Phép chiếu vuông góc
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giả i Tích, Khoa Toán-T in Họ c, Trư ờ ng ĐH KHT N, ĐHQG-HCM
Ngày 30 tháng 05 năm 2024
Về không gian tích trong Rvà C
Ta đõ biết:
▶C≃R2, và ta có thể biểu diễn mỗi vectơ a+ ib∈Cbởi vectơ
(a, b)∈R2.
▶Tích trong: ⟨(a, b),(c,d)⟩=ac+bd với mọi (a,b),(c, d)∈R2.
▶Tích trong: ⟨u, v⟩=u¯vvới mọi u,v ∈C.
Hai vectơ 1 + i và 1−itrong Clần lượt được biểu diễn bởi (1,1) và
(1,−1) trong R2.
Hỏ i: Tại sao ⟨(1,1),(1,−1)⟩= 0 nhưng ⟨1 + i,1−i⟩ = 0?
Trả lời
Phép đẳng cấu (isomorphism) giữa hai không gian chỉ là mối quan hệ
cấu trúc của các phần tử, không nói lên mối tương quan (tính cộng, tính
nhân, ...) của các phần tử.
Phép tính tích trong mặ c định trong R2và trong Cđược định nghĩa theo
khía cạnh đại số (ý nghĩa không gian giải tích) để phù hợp với định nghĩa
của một tích trong, không liên quan đến khía cạnh hình học (ý nghĩa
khoảng cách, góc) giữa các vectơ.
Phép chiếu vuông góc
Trong không gian tích trong, nếu y= 0 thì chiếu vuông góc của xxuống
ychính là chiếu xxuống không gian tuyến tính sinh bởi y:
Pyx=P⟨y⟩x=x, y
∥y∥
y
∥y∥.
Ta đõ chứng minh:
(x−Pyx)⊥y⇔x−x, y
∥y∥
y
∥y∥⊥y.
Nếu ylà vectơ đơn vị thì ta có công thức đơn giản hơn:
∥y∥= 1 ⇒P⟨y⟩x=⟨x, y⟩y.
Ví dụ
Trong L20,π
2, xét f= cos xvà g= sin x. T ính Pgf.
Ta có:
∥f∥=
Zπ
2
0cos2xdx
1
2=
1
2
Zπ
2
0(1 + cos(2x)) dx
1
2=√π
2,
∥g∥=
Zπ
2
0sin2xdx
1
2=
1
2
Zπ
2
0(1 −cos(2x)) dx
1
2=√π
2,
⟨f ,g⟩=Zπ
2
0cos xsin xdx=Z1
2
0
1
2sin 2xdx= 1,
Pgf=f , g
∥g∥
g
∥g∥=1
∥g∥2⟨f , g⟩g=4
π·1·sin x=4
πsin x.