Giới hạn và sự liên tục (tiếp theo)
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, ĐH KHTN, Khoa Toán-Tin Học
Ngày 07 tháng 04 năm 2022
Định nghĩa sự liên tục
Định nghĩa (Hàm số liên tục)
Cho hàm số f=f(x)xác định trên tập D⊂Rn. Ta nói hàm fliên tục tại
a∈Dnếu f(x)gần atùy ý, miễn là xđủ gần a. Một cách cụ thể, fliên
tục tại akhi và chỉ khi
với mọi ǫ > 0, tồn tại δ=δ(ǫ)sao cho: nếu x∈Dvà kx−ak< δ, thì
ta có |f(x)−f(a)|< ǫ.
Định nghĩa sự liên tục
Định nghĩa (Hàm số liên tục)
Cho hàm số f=f(x)xác định trên tập D⊂Rn. Ta nói hàm fliên tục tại
a∈Dnếu f(x)gần atùy ý, miễn là xđủ gần a. Một cách cụ thể, fliên
tục tại akhi và chỉ khi
với mọi ǫ > 0, tồn tại δ=δ(ǫ)sao cho: nếu x∈Dvà kx−ak< δ, thì
ta có |f(x)−f(a)|< ǫ.
Bằng kí hiệu:
∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x∈D,kx−ak< δ ⇒ |f(x)−f(a)|< ǫ,
hay
∀ǫ > 0,∃δ > 0,∀x∈D∩B(a,δ),f(x)∈B(f(a),ǫ).
Bài tập [GTr1] 2.13 (trang 40)
Cho f:D⊂R2→Rlà hàm liên tục và D1⊂D. Chứng minh rằng hàm
f1:D1→Rxác định bởi f1(x) = f(x)với mọi x∈D1cũng là hàm liên
tục (f1được gọi là hàm thu hẹp của ftrên D1).
Bài tập [GTr1] 2.13 (trang 40)
Cho f:D⊂R2→Rlà hàm liên tục và D1⊂D. Chứng minh rằng hàm
f1:D1→Rxác định bởi f1(x) = f(x)với mọi x∈D1cũng là hàm liên
tục (f1được gọi là hàm thu hẹp của ftrên D1).
Giải: Với a∈D1bất kỳ, ta sẽ chứng minh f1liên tục tại x=a. Cho
ǫ > 0. Ta cần tìm δ > 0sao cho: nếu x∈D1và kx−ak< δ, thì ta có
|f1(x)−f1(a)|< ǫ.
