CHƯƠNG 4
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với tích phân. Khi đó, chúng
ta chủ yếu là tính các tích phân mà chưa biết đến bản chất của khái niệm tích phân
cùng các tính chất và nhiều điều thú vị khác của tích phân. Các kiến thức của chương
này sẽ giúp chúng ta khắc phục điều đó.
Sau khi học xong chương này, sinh viên cần nắm được các nội dung sau:
- Khái niệm, các tính chất và các phương pháp tính tích phân bất định;
- Khái niệm tích phân xác định, điều kiện khả tích, các lớp hàm khả tích, các tính
chất; các phương pháp tính tích phân xác định; ứng dụng của tích phân xác định;
- Khái niệm tích phân suy rộng; tính và khảo sát sự hội tụ của tích phân suy
rộng.
1 Nguyên hàm và tích phân không xác định
1.1 Định nghĩa và ví dụ
1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f: (a, b)→R. Hàm số Fkhả vi trên (a, b)được
gọi là một nguyên hàm của ftrên (a, b)nếu
F′(x) = f(x),với mọi x∈(a, b).(4.1)
Chú ý. 1) Nếu f: [a, b]→Rvà F′(x) = f(x)với mọi x∈[a, b]trong đó đạo hàm
của Ftại x=alà đạo hàm bên phải và đạo hàm của Ftại x=blà đạo hàm bên
trái thì ta gọi Flà nguyên hàm của ftrên [a, b].
122
123 Bài giảng Giải tích I
2) Chúng ta sẽ chứng minh trong phần sau mọi hàm liên tục trên [a, b]đều tồn
tại nguyên hàm trên đó.
1.1.2 Định lý. Nếu Flà một nguyên hàm của ftrên (a, b)thì tập tất cả các nguyên
hàm của ftrên (a, b)có dạng
{F+C:C∈R}.
Chứng minh. Vì Flà nguyên hàm của fnên với một hằng số Cbất kỳ, ta có
(F(x) + C)′=F′(x) = f(x),∀x∈(a, b).
Vậy, F+Clà một nguyên hàm của ftrên (a, b).
Ngược lại, giả sử Glà một nguyên hàm tuỳ ý của ftrên (a, b). Khi đó,
(G(x)−F(x))′=G′(x)−F′(x) = f(x)−f(x) = 0,∀x∈(a, b).
Do đó, tồn tại một hằng số Csao cho G(x)−F(x) = C, ∀x∈(a, b).Suy ra
G=F+C. Định lý được chứng minh.
1.1.3 Định nghĩa. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm ftrên (a, b)được gọi là
tích phân bất định của hàm ftrên (a, b)và được ký hiệu là
∫f(x)dx.
Ta gọi f(x)là hàm dưới dấu tích phân, xlà biến số lấy tích phân và f(x)dx là biểu
thức lấy tích phân.
Ta thấy rằng nếu Flà một nguyên hàm của hàm fthì ta có thể viết
∫f(x)dx =F(x) + C(C∈R).
Mặt khác, do biểu thức vi phân dF (x) = F′(x)dx nên tích phân trên còn có thể viết
dưới dạng ∫dF (x) = F(x) + C.
1.1.4 Ví dụ. a) Nguyên hàm của hàm exlà chính nó trên toàn bộ Rvà
∫exdx =ex+C.
124 Bài giảng Giải tích I
b) Từ (ln |x|)′=1
xvới mọi x= 0, suy ra ln |x|là nguyên hàm của 1
xtrên R\ {0}.
Khi đó, ∫dx
x= ln |x|+C
chỉ được xét trên (−∞,0) hoặc (0,+∞).
c) Hàm f(x) = |x|có một nguyên hàm trên Rlà hàm
F(x) = x|x|
2=
x2
2nếu x>0
−x2
2nếu x < 0.
Vậy, ∫|x|dx =x|x|
2+C.
1.2 Các tính chất cơ bản
Trong Định nghĩa 1.1.1 ta nhận thấy rằng đẳng thức (4.1) không phụ thuộc
vào biến số (lấy tích phân) x, t hay u,... miễn sao biến số đó thuộc (a, b). Như vậy,
∫f(x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm fvà (a, b)chứ không phụ thuộc vào biến số lấy
tích phân. Ta có tính chất sau đây:
1.2.1 Mệnh đề. Nếu fcó nguyên hàm trên (a, b)thì ∫f(x)dx không phu thuộc vào
biên số lấy tích phân trên (a, b), nghĩa là
∫f(x)dx =∫f(u)du =...
trong đó x, u, ... đều biến thiên trên (a, b).
Các tính chất sau đây được suy ra từ các định nghĩa.
1.2.2 Mệnh đề. Nếu fvà glà các hàm có nguyên hàm trên (a, b)và αlà hằng số
khác 0thì f±gvà αf có nguyên hàm trên (a, b)và
a)∫(f(x)±g(x))dx =∫f(x)dx ±∫g(x)dx;
b)∫αf(x)dx =α∫f(x)dx.
125 Bài giảng Giải tích I
1.2.3 Mệnh đề. Nếu fcó nguyên hàm trên (a, b)thì
a)(∫f(x)dx)′=f(x); b)d(∫f(x)dx)=f(x)dx.
Trong tính chất trên ta quy ước lấy đạo hàm hay vi phân của tích phân bất định
là lấy đạo hàm hay vi phân của từng phần tử của nó.
1.3 Bảng tích phân bất định của một số hàm số
Từ bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp và định nghĩa nguyên hàm ta có các tích
phân bất định sau đây.
1.∫αdx =αx +C, α ∈R; 2.∫xαdx =xα+1
α+ 1 +C, α ∈R\ {−1};
3.∫dx
x= ln |x|+C, x thuộc khoảng mở không chứa 0;
4.∫axdx =ax
ln a+C, (0 < a = 1); 5.∫exdx =ex+C;
6.∫dx
1 + x2= arctan x+C; 7.∫dx
√1−x2= arcsin x+C=−arccos x+C;
8.∫sin xdx =−cos x+C; 9.∫cos xdx = sin x+C;
10.∫dx
cos2x= tan x+C; 11.∫dx
sin2x=−cotan x+C;
12.∫ch xdx = sh x+C; 13.∫sh xdx = ch x+C;
14.∫dx
ch2x= th x+C; 15.∫dx
sh2x=−coth x+C.
1.4 Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi
biến số
a) Phương pháp đổi biến số
1.4.1 Định lý. Giả sử flà một hàm số xác định và có nguyên hàm Ftrên (a, b).
1) Nếu φ: (α, β)→(a, b)là một hàm khả vi thì
∫f(φ(x))φ′(x)dx =F(φ(x)) + C, x ∈(α, β).(4.2)
126 Bài giảng Giải tích I
2) Nếu φ: (α, β)→(a, b)là một hàm khả vi liên tục có hàm ngược ψsao cho
g= (f◦φ).φ′có nguyên hàm Gtrên (α, β)thì
∫f(x)dx =F(x) + C=G(ψ(x)) + C, x ∈(a, b).(4.3)
Chứng minh. 1) Ta có
d
dx(F(φ(x)))=F′(φ(x)).φ′(x) = f(φ(x)).φ′(x), x ∈(α, β).
Suy ra ∫f(φ(x))φ′(x)dx =F(φ(x)) + C, x ∈(α, β).
2) Ta có ∫g(t)dt =∫f(φ(t)).φ′(t)dt =G(t) + C, t ∈(α, β).
Mặt khác theo 1) ta thu được
∫f(φ(t)).φ′(t)dt =F(φ(t)) + C, t ∈(α, β).
Vậy,
F(φ(t)) = G(t) + C1, t ∈(α, β), C1là hằng số.
Suy ra
F◦φ(ψ(x)) = G(ψ(x)) + C1, x ∈(a, b),
hay
F(φ(ψ(x))) = F(x) = G(ψ(x)) + C1, x ∈(a, b).
Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên cho ta các phương pháp để tính tích phân bất định, gọi là phương
pháp đổi biến số. Có hai cách sau đây thường dùng trong phương pháp đổi biến số.
Giả sử cần tính tích phân ∫f(x)dx.
1) Nếu f(x) = g(φ(x))φ′(x), x ∈(a, b)thì đặt u=φ(x)và theo 1) ta có
∫f(x)dx =∫g(φ(x))φ′(x)dx =∫g(u)du.
Bài toán dẫn tới việc tính tích phân ∫g(u)du.
Chúng ta sẽ rõ hơn thông qua ví dụ sau: