Không gian còc hàm liên tục (tiếp theo), không gian
Lp
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, Khoa Toòn-Tin Học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG-HCM
Ngày 28 thòng 03 năm 2024
Nhắc lại: hội tụ theo chuẩn sup (hội tụ đều)
Để chứng minh fn→ftrong C([a,b]) với chuẩn sup, ta cần chứng minh
∥fn−f∥= sup
x∈[a,b]♣fn(x)−f(x)♣ → 0
khi n→ ∞.
Ngược lại, để chứng minh fn→ ftrong C([a,b]) với chuẩn sup, thì ta
cần tìm x0∈[a,b]sao cho
fn(x0)−f(x0)→ 0
khi n→ ∞; hoặc chứng minh rằng fkhông liên tục trên [a,b].
Ví dụ
Cho X=C([0,1]) và xét hàm sau trên [0,1]:
fn(x) =
1,nếu 0≤x≤1
2,
1−2nx−1
2,nếu 1
2≤x≤1
2n+1
2,
0,nếu 1
2n+1
2≤x≤1.
Vì sao fn∈X? Chứng tỏ dõy hàm (fn)hội tụ điểm đến hàm ftrên
[0,1], không hội tụ đến ftrong (X,∥ · ∥∞), nhưng hội tụ đến ftrong
(X,∥ · ∥2).
Ở đây, chuẩn L2([0,1]) là:
∥f∥2:= Z1
0♣f(x)♣2dx1
2.
Trả lời
Ta thấy fn(x)≡1trên 0,1
2nên liên tục trên khoảng này. Mặt khòc,
fn(x) = 1 −2nx−1
2trên 1
2,1
2n+1
2nên liên tục trên khoảng này.
Ta kiểm tra:
lim
x→1
2−fn(x) = 1,
lim
x→1
2+fn(x) = lim
x→1
2+1−2nx−1
2= 1,
và fn1
2= 1. Do đó, fnliên tục tại x=1
2.
Tương tự, fn(x)≡0trên 1
2n+1
2,1nên liên tục trên khoảng này, và ta
có:
lim
x→(1
2n+1
2)−fn(x) = lim
x→(1
2n+1
2)−1−2nx−1
2= 0,
lim
x→(1
2n+1
2)+fn(x) = 0,
và fn1
2n+1
2= 0. Do đó, fnliên tục tại x=1
2n+1
2.
Kết hợp hai trường hợp, ta thấy fnliên tục trên [0,1], nghĩa là fn∈X.