Về Thi Cuối kỳ: 50%
Thờ i gian : 24/ 06/ 2024, 09:55
Địa điểm : thông tin trên trang web củ a trư ờ ng
Thờ i lư ợ ng : 90 phút
N ộ i dung:
Chư ơ ng 3: Ònh xạ tuyế n tính liên tụ c
Chư ơ ng 4: Không gian Hilbert
▶Ònh xạ tuyế n tính liên tụ c: các tính chấ t như : định nghĩa tố t, tuyến
tính liên tụ c, . . . và tính đư ợ c chuẩ n.
▶Không gian Hilbert: tìm họ trự c chuẩ n bằ ng kỹ thuậ t
GramÊSchmidt, tìm hình chiế u và khoả ng cách.
▶Nhữ ng chủ đề khác: Định lý HahnÊBanach, định lý biể u diễn Riesz,
chuỗ i Fourier.
Sinh viên chỉ đư ợ c sử dụ ng tài liệ u gồ m 01 mặ t củ a giấ y A4 (viế t tay)
và nộ p lạ i. Không đư ợ c sử dụ ng các thiế t bị điệ n tử , trừ máy tính cầ m tay.
Định lý biểu diễn Riesz, họ trực chuẩn, bất đẳng thức
Bessel
Lê Đứ c Hư ng
Bộ Môn Giả i Tích, Khoa Toán-Tin Họ c, Trư ờ ng ĐH KHT N, ĐHQG-HCM
Ngày 06 tháng 06 năm 2024
Phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian tích
trong
Ta đõ biế t ánh xạ x7→ ⟨x, y⟩là tuyến tính liên tụ c, nên mỗ i vectơ ycho
mộ t phiế m hàm tuyến tính liên tụ c bằ ng cách lấ y tích trong.
Nhắ c lạ i: mọ i phiế m hàm tuyế n tính trên không gian Euclid Rnđề u đư ợ c
cho bở i tích trong vớ i mộ t vectơ , tứ c là có dạ ng x7→ ⟨a,x⟩=Pn
i= 1 aixi
vớ i a= (ai)1≤i≤n∈Rn(xem lạ i (Rn)∗=Rn).
Trư ờ ng hợ p không gian vô hạ n chiề u, ta có định lý sau:
Định lý (Định lý Biểu diễn Riesz (Riesz representation theorem))
Cho không gian Hilbert Htrên trư ờ ng F=Rhoặ c F=C. Vớ i phiế m hàm
tuyế n tính liên tụ c f:H→Fbấ t kỳ, tồ n tạ i duy nhấ t y∈Hsao cho
f(x) = ⟨x, y⟩vớ i mọ i x∈H.
Ý nghĩa: Mọ i phiế m hàm tuyế n tính liên tụ c trên không gian Hilbert đề u
cho đư ợ c bở i tích trong vớ i mộ t vectơ .
Dẫn nhập: trong chứng minh Định lý Riesz (Bt 3.8.27, 3.8.33)
Cho flà mộ t phiế m hàm tuyế n tính trên X. Giả sử f≡ 0, nghĩa là tồ n
tạ i x∈Xsao cho f(x)= 0. Khi đó, tậ p hợ p
ker(f) = x∈X♣f(x) = 0♢
là nhân củ a f. Đây cũng là mộ t không gian vectơ con củ a X.
(a) Vớ i y∈Xbấ t kỳ, chứ ng tỏ y−f(y)
f(x)x∈ker(f).
(b) Suy ra X= ker(f) + ⟨x⟩. Như vậ y, ker(f)chỉ kém Xđúng 1chiề u.
Vớ i y∈Xbấ t kỳ, chứ ng tỏ y−f(y)
f(x)x∈ker(f)
Vớ i y∈Xbấ t kỳ và x∈ ker(f), vì ftuyế n tính, ta có:
fy−f(y)
f(x)x=f(y)−ff(y)
f(x)x=f(y)−f(y)
f(x)f(x) = 0.
Do đó, y−f(y)
f(x)x∈ker(f).