Không gian định chuẩn hữu hạn chiều, không gian các
hàm bị chặn, không gian các hàm liên tục
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, Khoa Toán-Tin Học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG-HCM
Ngày 21 tháng 03 năm 2024
Chuẩn trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều
Ta cần chứng minh: các chuẩn trong không gian định chuẩn hữu hạn
chiều đều tương đương.
▶✓Các chuẩn trong không gian Fnđều tương đương (Định lý 2.3.1).
▶Một chuẩn bất kỳ ∥ · ∥ trong Fnđều tương đương với chuẩn Euclid
∥ · ∥2, nên đều tương đương với nhau.
▶Chuẩn ∥ · ∥ là liên tục trên Fndưới chuẩn ∥ · ∥2. Điều này nghĩa là với
ϵ > 0, cho x0∈Fn, ta cần tìm δ(ϵ,x0)>0sao cho
∥x−x0∥2< δ ⇒
∥x∥ − ∥x0∥
< ϵ.
▶Ta chỉ cần xét x∈Fnvới ∥x∥= 1, nghĩa là nếu C1≤ ∥x∥ ≤ C2thì
C′
1∥x∥2≤ ∥x∥ ≤ C′
2∥x∥2với C1,C2,C′
1, và C′
2là hằng số.
▶Xây dựng một song ánh tuyến tính giữa một không gian định chuẩn
n-chiều Xvà Fn.
Mệnh đề 2.3.2
Các chuẩn trên cùng một không gian vectơ hữu hạn chiều đều tương
đương.
Chứng minh: Cho (X,∥ · ∥)là một không gian định chuẩn n-chiều trên
trường F. Lấy một cơ sở tuyến tính (v1,...,vn) cho X. Đặt ánh xạ
f:X→Fn
x=n
X
i=1 xivi7→ y=f(x) = n
X
i=1 xiei.
Đây là ánh xạ tuyến tính mang cơ sở (v1,...,vn)thành cơ sở
(e1,...,en), nên là một song ánh tuyến tính (isomorphism), nghĩa là một
đẳng cấu tuyến tính.
Như vậy, nếu x= (x1,...,xn)trong cơ sở (v1,...,vn)thì
y=f(x) = (x1,...,xn) trong cơ sở (e1,...,en).
Đặt ∥y∥=
f−1(y) = x
Xthì có thể kiểm tra được rằng ∥ · ∥ là một
chuẩn trên Fn.
Nếu ta có hai chuẩn ∥ · ∥avà ∥ · ∥btrên Xthì cách xây dựng trên cho ta
hai chuẩn tương ứng ∥ · ∥avà ∥ · ∥btrên Fn.
Ta đõ biết các chuẩn trên Fnđều tương đương, nên có hai số thực dương
α,β sao cho với mọi y∈Fn:
α∥y∥a≤ ∥y∥b≤β∥y∥a.
Do đó, với mọi x∈X, ta có:
α∥x∥a≤ ∥x∥b≤β∥x∥a.
Ta có điều cần chứng minh.
Các kết quả liên quan
Mệnh đề (2.3.4)
Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều bất kỳ là một không gian
Banach.
Chứng minh.
Ònh xạ ftrong phần chứng minh trên và ánh xạ ngược f−1mang dõy
Cauchy thành dõy Cauchy, dõy hội tụ thành dõy hội tụ. Như vậy, bất kỳ
không gian X n-chiều nào đều đẳng cấu với không gian Fn.
Mặt khác, ta đõ biết Fnvới chuẩn bất kỳ là không gian Banach, nên X
cũng là một không gian Banach.
Hệ quả 2.3.5: Không gian định chuẩn con hữu hạn chiều là tập con đóng.
Chứng minh.
Vì không gian định chuẩn con hữu hạn chiều là đầy đủ nên nó phải là
một tập đóng (xem lại Mệnh đề 1.3.15).