TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN & CÔNG NGHỆ
————oOo————
Bài giảng
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
Giảng viên : Từ Thị Việt Hà
BUÔN MA THUỘT
2017
1
MỤC LỤC
MỤC LỤC 3
1 Lí thuyết độ đo 4
1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Đại số các tập hợp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Đại số, σ- đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Đại số các gian trong IRk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Độ đo trên đại số các tập hợp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Các khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Tính chất của độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Độ đo ngoài và độ đo ngoài sinh bởi một độ đo . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Tập đo được theo nghĩa Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Độ đo Lebesgue trên IRk............................... 28
1.5.1 Độ đo Lebesgue trên IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.2 Độ đo Lebesgue trên IRk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Khái niệm hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2 Các tính chất của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
1.6.3 Tập có độ đo không và tính chất "hầu khắp nơi" . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.4 Cấu trúc của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.5 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Tích phân Lebesgue 49
2.1 Tích phân của hàm đơn giản đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2 Tính chất của tích phân hàm đơn giản đo được không âm . . . . . . . . 52
2.2 Tích phân của hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.2 Tính chất của tích phân hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Tích phân của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2 Tính chất của tích phân hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 75
2.4.1 Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên [a;b]. 75
2.4.2 Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên [a; +∞)76
2.4.3 Thuật toán Lebesgue tính tích phân Lebesgue trên [a;b]......... 78
2.5 Hướng dẫn giải bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO 88
3
Chương 1
Lí thuyết độ đo
1.1 Tập hợp
1.1.1 Các khái niệm
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học không được định nghĩa. Các tập hợp
được dùng để nhóm các đối tượng lại với nhau.
Giả sử tập hợp X6=∅.
•Phần tử: những điểm thuộc Xđược gọi là các phần tử của X. Kí hiệu: x1, x2, ..., xn∈X.
•Tập con: Ađược gọi là tập con của Xkhi và chỉ khi ∀x∈Athì x∈X. Kí hiệu: A⊂X.
•Tập bằng nhau: hai tập Avà Bđược gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu A⊂Bvà B⊂A,
kí hiệu: A=B.
•Lớp các tập: tập hợp mà các phần tử của nó là các tập hợp được gọi là lớp các tập. Kí
hiệu: A,B...
•Dãy các tập: là một lớp các tập bao gồm một số đếm được các tập hợp. Kí hiệu: {An}n∈N,
{Bn}n∈N.
1.1.2 Các phép toán
Cho X6=∅,A⊂X,B⊂X.
•Phép hợp
C=A∪B={x∈X:x∈A or x ∈B}.
C=∞
∪
n=1 An={x∈X:∃n0∈N:x∈An0}.
4
LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 5
•Phép giao
C=A∩B={x∈X:x∈A&x∈B}.
C=∞
∩
n=1 An={x∈X:∀n∈N:x∈An}.
•Hiệu của hai tập hợp
C=A\B={x∈X:x∈A&x /∈B}.
•Hiệu đối xứng của hai tập hợp
A△B=A\B∪B\A.
•Phép lấy phần bù (trên X)
Kí hiệu:Bhay Bc=X\Bvà B={x∈X:x /∈B}.
•Phân hoạch: Lớp Cgồm các tập rời nhau được gọi là một phân hoạch của Xnếu X=
P
C∈C
C.
1.1.3 Các tính chất
•Tính chất giao hoán
A∪B=B∪A, A ∩B=B∩A, A △B=B△A.
•Tính chất kết hợp
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C, A ∪(B∪C) = (A∪B)∪C.
•Tính chất phân phối
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A ∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C),
A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C).
•Công thức De Morgan
∞
∪
n=1 An=∞
∩
n=1 An,∞
∩
n=1 An=∞
∪
n=1 An.