Không gian Lp(tiếp theo), định lý ArzelàÊAscoli, ánh
xạ tuyến tính liên tục
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, Khoa Toán-Tin Học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG-HCM
Ngày 04 tháng 04 năm 2024
Hệ quả của Định lý 2.6.14
Nhắc lại Định lý 2.6.14: Không gian Lp(Ω) với 1≤p≤ ∞ là các không
gian Banach.
Hệ quả:Trong không gian đo được (Ω,µ), nếu dãy hàm (fn)n∈Z+hội tụ
đến hàm ftrong Lp(Ω) với mọi 1≤p < ∞, thì tồn tại một dãy hàm con
(fnk)hội tụ trong Lp(Ω) hầu khắp.
Chứng minh.
Mỗi một dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Mà Lplà không gian đầy đủ do
Định lý 2.6.14, nên tồn tại một dãy con hội tụ hầu khắp có giới hạn bằng
với giới hạn theo chuẩn của dãy Cauchy.
Tính compắc trong không gian các hàm thực liên tục
Định lý (Định lý ArzelàÊAscoli)
Cho A⊂C(X,Y )với Xlà một không gian mêtríc compắc. Khi đó, Alà
compắc khi và chỉ khi có cả hai điều sau đây:
(a) Abị chặn từng điểm: ∀x∈X,f(x)♣f∈A♢bị chặn.
(b) Ađồng liên tục (equicontinuous):
∀ϵ > 0,∃δ > 0,∀f∈A,∀x∈X,∀y∈X,∥x−y∥< δ ⇒ ♣f(x)−f(y)♣< ϵ.
(Ở đây, hằng số δchỉ phụ thuộc vào ϵ.)
Ghi chú: Điều kiện tập Abị chặn từng điểm của giả thiết, một cách cụ
thể, có nghĩa là: tồn tại một hằng số thực M > 0sao cho
♣f(x)♣ ≤ M∀f∈A, ∀x∈X.
Ở đây hằng số Mkhông phụ thuộc vào xvà không phụ thuộc vào bất kỳ
hàm f∈A.
Tiền compắc và hoàn toàn bị chặn
Để chứng minh định lý, ta cần khái niệm sau:
Một không gian mêtríc Xlà tiền compắc, hay còn được gọi là hoàn toàn
bị chặn (precompact, totally bounded) khi và chỉ khi với mọi ϵ > 0, tập
Xđược phủ bởi hữu hạn các quả cầu bán kính ϵ, nghĩa là tồn tại xi∈X,
1≤i≤nsao cho
X⊂
n
[
i=1 B(xi,ϵ).
Ta có kết quả: Một không gian mêtríc là compắc khi và chỉ khi nó là tiền
compắc và đầy đủ; và một không gian mêtríc là compắc khi và chỉ khi
mọi phủ mở có một phủ con hữu hạn.
Trong không gian mêtríc, tiền compắc tương đương với mỗi dãy trong đó
đều có một dãy con Cauchy.
Chứng minh Định lý ArzelàÊAscoli
(⇒)Giả sử Alà compắc, nghĩa là tập Abị chặn nên cũng là bị chặn
từng điểm. Ta kiểm tra tập Alà đồng liên tục.
Tập Alà compắc nên cũng là tiền compắc. Như vậy, với mọi ϵ > 0, tồn
tại hữu hạn các hàm liên tục fi∈A,1≤i≤nsao cho Sn
i=1 B(fi,ϵ)⊃A.
Điều này nghĩa là một hàm fbất kỳ trong Aphải thuộc về một trong
những quả cầu B(fi,ϵ), nghĩa là tồn tại isao cho ∥f−fi∥< ϵ.
Vì Xlà compắc nên mỗi hàm filà liên tục đều (xem Định lý 1.3.19). Do
đó, tồn tại δi>0sao cho với mọi x,y ∈Xcó ∥x−y∥< δithì
♣fi(x)−fi(y)♣< ϵ.
Đặt δ= minδi♣1≤i≤n♢. Khi đó, nếu ∥x−y∥< δ thì
♣f(x)−f(y)♣ ≤ ♣f(x)−fi(x)♣+♣fi(x)−fi(y)♣+♣fi(y)−f(y)♣<3ϵ,
nên Alà đồng liên tục.