T.T. Quang
Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM VÔ HƯỚNG NHIỀU BIẾN
Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản về phép tính vi phân đối với
hàm vô hướng nhiều biến. Để thuận tiện cho bạn đọc, chúng tôi xét ở đây hàm số hai biến. Với
trường hợp nhiều biến hơn ta có các kết quả tương tự.
Các vấn đề nêu ra ở đây là các trường hợp riêng đối với phép tính vi phân các hàm véctơ mà
chúng tôi sẽ trình bày ở chương sau. Vì vậy, nếu bạn đọc đã có kiến thức về chương này thì có
thể bỏ qua và đọc tiếp chương sau. Tuy nhiên các bạn nên nhìn nhận và liên hệ lại các vấn đề ở
chương này trong khi nghiên cứu chương sau.
3.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một - Đạo hàm theo hướng
3.1.1 Đạo hàm riêng
Trong hàm số một biến ta có khái niệm đạo hàm. Đối với hàm nhiều biến ta có khái niệm
tương ứng là “đạo hàm theo từng biến”. Ý tưởng của khái niệm này không khó. Đối với hàm số
f(x,y)nếu ta xem ylà một hằng số thì ftrở thành hàm số một biến x.Đạo hàm của “hàm số
một biến x” này chính là đạo hàm của hàm số hai biến f(x,y)theo biến x.
Định nghĩa 3.1. Cho D⊂R2là một tập mở và f:D→Rlà hàm số xác định trên D.Giả sử
(x0,y0)∈Dvà xét ∆xvới |∆x|đủ nhỏ sao cho (x0+∆x,y0)∈D.Ký hiệu ∆xf=f(x0+∆x,y0)−
f(x0,y0). Nếu tồn tại giới hạn
lim
∆x→0
∆xf
∆x=lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)
∆x
thì ta nói fcó đạo hàm riêng theo biến xtại (x0,y0).
55
T.T. Quang
Giá trị giới hạn trên được gọi là đạo hàm riêng của hàm số ftheo biến xtại M0(x0,y0).
Để chỉ đạo hàm riêng theo biến xcủa hàm số ftại (x0,y0)ta sẽ dùng một trong các ký hiệu
sau ∂f
∂x(x0,y0);∂
∂xf(x0,y0);f′
x(x0,y0);fx(x0,y0).
Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng ∂f
∂y(x0,y0)theo biến ycủa hàm số f(x,y)tại
điểm (x0,y0).
Nếu hàm số f(x,y)có đạo hàm riêng theo biến x(theo biến y) tại mọi điểm (x,y)∈Dta nói
rằng hàm số fcó đạo hàm riêng theo biến x(theo biến y) trên D.Rõ ràng khi đó ∂f
∂x,∂f
∂ylà các
hàm số xác định trên D.
Ví dụ 3.1. (a) Tính các đạo hàm riêng theo các biến x,ycủa hàm số sau tại điểm (x0,y0)
f(x,y) = 3x2y−5xcos(πy).
Ta có
lim
∆x→0
∆xf
∆x=lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)
∆x
=lim
∆x→0
[3(x0+x)2y0−5(x0+x)cos(πy0)]−[3x2
0y0−5x0cos(πy0)]
x
=lim
x→0
3x2y0+6x0y0x−5xcos(πy0)
x=6x0y0−5cos(πy0).
lim
∆y→0
∆yf
∆y=lim
∆y→0
f(x0,y0+∆y)−f(x0,y0)
∆y
=lim
y→0
[3x2
0(y0+y)−5x0cos(π(y0+y))]−[3x2
0y0−5x0cos(πy0)]
y
=lim
y→0
3x2
0y+10x0siny0+y
2πsin πy
2
y=3x2
0+5x0πsin(πy0).
Vì (x0,y0)là tùy ý trên R2nên ta nói rằng hàm số fcó các đạo hàm riêng theo các biến trên R2
và ∂f
∂x(x0,y0) = 6x0y0−5cos(πy0)và ∂f
∂y(x0,y0) = 3x2
0−5πsin(πy0).
Ta có thể tính các đạo hàm riêng này bằng cách xem biến còn lại là hằng số và đạo hàm biến
còn lại bình thường như là hàm một biến. Chẳng hạn, khi tính ∂f
∂xta xem y=y0là hằng số và
khi đó xem ϕ(x) = f(x,y0)là hàm một biến x.Như vậy
∂f
∂x=ϕ′(x) = (3x2y0−5xcos(πy0)′
x=6xy0−5cos(πy0).
Suy ra ∂f
∂x(x0,y0) = 6x0y0−5cos(πy0).
56
T.T. Quang
Tương tự ta có thể tính ∂f
∂ybằng phương pháp này.
Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta không thể dùng phương pháp nêu trên để tínhcác đạo hàm
riêng mà buộc ta phải tính bằng định nghĩa.
(b) Tính các đạo hàm riêng theo các biến x,ycủa hàm số sau tại điểm (x0,y0)
f(x,y) =
xy
x2+y2nếu (x,y)= (0,0)
0nếu (x,y) = (0,0).
Ta sẽ tính các đạo hàm riêng tại các điểm (x,y)= (0,0)và (x,y) = (0,0). Vì trong hàm số
trên các biến xvà ycó vai trò như nhau nên ta chỉ cần tính ∂f
∂x.
Tại (x,y)= (0,0)ta có f(x,y) = xy
x2+y2.Cố định y0ta được ϕ(x) = f(x,y0) = xy0
x2+y2
0.Khi đó
∂f
∂x(x0,y0) = ϕ′(x) = xy0
x2+y2
0
′
x
=y0(x2+y2
0)−2x2y2
0
(x2+y2
0)2.
Tại (x,y) = (0,0)ta phải tính bằng định nghĩa. Ta có
lim
x→0
f(x,0)−f(0,0)
x=lim
x→0
0−0
x=0.
Tóm lại ta có
∂f
∂x(x0,y0) =
y0(x2
0+y2
0)−2x2
0y2
0
(x2
0+y2
0)2nếu (x0,y0)= (0,0)
0nếu (x0,y0) = (0,0).
Tương tự ta có
∂f
∂y(x0,y0) =
x0(x2
0+y2
0)−2x2
0y2
0
(x2
0+y2
0)2nếu (x0,y0)= (0,0)
0nếu (x0,y0) = (0,0).
Ý nghĩa hình học. Giả sử mặt cong S(Hình 3.1) là đồ thị của hàm số z=f(x,y)cho trong hệ
tọa độ Descartes Oxyz. Mặt phẳng y=y0cắt Stheo một đường cong C. Tiếp tuyến của đường
cong Ctại điểm (x0,y0,f(x0,y0)) tạo với mặt phẳng Oxy một góc α. Khi đó theo ý nghĩa hình
học của đạo hàm hàm một biến ta suy ra
∂f
∂x(x0,y0) = tanα.
Tương tự, Hình 3.2 mô tả ý nghĩa hình học của ∂f
∂y(x0,y0).
Đối với các hàm số nbiến ta cũng có các khái niệm và kết quả tương tự.
57
T.T. Quang
Hình 3.1: Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Hình 3.2: Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Ví dụ 3.2. (a) Tính các đạo hàm riêng theo các biến x,y,zcủa hàm số sau
f(x,y,z) = xy2z3.
Dễ thấy rằng
fx(x,y,z) = y2z3,fy(x,y,z) = 2xyz3,fz(x,y,z) = 3xy2z2.
(b) Tính các đạo hàm riêng theo các biến x,y,zcủa hàm số sau
g(x,y,z) = x2ey/z.
Dễ thấy rằng
gx(x,y,z) = 2xey/z,gy(x,y,z) = x2
zey/z,gz(x,y,z) = −x2y
z2ey/z.
58
T.T. Quang
(c) Giả sử F(x,y)và G(y,z)là các hàm số có các đạo hàm riêng theo các biến. Tính các đạo
hàm riêng theo các biến x,y,zcủa hàm số
f(x,y,z)=F(x,y)G(y,z).
Dễ thấy rằng
fx(x,y,z) = Fx(x,y)G(y,z),
fy(x,y,z) = F(x,y)Gy(y,z) + Fy(x,y)G(y,z),
fz(x,y,z) = F(x,y)Gz(y,z).
Tương tự như đối với hàm số một biến ta có
Định lý 3.1 (Các phép toán).Nếu các hàm số f(x,y)và g(x,y)có đạo hàm riêng theo biến xtại
(x0,y0)∈Dthì các hàm số f+g,αf(với mọi α∈R) và f·gcũng có đạo hàm riêng theo biến
xtại (x0,y0)và ∂(f+g)
∂x(x0,y0) = ∂f
∂x(x0,y0) + ∂g
∂x(x0,y0),
∂(αf)
∂x(x0,y0) = α∂f
∂x(x0,y0),
∂(f·g)
∂(x0,y0) = ∂f
∂x(x0,y0)·g(x0,y0) + ∂g
∂x(x0,y0)·f(x0,y0).
Trong trường hợp ∂g
∂x(x0,y0)=0thì hàm f
gcũng có đạo hàm riêng theo biến xtại (x0,y0)và
∂
∂x
f
g
(x0,y0) = f(x0,y0)∂g
∂x(x0,y0)−g(x0,y0)∂f
∂x(x0,y0)
[g(x0,y0)]2.
Tương tự cho đạo hàm riêng theo biến y.
3.1.2 Vi phân
Đối với hàm số một biến, ta biết rằng hàm số fkhả vi tại điểm x0khi và chỉ khi nó có đaọ
hàm tại đó. Hơn nữa, lúc đó số gia ∆fcủa hàm số tại x0luôn biểu diễn được thành tổng sau
∆f=f′(x0)∆x+o(∆x)khi ∆x→0,
hay
∆f−f′(x0)∆x=o(∆x)khi ∆x→0,
Rõ ràng f′(x0)là một đại lượng không phụ thuộc vào ∆x.
Với ý tưởng tương tự như trên ta sẽ định nghĩa vi phân của hàm số hai biến, và tương tự như
vậy đối với hàm nbiến bất kỳ.
59