TOÁN CAO CẤP 2
TS. BÙI THANH DUY
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Trường Đại học Kiến trúc Tp. Hồ Chí Minh
Thành phố Hồ Chí Minh
Ngày 7 tháng 9 năm 2022
Mục lục
1 LÝ THUYẾT CHUỖI 1
1.1 CHUỖI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Khai triển Taylor và Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 CHUỖI HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Các định lý liên quan đến tính chất hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Định lý về tính liên tục và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Định lý về tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Phương trình dạng tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Phương trình vi phân dạng đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Ptvp dạng y′=h(ax +by)trong đó b6=0.................... 19
2.2.4 Ptvp tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5 Ptvp Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.6 Ptvp toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Ptvp thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Ptvp không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 1
LÝ THUYẾT CHUỖI
1.1 CHUỖI SỐ
1.1.1 Định nghĩa
Cho một dãy số (un)⊂R. Ta xét tổng vô hạn như sau: u1+u2+u3+... +un+... Tổng vô
hạn trên được gọi là một chuỗi số và kí hiệu là
+∞
∑
n=1un=u1+u2+...+un+...
Nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu là
∑un=u1+u2+...+un+...
Ở đây, unđược gọi là số hạng tổng quát của chuỗi.
Ví dụ.
+∞
∑
n=1
1
2n=1
2+1
22+...+1
2n+...,
+∞
∑
n=1nsin1
n=sin1+2sin1
2+...+nsin1
n+...
+∞
∑
n=1
(−1)nen
n!=−e−1
1! +e2
2! +... +(−1)nen
n!+...
Lịch sử số π.Số πcó dạng thập phân π=3.14159265358979323846264338327950288··· và được
biểu diễn dạng tổng vô hạn sau
π=3+1
10 +4
102+1
103+5
104+9
105+2
106+6
107+···
Bài tập. Tìm tổng 10 số hạng đầu của các chuỗi sau
1
TOÁN CAO CẤP 2
1. ∑12
(−5)n
2. ∑2n2−1
n2+1
3. ∑tann
4. ∑(0.6)n−1
5. ∑1
√n−1
√n+1
6. ∑1
n(n+2)
Bài tập. Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi số sau
1. 3+2+4
3+8
9+...
2. 1
8−1
4+1
2−1+...
3. 3−4+16
9−64
9+...
4. ∑6(0.9)n−1
5. 10n
(−9)n−1
6. 1+0.4+0.16+0.064+. ..
1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ.
Xét chuỗi +∞
∑
n=1un=u1+u2+... +un+··· Đặt s1=u1,s2=u1+u2,s3=u1+u2+u3,...,
sm=u1+u2+u3... +um.Lúc này smđược gọi là tổng riêng thứ mcủa chuỗi. Nếu limsm
tồn tại hữu hạn và có giá trị bằng sthì ta nói chuỗi hội tụ và có tổng bằng s. Lúc này ta viết
+∞
∑
n=1un=s. Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ.
Ví dụ. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
+∞
∑
n=0
1
2n=1
2+1
4+1
8+···+1
2n+···
Tổng msố hạng đầu của cấp số nhân có số hạn đầu u1=1
2, công bội q=1
2là
Sm=1
2+1
4+1
8+···+1
2m=1−1
2m.
Khi m→+∞,Sm→1. Vậy
+∞
∑
n=0
1
2n=lim
m→+∞Sm=lim
m→+∞1−1
2m=1.
Chuỗi hình học.
Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi +∞
∑
n=0rn=1+r+r2+···+rn+···
TS. Bùi Thanh Duy 2duy.buithanh@uah.edu.vn