Toán kinh tế
Chương 1: Đại số tuyến tính và toán xác suất
A- Đại số tuyến tính
I- Không gian véc tơ và các phép toán
1. Định nghĩa:
Xét tập V khác rỗng mà mỗi phần tử ta quy ước gọi là 1 vét tơ và trường số
thực R. Giả sử trong V ta định nghĩa được 2 phép toán: phép cộng 2 véc tơ và phép
nhân 1 véc tơ với 1 số thực thoả mãn 10 yêu cầu sau với x, y, z V và k, l R
thì tập V được gọi là 1 không gian véc tơ trên trường R.
Không gian véc tơ trên trường số thực R là 1 tập V khác rỗng (mà mỗi phần tử
được quy ước gọi là 1 véc tơ) với 2 phép toán cộng véc tơ và nhân véc tơ với 1 số
thực R, thoả mãn 10 tính chất sau (gọi là 10 tiêu đề của không gian véc tơ) với x, y,
z V và k, l R:
(1) Nếu x và y V thì x + y V
(2) x + y = y + x với x, y V
(3) x + (y + z) = (x + y) + z với x, y, z V
(4) véc tơ V sao cho: + x = x + = x với x V
phần tử được gọi là phần tử trung hoà của phép (cộng) +
(5) Với mỗi x V tồn tại véc tơ -x V sao cho:
x + (-x) = (-x) + x =
phần tử –x được gọi là phần tử đối xứng (hay phần tử đối) của x
(6) Nếu k R và x V thì kx V
(7) k(x + y) = kx + ky
(8) (k + l) x = kx + lx
(9) k(lx) = (kl) x
(10) 1.x = x
2. Các phép toán véc tơ
- Phép cộng 2 véc tơ là 1 luật hợp thành trong (phép toán) trên V cho phép tạo
ra từ 1 cặp véc tơ x, y V một véc tơ duy nhất gọi là tổng của chúng, ký hiệu là x +
y.
- Phép nhân 1 véc tơ với 1 số (còn gọi là phép nhân với vô hướng) là 1 luật hợp
thành ngoài trên V cho phép tạo ra từ 1 véc tơ x V và 1 số thực k R một véc tơ
duy nhất gọi là tích của chúng, ký hiệu là kx.
Nếu x, y cho dạng thành phần (toạ độ):
Thí dụ: xét Rn là tập mà mỗi phần tử là 1 bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn),
còn gọi là 1 véc tơ n thành phần. Xét x = (x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn).
- Phép cộng véc tơ và phép nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn+ yn)
kx = (kx1, kx2, …, kxn), k R
- Ngoài ra x = y khi và chỉ khi xi = yi, i
3. (Họ véc tơ) độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
3-1. Khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
1> Định nghĩa: V là 1 khôzz5ng gian véc tơ, S = { x1, …, xn} V.
Xét điều kiện: c1x1 + … + cn xn = (I-1)
- Nếu điều kiện (I-1) chỉ xảy ra khi: c1 = 0, …, cn = 0 thì ta nói họ S độc lập
tuyến tính.
- Nếu các số thực c1, …, cn không đồng thời bằng 0 để (I-1) thoả mãn thì ta
nói họ S phụ thuộc tuyến tính.
3.2. Thí dụ:
1> Xét xem họ {i, j}, i = (1,0), j = (0,1) trong R2 là độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính.
Giải: viết theo điều kiện (I-1): c1(1,0) + c2(0,1) = (0,0)
Nó tương đương với: (c1, c2) = (0,0)
Điều kiện (I-1) chỉ xảy ra khi: c1 = 0, c2 = 0. Do đó họ {i, j} là độc lập tuyến
tính trong R2.
2> Cho x = (1,2), y = (1,1) trong R2. Hỏi họ {x, y} có độc lập tuyến tính
không?
Giải:
Điều kiện (I-1) viết: c1(1,2) + c2(1,1) = (0,0)
Nó tương đương với: (c1 + c2, 2c1 + c2) = (0,0)
Điều kiện (I-1) chỉ xảy ra khi:
0 c 2c
0 c c
21
21
Hệ này có định thức bằng -1 ≠ 0 nên chỉ có nghiệm tầm thường:
c1 = c2 = 0. vậy c1x + c2y = chỉ xảy ra khi: c1 = c2 = 0.
Do đó họ {x, y} độc lập tuyến tính trong R2.
3> Cho họ S = {(3,- 6), (-2, 4)}. Hỏi nó có độc lập tuyến tính trong R2 không?
Giải:
Viết theo điều kiện (I-1)): c1(3,- 6) + c2(-2, 4) = (0,0)
Phương trình này tương đương với: (3c1 - 2c2, - 6c1 + 4c2) = (0,0)
Nó tương đương với:
0 4c 6c -
0 2c -3c
21
21
Hệ này có nó không tầm thường, chẳng hạn: c1 = 2, c2 = 3
Do đó họ S đã cho phụ thuộc tuyến tính.
4> Trong không gian R3 (các véc tơ hình học trong không gian có chung gốc
hay các véc tơ hình học tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các véc tơ
bằng nhau)) thì:
- Hai véc tơ đồng phương là phụ thuộc tuyến tính.
- Hai véc tơ không đồng phương là độc lập tuyến tính.
- Ba véc tơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính.
- Ba véc tơ không đồng phẳng là độc lập tuyến tính.
- Bốn véc tơ bất kỳ là phụ thuộc tuyến tính.
* Chú ý: Mọi họ véc tơ S chứa véc tơ không là phụ thuộc tuyến tính.
II- Ma trận
1. Các khái niệm cơ bản
- Định nghĩa: Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột
mnm2m1
2n2221
1n1211
a ... a a
... ... ...
a ... a a
a ... a a
A ...
được gọi là 1 ma trận cỡ m x n.
ij
a
là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i, cột j.
Để ký hiệu ma trận ta có thể dùng 2 dấu ngoặc vuông hoặc 2 dấu ngoặc tròn.
- Để nói A là ma trận cỡ m x n có phần tử nằm ở hàng i, cột j là
ij
a
; ta viết:
nx m
ij
a A
- Khi m = n thì bảng số trở thành vuông, ta có ma trận vuông với n hàng, n cột;
ta gọi nó là ma trận cấp n
nnn2n1
2n2221
1n1211
a ... a a
a ... a a
a ... a a
Các phần tử:
11
a
,
, …,
nn
a
gọi là các phần tử chéo. Đường thẳng xuyên
qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính.
- Ma trận A cấp n:
nn
2n22
1n1211
a ... 0 0
a ... a 0
a ... a a
còn viết
nn
2n22
1n1211
a
a ... a
a ... a a
trong đó
ij
a
= 0 nếu i j gọi là ma trận tam giác trên.
Ma trận cấp n:
nnn2n1
2221
11
a ... a a
0 ... a a
0 ... 0 a
còn viết
nnn2n1
2221
11
a a a
a a
a
trong đó
ij
a
= 0 nếu i j gọi là ma trận tam giác dưới.
Ma trận cấp n:
nn
22
11
a ... 0 0
0 ... a 0
0 ... 0 a
còn viết
nn
22
11
a
a
a
trong đó
ij
a
= 0 nếu i ≠ j gọi là ma trận chéo.
Thí dụ:
Bảng số:
6 5
3 2
A 4
1
là 1 ma trận cỡ 2 x 3 với các phần tử:
6 a 5 a 4 a
3 a 2 a 1 a
232221
131211
Bảng số:
3
2
1
B
là ma trận cỡ 3 x 1 với các phần tử:
3 b 2 b 1 b 131211
Bảng số:
6 5 C 4
là ma trận cỡ 1 x 3 với các phần tử:
6 c 5 c 4 c 131211
2. Các phép tính ma trận
2-1. Cộng ma trận
1. Định nghĩa: cho 2 ma trận cùng cỡ m x n:
n x m
ij
a A
,
n x m
ij
b B
Tổng A + B là ma trận cỡ m x n được xác định bởi: A + B =
nx m
ijij b a
tức là
ijijij b a B) (A
Như vậy, muốn cộng 2 ma trận cùng cỡ ta cộng các phần tử ở cùng vị trí.
Thí dụ: 44
2. Tính chất: (Dễ thấy rằng)
A + B = B + A
A + 0 = 0 + A = A
Nếu gọi:
n x m
ij
a- A -
thì còn có: A + ( -A) = (-A) + A = 0
Nếu có thêm ma trận C với:
nx m
ij
c C
thì: (A + B) + C = A + (B + C)
* Chú ý: gọi
m x n là tập các ma trận cỡ m x n. Khi đó (
m x n, +) là 1 nhóm giao
hoán.
2-2. Nhân ma trận với 1 số
1. Định nghĩa: Cho
nx m
ij
a A
, k R
thì tính kA là ma trận cỡ m x n được xác định bởi:
nx m
ij
ka kA
3- Định thức (của ma trận vuông)
1. Xác định giá trị của định thức:
- Xét ma trận cấp n:
nnnjn2n1
iniji2i1
2n2j2221
1n1j1211
a ... a ... a a
... ... ... ... ... ...
a ... a ... a a
... ... ... ... ... ...
a ... a ... a a
a ... a ... a a
A
Ta chú ý đến phần tử aij, bỏ đi hàng i và cột j ta thu được ma trận chỉ còn n-1
hàng, n-1 cột; tức là ma trận cấp n-1. Ta ký hiệu nó là Mij và gọi nó là ma trận con
ứng với phần tử aij.
Chẳng hạn, với:
333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
A
ta có:
3332
2322
11 a a
a a
M
3331
2321
12 a a
a a
M
3231
2221
13 a a
a a
M
3332
1312
21 a a
a a
M
3331
1311
22 a a
a a
M
3231
1211
23 a a
a a
M
2322
1312
31 a a
a a
M
2321
1311
32 a a
a a
M
2221
1211
33 a a
a a
M
- Định nghĩa III.1. Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) được định nghĩa
(dần dần) như sau:
A là ma trận cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11
A là ma trận cấp 2:
2221
1211
a a
a a
A
thì
det(A) = a11 det(M11) - a12 det(M12) = a11 a22 - a12 a21
(chú ý rằng a11 và a12 là các phần tử nằm cùng ở hàng 1 của ma trận A)
A là ma trận cấp n thì:
det(A) = a11 det(M11) - a12 det(M12) + … + (-1)1+n a1n det(M1n)
(chú ý rằng a11, a12, …, a1n là các phần tử cùng nằm ở hàng 1 của ma trận A)
- Để ký hiệu định thức, người ta dùng 2 gạch đứng đặt ở 2 bên:
2221
1211
a a
a a
333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
Định thức của ma trận cấp n gọi là định thức cấp n.
Thí dụ:
4 3
2 1
= 1.4 – 2.3 = -2
8- 7
5
9 7
6 4-
9 8-
6
9 8- 7
6 5 4-
3 2 1 4
32
5
1
= 1 (45 + 48) – 2 (-36 – 42) + 3 (32 – 35) = 240
2. Tính chất của định thức
2-1. Tính chất 1: det(At) = det(A)
Hướng chứng minh: trước hết chứng minh công thức phụ:
det(A) = a11 det(M11) – a21 det(M21) + … + (-1)n+1 an1 det(Mn1) (III-1)
Thí dụ:
2- 3.2 - 1.4
4 2
3 1
2-
4 3
2 1