TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Học kỳ 1, Năm học 2023–2024
BỘ MÔN TOÁN Hệ đào tạo: Chính quy Bậc học: Đại học
Tên học phần: Toán cao cấp trong kinh tế và kinh doanh Số tín chỉ: 3
Ngày thi: 22/12/2023
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ SỐ 1
Câu 1 (2,0 điểm; chuẩn đầu ra 1.1)
(a) Cho hàm cầu P= 25 −2Q. Tính thặng dư của người tiêu dùng tại Q0= 5.
(b) Tìm biểu thức của hàm doanh thu, biết hàm doanh thu cận biên là
MR = 100 −4Q.
Câu 2 (2,0 điểm; chuẩn đầu ra 1.1) Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm G1và G2, với
giá mỗi sản phẩm lần lượt là 70 USD và 50 USD. Tổng chi phí để sản xuất các loại hàng
hóa này được cho bởi biểu thức T C =Q2
1+Q2
2+Q1Q2,trong đó Q1và Q2lần lượt là số
lượng sản phẩm G1và G2được sản xuất.
(a) Xác định biểu thức của lợi nhuận theo Q1và Q2.
(b) Tìm Q1và Q2để lợi nhuận lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 3 (2,0 điểm; chuẩn đầu ra 1.1) Xét một mô hình kinh tế vĩ mô cho bởi hệ
Thu nhập quốc dân: Y=C+I+G∗,
Tiêu dùng: C= 0,8Y+ 400,
Đầu tư: I=−20r+ 150,
Lượng tiền cung: M∗
S= 0,2Y−25r,
với G∗, M∗
S>0.
(a) Hãy biểu diễn hệ trên dưới dạng ma trận AX =Bvới X=
Y
C
I
r
, trong đó Avà B
lần lượt là các ma trận cỡ 4×4và 4×1.
(b) Sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ cho I.
Câu 4 (2,0 điểm; chuẩn đầu ra 1.1) Xét mô hình nền kinh tế hai thành phần phụ thuộc liên
tục theo thời gian tvà thỏa mãn:
dY
dt = 0,6(C+I−Y),
C= 0,7Y+ 800,
I= 0,1Y+ 240.
(a) Hãy xác định thu nhập quốc dân tại thời điểm tbất kỳ, biết rằng giá trị tại mốc khởi
điểm là Y(0) = 5000. Đây là nền kinh tế đang trên đà phát triển hay suy thoái?
(b) Hãy đánh giá tính ổn định của thu nhập quốc dân và tìm mức cân bằng của thu nhập
quốc dân.
Câu 5 (2,0 điểm; chuẩn đầu ra 1.1) Giả sử các ràng buộc được cho bởi hệ các bất phương
trình x−3y≥ −6,
3x+ 2y≤15,
x≥0,
y≥1.
(a) Biểu diễn hình học miền chấp nhận được xác định bởi các ràng buộc trên. (Cần xác
định tọa độ các đỉnh của nó nếu có.)
(b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số c= 10x−20y, với xvà
ythỏa mãn các ràng buộc trên.
------------Hết------------
– Thí sinh không được sử dụng tài liệu
– Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA Học phần: Toán cao cấp trong KT và KD
Mã học phần: FFS703012
ĐỀ SỐ 1
Câu 1.1 2,00
điểm CĐR 1.1
a) 1,0
Q0= 5 suy ra P0= 15 0,25
CS =
Q0
R
0
P dQ −P0Q00,25
CS = 25Q−Q2|5
0−75 0,25
CS = 25 0,25
b) 1,0
T R =RMRdQ 0,25
T R =R(100 −4Q)dQ = 100Q−2Q2+C0,25
Vì T R =P Q nên khi Q= 0 thì T R = 0. Mặt khác, khi Q= 0 thì
T R =C. Do đó C= 0.0,25
T R = 100Q−2Q20,25
Câu 2.1 2,00
điểm CĐR 1.1
a) 0,5
Hàm doanh thu T R = 70Q1+ 50Q20,25
Hàm lợi nhuận π=T R −T C =−Q2
1−Q2
2−Q1Q2+ 70Q1+ 50Q20,25
b) 1,5
πQ1=−2Q1−Q2+ 70,πQ2=−Q1−2Q2+ 50 0,25
Điểm dừng Q1= 30,Q2= 10 0,25
πQ1Q1=−2,πQ2Q2=−2,πQ1Q2=−10,25
Kiểm tra điều kiện πQ1Q1<0,π2
Q1Q2−πQ1Q1πQ2Q2<00,25
Kết luận điểm cực đại Q1= 30,Q2= 10 0,25
Lợi nhuận lớn nhất 1300 0,25
Câu 3 2,00
điểm CĐR 1.1
a) 0,5
Viết lại thành hệ phương trình
Y−C−I=G∗,
−0,8Y+C= 400,
I+20r= 150,
0,2Y−25r=M∗
S.
0,25
1
Dạng ma trận AX =Bcần tìm là
1−1−1 0
−0,8 1 0 0
0 0 1 20
0,200−25
Y
C
I
r
=
G∗
400
150
M∗
S
.
0,25
b) 1,5
Khai triển định thức (theo dòng cuối cùng)
det(A) = −0,2
−1−1 0
1 0 0
0 1 20
−25
1−1−1
−0,8 1 0
0 0 1
=−9.
0,5
Xác định
det(A3) =
1−1G∗0
−0,8 1 400 0
0 0 150 20
0,2 0 M∗
S−25
.
0,25
Khai triển det(A3)theo cột 4
det(A3) = −20
1−1G∗
−0,8 1 400
0,2 0 M∗
S
−25
1−1G∗
−0,8 1 400
0 0 150
.
0,25
Tính toán chi tiết
det(A3)=4G∗−4M∗
S+ 850.
0,25
Kết luận
I=det(A3)
det(A)=4G∗−4M∗
S+ 850
−9.
0,25
Câu 4 2,00
điểm CĐR 1.1
a) 1,5
Thay C và I vào PT1 và rút gọn được
dY
dt =... =−0,12Y+ 624.
0,5
Hàm bù: CF =Ae−0,12t.
Nghiệm riêng: P S =−624
−0,12 = 5200.
Nghiệm tổng quát:
Y(t) = CF +P S =Ae−0,12t+ 5200, A ∈R.
0,5
2
Điều kiện ban đầu Y(0) = 5000 suy ra: A=−200.
Kết luận:
Y(t) = −200e−0,12t+ 5200
0,25
Vì e−0,12tlà hàm giảm theo tnên Ylà hàm tăng theo t. Do đó đây
là nền kinh tế đang trên đà tăng trưởng. 0,25
b) 0,5
Khi t→+∞,e−0,12t→0nên Yhội tụ về mức cân bằng là 5200. 0,25
Mô hình này là ổn định. 0,25
Câu 5 2,00
điểm CĐR 1.1
a) 1,5
Vẽ đường thẳng (d1) : x−3y=−6: chọn, ví dụ (0; 2), (-6; 0)
Vẽ đường thẳng (d2) : 3x+ 2y= 15: chọn, ví dụ (0; 7,5), (5;0)
Vẽ đường thẳng y= 1
0,5
Chọn điểm thử, ví dụ O(0,0), để xác định các miền bđt 0,25
Giải HPT: x−3y=−6,3x+ 2y= 15 tìm giao điểm (d1)và (d2):
x= 3, y = 3
0,25
Xác định giao điểm (d2)và y= 1:x=13
3;y= 1 0,25
Vẽ miền chấp nhận được và nêu 4 góc:
A(0; 1), B(0; 2), C(3; 3), D(13
3; 1)
0,25
b) 0,5
Lập bảng giá trị của ctại các góc:
c(A) = −20, c(B) = −40, c(C) = −30, c(D) = 70
3
0,25
GTLN M=70
3tại góc D khi x=13
3, y = 1;
GTNN m=−40 tại góc B khi x= 0, y = 2
0,25
3