TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN - TIN HỌC
——————– * * * ——————–
GIÁO TRÌNH
GIẢI TÍCH HÀM
(Tài liệu dành cho sinh viên Khoa Toán - Tin học)
TS. Nguyễn Ngọc Trọng
Thành Phố Hồ Chí Minh, Năm 2024
Mục lục
1 Không gian định chuẩn 3
1 Không gian định chuẩn ...................... 3
1.1 Định nghĩa ........................ 3
1.2 Topo của không gian định chuẩn ............ 4
1.3 Chuẩn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Không gian Banach ........................ 6
3 Ví dụ không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Chuỗi trong không gian định chuẩn ............... 8
5 Một số không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1 Không gian định chuẩn con ............... 10
5.2 Tích của hai không gian định chuẩn ........... 10
5.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều ......... 11
4 Bài tập Chương 1 ......................... 12
2 Ánh xạ tuyến tính liên tục 17
1 Ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Sự liên tục của ánh xạ tuyến tính ............ 17
1.2 Không gian L(X,Y ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Sự liên tục của phiếm hàm tuyến tính ......... 20
2.2 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Một số phiếm hàm và ánh xạ tuyến tính liên tục ........ 21
3.1 Phiếm hàm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Ánh xạ (I−A)−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Bài tập Chương 2 ......................... 24
3 Không gian Hilbert 27
1 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Chuẩn sinh bởi tích vô hướng .............. 28
1
Giải tích hàm
2 Phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Sự trực giao ........................ 28
2.2 Định lý phân tích trực giao ............... 29
2.3 Không gian liên hợp của không gian Hilbert ...... 30
3 Hệ trực chuẩn đầy đủ ....................... 31
3.1 Hệ trực chuẩn, chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Sự tồn tại hệ trực chuẩn đầy đủ ............. 34
4 Bài tập Chương 3 ......................... 34
2
Chương 1
Không gian định chuẩn
1 Không gian định chuẩn
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho Xlà không gian vector trên trường số R.Một ánh xạ
từ Xvào R,x7→ ∥x∥, được gọi là một chuẩn trên Xnếu thỏa mãn:
i)∥x∥ ≥ 0,∀x∈X,
ii)∥x|= 0 ⇔x= 0 (0 = 0Xlà phần tử không của X),
iii)∥λx∥=|λ|·∥x∥,∀λ∈R,∀x∈X,
iv)∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥,∀x,y ∈X.
Khi đó, không gian vector Xđược trang bị chuẩn ∥·∥ được gọi là không gian
định chuẩn và ký hiệu là (X,∥·∥). Số ∥x∥gọi là chuẩn của x.
Mệnh đề 1.2. Cho không gian định chuẩn (X,∥·∥). Khi đó:
i)|∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x−y∥,∀x,y ∈X.
ii) Ánh xạ d:X×X→R, d(x,y) = ∥x−y∥là một metric trên X, gọi là
metric sinh bởi chuẩn ∥·∥.
Chứng minh. Ta có:
∥x∥=∥(x−y) + y∥ ≤ ∥x−y∥+∥y∥ ⇒ ∥x∥ − ∥y∥ ≤ ∥x−y∥.
Thay đổi vài trò của x,y và chú ý rằng ∥x−y∥=∥y−x∥, ta được:
∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥x−y∥.
Từ đó suy ra i).
Mệnh đề ii) có thể kiểm tra dễ dàng từ định nghĩa metric. □
Nhận xét 1.3. Từ Mệnh đề 1.2 (i) ta thấy ∥·∥ là hàm liên tục đều trên X.
3
Giải tích hàm
1.2 Topo của không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.4. Topo của không gian định chuẩn (X,∥·∥)là topo sinh
bởi metric d(x,y) = ∥x−y∥.
Tập con Acủa một không gian vecto Eđược gọi là lồi nếu với mọi x,y ∈Avà
λ∈[0,1] ta đều có λx+(1−λ)y∈A. Tập [x,y] = {λx+(1−λ)y:λ∈[0,1]}
gọi là đoạn nối xvà y.
Tập con Acủa không gian định chuẩn Xgọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0
sao cho ∥x∥ ≤ M,∀x∈A. Ta cũng nói Abị chặn bởi M.
Nhận xét 1.5. G⊂Xgọi là tập mở nếu:
∀x∈G, ∃r > 0 : B(x,r)⊂G,
với B(x,r) = y∈X:∥y−x∥< r.
Các tính chất đóng, liên tục, compact, ... có liên quan tới sự hội tụ:
lim
n→∞ xnxn||·||
−→ x=x⇔lim
n→∞ ∥xn−x∥= 0 ⇔lim
n→∞ d(xn,x) = 0.
Mệnh đề 1.6. Cho không gian định chuẩn (X,∥·∥)và A⊂X. Ta có:
i)x∈A⇔ ∃ {xn} ⊂ A: lim
n→∞ xn=x.
ii)Ađóng ⇔ ∀ {xn} ⊂ A: lim
n→∞ xn=x⇒x∈A.
iii)Acompact ⇔ ∀ {xn} ⊂ A:∃ {xnk} ⊂ {xn},lim
n→∞ xnk=x∈A.
Mệnh đề 1.7. Cho các không gian định chuẩn (X,∥·∥X),(Y,∥·∥Y)và ánh
xạ f:X→Y. Các mệnh đề sau là tương đương:
i)fliên tục tại x0∈X.
ii)∀ {xn} ⊂ X: lim
n→∞ xn=x0⇒lim
n→∞ f(xn) = f(x0).
iii)∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x∈X, ∥x−x0∥X< δ ⇒ ∥f(x)−f(x0)∥Y< ε.
Mệnh đề 1.8. Cho không gian định chuẩn (X,∥·∥)và dãy {xn},{yn} ⊂ X,
{λn} ⊂ Ksao cho lim
n→∞ xn=x, lim
n→∞ yn=y, lim
n→∞ λn=λ. Khi đó:
i)lim
n→∞ ∥xn∥=∥x∥.
ii)lim
n→∞ (xn+yn) = x+y.
iii)lim
n→∞ λnxn=λx
Chứng minh. Mệnh đề này được suy ra từ các bất đẳng thức sau:
4