BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH
Giảng viên: ThS. Vũ Hứa Hạnh Nguyên
Đà Nẵng, 2023
Bài giảng Giải tích Đại học Kiến trúc Đà Nẵng
Giảng viên: ThS Vũ Hứa Hạnh Nguyên 2
Chương 0 KIẾN THỨC NHẬP MÔN
§1. TẬP HỢP – ÁNH XẠ - TẬP HỢP SỐ
1.1. Tập hợp
1.1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không được định nghĩa.
Những vật, hay đối tượng toán học được tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập một
tập hợp.
Ví dụ: Tập các sinh viên trong một lớp học, tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, tập hợp
các nghiệm thực của phương trình
220xx
,…
Một tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ cái in hoa: A, B, C, …, X, Y, Z…
Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là , tập hợp các số nguyên kí hiệu là , tập hợp các số hữu
tỉ kí hiệu là , tập hợp các số thực kí hiệu là , tập hợp các số phức kí hiệu là , …
Các vật hay đối tượng thành lập một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó.
Phần tử của tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ cái thường: a, b, c, …, x, y, z…
Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết
aA
, đọc là ‘‘a thuộc A’’ hay ‘‘a là phần tử
của tập hợp A’’. Để chỉ b không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết
bA
, đọc là ‘‘b
không thuộc A’’ hay ‘‘b không phải là một phần tử của tập hợp A’’.
Ví dụ:
11
0 ; 1 ; 1 ; 1 ; ; ; 2 ; 2 ; ...
22
Tập hợp gồm một số hữu hạn phần tử gọi là tập hợp hữu hạn. Tập hợp gồm vô số phần tử gọi
là tập hợp vô hạn.
1.1.2. Các phương pháp biểu diễn tập hợp
a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê
Theo cách này, ta liệt kê đầy đủ tất cả các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi
phần tử chỉ viết một lần.
Ví dụ: A là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5.
Ta viết:
{1, 2, 3, 4}A
hoặc
{3, 2, 4, 1}A
hoặc
{2, 4, 1, 3}A
, …
Chú ý
1. Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp, ta không quan tâm đến thứ tự của chúng.
2. Khi số phần tử của một tập hợp quá lớn, hoặc tập hợp có vô số phần tử, người ta thường chỉ
viết một số phần tử đầu tiên của tập hợp, đồng thời chỉ ra quy luật viết các phần tử còn lại,
hoặc trong một số trường hợp các quy luật đó cũng không được viết ra và được coi như đã
biết.
Bài giảng Giải tích Đại học Kiến trúc Đà Nẵng
Giảng viên: ThS Vũ Hứa Hạnh Nguyên 3
Ví dụ
1. Tập hợp các số tự nhiên được viết là:
{0,1, 2, 3, ..., , ...}n
Hoặc
{0,1, 2, 3, ...}
2. Tập hợp
các số tự nhiên lẻ được viết là:
{1, 3, 5, 7, ..., 2 1, ...}An
Hoặc
{1, 3, 5, 7, ...}A
b. Biểu diễn theo thuộc tính đặc trưng
Ví dụ: A là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5. Ta viết
{ | 0 5}A n n
B là tập hợp các ước dương của 12. Ta viết
{ | 12}B n n
1.1.3. Quan hệ giữa các tập hợp
a. Quan hệ bao hàm – Tập con
Cho hai tập hợp A và B. Ta nói A là tập hợp con của tập hợp B hay tập hợp A chứa trong tập
hợp B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B. Kí hiệu:
AB
hay
BA
.
Ví dụ:
*
.
b. Tập hợp bằng nhau
Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập A bằng tập B nếu
AB
và
BA
hay mọi phần tử của A
đều là của B và ngược lại. Kí hiệu:
AB
.
c. Tập hợp rỗng
Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu:
.
Quy ước: Tập hợp rỗng
là tập con của mọi tập hợp:
A
, với mọi tập hợp A.
1.1.4. Các phép toán trên tập hợp
a. Phép hợp
Định nghĩa: Cho hai tập A và B. Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai
tập A hay B gọi là hợp của hai tập hợp A và B. Kí hiệu:
AB
.
: { |A B x x A
hoặc
}xB
Ví dụ: Cho tập
{ , , , }A a b c d
;
{ , , , }B c d e f
, ta có
{ , , , , , }A B a b c d e f
b. Phép giao
Định nghĩa: Cho hai tập A và B. Tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi là
giao của hai tập hợp A và B. Kí hiệu:
AB
.
: { |A B x x A
và
}xB
Bài giảng Giải tích Đại học Kiến trúc Đà Nẵng
Giảng viên: ThS Vũ Hứa Hạnh Nguyên 4
Ví dụ: Cho tập
{ , , , }A a b c d
;
{ , , , }B c d e f
, ta có
{ , }A B c d
c. Phép lấy hiệu
Định nghĩa: Cho hai tập A và B. Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi
là hiệu của tập A với tập B. Kí hiệu:
\AB
(hoặc
AB
).
\ : { | và }A B x x A x B
Nếu
BA
thì ta kí hiệu
\A
A B C B
, gọi là bổ sung (phần bù) của B trong A.
Ví dụ: Cho tập
{ , , , }A a b c d
;
{ , , , }B c d e f
, ta có
\ { , }A B a b
,
\ { , }B A e f
d. Tính chất của phép hợp, phép giao và phép lấy hiệu
1. Tính chất giao hoán
A B B A
;
A B B A
2. Tính chất lũy đẳng
A A A
;
A A A
3. Tính chất kết hợp
( ) ( )A B C A B C
;
( ) ( )A B C A B C
4. Tính chất phân phối
( ) ( ) ( )A B C A B A C
;
( ) ( ) ( )A B C A B A C
5. Công thức De Morgan
\( ) ( \ ) ( \ )X A B X A X B
;
\( ) ( \ ) ( \ )X A B X A X B
1.1.5. Tích Descartes
Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Tích Descartes của A và B, kí hiệu
AB
, là một tập hợp
gồm các cặp sắp thứ tự
( , )ab
với
vàa A b B
.
{( , )| và }A B a b a A b B
Nếu
AB
thì ta kí hiệu tích Descartes
AA
là
2
A
và gọi là bình phương Descartes của tập
hợp A.
Quy ước:
AA
.
Ví dụ:
Cho tập
{ , }A a b
;
{1, 2, 3}B
, ta có
{( , 1), ( , 2), ( , 3), ( ,1), ( , 2), ( , 3)}A B a a a b b b
,
{(1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, )}B A a b a b a b
Bài giảng Giải tích Đại học Kiến trúc Đà Nẵng
Giảng viên: ThS Vũ Hứa Hạnh Nguyên 5
1.2. Ánh xạ
1.2.1. Định nghĩa
Cho hai tập hợp X và Y khác
,
Một ánh xạ f từ X vào Y là một qui tắc cho tương ứng mỗi phần tử
xX
với một và chỉ
một phần tử
yY
.
Kí hiệu :
:f X Y
()x y f x
- Tập X được gọi là tập gốc (tập nguồn), hay tập xác định của ánh xạ f.
- Tập Y được gọi là tập ảnh (tập đích)
- Phần tử
()y f x
gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và x được gọi là nghịch ảnh của y .
1.2.2. Các loại ánh xạ
a. Đơn ánh
Ánh xạ
:f X Y
gọi là đơn ánh nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x X x x f x f x
.
b. Toàn ánh
Ánh xạ
:f X Y
gọi là toàn ánh nếu với mọi phần tử bất kì
yY
, tồn tại ít nhất một phần
tử
xX
,
()f x y
.
c. Song ánh
Ánh xạ
:f X Y
gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, hay với mọi phần
tử bất kì
yY
, tồn tại duy nhất một phần tử
xX
,
()f x y
.
Hai tập A và B được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại một song ánh
:f A B
.
Cho tập
{1, 2, 3, ..., }In
, mọi tập bất kì X tương đương với I được gọi là một tập hữu hạn
(có số phần tử hữu hạn và bằng n), khi đó ta viết
()card X n
.
Một tập tương đương với tập các số tự nhiên gọi là một tập đếm được, ta viết
( ) ( )card card X
1.3. Tập hợp số
1.3.1. Tập các số thực
a. Các tính chất cơ bản của tập các số thực
Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ được gọi là tập hợp các số thực, kí hiệu là .
Tính chất 1: Tập là một trường giao hoán với hai phép toán cộng và nhân:
( , ,.)
1.
2
( , ) , , .a b a b a b
2.
2
( , ) , , . .a b a b b a a b b a