avatar
Đại số tuyến tính
Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
PGS.TS Trần Tuấn Nam Đại số tuyến tính
avatar
Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
1. Định nghĩa
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính với mphương trình,nẩn số có dạng
a11x1+a12x2+··· +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+··· +a2nxn=b2
···
am1x1+am2x2+··· +amnxn=bm
,
trong đó, aij , i = 1, m, j = 1, n là các hệ số của ẩn; bi, i = 1, m
là hệ số tự do; x1, x2, . . . , xnlà ẩn số.
Khi b1=b2=. . . = 0 ta gọi là hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất.
PGS.TS Trần Tuấn Nam Đại số tuyến tính
avatar
Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Đặt
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
..
.
.. . . .
.
.
am1am2. . . amn
;B=
b1
b2
. . .
bm
;X=
x1
x2
. . .
xn
.
Khi đó, Agọi là ma trận hệ số, Bgọi là ma trận hệ số tự do và
Xgọi là ma trận ẩn số.
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính:
AX =B.
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
AX =O.
PGS.TS Trần Tuấn Nam Đại số tuyến tính
avatar
Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
3. Điều kiện có nghiệm
Đặt A= [A|B] =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
..
.
.. . . .
.
.
am1am2. . . amn
b1
b2
. . .
bm
Nhận xét: r(A)≤r(A).
Định lý (Kronecker-Capelli)
Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm ⇔r(A) = r(A).
PGS.TS Trần Tuấn Nam Đại số tuyến tính
avatar
Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
4. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính
tổng quát
Từ định lí Kronecker - Capelli ta có kết luận:
(i) r(A)< r(A):Hệ vô nghiệm.
(ii) r(A) = r(A) = n(n là số ẩn): Hệ có 1 nghiệm duy nhất.
(iii) r(A) = r(A) = r < n :Hệ có vố số nghiệm (có n−r
nghiệm tự do).
Phương pháp khử Gauss
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận bổ sung
A(và A) về dạng bậc thang, so sánh r(A), r(A). Từ đó suy ra
kết quả.
Nhận xét
Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện dòng 0 thì bỏ đi, nếu
xuất hiện hai dòng tỉ lệ thì bỏ bớt 1 dòng.
PGS.TS Trần Tuấn Nam Đại số tuyến tính