i
Lêi giíi thiÖu
Do ¶nh h−ëng cña cuéc c¸ch m¹ng th«ng tin vµ do sù ph¸t
triÓn néi t¹i cña to¸n häc, viÖc gi¶ng d¹y to¸n bËc ®¹i häc vµ cao
häc cã nhiÒu thay ®æi. Xu h−íng chung lµ nhanh chãng cho häc
viªn n¾m b¾t ®−îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ to¸n häc vµ kh¶ n¨ng
øng dông, ®ång thêi sö dông ®−îc c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n
thùc hµnh mét c¸ch thuÇn thôc.
§Ó ®¸p øng nhu cÇu ®ã, trªn c¬ së ®Ò tµi khoa häc PhÇn mÒm
C¬ së To¸n häc cña Trung t©m Khoa häc tù nhiªn vµ C«ng nghÖ
Quèc gia do ViÖn To¸n häc chñ tr× thùc hiÖn tõ n¨m 1996 ®Õn
n¨m 1998, chóng t«i biªn so¹n bé gi¸o tr×nh C¬ së To¸n häc Cao
cÊp giµnh cho sinh viªn ®¹i häc vµ cao häc.
Bé gi¸o tr×nh nµy ®−îc biªn so¹n dùa theo néi dung ch−¬ng
tr×nh to¸n cao cÊp cña c¸c khoa c¬ b¶n trong c¸c tr−êng ®¹i häc
do Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o qui ®Þnh, kÕt hîp víi c¸c gi¸o tr×nh
to¸n hiÖn ®ang ®−îc gi¶ng d¹y trong c¸c tr−êng ®¹i häc ë Hµ Néi
vµ mét sè n−íc tiªn tiÕn trªn thÕ giíi. Môc ®Ých cña gi¸o tr×nh lµ:
1. Tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm, nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ cÇn
thiÕt nhÊt cña to¸n häc, víi nh÷ng chøng minh chÆt chÏ, l«
gic;
2. RÌn luyÖn kü n¨ng tÝnh to¸n thùc hµnh trªn m¸y tÝnh vµ kh¶
n¨ng ¸p dông c«ng cô to¸n häc trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi
to¸n thùc tiÔn;
3. Giíi thiÖu mét sè h−íng ph¸t triÓn míi trong to¸n häc hiÖn ®¹i
®ang ®−îc quan t©m trªn thÕ giíi.
§Ó ®¸p yªu cÇu thø nhÊt, chóng t«i chñ tr−¬ng tr¸nh ®−a
vµo gi¸o tr×nh nh÷ng phÇn lý thuyÕt nÆng nÒ vµ Ýt sö dông ®Õn
sau nµy. PhÇn bµi tËp ®−îc biªn so¹n víi môc ®Ých gióp häc viªn
cñng cè kiÕn thøc lý thuyÕt, kh«ng sa vµo nh÷ng kü s¶o tÝnh to¸n
phøc t¹p.
Môc ®Ých thø hai ®−îc thÓ hiÖn trong gi¸o tr×nh bëi phÇn bµi
tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh biªn so¹n rÊt c«ng phu cho tõng
ch−¬ng. Nã gióp cho häc viªn tiÕp cËn mét c¸ch nhÑ nhµng vµ
tho¶i m¸i víi c«ng viÖc tÝnh to¸n cô thÓ, lÜnh vùc lu«n bÞ xem lµ
®¸ng ng¹i nhÊt ®èi víi c¸c häc viªn bËc ®¹i häc ë n−íc ta x−a
ii
nay. Ng−êi häc kh«ng chØ cã thÓ thö søc víi nh÷ng bµi to¸n th¸ch
®è (®Ó rÌn luyÖn t− duy), mµ cßn biÕt sö dông m¸y tÝnh ®Ó gi¶i
mét c¸ch dÔ dµng nh÷ng bµi to¸n hãc bóa mµ hä t−ëng chõng
kh«ng thÓ nµo gi¶i næi. Hi väng r»ng khi ra tr−êng hä sÏ kh«ng
cßn ph¶i ng¹i ngïng trong viÖc ®−a c¸c c«ng cô to¸n häc vµo c«ng
viÖc cña m×nh. Thùc tÕ cho thÊy, ë ®©u to¸n häc ph¸t huy ®−îc
t¸c dông th× ë ®ã th−êng thu ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ bÊt ngê.
C«ng cô tÝnh to¸n thùc hµnh giíi thiÖu trong gi¸o tr×nh nµy
lµ bé ch−¬ng tr×nh Maple V. §©y lµ bé ch−¬ng tr×nh tæng hîp,
kh¸ ®å sé, nh−ng hiÖn nay ®· cã thÓ cµi ®Æt trªn m¸y tÝnh c¸
nh©n víi cÊu h×nh b×nh th−êng (bé nhí tèi thiÓu lµ 8MB). Víi kh¶
n¨ng biÓu diÔn vµ tÝnh to¸n cùc m¹nh (kÓ c¶ trªn c¸c ký hiÖu
h×nh thøc), nã hiÖn ®ang ®−îc xem mét trong nh÷ng ch−¬ng tr×nh
phæ biÕn nhÊt sö dông trong c«ng t¸c ®µo t¹o ë c¸c tr−êng ®¹i
häc trªn thÕ giíi. NÕu sö dông ®−îc Maple mét c¸ch thuÇn thôc
th× häc viªn còng dÔ dµng tiÕp cËn víi c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n
phæ biÕn kh¸c nh−: Matematica, Matlab, Mathcad,.. B»ng c¸c
h−íng dÉn cô thÓ cho tõng ch−¬ng, gi¸o tr×nh gióp ng−êi ®äc tù
m×nh tõng b−íc tiÕn hµnh c«ng viÖc tÝnh to¸n mét c¸ch nhÑ
nhµng nh− bÊm m¸y tÝnh bá tói, kh«ng cÇn chuÈn bÞ g× ®Æc biÖt
vÒ kiÕn thøc lËp tr×nh.
§Ó ®¹t ®−îc môc ®Ých thø ba, chóng t«i ®−a vµo gi¸o tr×nh
mét sè ch−¬ng môc kh«ng kinh ®iÓn (kh«ng b¾t buéc ®èi víi häc
viªn bËc ®¹i häc), gióp ng−êi ®äc lµm quen víi nh÷ng ý t−ëng míi
trong to¸n häc hiÖn ®¹i, khÝch lÖ sù t×m tßi ph¸t triÓn nh÷ng c¸i
mµ l©u nay ®−îc xem nh− lµ bÊt di bÊt dÞch trong to¸n häc cæ
®iÓn. PhÇn nµy ch¾c ch¾n sÏ ®em l¹i høng thó vµ nh÷ng gîi ý vÒ
mÆt ®Þnh h−íng cho nh÷ng ng−êi cã nguyÖn väng ®−îc ®µo t¹o
cao h¬n vÒ to¸n häc, nhÊt lµ nh÷ng häc viªn cao häc.
Gi¸o tr×nh nµy còng ®−îc thiÕt lËp d−íi d¹ng siªu v¨n b¶n,
rÊt thuËn tiÖn cho viÖc ®äc vµ tra cøu trªn m¸y tÝnh. PhÇn tÝnh
to¸n thùc hµnh ®−îc thùc hiÖn dÔ dµng vµ thuËn tiÖn ngay trong
khu«n khæ cña gi¸o tr×nh (häc ®Õn ®©u thùc hµnh ®Õn ®ã), nh»m
xo¸ nhoµ ranh giíi gi÷a häc to¸n vµ lµm to¸n. B¹n ®äc cã nhu
cÇu vÒ gi¸o tr×nh d−íi d¹ng siªu v¨n b¶n vµ thùc hµnh tÝnh to¸n
trªn Maple V xin liªn hÖ víi c¸c t¸c gi¶ theo ®Þa chØ cña ViÖn
To¸n häc (§−êng Hoµng Quèc ViÖt, QuËn CÇu GiÊy, Hµ Néi).
iii
rong phÇn nµy chóng t«i giíi thiÖu víi b¹n ®äc cuèn Gi¶i tÝch I
cña c¸c t¸c gi¶ : Ts. §inh ThÕ Lôc (chñ biªn), Ts. Ph¹m Huy
§iÓn, Ts. NguyÔn Xu©n TÊn, Pts. T¹ Duy Ph−îng. Néi dung quyÓn
s¸ch bao gåm nh÷ng kiÕn thøc ®ßi hái häc viªn ph¶i n¾m ®−îc vÒ
bé m«n Gi¶i tÝch trong n¨m thø nhÊt bËc ®¹i häc.
Trong Ch−¬ng 1 chóng t«i kh«ng tr×nh bÇy chi tiÕt vÒ x©y dùng
tr−êng sè thùc (®Ó kh«ng lµm l¹i phÇn viÖc cña nh÷ng ng−êi biªn
so¹n gi¸o tr×nh Sè häc), mµ chØ sö dông l¸t c¾t ®Ó chøng minh sù
tån t¹i biªn cña tËp bÞ chÆn, mét tÝnh chÊt quan träng ®−îc dïng
nhiÒu lÇn trong ch−¬ng tr×nh Gi¶i tÝch, ®ång thêi lµm quen sinh
viªn víi m«n häc T« p« ®¹i c−¬ng th«ng qua c¸c kh¸i niÖm trªn
®−êng th¼ng thùc. Ngoµi viÖc sö dông trong gi¸o tr×nh nµy, nã gióp
häc viªn hiÓu râ b¶n chÊt cña nh÷ng kh¸i niÖm trõu t−îng trong lý
thuyÕt T« p« tæng qu¸t. Bªn c¹nh nh÷ng kh¸i niÖm kinh ®iÓn nh−:
®¹o hµm, vi ph©n, tÝch ph©n, chuçi hµm,... chóng t«i giíi thiÖu
(trong Ch−¬ng 7) mét sè mét kh¸i niÖm míi cña Gi¶i tÝch kh«ng
tr¬n, mét lÜnh vùc ®ang ®−îc quan t©m vµ øng dông. Ch−¬ng
ph−¬ng tr×nh vi ph©n (Ch−¬ng 11) ®−îc ®−a vµo nh»m cñng cè
nh÷ng kiÕn thøc vÒ ®¹o hµm, tÝch ph©n vµ phôc vô nhu cÇu t×m hiÓu
c¸c bµi to¸n ®Æt ra trong c¬ häc, vËt lý, hãa häc, sinh häc,... Chóng
t«i kh«ng ®i s©u vµo lÜnh vùc nµy (®Ó tr¸nh g©y chång trÐo víi
nh÷ng ng−êi biªn so¹n gi¸o tr×nh ph−¬ng tr×nh vi ph©n) mµ chØ ®Æt
môc ®Ých giíi thiÖu kh¸i niÖm lµm c¬ së cho viÖc thùc hµnh tÝnh
to¸n.
§Ó ng−êi ®äc dÔ tiÕp thu, chóng t«i cè g¾ng tr×nh bµy gi¸o tr×nh
mét c¸ch gän gµng, ®¬n gi¶n nh−ng ®Çy ®ñ. Ngo¹i trõ nh÷ng phÇn
giµnh l¹i cho bé m«n kh¸c, c¸c vÊn ®Ò nªu ra trong khu«n khæ gi¸o
tr×nh gi¶i tÝch ®Òu ®−îc chøng minh chÆt chÏ vµ khóc triÕt. PhÇn
bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh ®−îc biªn so¹n c«ng phu, cã néi
dung bao qu¸t tÊt c¶ nh÷ng chñ ®Ò c¬ b¶n. Chóng t«i hy väng r»ng
gi¸o tr×nh sÏ lµ mét cÈm nang tèt cho sinh viªn c¸c tr−êng kü thuËt
vµ tæng hîp.
T
5
Ch−¬ng 1
__________________ TËp hîp vµ Sè thùc
1.1. Kh¸i niÖm tËp hîp ______________________________
1.1.1. TËp hîp
TËp hîp, trong To¸n häc, ®−îc xem lµ mét kh¸i niÖm “khëi ®Çu” kh«ng ®Þnh nghÜa.
Nã ®ång nghÜa víi c¸c tõ hä, hÖ, líp,... vµ ®−îc dïng ®Ó m« t¶ mét quÇn thÓ cña nh÷ng
®èi t−îng ph©n biÖt ®−îc mµ chóng ta t− duy nh− mét thÓ trän vÑn.
ThÝ dô Khi ta nãi: Hä c¸c ®−êng trßn ®ång t©m, hÖ c¸c ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh, líp c¸c hµm
®a thøc, còng cã nghÜa lµ tËp hîp cña c¸c ®èi t−îng nãi trªn. TËp hîp xe c¬ giíi cña
thµnh phè Hµ Néi, tËp hîp c¸c sinh viªn ViÖt Nam, tËp hîp nh÷ng ®−êng phè xuÊt ph¸t
tõ Hå G−¬m, v.v... lµ nh÷ng vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ kh¸i niÖm tËp hîp kh«ng chØ trong
To¸n häc, mµ c¶ trong ng«n ng÷ th«ng th−êng.
Nh÷ng thµnh viªn cña tËp hîp gäi lµ phÇn tö (hay ®iÓm). Cho A lµ mét tËp, ta viÕt
Ax ∈ (®äc: x thuéc A) cã nghÜa x lµ mét phÇn tö cña A, vµ viÕt Ax
∉
(®äc: x kh«ng
thuéc A) cã nghÜa x kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña A.
1.1.2. DiÔn t¶ tËp hîp
§Ó diÔn t¶ tËp hîp ng−êi ta dïng dÊu mãc {...}. Trong dÊu mãc ta cã thÓ liÖt kª tÊt c¶
c¸c phÇn tö cña tËp hîp },...,{ 1n
xx , hoÆc nªu thuéc tÝnh chung (P) cña c¸c phÇn tö tËp
hîp b»ng c¸ch viÕt {x : x tháa m·n (P)}.
ThÝ dô A = {1, 2, 3, 4, 5}
hoÆc A = {1, 2,...,5}
hoÆc A = {x : x lµ sè tù nhiªn sao cho 1
≤
x
≤
5}.
1.1.3. TËp rçng
Ta quy −íc TËp rçng (hay tËp trèng) lµ tËp hîp kh«ng cã mét phÇn tö nµo c¶. Ng−êi ta
th−êng ký hiÖu tËp rçng lµ ∅.
ThÝ dô TËp hîp c¸c cÇu thñ bãng ®¸ ViÖt Nam ®· ®o¹t gi¶i Olympic n¨m 1996 lµ tËp rçng; tËp
hîp c¸c sè lÎ chia hÕt cho 4 lµ tËp rçng.
Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc
6
1.1.4. TËp trïng nhau
Ta nãi tËp A vµ tËp B trïng nhau (hay b»ng nhau) vµ viÕt A = B (®äc: A b»ng B)
nÕu chóng cã cïng nh÷ng phÇn tö, tøc lµ Ax
∈
khi vµ chØ khi Bx ∈. Khi chóng
kh«ng trïng nhau ta viÕt A
≠
B.
ThÝ dô A lµ tËp gåm sè 2 vµ sè 4, cßn B lµ tËp c¸c sè ch½n d−¬ng bÐ h¬n 5. Ta cã A = B.
1.1.5. TËp hîp con
Ta nãi A lµ tËp con cña tËp B nÕu mäi phÇn tö cña A lµ phÇn tö cña B. Khi ®ã ta
viÕt BA ⊆ (®äc: A n»m trong B), hoÆc AB
⊇
(®äc: B chøa A). NÕu BA ⊆ vµ
A≠B ta nãi A lµ tËp con thËt sù cña B. Quy −íc: TËp rçng lµ tËp con cña mäi tËp.
Chó ý Mçi phÇn tö x cña A t¹o thµnh tËp con {x} cña A. CÇn ph©n biÖt phÇn tö x cña tËp
hîp A (viÕt lµ Ax ∈) víi tËp con {x} cña tËp hîp A (viÕt lµ {x} ⊂ A) .
1.2. C¸c phÐp to¸n____________________________________
1.2.1. Hîp cña hai tËp
Hîp cña hai tËp A vµ B ®−îc ký hiÖu B
A
∪ (®äc: A hîp B) lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c
phÇn tö thuéc A hoÆc thuéc B. NghÜa lµ, B
A
∪ = {x : Ax
∈
hoÆc Bx ∈}.
ThÝ dô }},,{,102,1,{ baA = B = {a,2,{a,b}},
=
∪B
{1,2,10,{a,b},a}.
Chó ý {a,b} lµ mét tËp nh−ng nã l¹i lµ mét phÇn tö cña A vµ cña B.
1.2.2. Giao cña hai tËp
Giao cña hai tËp A vµ B ®−îc ký hiÖu B
∩
(®äc: A giao B) lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c
phÇn tö võa thuéc A l¹i võa thuéc B. VËy
=
∩
BA {Axx
∈
: vµ Bx
∈
}.
ThÝ dô Víi A = {a,b,c}, B = {{a},b,d}, th× }{bBA
=
∩
.
1.2.3. PhÇn bï
PhÇn bï cña A trong B ®−îc ký hiÖu AB \ lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc B
nh−ng kh«ng thuéc A. §«i khi ng−êi ta gäi AB \ lµ hiÖu cña B vµ A.
VËy BxxAB ∈= :{\ vµ Ax
∉
}.
ThÝ dô A = {1,5,10,b}, B = {5,b}. Khi ®ã
∅
=
AB \.
Minh häa h×nh häc: