+
∫∫
D
xydxdy
∫∫ 0x1
0y1
≤≤
⎧
⎨≤≤
⎩
2). Tính , trong đó:
D
(x y)dxdy+
∫∫
a) D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y = 2 – x2
b) D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 và x + y = 2.
3). Tính theo biến x trước y sau tích phân được cho bởi bài 2).
4). Tính với D giới hạn bởi
2
D
I x ydxdy=∫∫
2
x
y2
=
, y = 2x2, y = 4.
5). Đổi thứ tự lấy tích phân: a) b)
2
24
2x
dx f (x, y)dy
−
∫∫
2
2
24x
04x
dx f (x, y)dy
−
−
∫∫
6). Tính với D là miền phẳng giới hạn bởi các đường sau:
D
xydxdy
∫∫
y = x, y = 3x, y = x2, y = 3x2. (bằng phương pháp đổi biến).
7). Tính với D là miền tròn:
22
xy
D
I e dxdy
+
=∫∫ 22
xyR
2
+
≤
8). Tính 222
D
1
I dxdy
axy
=−−
∫∫ , trong đó D là miền giới hạn bởi x2 + y2 = ay (a > 0)
9). Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
a) y2 – 2y = x, x – y = 0 b) đường Axtroit:
22
33
xya
2
3
+
=
c) Giới hạn bởi: 17 1
yx1;yx3;y x ;y x5
33 3
=+ =− =− + =− +
10). Tính thể tích vật thể:
a) Giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 = 4, 2z = x2 + y2 và z = 0
b) Giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 = 2z, z = 6 - x2 - y2
11). Tính diện tích mặt cong:
a) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, nằm phía trong mặt trụ x2 + y2 = ay (a > 0)
b) Phần mặt y = x2 + z2 bị cắt bởi mặt trụ x2 + z2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất.
3
TÍCH PHÂN BA LỚP
1). Tính ,
V
(1 x y)dxdydz−−
∫∫∫
a) với V là miền được xác định bởi: 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4
≤
≤≤≤ ≤≤
b) với V là miền được xác định bởi: x + y + z = 1 x = 0, y = 0, z = 0.
2). Tính ,
22
V
(x y )dxdydz+
∫∫∫
a) với V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x, và các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = a.
b) với V là miền giới hạn bởi nữa trên hình vành cầu 2222
axyzb
2
≤
++≤
, z ≥ 0.
Ứng dụng tích phân ba lớp:
1). Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2.
2). Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 6 mặt:
xyz 3
x2yz 1
x4yz 2
+
+=±
⎧
⎪
+
−=±
⎨
⎪
+
+=±
⎩
3). Tính khối lượng của vật thể giới hạn bởi mặt trụ x2 = 2y và các mặt phẳng y + z = 1, 2y
+ z = 2, nếu khối lượng riêng tại mỗi điểm của thể bằng tung độ của điểm đó.
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
1). Tính , trong đó AB là đường cong xác định bởi x = a(1 – cost), y = asint,
, a > 0.
AB
Ixyd=∫s
0t≤≤π
2). Tính
22
33
L
I(xy)d=+
∫s, trong đó L là đường Axtroit:
22
33
xya
2
3
+
=
3). Tính , trong đó AB là cung y = lnx và A(1,0); B(e,1).
2
AB
Ixd=∫s
y
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI
1). Tính ,
2
AB
I (xy 1)dx x ydy=−+
∫
a) trong đó được xác định bởi x = cost, y = 2sint, A(1,0); B(0,2).
AB
b) trong đó được xác định bởi 4x + y
AB 2 = 4, A(1,0); B(0,2).
2). Tính , với L là cung Parabol x = y
2
L
Ixyd=∫2, từ A(1,-1); B(1,1).
4
5
z
2
y
3). Tính , với L là:
22
L
Ixydxxzd=−
∫
a) Đoạn thẳng AB, A(1,2,2); B(0,0,4)
b) Cung tròn AB trong góc phần tám thứ nhất cho bởi phương trình x2 + y2 + z2 = 9, y =
2x, A(1,2,2); B(0,0,3).
4). Tính , với L là đường tròn x
2
L
I(1x)ydxx(1y)d
+
=− ++
∫2 + y2 = R2.
5). , dọc theo chu vi của tam giác OAB theo chiều thuận
chiều kim đồng hồ, trong đó O(0,0), A(1,0), B(0,1).
22 22
I (x y )dx (x y )dy=+ +−
∫
a) Bằng cách tính trực tiếp.
b) Bằng cách dùng công thức Green.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
Giải phương trình: 1) x(1 + y2)dx – y(1 + x2)dy = 0.
2) (x2 + 2xy)dx + xydy = 0. 3) y’ – y = xy5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
Giải các phương trình: 1) y’’ – 2y’ + y = x + 1. 2) y’’ – 2y’ - 3y = e-x.
3) y’’ – 8y’ + 16y = e4x. 4) y’’ + y = 4x.sinx.
5) y’’ – 7y’ + 6y = (1 – x)ex 6) y’’ – y = e3x cosx