Bài tập Chương 0, 1, 2, 3 Đại số Tuyến tính (Nguyễn Hữu
Việt Hưng)
literallyme
Chỉnh sửa gần nhất: 5 tháng 10 năm 2024
Mục lục
0 Kiến thức chuẩn bị 2
1 Không gian vector 25
2 Ma trận và ánh xạ tuyến tính 54
3 Định thức và hệ phương trình tuyến tính 89
1
Chương 0
Kiến thức chuẩn bị
Bài tập 0.1. Chứng minh các tính chất kết hợp, giao hoán, phân phối của các phép toán hợp và
giao trên tập hợp. Chứng minh công thức đối ngẫu De Morgan cho hiệu của hợp và giao của một
họ tùy ý các tập hợp.
Chứng minh. Ta sử dụng các tập hợp A, B, C.
Tính chất kết hợp.
(A∪B)∪C={x|(x∈Aor x∈B)or x∈C}
A∪(B∪C) = {x|x∈Aor (x∈Bor x∈C)}
Toán tử or có tính chất kết hợp, do đó (A∪B)∪C=A∪(B∪C).
(A∩B)∩C={x|(x∈Aand x∈B)and x∈C}
A∩(B∩C) = {x|x∈Aand (x∈Band x∈C)}
Toán tử and có tính chất kết hợp, do đó (A∩B)∩C=A∩(B∩C).
Tính chất giao hoán.
A∪B={x|x∈Aor x∈B}
B∪A={x|x∈Bor x∈A}
Toán tử or có tính chất giao hoán, do đó A∪B=B∪A.
A∩B={x|x∈Aand x∈B}
B∩A={x|x∈Band x∈A}
2
CHƯƠNG 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Toán tử and có tính chất giao hoán, do đó A∩B=B∩A.
Tính chất phân phối.
A∩(B∪C) = {x|x∈Aand (x∈Bor x∈C)}
={x|(x∈Aand x∈B)or (x∈Aand x∈C)}
(do phép and,or có tính chất phân phối)
= (A∩B)∪(A∩C);
A∪(B∩C) = {x|x∈Aor (x∈Band x∈C)}
={x|(x∈Aor x∈B)and (x∈Aor x∈C)}
(do phép and,or có tính chất phân phối)
= (A∪B)∩(A∪C).
Trong chứng minh công thức De Morgan, chúng ta sẽ sử dụng họ tập hợp Aivới ithuộc tập
hợp chỉ số I.
X\[
i∈I
Ai={x|∃i∈I, x ∈Ai}
={x| ∀i∈I, x ∈ Ai}
={x| ∀i∈I, x ∈(X\Ai)}
=\
i∈I
(X\Ai);
X\\
i∈I
Ai={x|∀i∈I, x ∈Ai}
={x| ∃i∈I, x ∈ Ai}
={x| ∃i∈I, x ∈(X\Ai)}
=[
i∈I
(X\Ai).
Bài tập 0.2. Chứng minh rằng
(a) (A\B)∪(B\A) = ∅⇐⇒ A=B,
(b) A= (A\B)∪(A∩B),
(c) (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B),
(d) A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C),
(e) A∪(B\A) = A∪B,
3
CHƯƠNG 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
(f) A\(A\B) = A∩B.
Chứng minh. (a) Nếu A=Bthì A\B=B\A=∅, kéo theo (A\B)∪(B\A) = ∅.
Nếu (A\B)∪(B\A) = ∅thì A\B=B\A=∅, dẫn đến A⊂B, B ⊂A⇒A=B.
(b)
A={x|(x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈ B)}
= (A∩B)∪(A\B).
(c) Để ngắn gọn, chúng ta sử dụng kí hiệu a(x)là mệnh đề x∈A,b(x)là mệnh đề x∈B.
(A\B)∪(B\A) = {x|(a(x)∧b(x)) ∨(a(x)∧b(x))}
(a(x)∧b(x)) ∨(a(x)∧b(x)) = ((a(x)∧b(x)) ∨a(x)) ∧((a(x)∧b(x)) ∨b(x))
((a(x)∨b(x)) ∧(b(x)∨b(x)))
= (a(x)∨b(x)) ∧(a(x)∨b(x))
=a(x)∧b(x)∧(a(x)∨b(x))
= (x∈A∪B)∧(x∈ A∩B)
Vậy (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).
(d) a(x)là mệnh đề x∈A,b(x)là mệnh đề x∈B,c(x)là mệnh đề x∈C.X=A∪B∪C.
A∩(B\C) = {x|a(x)∧(b(x)∧c(x))}
={x|(a(x)∧b(x)) ∧(a(x)∧c(x))}
= (A∩B)∩(A\C)
= (A∩B)∩(A\(A∩C))
= (A∩B)∩A∩(X\(A∩C))
= (A∩B)∩(X\(A∩C))
= (A∩B)\(A∩C).
4