BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TS. THIỀU ĐÌNH PHONG (chủ biên), TS. MAI VĂN TƯ,
TS. NGUYỄN QUỐC THƠ, TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ
BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
TIẾP CẬN CDIO
DÀNH CHO SINH VIÊN
NHÓM NGÀNH TỰ NHIÊN - KỸ THUẬT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Nghệ An – 2017
MỤC LỤC
THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN .................. 5
LỜI NÓI ĐẦU ........................... 6
1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 8
Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu ra của chương ............. 8
1.1. Ma trận ............................. 9
1.1.1 Khái niệm về ma trận ..................... 9
1.1.2 Các ma trận đặc biệt ...................... 9
1.1.3 Các phép toán ma trận ..................... 10
1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Ma trận bậc thang 14
1.2. Định thức ............................16
1.2.1 Khái niệm định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Khai triển định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Tính định thức bằng phương pháp biến đổi sơ cấp . . . . . 21
1.3. Ma trận nghịch đảo .......................23
1.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3 Các tính chất của ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . 24
1.3.5 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4. Hạng của ma trận ........................26
1.4.1 Khái niệm hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận . . . . . . . . . . . 27
Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập ..................30
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 38
Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu ra của chương .............38
2.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ...............39
2.1.1 Khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính tổng quát 39
2.1.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính tổng quát . 40
2.1.3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . 40
2.1.4 Hệ phương trình tương đương, các phép biến đổi tương
đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Hệ phương trình tuyến tính Cramer ................42
2.2.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính Cramer . . . . . . . 42
1
2.2.2 Công thức nghiệm Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp . . . . . . . . 43
2.3.1 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . 43
2.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính . . . 44
2.3.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . 47
2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ..............48
2.4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . 48
2.4.2 Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát . 49
2.4.4 Liên hệ giữa định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận
và hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập ..................52
3 KHÔNG GIAN VECTƠ 57
Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu ra của chương .............57
3.1. Khái niệm không gian vectơ ...................58
3.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2 Một số ví dụ ........................... 59
3.1.3 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ . . . . . . 60
3.2. Cơ sở và số chiều ........................61
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Hệ sinh .............................. 62
3.2.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . 62
3.2.4 Cơ sở ............................... 64
3.2.5 Số chiều ............................. 64
3.2.6 Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . 65
3.2.7 Ma trận tọa độ của hệ vectơ đối với một cơ sở . . . . . . . 66
3.2.8 Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3. Không gian vectơ con ......................68
3.3.1 Khái niệm không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Giao và tổng của các không gian vectơ con . . . . . . . . . 69
3.3.3 Không gian con sinh bởi một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . 70
3.3.4 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất ............................... 71
Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập ..................72
4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 83
Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu ra của chương .............83
4.1. Ánh xạ .............................84
4.1.1 Khái niệm ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.2 Ảnh và tạo ảnh toàn phần của một tập hợp . . . . . . . . . 84
4.1.3 Hợp thành của hai ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.4 Các loại ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2
4.2. Ánh xạ tuyến tính ........................87
4.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Đồng cấu, tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Ví dụ về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.4 Các tính chất của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5 Sự xác định của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.6 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . 90
4.2.7 Công thức về số chiều của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . 93
4.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ..................93
4.3.1 Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . 93
4.3.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính qua ma trận . . . . . . . . . . 94
4.4. Giá trị riêng và vectơ riêng ....................95
4.4.1 Định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng . . . . . . . . . . . . 95
4.4.2 Bài toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng . . . . . . . . . . 97
Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập ..................99
5 KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 110
Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu ra của chương .............110
5.1. Dạng song tuyến tính ......................111
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.2 Ma trận, hạng và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính112
5.2. Dạng toàn phương ........................112
5.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ của dạng toàn phương . . 113
5.2.3 Dạng chính tắc của một dạng toàn phương . . . . . . . . . 114
5.2.4 Phương pháp Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.5 Dạng toàn phương xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.6 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3. Không gian vectơ Euclid .....................119
5.3.1 Tích vô hướng, không gian vectơ Euclid . . . . . . . . . . . 119
5.3.2 Chuẩn (hay môđun) của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.3 Góc của hai vectơ trong không gian vectơ Euclid . . . . . . 121
5.3.4 Vectơ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.5 Định lý Pythagore trong không gian vectơ Euclid . . . . . 122
5.3.6 Cơ sở trực giao, trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.7 Không gian con bù trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4. Chéo hóa trực giao ........................125
5.4.1 Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.2 Chéo hóa trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5. Đường và mặt bậc hai ......................131
5.5.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid . . . . . . . . . . . 131
5.5.2 Một số đường bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5.3 Phân loại đường bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.6. Mặt bậc hai trong không gian Euclid ...............137
5.6.1 Phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3
5.6.2 Phân loại các mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập ..................142
A THỰC HÀNH TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRÊN
MÁY TÍNH 146
A.1. Sơ lược về Maple ........................146
A.1.1 Cụm xử lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.1.2 Lệnh của Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.1.3 Kết quả của Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.2. Một vài lệnh Toán học Phổ thông ................147
A.2.1 Tính giai thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.2.2 Tìm ước số chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.3 Tìm bội số chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.4 Phân tích thành thừa số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.5 Tìm nghiệm nguyên của phương trình . . . . . . . . . . . . 148
A.2.6 Tìm thương và dư (quotient and remainder) . . . . . . . . 149
A.3. Thực hành tính toán Đại số tuyến tính trên Maple . . . . . . . . . 150
A.3.1 Các phép toán trên vectơ và ma trận . . . . . . . . . . . . 150
A.3.2 Tính giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận . . . . . . . . 154
A.3.3 Tính hạng, tính định thức và tính ma trận nghịch đảo . . 155
A.3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.3.5 Tìm cơ sở của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 158
B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN VÀ CÔNG CỤ ONLINE
SỬ DỤNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 161
B.1. Một số ứng dụng thực tiễn của Đại số tuyến tính ..........161
B.1.1. Ứng dụng trong Mật mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B.1.2. Ứng dụng trong Di truyền học . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.1.3. Ứng dụng trong Lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.1.4. Ứng dụng trong Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.1.5. Ứng dụng trong Hóa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.1.6. Ứng dụng trong Lý thuyết mã . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.1.7. Ứng dụng trong Dao động điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 178
B.1.8. Ứng dụng trong Nén ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.1.9. Ứng dụng trong Mạng lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B.1.10. Ứng dụng trong Nhận diện khuôn mặt . . . . . . . . . . . 191
B.2. Một số công cụ online sử dụng trong Đại số tuyến tính . . . . . . . 195
TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................197
4