T.T. Quang
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Thái Thuần Quang (Chủ biên)
Nguyễn Văn Đại, Huỳnh Minh Hiền, Dương Thanh Vỹ
GIÁO TRÌNH
GIẢI TÍCH 3
(TRÌNH ĐỘ: ĐẠI HỌC, NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC)
Bình Định, 6/2020
T.T. Quang
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Thái Thuần Quang (Chủ biên)
Nguyễn Văn Đại, Huỳnh Minh Hiền, Dương Thanh Vỹ
GIÁO TRÌNH
GIẢI TÍCH 3
(TRÌNH ĐỘ: ĐẠI HỌC, NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC)
SỐ TÍN CHỈ: 2 (30 TIẾT)
(Lý thuyết: 20 tiết, Thực hành: 10 tiết)
Bình Định, 6/2020
T.T. Quang
Mục lục
Lời nói đầu v
1 KHÔNG GIAN Rn1
1.1 Cấu trúc véctơ và chuẩn trên không gian Rn................... 1
1.1.1 Cấu trúc véctơ trên không gian Rn.................... 1
1.1.2 Chuẩn trong không gian Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Mêtric trong không gian Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Cấu trúc tôpô trên không gian Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Hình cầu mở - Hình cầu đóng - Lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Không gian Rnmở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Tập mở - Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sự hội tụ trong không gian Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Mô tả sự hội tụ trong Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Tính đầy đủ của không gian Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Tập compact trong Rn............................... 18
1.4.1 Tập bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Câu hỏi hướng dẫn ôn tập, thảo luận, bài tập thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 HÀM NHIỀU BIẾN LIÊN TỤC 27
2.1 Giới hạn hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Giới hạn lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Hàm nhiều biến liên tục, liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
i
T.T. Quang
2.2.1 Liên tục theo tập hợp biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Liên tục theo từng biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Hàm liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Ánh xạ tuyến tính - Ánh xạ đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Ánh xạ tuyến tính và không gian L(Rn,Rm). . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Ánh xạ đa tuyến tính và không gian L(Rn1,Rn2,...,Rnk;Rm)...... 45
2.4 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Câu hỏi hướng dẫn ôn tập, thảo luận, bài tập thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tàiliệuthamkhảo.................................... 54
3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM VÔ HƯỚNG NHIỀU BIẾN 57
3.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một - Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Viphân.................................. 61
3.1.3 Đạo hàm hàm số kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.4 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.4 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Câu hỏi hướng dẫn ôn tập, thảo luận, bài tập thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Tàiliệuthamkhảo.................................... 89
4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM VÉCTƠ NHIỀU BIẾN 91
4.1 Đạo hàm cấp một toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1 Khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.2 Các tính chất và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Đạo hàm theo hướng - Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.2 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 Đạo hàm cấp cao - Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
ii
T.T. Quang
4.4 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Câu hỏi hướng dẫn ôn tập, thảo luận, bài tập thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 111
5.1 Định lý hàm ngược - Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.1 Định lý hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.2 Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Một số ứng dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.1 Biểu diễn giải tích các đường cong và mặt . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.2 Tiếp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.3 Hình bao của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.2 Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.3 Phương pháp nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Kết luận Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Câu hỏi hướng dẫn ôn tập, thảo luận, bài tập thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Danh sách hình vẽ 137
Chỉ mục 139
iii