TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN
BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC
MỤC LỤC
Lời nói đầu 3
1 Đạo hàm 4
1.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tính đạo hàm bằng quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của hàm số . . . . . 9
1.5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức . . . . . . . . . . . 10
2 Nguyên hàm và tích phân 12
2.1 Tính nguyên hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Tính nguyên hàm bằng quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Tính tích phân xác định bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Tính tích phân xác định bằng quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Lí thuyết chuỗi 18
3.1 Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Đề thi 29
Tài liệu tham khảo 40
CHƯƠNG 1
ĐẠO HÀM
Trong chương này, chúng ta ôn tập lại một số dạng bài tập liên quan đến đạo
hàm.
1.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa
1.1.1 Định nghĩa (Đạo hàm).(1) Giả sử hàm số y=f(x)xác định trên (a,b).
Với x0∈(a,b), giá trị f′(x0)= lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0được gọi là đạo hàm của f(x)
tại x0.
Nếu f(x)có đạo hàm tại mọi x0∈(a,b)thì f(x)được gọi là có đạo hàm trên
(a,b).
(2) Giả sử hàm số y=f(x)xác định trên [x0,b). Khi đó giá trị f′(x+
0) =
lim
x→x+
0
f(x)−f(x0)
x−x0được gọi là đạo hàm bên phải của f(x)tại x0.
(3) Giả sử hàm số y=f(x)xác định trên (a,x0]. Khi đó giá trị f′(x−
0) =
lim
x→x−
0
f(x)−f(x0)
x−x0được gọi là đạo hàm bên trái của f(x)tại x0.
1.1.2 Định nghĩa (Đạohàmcấp cao).Các kháiniệmđạohàmnhưtrong định nghĩa
trên còn được gọi là đạo hàm cấp 1.
Khi đó, bằng quy nạp, ta gọi đạo hàm cấp 1 của đạo hàm cấp n−1là đạo hàm
cấp n, nghĩa là
f(n)(x) = (f(n−1))′(x).
1.1.3 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2tại x0=1.
4
5BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
Giải. f′(1) = lim
x→1
x2−1
x−1=lim
x→1(x+1) = 2. Vậy f′(1) = 2.
1.1.4 Mệnh đề. Giả sử y=f(x)xác định trên (a,b)và x0∈(a,b). Khi đó f(x)có
đạo hàm tại x0khi và chỉ khi f(x)có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại x0
đồng thời hai đạo hàm này bằng nhau.
1.1.5 Ví dụ. Cho hàm số
f(x) = (x2nếu x≥0
−x2nếu x<0.
Tìm đạo hàm của f(x)tại x0=0.
Giải. Ta có f′(0+) = lim
x→0+
x2−0
x−0=lim
x→0+x=0.
f′(0−) = lim
x→0−−x2−0
x−0=lim
x→0−(−x) = 0.
Vậy f′(0+) = f′(0−) = 0. Do đó f′(0) = 0.
1.1.6 Ví dụ. Tính đạo hàm f′(0)của hàm số
f(x) =
x2sin 1
xnếu x6=0
0nếu x=0.
1.1.7 Ví dụ. Tính đạo hàm f′(1)của hàm số
f(x) = (xnếu x≤1
−x2+2xnếu x>1.
1.1.8 Ví dụ. Chứng tỏ hàm số f(x) = |x|2
3không có đạo hàm tại x=0.
1.1.9 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y=|x+1|3tại x=−1.
1.2 Tính đạo hàm bằng quy tắc
1.2.1 Mệnh đề (Phép toán số học của đạo hàm).Giả sử f(x),g(x)có đạo hàm tại
x0. Khi đó f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)
g(x)với g(x)6=0cũng có đạo hàm tại x0và
6BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH
1. (f±g)′(x0) = f′(x0)±g′(x0).
2. (fg)′(x0) = f′(x0)g(x0)+ f(x0)g′(x0).
3. f
g′(x0) = f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)
g2(x0).
Thông thường, chúng ta ít khi tính đạo hàm bằng định nghĩa mà thường tính
bằng các quy tắc. Ba mệnh đề tiếp theo đóng vai trò rất lớn trong việc tính đạo
hàm.
1.2.2 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm hợp).Giả sử u(x)có đạo hàm tại x0và f(u)có
đạo hàm tại u0=u(x0). Khi đó hàm số hợp f◦ucó đạo hàm tại x0và (f◦u)′(x0)=
f′(u0)u′(x0), viết gọn là
f′
x=f′
uu′
x.
1.2.3 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm ngược).Giả sử y=f(x)đơn điệu trên (a,b)và
f′(x0)6=0. Khi đó hàm ngược x=ϕ′(y)của y=f(x)có đạo hàm tại y0=f(x0)
và
ϕ′(y0) = 1
f′(x0).
1.2.4 Mệnh đề (Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản).1. Hàm hằng có đạo hàm
trên Rvà c′=0.
2. Hàm luỹ thừa có đạo hàm trên (0,+∞)và (xα)′=αxα−1.
3. Hàm số mũ có đạo hàm trên Rvà (ax)′=axlna,(ex)′=ex.
4. Hàm số lôgarit có đạo hàm trên (0,+∞)và (logax)′=1
xlna,(lnx)′=1
x.
5. Hàm số lượng giác có đạo hàm trên miền xác định của nó và
(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx,(tgx)′=1
cos2x,(cotgx)′=−1
sin2x.
6. Hàm số lượng giác ngược arcsinxcó đạo hàm trên (−1,1)và
(arcsinx)′=1
√1−x2.