Không gian tích trong, không gian Hilbert
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, Khoa Toán-Tin Học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG-HCM
Ngày 23 tháng 05 năm 2024
Không gian tích trong trên R
Cho Hlà một không gian vectơ trên trường số thực R. Một tích trong
(tích vô hướng, inner product) trên Hlà một phiếm hàm song tuyến
tính, đối xứng, xác định dương trên H, tức là một ánh xạ:
⟨·,·⟩ :H×H→R
(x,y)7→ ⟨x,y⟩
thỏa
(a) Tuyến tính theo biến thứ nhất:⟨αx +βx′,y⟩=α⟨x,y⟩+β⟨x′,y⟩với
mọi α,β ∈R,x,x′,y ∈H,
(b) Tuyến tính theo biến thứ hai:⟨x,αy +βy′⟩=α⟨x,y⟩+β⟨x,y′⟩với
mọi α,β ∈R,x,y,y′∈H,
(c) Đối xứng:⟨x,y⟩=⟨y,x⟩với mọi x,y ∈H,
(d) Xác định dương:⟨x,x⟩ ≥ 0với mọi x∈H, và ⟨x,x⟩= 0 ⇔x= 0.
Tích trong còn được ký hiệu bằng x·y=⟨x,y⟩.
Ví dụ: không gian Euclid Rn
Trên Rncó tích trong sau: nếu x= (xi)1≤i≤nvà y= (yi)1≤i≤nthì
⟨x,y⟩=n
X
i=1 xiyi.
Tích trong này sinh ra chuẩn
∥x∥=⟨x,x⟩1/2=n
X
i=1 x2
i1/2,
chính là chuẩn Euclid.
Đây là tích trong vì: với mọi x,x′,y,y′∈Rnvà α,β ∈R, ta có:
⟨αx +βx′,y⟩=n
X
i=1(αxi+βx′
i)yi=αn
X
i=1 xiyi+βn
X
i=1 x′
iyi=α⟨x,y⟩+β⟨x′,y⟩,
⟨x,αy +βy′⟩=n
X
i=1 xi(αyi+βy′
i) = αn
X
i=1 xiyi+βn
X
i=1 xiy′
i=α⟨x,y⟩+β⟨x,y′⟩,
⟨x,y⟩=n
X
i=1 xiyi=n
X
i=1 yixi=⟨y,x⟩,
⟨x,x⟩=n
X
i=1 x2
i≥0,
⟨x,x⟩=n
X
i=1 x2
i= 0 ⇔x= 0.
Không gian tích trong trên C
Nếu Hlà một không gian vectơ trên trường số phức Cthì tích trong là
một ánh xạ
⟨·,·⟩ :H×H→C
(x,y)7→ ⟨x,y⟩
thỏa
(a) Tuyến tính theo biến thứ nhất:⟨αx +βx′,y⟩=α⟨x,y⟩+β⟨x′,y⟩với
mọi α,β ∈C,x,x′,y ∈H,
(b) Tính cộng, nhưng không tuyến tính theo biến thứ hai:
⟨x,αy +βy′⟩=α⟨x,y⟩+β⟨x,y′⟩với mọi α,β ∈C,x,y,y′∈H,
(c) ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩với mọi x,y ∈H,
(d) Xác định dương:⟨x,x⟩ ≥ 0với mọi x∈H, và ⟨x,x⟩= 0 ⇔x= 0.