TOÁN CAO CẤP 1
TS. BÙI THANH DUY
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Trường Đại học Kiến trúc Tp. Hồ Chí Minh
THS. PHẠM MINH TRÍ
Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Vĩnh Long
Thành phố Hồ Chí Minh
Ngày 16 tháng 10 năm 2022
Mục lục
1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 1
1.1 ÁNHXẠ........................................... 1
1.2 DÃYSỐ............................................ 2
1.3 HÀMSỐ........................................... 2
1.3.1 Hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Một số kết quả thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Tính giới hạn của một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Giới hạn một bên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4 Các dạng vô định khi tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN 23
2.1 ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Đạo hàm bên trái và bên phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng và trên một đoạn . . . . . . . . . . . 24
2.2 ĐẠO HÀM HÀM HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 SỰ KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10 BÀI ĐỌC THÊM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 TÍCH PHÂN 46
3.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Cách tính nguyên hàm của một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ HỘI TỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 Thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 HÀM HAI BIẾN 75
4.1 TÍCH DESCARTES VÀ KHÔNG GIAN Rn....................... 75
4.1.1 Tích Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Không gian Rn................................... 75
4.2 HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7 SỰ KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.2 Định lí liên quan giữa tính liên tục và khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.3 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.8 ĐẠO HÀM HÀM HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.9 ĐẠO HÀM HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10.2 Thuật toán tìm cực trị (tự do) của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.10.4 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.11 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 97
5.1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Các loại ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.2 Lũy thừa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.1 Ma trận bậc thang và phép khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.2 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6.4 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính. . . . . . . . . . . 102
5.7 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103