60
Chương 3
BÀI TOÁN TỐI ƢU
1. CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1. Cực trị
1. Định nghĩa
Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại a
Df nếu tồn tại một lân cận
V(a) nào đó của điểm a, V(a)
Df' , sao cho
f(x) < f(a) (f(x) > f(a)),
x V(a) \ a
Các giá trị cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung là các cực trị. Cực trị của một hàm số mang tính
chất địa phương, vì chỉ đƣợc xét trong một lân cận V(a).
2. Điều kiện cần
Định lý
Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại a thì y'(a) = 0 hoặc không tồn tại y'(a)
Những điểm mà y'(a) = 0 đƣợc gọi là các điểm dừng. Các điểm dừng và các điểm mà tại đó
không tồn tại đạo hàm đƣợc gọi là điểm ngờ (có cực trị). Cho nên muốn tìm các cực trị, ta chỉ
cần xét trên tập hợp các điểm ngờ.
3. Điều kiện đủ
a. Định lý (Điều kiện đủ thứ 1)
Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trong V(a), có đạo hàm (hữu hạn) trong V(a) (có
thể trừ tại a) và a là một điểm ngờ.
Nếu f '(x) đổi dấu từ + sang - khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực đại tại x=a,
Nếu f '(x) đổi dấu từ - sang + khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực tiểu tại x=a.
b. Định lý (Điều kiện đủ thứ 2)
Giả sử f '(a) = f”(a) = .... = f(n-1)(a) = 0 và f(n)(a)
0 (nN và n2).
Khi đó:
Nếu n là một số chẵn thì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x=a:
Hàm số đạt cực đại tại x=a nếu f(n)(a) < 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=a nếu f(n)(a) < 0
Nếu n là một số lẻ thì hàm số y = f(x) không đạt cực trị tại x=a.
1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]. Nếu hàm số liên tục trên [a,b], theo Weierstrass, hàm số đạt
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a,b]. Các điểm này hoặc là các điểm ngờ trong (a,b) hoặc
2 đầu mút a và b. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất (maxy), giá trị nhỏ nhất (miny) của hàm số
trên [a,b], ta xét tập các giá trị của hàm số tại các điểm ngờ trong (a,b) và f(a), f(b). Sau đó,
trên tập các giá trị vừa tìm đƣợc, ta chọn ra maxy và miny.
2. Ví dụ
Tìm maxy, miny của y = x4 - 2x2 + 1 trong [-2, 2]
61
Ta tìm các điểm dừng trên (-2, 2)
Cho y' = 0 hay 4x3 - 4x = 0 ta có x1 = 0, x2 = - 1, x3 = 1 và x1, x2, x3
(-2; 2)
Tính: f(-2) = 9; f(2) = 9;
f(1) = 0; f (-1) = 0 f(0) = 1;
Vậy maxy = 9 và miny = 0
1.3. Bài toán tối ƣu
Bài toán tối ƣu trong kinh tế là bài toán tìm cực đại hoặc cực tiểu các hàm kinh tế. Các hàm
này đƣợc gọi là hàm mục tiêu. Chẳng hạn cần tìm cực tiểu của hàm chi phí C, tìm cực đại của
hàm lợi nhuận
,...
1. Cực tiểu giá thành
Xét hàm C = C(Q) là hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm.
Khi đó hàm giá thành P(Q) = AC(Q) =
C(Q)
Q
. Cần tìm mức sản xuất Q thích hợp, để hàm
giá thành đạt cƣc tiểu. Muốn tìm điểm dừng Qo , ta giải phƣơng trình
P'(Q) =
2
1
Q
[C'(Q).Q - C(Q)] = 0 C '(Q) =
C(Q)
Q
MC(Q) = P(Q) (*)
Nhƣ vậy nghiệm Q0 của (*) là hoành độ giao điểm hai đƣờng MC(Q) và P(Q). Sử dụng điều
kiện đủ để xét giá trị Qo có phải là điểm làm cho P đạt cực tiểu hay không.
2. Cực đại lợi nhuận
Hàm lợi nhuận đƣợc tính là hiệu giữa hàm tổng doanh thu R và hàm tổng chi phí C:
Trên thị trƣờng cạnh tranh R = p.Q và C = C(Q) (p là giá bán một đơn vị sản phẩm, Q là số
lƣợng sản xuất và bán đƣợc trên thị trƣờng). Ta có
= p.Q - C(Q)
Khi đó cần tìm mức sản xuất Q để hàm
đạt cực đại.
Chú thích
Điểm
Q
mà tại đó hàm
=0 đƣợc gọi là điểm hòa vốn.
Nếu
>0 thì sản xuất có lãi, nếu
<0 thì nhà sản xuất chịu lỗ.
3. Ví dụ
Giả sử hàm chi phí C = Q3 - 12Q2 + 60Q (Q > 0)
Khi đó hàm chi phí cận biên MC(Q) = C ' = 3Q2 - 24Q + 60
Hàm giá thành P(Q) = AC(Q) =
2
CQ 12Q 60
Q
P’= 2Q - 12
P’= 0 2Q - 12 = 0 Q = 6
P"= 2, P”(6) > 0.
Vậy tại Q = 6 thì P đạt cực tiểu và P(6) = 62-12.6+60 = 24.
Ta có: MC(6) = 3.62 -24.6 + 60 = 24
62
Điểm A(6, 24) (điểm cực tiểu của P(Q)) là giao điểm hai đồ thị hàm P(Q) và hàm MC(Q), hay
đồ thị MC(Q) đi qua điểm cực tiểu của P(Q).
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC
VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN
2.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần
Giả sử hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả
các biến độc lập trong miền
D = { M(x1, x2,... ,xn): ai< xi< bi, i = 1, 2,... ,
n
1. Định nghĩa
Ta nói rằng hàm số w = f (x1, x2,..., xn) đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm
1 2 n
M x ,x ,...,x
D nếu tồn tại số
>0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức
f(x1, x2,... ,xn) < f(
1 2 n
x , x ,..., x )
( f(x1, x2,... ,xn) > f(
1 2 n
x , x ,..., x )
)
đƣợc thỏa mãn tại mọi điểm M(x1, x2,... ,xn)
1 2 n
M x ,x ,...,x
của miền D có
khoảng cách d(M,
M
) <
.
2. Định lý
Điều kiện cần để hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm
1 2 n
M(x ,x ,...,x ) D
là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu:
i
'
x i 1 2 n
w f x ,x ,...,x 0
i 1,2,...,n

(1)
Điểm
M
thỏa mãn điều kiện (1) đƣợc gọi là điểm dừng của hàm số.
2.2. Điều kiện đủ
1. Trƣờng hợp hàm số 2 biến số
a. Giả sử Mo(xo,yo) là một điểm dừng của hàm số w = f(x, y) và tại điểm đó hàm số có tất cả
các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.
Xét định thức:
63
D =
11 12
11 22 12 21
21 22
aa a a a a
aa 
trong đó
" " " "
11 xx o o 12 xy o o 21 yx o o 22 yy o o
a f (x , y ), a f (x , y ), a f (x , y ), a f (x , y )
Định lý
Nếu D > 0 và a11> 0
thì hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực tiểu tại điểm Mo(xo, yo),
Nếu D > 0 và a11< 0
thì hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực đại tại điểm Mo(xo, yo),
Nếu D < 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm Mo(xo, yo).
Chú ý
Với các giả thiết nêu trên, ta luôn có a12 = a21. Do đó, khi D = a11 a22 -
2
12
a
> 0 thì a11.a22> 0.
Vậy a11 và a22 có dấu nhƣ nhau.
b. Ví dụ
Ví dụ
Tìm cực trị của hàm số w = 8x3 + 2xy - 3x2 + y2
Trƣớc hết ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2:
' 2 '
xy
w 24x 2y 6x, w 2x 2y
" " " "
xx xy yx yy
w 48x 6, w w 2, w 2
Các điểm dừng của hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình:
'2
x
'
y
w0 12x y 3x 0
w0 x y 0


Hệ phƣơng trình này có 2 nghiệm (x=0, y=0) và (x=
11
, y )
33

. Theo định lý về điều kiện
cần, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm này. Ta sử dụng định lý về điều kiện đủ để kiểm
tra lần lƣợt từng điểm.
Với x = 0 và y = 0 ta có:
a11 =- 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2,
D = (-6) 2-22 =-16 < 0
Vậy tại điểm này hàm số không có cực trị.
Tại điểm (x =
11
, y )
33

ta có a11 = 10 > 0, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = 20 - 4 > 0
Vậy, theo định lý về điều kiện đủ, hàm số đạt cực tiểu tại điểm (
11
,)
33
.
Dễ dàng tính đƣợc wmin = w
1 1 4
,
3 3 27



64
2. Trƣờng hợp hàm số n biến số
a. Giả sử
1 2 n
M x , x ,..., x
là một điểm dừng của hàm số w = f(x1, x2,... , xn) và tại điểm đó
hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.
Lập ma trận H vuông cấp n với các phần tử là các đạo hàm riêng cấp hai của w tại điểm dừng
M
(Ma trận H có tên gọi là ma trận Hess hay Hessian)
H =
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a
...................
a a ... a






trong đó
aij =
2
1 2 n ij 1 2 n
ij
w(x ,x ,...,x ) f (x , x ,...,x )
xx

Với mỗi k = 1, 2,... , n ta gọi Hk là định thức con tạo thành từ k dòng đầu và k cột đầu của ma
trận H:
Hk =
11 12 1k
21 22 2k
k1 k 2 kk
a a ... a
a a ... a
...................
a a ... a
Các định thức H1, H2,., Hn đƣợc gọi là các định thức con chính của ma trận H (Hn = |H| ).
Định lý
Nếu Hk> 0 với mọi k = 1, 2,... , n
thì hàm số w = f(x1, x2,... , xn) đạt giá trị cực tiểu tại điểm
1 2 n
M x , x ,..., x
.
Nếu (-1)k Hk> 0 với mọi k = 1, 2,... , n
thì hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) đạt giá trị cực đại tại điểm
1 2 n
M x , x ,..., x
b. Ví dụ
Tìm cực trị của hàm số
22
y z 2
w x x 0, y 0, z 0
4x y z
Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai:
22
' ' '
x y z
2 2 2
y y z 2z 2
w 1 , w , w ,
4x 2x y y z
22
" " "
xx yy zz
3 3 3
y 1 2z 2 4
w , w , w ,
2x 2x y y z
" " " " " "
xy yx xz zx yz zy
22
y 2z
w w , w w 0, w w .
2x y