TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT
KHOA TOÁN KINH TẾ
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ
Học kỳ I Năm học 2022 – 2023
(Sinh viên được sử dụng tài liệu bản quyền)
Môn: TOÁN CAO CẤP - Thời lượng: 40 phút
Đề gốc cho lớp K22405 - Ca 2
Tên SV : …………………………...................... MSSV: ………….……....… Mã lớp:..…….......................
Đề thi gồm có: ... trang
Chữ ký Giám thị 1
Chữ ký Giám thị 2
A
Điểm (số)
Điểm (chữ)
Cán bộ chấm thi 1
Lưu ý
Trong giờ làm bài, sinh viên được phép sử dụng các tài liệu bản quyền dưới đây
Giáo trình Toán Cao cấp của UEL: bản in, không photocopy.
Một tờ A4 ghi chú các vấn đề liên quan với họ tên và mã số sinh viên: chữ viết tay, không
photocopy.
HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI PHẦN TRẮC NGHIỆM
Chọn B
Bỏ B - Chọn C
Bỏ C - Chọn lại B
1
1
1
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
A. Phần trắc nghiệm (5 điểm)
Sinh viên chọn câu trả lời đúng nhất cho mỗi câu hỏi
1
2
3
4
5
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
4.1
4.2
5.1
5.2
A
B
C
D
Câu 1 (TB - cấp độ 2) Xét một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa
mãn các điều kiện sau
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
5 2 5; 4 6; 2 5 6;
3 15; 2 2 18; 2 4 11.
S S S
d d d
Q p p p Q p p p Q p p p
Q p p p Q p p p Q p p p
1.1. Tìm điểm cân bằng thị trường.
A.
(p1, p2, p3) = (6, 3, 4).
B.
(p1, p2, p3) = (6, 4, 3).
C.
(p1, p2, p3) = (3, 6, 4).
D.
Một đáp án khác.
1.2. Tìm lượng cung cầu cân bằng của từng loại hàng hóa.
A. Qs1 = Qd1 = 24; Qs2 = Qd2 = 25; Qs3 = Qd3 = 13. B. Qs1 = Qd1 = 24; Qs2 = Qd2 = 13; Qs3 = Qd3 = 25.
C. Qs1 = Qd1 = 25; Qs2 = Qd2 = 24; Qs3 = Qd3 = 13. D. Một đáp án khác.
Đáp án Hệ cân bằng thị trường là
1 1 1 2 3 1
2 2 1 2 3 2
3 3 1 2 3 3
6 5 2 10 6;
6 2 12 4;
3 9 5 3.
sd
sd
sd
Q Q p p p p
Q Q p p p p
Q Q p p p p
1.1. Điểm cân bằng thị trường là (p1, p2, p3) = (6, 4, 3). Chọn B.
1.2. Suy ra Qs1 = Qd1 = 24; Qs2 = Qd2 = 25; Qs3 = Qd3 = 13. Chọn A.
Câu 2 (TB - cấp độ 2) Giả sử tại một quốc gia trong năm nay, mức đầu tư cố định của chính phủ là I0 = 2500
(triệu USD), mức chi tiêu cố định của chính phủ là G0 = 1500 (triệu USD); còn tổng thu nhập quốc dân Y,
tổng mức tiêu dùng dân cư C và tổng thuế T thỏa mãn các điều kiện
C = 3000 + 0,4 (Y – T); T = 2200 + 0,2Y
2.1. Hãy xác định tổng thu nhập quốc dân Y ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô.
A. Y = 8000.
B. Y = 9000.
C. Y = 10000.
D. Một đáp án khác.
2.2. Hãy xác định tổng C + T của mức tiêu dùng dân cư và thuế ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô.
A. C + T = 9000.
B. Y = C + T = 10000.
C. C + T = 11000.
D. Một đáp án khác.
Đáp án Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô với I0 = 2000, G0 = 1000 cho ta hệ
00 4000 9000;
30 0,4 0,4 3000 500 0,4 –
00
000;
22 0,2 2200 4000 0 2 .,
Y C I G Y C Y
C Y C T C
TY
YT
YTT




2.1. Tổng thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô là Y = 9000. Chọn B.
2.2. Tổng của mức tiêu dùng dân cư và thuế ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô là C + T = 9000. Chọn A.
Câu 3 (TB - cấp độ 2) Một quốc gia có ba ngành sản xuất Nông nghiệp (NN), Công nghiệp (CN) và Dịch vụ
(DV). Biết rằng để sản xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa đầu ra ta có các thông tin dưới đây.
- Ngành NN cần sử dụng 0,2 USD hàng hóa chính mình, 0,2 USD mua hàng hóa ngành CN và 0,2 USD mua
hàng hóa ngành DV.
- Ngành CN cần sử dụng 0,1 USD hàng hóa chính mình, 0,3 USD mua hàng hóa ngành NN và 0,3 USD mua
hàng hóa ngành DV.
- Ngành DV cần sử dụng 0,2 USD hàng hóa chính mình, 0,2 USD mua hàng hóa ngành NN và 0,4 USD mua
hàng hóa ngành CN.
3.1. Tìm tổng đầu ra x1, x2, x3 của mỗi ngành biết nhu cầu cuối cùng của các ngành lần lượt là 260, 40, 160.
A.
x1 = 600, x2 = 500, x3 = 400.
B.
x1 = 500, x2 = 600, x3 = 400.
C.
x1 = 400, x2 = 500, x3 = 600.
D.
Một đáp án khác.
3.2. Tìm tỷ phần gia tăng của mỗi ngành.
A.
a01 = 0,3; a02 = 0,1; a03 = 0,4.
B.
a01 = 0,4; a02 = 0,2; a03 = 0,2.
C.
a01 = 0,3; a02 = 0,2; a03 = 0,4.
D.
Một đáp án khác.
Đáp án Ma trận hệ số đầu vào là A =
0,2 0,3 0,2
0,2 0,1 0,4
0,2 0,3 0,2





, cột cầu cuối là B =
260
40
160





, cột đầu ra X =
1
2
3
x
x
x





.
Mô hình I/O là (I – A)X = B với I là ma trận đơn vị cấp 3 cho ta
1 1 2 3 1
2 1 2 3 2
3 2 2 3 3
0,8 0,3 0,2
0,2 0,9 0,4
0,2 0,3 0,8
260 0,8 0,3 0,2 260 600;
40 0,2 0,9 0,4 40 400;
160 0,2 0,3 0,8 160 500.
x x x x x
x x x x x
x x x x x











.
3.1. Vậy tổng đầu ra của mỗi ngành là x1 = 600, x2 = 400, x3 = 500. Chọn D.
3.2. Tỷ phần gia tăng cùa mỗi ngành lần lượt là:
a01 = 1 – (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,4; a02 = = 1 – (0,3 + 0,1 + 0,3) = 0,3; a03 = = 1 – (0,2 + 0,4 + 0,2) = 0,2.
Vậy chọn D.
Câu 4 (TB - cấp độ 2)
4.1. Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Trong không gian
2022
, luôn tồn tại hệ 2023 vectơ độc lập tuyến tính (ĐLTT).
(2) Nếu bổ sung vào một hệ gồm 2021 vectơ phụ thuộc tuyến tính (PTTT) trong
2022
một vectơ thích
hợp, ta sẽ nhận được một hệ mới 2022 vectơ ĐLTT.
(3) Trong không gian
2022
, mọi hệ nhiều hơn 2022 vectơ thì chắc chắn PTTT; còn mỗi hệ không quá
2022 vectơ đều ĐLTT.
Đếm số khẳng định sai.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
4.2. Lại xét các khẳng định dưới đây
(4) Trong không gian
2022
, mỗi hệ vectơ ĐLTT gồm 2019 vectơ đều có thể bổ sung thêm 3 vectơ thích
hợp để được một cơ sở.
(5) Trong không gian
2022
cho hai cơ sở nào đó (B), (B’) khác nhau. Khi đó tồn tại vec tơ x trong
2022
để toạ độ của x đối với (B), (B’) hoàn toàn như nhau.
(6) Trong không gian
2022
cho một vectơ v bất kỳ và hệ vectơ (S) tùy ý. Điều kiện cần và đủ để v BTTT
được một cách duy nhất qua (S) là (S) ĐLTT còn hệ (S’) = (S) {v} lại PTTT.
Đếm số khẳng định đúng.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án Đây là câu kiểm tra sự hiểu và tổng hợp các kiến thực lý thuyết về không gian
n
, hạng của hệ vectơ,
khái niệm hệ vectơ độc lập và phụ thuộc tuyến tính, số chiều và cơ sở
n
, tọa độ của một vec tơ đối với một
cơ sở. Ở đây, các khẳng định (4), (5) và (6) đúng. Còn (1), (2) và (3) sai. Vậy cả hai ý đều chọn D.
Câu 5U (Dễ - cấp độ 1)
5.1. Xét các khẳng định dưới đây.
(1) Xét hàm chi phí C = C(Q) theo biến sản lượng Q (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Chi phí
biên tại mức sản lượng Q = Q0 là MC(Q0) C’(Q0).
(2) Doanh thu biên MR(Q0) tại mức sản lượng Q0 chính là xấp xỉ lượng thay đổi của doanh thu khi sản lượng
tăng lên 1 đơn vị từ mức Q0 lên mức Q0 + 1 (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi) và nó được cho bởi
công thức xấp xỉ MR(Q0) R’(Q0).
(3) Hệ số co giãn QP(P0) của lượng cầu theo giá tại mức giá P0 chính là xấp xỉ lượng thay đổi tương đối
(tính bằng %) của lượng cầu khi giá tăng tương đối lên 1 % từ mức P0 lên mức P0 + (1%)P0 (trong giả thiết
các yếu tố khác không đổi) và nó được tính bằng công thức xấp xỉ QP(P0) Q’(P0).(P0/Q0).
Đếm số khẳng định đúng.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
5.2. Lại xét các khẳng định dưới đây.
(4) Xét hàm lợi nhuận = (Q) theo biến sản lượng Q (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi). Lợi nhuận
biên tại mức sản lượng Q = Q0 là M(Q0) ’(Q0).
(5) Lợi nhuận biên M(Q0) tại mức sản lượng Q0 chính là xấp xỉ lượng thay đổi của lợi nhuận khi sản lượng
tăng lên 1 đơn vị từ mức Q0 lên mức Q0 + 1 (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi) và nó được cho bởi
công thức xấp xỉ M(Q0) ’(Q0).
(6) Hệ số co giãn CQ(Q0) của chi phí theo sản lượng Q tại mức sản lượng Q0 chính là xấp xỉ lượng thay đổi
tương đối (tính bằng %) của chi phí khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức Q0 lên mức Q0 + 1 (trong giả thiết
các yếu tố khác không đổi) và nó được tính bằng công thức xấp xỉ CQ(Q0) C’(Q0).(Q0/C0).
Đếm số khẳng định sai.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án: Đây là câu hỏi kiểm tra sự hiểu ý nghĩa kinh tế của đạo hàm. (1), (2), (3), (4), (5) đúng, còn (6) sai.
5.1. Chọn D; 5.2. Chọn B.
B. Phần tự luận (5 điểm)
Câu 6 (2 điểm) Một xí nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa X, Y. Trong cùng một khoảng thời gian sản xuất
như nhau, sản lượng từng loại hàng hóa X, Y (tính bằng đơn vị sản phẩm) trước và sau cải tiến kỹ thuật lần
lượt là
( 0), ( 0)xy
và
( 0), ( 0)xy
. Biết rằng M =
11
12 6
là ma trận cải tiến kỹ thuật 1 lần, nghĩa là
( , )xy
và
( , )xy
được liên hệ với nhau bởi hệ thức
.
xx
yy
11
12 6
6.1. (1 điểm) Xác định mức sản lượng ban đầu x, y của từng hàng hóa sao cho sau khi áp dụng cải tiến kỹ
thuật, sản lượng của từng loại hàng hóa đều tăng lên 3 lần biết rằng tổng sản lượng ban đầu x + y = 300.
6.2. (1 điểm) Giả sử xí nghiệp cải tiến kỹ thuật mỗi năm 1 lần và tiến hành 8 năm liên tiếp kể từ năm 2022
này. Xác định sản lượng từng loại hàng hóa X, Y năm 2030 biết rằng sản lượng năm 2022 là x = 50, y = 150.
Đáp án
6.1. Trước hết ta tìm
( 0), ( 0)xy
để
3 , 3x x y y
, tức là
( ).
x x x y x x y x a a
y y x y y x y y a
3 1 1 3 4 0
3 12 6 12 6 3 12 3 0 4
Vì tổng sản lượng ban đầu
5 300x y a
(đơn vị sản phẩm - đvsp) nên a = 60, tức là x = 60, y = 240.
6.2. Gọi x2030, y2030 lần lượt là sản lượng của X, Y năm 2030. Ta có
.
x
y
8
2030
2030
1 1 50
12 6 150
Tín toán ta được
8
11
12 6
=
88
8
1 1 2 0 4 1 1 1 4 1 18659 6305
20
3 4 0 3 3 1 3 4 3 1 75660 25476
03
.
Do đó
.
x
y
2030
2030
18659 6305 50 12800
75660 25476 150 38400
Đáp số: 6.1. x = 60 (đvsp), y = 240 (đvsp). 6.2. x2030 = 12800 (đvsp), y2030 = 38400 (đvsp).
Câu 7 (2 điểm) Trong
3
cho hệ ba vectơ b1 = (1, 3, 5), b2 = (2, 7, 11), b3 = (5, 17, m).
7.1. (1 điểm) Tìm điều kiện của tham số thực m để hệ (B) = (b1, b2, b3) là một cơ sở của
3
.
7.2. (1 điểm) Với m = 26, hãy tìm tọa độ của vectơ x = (13, 44, 69) trong cơ sở (B).
Đáp án
7.1. (B) = (b1, b2, b3) có đúng 3 vectơ trong
3
. Bởi thế, để (B) là một cơ sở của
3
, điều kiện cần và đủ là
det .mm
mm
1 3 5 1 3 5
2 7 11 0 2 7 11 27 0 27
5 17 5 17
7.2. Với m = 26 thì (B) trở thành một cơ sở của
3
. Ta sẽ tìm tọa độ (x1, x2, x3) của vectơ x = (13, 44, 69)
trong cơ sở (B). Ta có
[x](B) = (x1, x2, x3)
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
2 5 13 2;
3 7 17 44 3;
5 11 26 69 1.
x x x x
x x x x
x x x x





Vậy tọa độ của x = (13, 44, 69) trong cơ sở (B) là (2, 3, 1).
Đáp số: 7.1. m ≠ 27; 7.2. [x](B) = (2, 3, 1).
Câu 8 (1 điểm) Cho phương trình tham số
2
64
2; (0, )
3 24;
xt t
y t t
 
.
8.1. Chứng minh phương trình tham số đã cho thỏa mãn điều kiện xác định duy nhất ẩn hàm y = y(x) và tính
đạo hàm cấp 1, cấp 2 của ẩn hàm đó theo biến x.
8.1. Tìm cực trị của ẩn hàm y = y(x) đó.
Đáp án
8.1. Từ các biểu thức đã cho của hàm số x, y theo t, ta thấy ngay
 x’(t) = 2t > 0 với mọi t (0, + );  y’(t) = 6t5 – 12t3 = 6t3(t2 – 2) với mọi t (0, + ).
Dó đó, phương trình tham số đã cho xác định duy nhất một ẩn hàm y = y(x) nào đó.
Lúc này, các đạo hàm cấp 1, cấp 2 của nó theo biến x được xác định như dưới đây.
22 3
2 2 2
[3 ( 2)]
'( ) 12 12
'( ) 3 ( 2); ''( ) 6( 1); t (0, ).
'( ) '( ) 2
dtt
y t t t
dt
y x t t y x t
x t x t t

8.2. Ta tìm cực trị của ẩn hàm y = y(x) đó.
y’(x) = 0
22
'( ) 3 ( 2) 0 2
t
y x t t t
(vì 0 < t), tức là
2
( 2) 2 4.x
Ta được điểm dừng
duy nhất x = 4.
Kiểm tra điểm x = 4:
2
2
''(4) ''( ) 6[( 2) 1] 6 0.
t
y y x
Do đó ẩn hàm y = y(x) đạt cực tiểu tại
điểm x = 4 với ymin =
64
42
( ) ( ) ( 2) 3( 2) 24 20.
xt
y x y x

Kết luận: ẩn hàm cho bởi phương trình tham số nêu trên đạt cực tiểu duy nhất tại x = 4 với ymin = 20
và không đạt cực đại nào.