THÁI THUẦN QUANG
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
GIẢI TÍCH HÀM
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
Quy Nhơn, 2013
Mục lục
Lời nói đầu .................................. i
Chương 1. Không gian định chuẩn 1
1.1 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Không gian con - không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly . . . . . . . . . . . . 40
Bài tập .................................... 45
Chương 2. Các nguyên lý cơ bản 48
2.1 Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bài tập .................................... 62
Chương 3. Không gian liên hợp - Tôpô yếu 64
3.1 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ . . . . . . . . . . 72
3.3 Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bài tập .................................... 84
Chương 4. Một số toán tử trong không gian Banach 87
4.1 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Phổ của toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bài tập .................................... 95
Chương 5. Không gian Hilbert 98
5.1 Khái niệm không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 121
Bài tập .................................... 132
Tài liệu tham khảo 135
Chỉ mục 140
Lời nói đầu
Giải tích hàm được bắt đầu xây dựng vào những năm đầu của thế kỷ 20, nhưng
cho đến nay hầu như đã được xem là một ngành toán học cổ điển, ít ra là về các
phương hướng chính thống của nó. Ngày nay giải tích hàm đóng vai trò quan trọng
trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học. Những thành tựu to lớn và các phương
pháp mẫu mực của nó đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan như
lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết biến phân,
lý thuyết hàm biến phức, phương pháp tính, ... Vì vậy có thể nói giải tích hàm là
nơi gặp gỡ của nhiều ngành toán học lý thuyết và ứng dụng.
Giáo trình này dành cho sinh viên năm cuối đại học sư phạm toán và năm thứ
ba ngành cử nhân khoa học toán. Nó trình bày các kiến thức cơ bản nhất của giải
tích hàm. Nội dung của giáo trình được chia thành 5 chương. Chương I trình bày
lý thuyết tổng quát các không gian định chuẩn và các toán tử xác định trên đó.
Chương II giới thiệu một cách có hệ thống các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm,
bao gồm: định lý Hahn-Banach, nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng, nguyên
lý bị chặn đều Banach-Steinhauss. Lý thuyết về không gian liên hợp và tôpô yếu
được trình bày trong chương III. Chương IV dược dành toàn bộ cho các vấn đề về lý
thuyết toán tử, toán tử compact và sơ lược vể phổ của toán tử. Cuois cùng, chương
V đi sâu nghiên cứu lý thuyết không gian Hilbert và toán tử tuyến tính liên tục trên
đó. Sau mõi chương đều có bài tập nhằm củng cố và nâng cao nội dung kiến thức
đã trình bày.
Trong khuôn khổ của một giáo trình đại học, chúng tôi chỉ đề cập những nét cơ
bản nhất, không thể trình bày được tất cả các hướng phát triển của giải tích hàm.
Để nắm bắt được giáo trình này, sinh vien cần có một kiến thức tối thiểu về giải
tích cổ điển, đại số tuyến tính, tôpô đại cương, các học phần giải tích trước đó. Tuy
nhiên chúng tôi cũng trình bày ở đầu giáo trình một số kiến thức cơ bản về không
Lời nói đầu ii
gian tuyến tính. Đồng thời, xen lẫn trong các bài giảng chúng tôi cũng nhắc lại một
vài khái niệm cũng như các kết quả cần thiết.
Giáo trình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy chúng tôi mong nhận
được và rất biết ơn các ý kiến phê bình, góp ý của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc
về giáo trình này.
Thái Thuần Quang
Khoa Toán
Đại học Quy Nhơn