GIẢI TÍCH HÀM
ÔN TẬP THI CUỐI KỲ
HỌC KỲ 2 – NĂM HỌC 2023–2024
Câu 1. Trong không gian các dãy số thực ℓ2, cho ánh xạ T:ℓ2→ℓ2với chuẩn ∥·∥2xác định bởi
Tx =2nxn
2n+ 1
n
với x= (xn)n∈Z+∈ℓ2.
(a) Chứng tỏ Tđược định nghĩa tốt, nghĩa là Tx ∈ℓ2với mọi x∈ℓ2.
(b) Chứng tỏ Tlà ánh xạ tuyến tính liên tục.
(c) Với xét vectơ ek∈ℓ2,k∈Z+, với số 1 ở vị trí kvà 0 ở những vị trí còn lại. Tính ∥Tek∥2và
∥T∥.
(d) Có hay không tồn tại vectơ a∈ℓ2khác 0 sao cho ∥Ta∥=∥T∥∥a∥? Nếu có cho biết a, nếu
không chứng minh.
Câu 2. Trong không gian các dãy số thực ℓ1, cho ánh xạ T:ℓ1→ℓ1với chuẩn ∥·∥1xác định bởi
Tx =
∞
X
k= 0
ak
k!xn+ k
!
n
với hằng số thực a > 0cố định và x= (xn)n∈Z+∈ℓ1.
(a) Chứng tỏ Tđược định nghĩa tốt, nghĩa là Tx ∈ℓ1với mọi x∈ℓ1.
(b) Chứng tỏ Tlà ánh xạ tuyến tính liên tục.
(c) Với N∈Z+cố định, xét vectơ yN= (1,1,. .., 1,0,. ..)với Nsố 1. Tính ∥yN∥1và ∥TyN∥1
(để câu trả lời ở dạng Psau khi thu gọn).
(d) Sử dụng limN→∞ PN
k= 0 1−k−1
NaK
k! =ea, tính chuẩn ∥T∥.
Câu 3. (a) Trong không gian X=R7, xét tập hợp
M:= {(0,x2,0,x4,0,x6,0) ∈X}.
Chứng tỏ Mlà không gian con đóng trong Xvà tìm M⊥.
(b) Trong không gian H=L2([−π,π];R)với tích trong được cho bởi ⟨f , g⟩:= ´π
−πf(t)g(t) dt,
cho tập hữu hạn F:= {1,sin(nt),cos(nt)|1≤n≤N}
với N∈Z+cố định. Chứng tỏ Flà một họ trực giao và tìm một họ trực chuẩn từ F.
(c) Tìm hình chiếu của hàm f(t) = t+ 1 lên không gian tuyến tính Ysinh bởi các vectơ trong
Fvới N= 1. Tính khoảng cách từ hàm fđến không gian Y.
Câu 4. Cho không gian Hilbert H=L2([−2,2]; R)trên trường số thực với tích trong trên Hcho
bởi ⟨u,v⟩=´2
−2u(x)v(x) dx. Xét tập E=1,x, x2trong H.
1
2 HỌC KỲ 2 – NĂM HỌC 2023–2024
(a) Chứng tỏ tập Elà độc lập tuyến tính.
(b) Trực chuẩn hóa Gram–Schmidt các phần tử trong Eđể thu được họ trực chuẩn {e1,e2,e3}.
(c) Tính
min
a,b,c∈R
ˆ2
−2
x3−a−bx −cx2
2dx.
Câu 5. (a) Trong không gian định chuẩn X, chứng tỏ rằng với mọi x∈X, ta có:
∥x∥= sup {|Tx||T∈E∗,∥T∥= 1}.
(b) Cho vectơ xvà ytrong không gian định chuẩn X. Chứng tỏ nếu x=y, thì tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính f∈X∗sao cho f(x)=f(y).
(c) Cho không gian vectơ A={(xn)n∈ℓ1|2x1−x2= 0}và phiếm hàm f:A→Rxác định bởi
f(x) = 3
4x1. Chứng tỏ phiếm hàm g:ℓ1→Rvới x7→ 1
4(x1+x2)là mở rộng Hahn–Banach
duy nhất của f.
(d) Cho không gian con đóng Mtrong không gian Hilbert Hvà phiếm hàm tuyến tính liên tục
ftrên M. Chứng tỏ rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục mở rộng Hahn–Banach của f
từ Mđến Hlà duy nhất.