Phiếm hàm tuyến tính, không gian đối ngẫu, và định
lý HahnÊBanach
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, Khoa Toán-Tin Học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG-HCM
Ngày 09 tháng 05 năm 2024
Ònh xạ tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều
Nhắc lại: nếu không gian Ecó cơ sở tuyến tính (ei)1≤i≤mvà không gian
Fcó cơ sở tuyến tính (fj)1≤j≤nthì mỗi ánh xạ tuyến tính từ Evào Fcó
thể được biểu diễn bởi một ma trận.
Một cách cụ thể, mỗi vectơ được viết như một cột gồm các tọa độ của nó
trong cơ sở, ví dụ, nếu x=Pm
i=1 xieithì ta viết
[x] =
x1
x2
.
.
.
xm
.
Ngoài ra, ta cũng biểu diễn ánh xạ T:E→Fbởi một ma trận [T]với n
dòng và mcột. Khi đó, Tx = [T]·[x].
Như vậy tác động của Tđược biểu diễn bởi một phép nhân ma trận, ta
thường nói toán tử tuyến tính được cho bởi ma trận biểu diễn.
Định lý 3.3.3
Mọi ánh xạ tuyến tính trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều
liên tục.
Chứng minh: Giả sử (E,∥ · ∥)là một không gian định chuẩn hữu hạn
chiều với một cơ sở tuyến tính (e1,...,en).
Mỗi phần tử x∈Eđều có biểu diễn x=Pn
i=1 xiei, với xi∈F.
Xét ánh xạ tuyến tính T:E→F. Ta có:
∥Tx∥=
T n
X
i=1 xiei!
=
n
X
i=1 xiTei
≤
n
X
i=1 ♣xi♣∥Tei∥
≤v
u
u
tn
X
i=1 ♣xi♣2·v
u
u
tn
X
i=1 ∥Tei∥2
bởi bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức CauchyÊSchwarz.
Đặt ∥x∥2=Pn
i=1 ♣xi♣21/2thì đây là một chuẩn trên E.
Vì Elà hữu hạn chiều nên mọi chuẩn đều tương đương, nghĩa là tồn tại
β > 0sao cho ∥x∥2≤β∥x∥.
Ta viết lại bất đẳng thức trên là:
∥Tx∥ ≤ v
u
u
tn
X
i=1 ∥Tei∥2∥x∥2≤v
u
u
tn
X
i=1 ∥Tei∥2β∥x∥,
nghĩa là Tliên tục trên (E,∥ · ∥).
Ví dụ
Xét (R2,∥ · ∥2)và cho A= 1 2
3 4!. Tính ∥A∥trong L(R2,R2).
Ma trận
A∗A= 1 3
2 4! 1 2
3 4!= 10 14
14 20!
có giá trị riêng là 15 ±√221, nên
∥A∥2=q15 + √221 = √26 + √34
2.