1
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI
PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – LÊ ĐÌNH THÚY
TOÁN KINH TẾ
Giáo trình dùng cho Sinh viên Kinh tế
(Có bổ sung và chỉnh lý)
HÀ NỘI - 2022
2
3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………………………7
Chƣơng 1
CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH………………………………………...9
1.1. Các khái niệm cơ bản..……………………………………………………………………..9
1.2. Các phép toán tuyến tính trên ma trận……………………………………………………10
1.3. Phép chuyển vị……………………………………………………………………………10
2. ĐỊNH THỨC………………………………………………………………………………..11
2.1. Khái niệm và cách tính……………………………………………………………………11
2.2. Các tính chất cơ bản của định thức….……………………………………………………13
3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………………..14
3.1. Phép nhân ma trận với ma trận…….……………………………………………………..14
3.2. Ma trận nghịch đảo……………………………………………………………………….16
4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……………………………………………………..18
4.1. Các khái niệm cơ bản……………………………………………………………………..18
4.2. Hệ Cramer………………………………………………………………………………...18
5. CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ…….………………….20
5.1. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô…………...……………………………………………..20
5.2.Mô hình I/O (Input/Output) của Léontief…...………………………………...…………..21
Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 1…………………..………………………………… 25
BÀI TẬP CHƢƠNG 1………….……………………………………………………………..26
Chƣơng 2
HÀM SỐ, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ
1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ………………………………………………………………….28
1.1. Các khái niệm cơ bản…………………………………………………………………….28
1.2. Các phép tính trên hàm số…………………….………………………………………….28
2. CÁC HÀM SỐ THƢỜNG DÙNG…………………………………………………………29
2.1. Các hàm số thƣờng dùng…………………………………………………………………29
2.2. Một số hàm số kinh tế thƣờng dùng ……………………………………………………..30
3. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ…………………………………………….………………….30
3.1. Hàm số hai biến số……………………………………………………….……………….30
3.2. Hàm số n biến số……………………………………………………….…………………32
3.3. Các hàm số nhiều biến số quan trọng trong phân tích Kinh tế …………………………...32
4
4. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG….………………………………………………..34
4.1. Thị trƣờng một loại hàng hóa…….…………………………….…………………………34
4.2. Thị trƣờng nhiều hàng hóa……………………………………………………….……….34
5. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ…………………………….……….35
5.1. Đạo hàm………………………………………………………………………….……….35
5.2. Vi phân…………………………….…………………………………………….………..36
5.3. Đạo hàm cấp cao……………………………………………………………….…………37
5.4. Áp dụng trong Kinh tế…………………………………………………………..………..37
6. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ…….................................39
6.1. Đạo hàm riêng cấp 1…………………….. ……..……………………..…………………39
6.2. Vi phân toàn phần cấp 1………………………………..………………………….……..41
6.3. Đạo hàm riêng cấp 2………………………………………………………….…..………42
6.4. Áp dụng trong Kinh tế………………………………………..…………………………..43
7. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH………………………………………………………………….46
7.1. Nguyên hàm và tích phân bất định…………………………………..……………………46
7.2. Bảng tích phân cơ bản………………………………………………….…………………47
7.3. Tính chất………………………………………………………………….………………47
7.4. Một số phƣơng pháp tính tích phân bất định ……………………………………….……47
7.5. Áp dụng trong Kinh tế………………………..…………………………………………..48
8. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH…………………………………………………………….…….49
8.1. Định nghĩa……………………………………………..………………………………….49
8.2. Tính chất………………………………………………………………………………….50
8.3. Công thức Newton – Leibnitz……………………………………………….……………51
8.4. Một số phƣơng pháp tính tích phân xác định…….………………………………………51
8.5. Áp dụng trong Kinh tế………………………..…………………………………………..51
Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 2…………...……………………………………… ...54
BÀI TẬP CHƢƠNG 2…………………………….…………………………………………..55
Chƣơng 3
BÀI TOÁN TỐI ƢU
1. CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ…………………………………………………….…60
1.1. Cực trị……………………………………………………………………………….…….60
1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số……..…………………………………….60
1.3. Bài toán tối ƣu…………………………………………………………………………….61
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC
VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN……………………………………………………62
2.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần……………………………..…………………………62
2.2. Điều kiện đủ……………………….…………………………………….………………..62
2.3. Bài toán tối đa lợi nhuận…………………………………………………………….……65
5
3. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC…………..……..68
3.1. Cực trị có điều kiện với hai biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc…………...……..68
3.2. Cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc………...………….71
3.3. Ý nghĩa của nhân tử Lagrange……………………………………………..……………..73
4. BÀI TOÁN TỐI ƢU VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC…………………………..………..74
4.1. Cực đại lợi ích tiêu dùng…………………………………………………………….……74
4.2. Tối thiểu chi tiêu………………………………………………………………….………75
4.3. Sản xuất với sản lƣợng tối đa……………………………………………………….…….75
4.4. Sản xuất với chi phí tối thiểu…………………………………………………….……….76
4.5. Hãng độc quyền sản xuất một loại sản phẩm nhƣng tiêu thụ hàng hóa đó
ở hai thị trƣờng riêng biệt…………………………………………………………..…….76
Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 3...................................................................................79
BÀI TẬP CHƢƠNG 3……………………………………………………….………………..80
Chƣơng 4
PHÂN TÍCH ĐỘNG
1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN …………………………………………….………………..83
1.1. Khái niệm chung về phƣơng trình vi phân………………………………..………………83
1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một……………………………………………...……..83
2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LOẠI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT…….....85
2.1. Phƣơng trình phân ly biến số……………………………………………………..………85
2.2. Các phƣơng trình đƣa đƣợc về dạng phân ly biến số ……………………………………86
2.3. Phƣơng trình tuyến tính và phƣơng trình Bernoulli……………………..……………….88
3. ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ………………………………..………….91
3.1. Tìm hàm cầu khi biết độ co dãn của cầu theo giá……………………………..………….91
3.2. Phân tích thị trƣờng ………………………………………………………………………92
4. MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG ……………………………………………………………...93
4.1. Mô hình tăng trƣởng Domar……………………………………………..……………….93
4.2. Mô hình tăng trƣởng Solow ……………………………………………………………...94
Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 4….………………………………………..………....96
BÀI TẬP CHƢƠNG 4……………………………..………………………………………….97
TÀI LIỆU THAM KHẢO….…..………………………………………………….…….…..98
PHỤ LỤC
Sử dụng Casio fx-570 để tính toán ma trận và định thức..……………..……………..99