Chương X: Hệ thức lượng trong tam giác

Chia sẻ: Mr. Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

1.384
lượt xem 357
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo về Hệ thức lượng trong tam giác trên báo tuổi trẻ online. Tài liệu hay và bổ ích dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học - cao đẳng tham khảo ôn tập củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương X: Hệ thức lượng trong tam giác

CHÖÔNG X: HEÄ THÖÙ C LÖÔÏ N G TRONG TAM GIAÙ C I. ÑÒNH LYÙ HAØ M SIN VAØ COSIN Cho ΔABC coù a, b, c laà n löôï t laø ba caï n h ñoá i dieä n cuû a A, B, C, R laø baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p ΔABC , S laø dieä n tích ΔABC thì a b c = = = 2R sin A sin B sin C a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4S.cotgA b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = a 2 + c 2 − 4S.cotgB c2 = a 2 + b2 − 2ab cos C = a 2 + b2 − 4S.cotgC Baø i 184 Cho ΔABC . Chöù n g minh: A = 2B ⇔ a 2 = b2 + bc Ta coù : a 2 = b2 + bc ⇔ 4R2 sin2 A = 4R2 sin2 B + 4R2 sin B.sin C ⇔ sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C 1 1 ⇔ (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = sin B sin C 2 2 ⇔ cos 2B − cos 2A = 2 sin B sin C ⇔ −2 sin ( B + A ) sin ( B − A ) = 2 sin B sin C ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B ( do sin ( A + B ) = sin C > 0 ) ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loaïi ) ⇔ A = 2B Caù c h khaù c : sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C ⇔ (s in A − sin B) (s in A + sin B) = sin B sin C A+B A−B A+B A−B ⇔ 2 cos sin .2 sin co s = sin B sin C 2 2 2 2 ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B ( do sin ( A + B ) = sin C > 0 ) ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loaïi ) ⇔ A = 2B
sin ( A − B ) a 2 − b2 Baø i 185: Cho ΔABC . Chöù n g minh: = sin C c2 a 2 − b2 4R 2 sin2 A − 4R 2 sin2 B Ta coù = c2 4R 2 sin2 C 1 1 sin 2 A − sin 2 B 2 ( 1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = = 2 sin 2 C sin 2 C cos 2B − cos 2A −2 sin ( A + B ) sin ( B − A ) = = 2 sin 2 C 2 sin 2 C sin ( A + B ) . sin ( A − B ) sin ( A − B ) = = sin 2 C sin C ( do sin ( A + B ) = sin C > 0) A B 1 Baø i 186: Cho ΔABC bieá t raè n g tg ⋅ tg = ⋅ 2 2 3 Chöù n g minh a + b = 2c A B 1 A B A B Ta coù : tg ⋅ tg = ⇔ 3sin sin = cos cos 2 2 3 2 2 2 2 ⎛ A B ⎞ ⎜ do cos > 0, cos > 0 ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ A B A B A B ⇔ 2 sin sin = cos cos − sin sin 2 2 2 2 2 2 ⎡ A+B A − B⎤ A+B ⇔ − ⎢cos − cos ⎥ = cos 2 ⎣ 2 2 ⎦ A−B A+B ⇔ cos = 2 cos ( *) 2 2 Maë t khaù c : a + b = 2R ( sin A + sin B ) A+B A−B = 4R sin cos 2 2 A+B A+B = 8R sin 2 cos 2 ( do ( *) ) = 4R sin ( A + B ) = 4R sin C = 2c Caù c h khaù c : a + b = 2c ⇔ 2R ( sin A + sin B ) = 4R sin C
A+B A−B C C ⇔ 2 sin cos = 4 sin cos 2 2 2 2 A−B C A+B ⎛ A+B C ⎞ ⇔ cos = 2 sin = 2 cos ⎜ do sin = cos ⎟ 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ A B A B A B A B ⇔ cos cos + sin sin = 2 cos cos − 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B ⇔ 3 sin sin = cos cos 2 2 2 2 A B 1 ⇔ tg ⋅ tg = 2 2 3 Baø i 187: Cho ΔABC , chöù n g minh neá u cotgA, cotgB, cotgC taï o moä t caá p soá coä n g thì a 2 , b2 , c2 cuõ n g laø caá p soá coä n g. Ta coù : cot gA, cot gB, cot gC laø caáp soá coäng ⇔ cot gA + cot gC = 2 cot gB ( * ) Caù c h 1: sin ( A + C ) 2 cos B Ta coù: ( *) ⇔ = ⇔ sin 2 B = 2 sin A sin C cos B sin A sin C sin B ⇔ sin B = − ⎡cos ( A + C ) − cos ( A − C ) ⎤ ⎡ − cos ( A + C ) ⎤ 2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⇔ sin 2 B = cos2 ( A + C ) − cos ( A − C ) cos ( A + C ) 1 ⇔ sin 2 B = cos2 B − [cos 2A + cos 2C] 2 1 ⇔ sin 2B = (1 − sin 2 B ) − ⎡(1 − 2 sin 2 A ) + (1 − 2 sin 2 C ) ⎤ 2⎣ ⎦ ⇔ 2 sin 2 B = sin 2 A + sin 2 C 2b2 a2 c2 ⇔ = + 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ 2b2 = a 2 + c2 ⇔ a 2 , b2 , c2 laø caâùp soá coäng • Caù c h 2: Ta coù: a 2 = b2 + c 2 − 2ab cos A ⎛1 ⎞ ⇔ a 2 = b2 + c 2 − 4 ⎜ bc sin A ⎟ .cotgA ⎝2 ⎠ ⇔ a = b + c − 4S cot gA 2 2 2 b2 + c 2 − a 2 Do ñoù cotgA = 4S a 2 + c 2 − b2 a 2 + b2 − c 2 Töông töï cotgB = , cotgC = 4S 4S b +c −a 2 2 2 a + b − c2 2 2 a 2 + c 2 − b2 Do ñoù: ( *) ⇔ + = 2⋅ 4S 4S 4S ⇔ 2b = a + c 2 2 2
Baø i 188: Cho ΔABC coù sin2 B + sin2 C = 2sin2 A Chöù n g minh BAC ≤ 600. Ta coù: sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A b2 c2 2a 2 ⇔ + = 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ b2 + c 2 = 2a 2 ( *) Do ñònh lyù haø m cosin neâ n ta coù a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 + c 2 − a 2 2 ( b2 + c 2 ) − b2 − c 2 ⇔ cos A = = ( do ( *)) 2bc 4bc b2 + c 2 2bc 1 = ≥ = ( do Cauchy ) 4bc 4bc 2 Vaïây : BAC ≤ 600. Caù c h khaù c: ñònh lyù haø m cosin cho a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ b2 + c2 = a 2 + 2bc cos A Do ñoù (*) ⇔ a 2 + 2bc cos A = 2a 2 a2 b 2 + c2 1 ⇔ cos A = = ≥ ( do Cauchy) 2bc 4 bc 2 Baø i 189: Cho ΔABC . Chöù n g minh : R ( a 2 + b2 + c 2 ) cotgA+cotgB+cotgC = abc b + c − a2 2 2 Ta coù: cotgA = 4S a +c −b 2 2 2 a 2 + b2 − c 2 Töông töï: cot gB = , cot gC = 4S 4S a +b +c 2 2 2 a 2 + b2 + c 2 Do ñoù cot gA + cot gB + cot gC = = 4S abc 4 4R a +b +c 2 2 2 =R abc Baø i 190: Cho ΔABC coù 3 goù c A, B, C taï o thaø n h moä t caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. Giaû söû A < B < C. 1 1 1 Chöù n g minh: = + a b c
Do A, B, C laø caá p soá nhaâ n coù q = 2 neâ n B = 2A, C = 2B = 4A π 2π 4π Maø A + B + C = π neân A = , B = ,C = 7 7 7 Caù c h 1: 1 1 1 1 Ta coù: + = + b c 2R sin B 2R sin C ⎛ ⎞ 1 ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜ + ⎟ 2R ⎜ 2π 4π ⎟ ⎜ sin sin ⎟ ⎝ 7 7 ⎠ 4π 2π sin + sin 1 7 7 = 2R 2π 4π sin sin 7 7 3π π 2 sin . cos 1 7 7 ⎛ do sin 4 π = sin 3π ⎞ = ⋅ 2R 2π 3π ⎜⎝ 7 7 ⎠ ⎟ sin . sin 7 7 π cos 1 7 1 = ⋅ = R π π 2R sin A 2 sin . cos 7 7 1 = a Caù c h 2: 1 1 1 1 1 1 = + ⇔ = + a b c sin A sin B sin C 1 1 1 sin 4A + sin 2A ⇔ = + = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2 sin 3A. cos A 2 cos A 2 cos A ⇔ = = = sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 3π 4π do : sin 3A = sin = sin = sin 4A • 7 7 Baø i 191: Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u sin A sin B sin C = = 1 3 2 a b c Do ñònh lyù haø m sin: = = = 2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C neâ n : = = ( *) 1 3 2
a b c ⇔ = = 2R 2R 3 4R b c ⎧ ⎪b = a 3 ⇔a= = ⇔⎨ 3 2 ⎪c = 2a ⎩ ( ) 2 Ta coù: c 2 = 4a 2 = a 3 + a2 ⇔ c 2 = b2 + a 2 Vaïây ΔABC vuoâng taïi C Thay sin C = 1 vaøo ( *) ta ñöôïc sin A sin B 1 = = 1 3 2 ⎧ 1 ⎪sin A = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin B = 3 ⎪ ⎩ 2 ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = 60 0 ⎩ Ghi chuù: Trong tam giaù c ABC ta coù a = b ⇔ A = B ⇔ sin A = sin B ⇔ cos A = cos B II. ÑÒNH LYÙ VEÀ ÑÖÔØN G TRUNG TUYEÁ N Cho ABC coù trung tuyeá n AM thì: BC2 AB2 + AC2 = 2AM2 + 2 a2 hay : c + b = 2ma + 2 2 2 2 Baø i 192: Cho ABC coù AM trung tuyeá n , AMB = α , AC = b, AB = c, S laø dieä n tích ABC. Vôù i 0 < α < 900 b2 − c 2 a/ Chöù n g minh: cotgα = 4S b/ Giaû söû α = 45 , chöù n g minh: cotgC – cotgB = 2 0 HM MB − BH a/ AHM vuoâ n g ⇒ cotgα = = AH AH a BH ⇒ cotgα = − (1 ) 2AH AH
b2 − c 2 ( a + c − 2ac cos B ) − c 2 2 2 Maë t khaù c : = 4S 2AH.a Ñaë t BC = a b2 − c 2 a c cos B a BH ⇒ = − = − (2) 4S 2AH AH 2AH AH b2 − c 2 Töø (1) vaø (2) ta ñöôï c : cotg α = 4S Caù c h khaù c: Goï i S 1 , S 2 laà n löôï t laø dieä n tích tam giaù c ABH vaø ACH Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABH vaø ACH ta coù : AM2 + BM2 − c 2 cotg α = (3) 4S1 AM2 + CM2 − b2 − cotg α = (4) 4S2 Laá y (3) – (4) ta coù : b2 − c 2 S cotg α = ( vì S 1 =S 2 = ) 4S 2 HC HB HC − HB b/Ta coù : cotgC – cotgB = − = AH AH AH = ( MH + MC ) − ( MB − MH ) AH 2MH = = 2 cotg α = 2 cotg 450 = 2 AH Caù c h khaù c: Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABM vaø ACM ta coù : BM2 + c 2 − AM2 cotg B = (5) 4S1 CM2 + b2 − AM2 cotg C = (6) 4S2 Laá y (6) – (5) ta coù : b2 − c 2 S cotg C − cot gB = = 2 cot gα =2 ( vì S 1 =S 2 = vaø caâ u a ) 2S 2
Baø i 193 Cho ABC coù trung tuyeá n phaù t xuaá t töø B vaø C laø mb , mc thoû a c mb = ≠ 1 . Chöù n g minh: 2cotgA = cotgB + cotgC b mc c2 m2 Ta coù : 2 = 2 b b mc 1⎛ 2 b2 ⎞ ⎜ a + c2 − ⎟ c2 2 2 ⎠ ⇔ 2 = ⎝ b 1⎛ 2 c2 ⎞ ⎜ b + a2 − ⎟ 2⎝ 2⎠ c4 b4 ⇔ b2 c 2 + a 2 c 2 − = a 2 b2 + b2 c 2 − 2 2 1 4 ⇔ a 2 c 2 − a 2 b2 = ( c − b4 ) 2 1 ⇔ a 2 ( c 2 − b2 ) = ( c 2 − b2 )( c 2 + b2 ) 2 ⎛ c ⎞ ⇔ 2a 2 = c 2 + b2 (1) ⎜ do ≠ 1 ⎟ ⎝ b ⎠ Thay b + c = a + 2bc cos A vaø o (1), ta coù (1) thaø n h 2 2 2 a 2 = 2bc cos A a2 4R 2 sin 2 A ⇔ cos A = = 2bc 2 ( 2R sin B ) ( 2R sin C ) cos A sin A sin ( B + C ) ⇔2 = = sin A sin B sin C sin B sin C sinBcosC+ sinCcosB ⇔ 2 cotgA = = cotgC+ cotgB sin B sin C Baø i 194: Chöù n g minh neá u ABC coù trung tuyeá n AA’ vuoâ n g goù c vôù i trung tuyeá n BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) GAB vuoâ n g taï i G coù GC’ trung tuyeá n neâ n AB = 2GC’ 2 Vaä y AB = CC′ 3 ⇔ 9c = 4m 2 2 c ⎛ c2 ⎞ ⇔ 9c 2 = 2 ⎜ b2 + a 2 − ⎟ ⎝ 2⎠ ⇔ 5c 2 = a 2 + b2 ⇔ 5c2 = c2 + 2ab cos C (do ñònh lyù haø m cos) ⇔ 2c 2 = ab cos C 2 ⇔ 2 ( 2R sin C ) = ( 2R sin A )( 2R sin B ) cos C
⇔ 2 sin2 C = sin A sin B cos C 2 sin C cos C ⇔ = sin A sin B sin C 2 sin ( A + B ) ⇔ = cotgC sin A sin B 2 ( sin A cos B + sin B cos A ) ⇔ = cotgC sin A sin B ⇔ 2 ( cotg B + cotgA ) = cotgC III. DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goï i S: dieä n tích ABC R: baù n kính ñöôø ng troø n ngoaï i tieá p ABC r: baù n kính ñöôøn g troø n noä i tieá p ABC p: nöû a chu vi cuû a ABC thì 1 1 1 S= a.h a = b.h b = c.hc 2 2 2 1 1 1 S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 abc S= 4R S = pr S = p ( p − a ) ( p − b )( p − c ) 2S Baø i 195: Cho ABC chöù n g minh: sin 2A + sin 2B + sin 2C = R2 Ta coù : sin2A+ ( sin2B + sin2C ) = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC] a b c 1 abc 1 4RS 2S = 4. . . = = = 2 2R 2R 2R 2 R 3 2 R3 R Baø i 196 Cho ABC. Chöù n g minh : 1 2 S = Dieä n tích ( ABC) = 4 ( a sin 2B + b2 sin 2A )
1 Ta coù : S = dt ( ΔABC ) = ab sin C 2 1 = ab sin ( A + B ) 2 1 = ab [sin A cos B + sinB cos A ] 2 1 ⎡⎛ a ⎞ ⎛b ⎞ ⎤ = ab ⎢⎜ sin B ⎟ cos B + ⎜ sin A ⎟ cos A ⎥ (do ñl haøm sin) 2 ⎣⎝ b ⎠ ⎝a ⎠ ⎦ 1 = ⎡a 2 sin B cos B+ b2 sin A cos A ⎤ 2⎣ ⎦ 1 = ( a 2 sin 2B + b2 sin 2A ) 4 Baø i 197: Cho ΔABC coù troï n g taâ m G vaø GAB = α, GBC = β, GCA = γ. 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) Chöù n g minh: cotgα + cotgβ +cotgγ = 4S Goï i M laø trung ñieå m BC, veõ MH ⊥ AB AH ΔAMH ⊥⇒ cos α = AM BH 2BH ΔBHM ⊥⇒ cos B = = MB a Ta coù : AB = HA + HB a ⇔ c = AM cos α + cos B 2 1 ⎛ a ⎞ ⇔ cos α = ⎜ c − cos B ⎟ (1 ) AM ⎝ 2 ⎠ Maë t khaù c do aù p duï n g ñònh lyù haø m sin vaø o ΔAMB ta coù : MB AM 1 a = ⇔ sin α = MB sin B = sin B (2) sin α sin B AM 2AM Laá y (1) chia cho (2) ta ñöôï c : a c − cos B 2 2c − a cos B cotgα = = a b sin B a. 2 2R R ( 4c − 2a cos B ) R ( 4c − 2ac cos B ) 2 = = ab abc 3c + b − a 2 2 2 3c + b − a 2 2 2 = = abc 4S R
Chöù n g minh töông töï : 3a 2 + c 2 − b2 cotgβ = 4S 3b + a 2 − c 2 2 cotgγ = 4S Do ñoù : cotgα + cotgβ + cotgγ 3c2 + b2 − a 2 3a 2 + c 2 − b2 3b2 + a 2 − c 2 = + + 4S 4S 4S 3 (a + b + c ) 2 2 2 = 4S 3 2 Caù c h khaù c : Ta coù m2 + m2 + mc = a b 2 4 ( a + b2 + c2 ) (*) a2 c2 + m2 − 4 = 4c + 4ma − a (a) a 2 2 2 cotgα = 4SΔABM 8S 4a 2 + 4m2 − b2 4b2 + 4m2 − c2 Töông töï cotgβ = b (b), cotgγ = c (c) 8S 8S Coä n g (a), (b), (c) vaø keá t hôï p (*) ta coù : 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) cotg α + cotg β + cotg γ = 4S IV. BAÙN KÍNH ÑÖÔØ N G TROØ N Goï i R baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p ΔABC vaø r baù n kính ñöôø n g troø n noä i tieá p ΔABC thì a abc R= = 2 sin A 4S S r= p A B C r = ( p − a ) tg = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg 2 2 2 Baø i 198: Goï i I laø taâ m ñöôø n g troø n noä i tieá p ΔABC . Chöù n g minh:
A B C a/ r = 4R sin sin sin 2 2 2 b/ IA.IB.IC = 4Rr 2 B BH a/ Ta coù : ΔIBH ⊥⇒ cotg = 2 IH B ⇒ BH = rcotg 2 C Töông töï HC = r cotg 2 Maø : BH + CH = BC neâ n ⎛ B C⎞ r ⎜ cotg + cotg ⎟ = a ⎝ 2 2⎠ ⎛B + C⎞ r sin ⎜ ⎟ ⇔ ⎝ 2 ⎠=a B C sin sin 2 2 A B C ⇔ r cos = ( 2R sin A ) sin sin 2 2 2 A A A B C ⇔ r cos = 4R sin cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C A ⇔ r = 4R sin sin sin . (do cos >0) 2 2 2 2 Α IK r b/ Ta coù : Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ sin = ⇒ IA = 2 IA A sin 2 r r Töông töï IB = ; IC = B C sin sin 2 2 r 3 Do ñoù : IA.IB.IC = A B C sin sin sin 2 2 2 r3 = = 4Rr 2 (do keát quaû caâu a) r 4R Baø i 199: Cho ΔABC coù ñöôø n g troø n noä i tieá p tieá p xuù c caù c caï n h ΔABC taï i A’, B’, C’. ΔA 'B 'C ' coù caù c caï n h laø a’, b’, c’ vaø dieä n tích S’. Chöù n g minh:
a' b ' C⎛ A B⎞ a/ + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ a b 2⎝ 2 2⎠ S' A B C b/ = 2 sin sin sin S 2 2 2 1 1 1 a/ Ta coù : C ' A 'B ' = C 'IB ' = ( π − A ) = ( B + C ) 2 2 2 AÙ p duï n g ñònh lyù hình sin vaø o ΔA 'B 'C ' a' = 2r (r: baù n kính ñöôø ng troø n noä i tieá p ΔABC ) sin A ' B+C ⇒ a ' = 2r sin A ' = 2r sin (1) 2 ΔABC coù : a = BC = BA '+ A 'C B C ⇒ a = r cot g + r cot g 2 2 B+C sin ⇒a=r 2 (2) B C sin sin 2 2 (1) a ′ B C Laá y ta ñöôï c = 2 sin sin (2) a 2 2 b' A C Töông töï = 2 sin .sin b 2 2 a ' b' C⎛ A B⎞ Vaä y + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ . a b 2⎝ 2 2⎠ 1 1 1 b/ Ta coù : A 'C 'B ' = .B 'IA ' = ( π − C ) = ( A + B ) 2 2 2
A+B C Vaä y sin C ' = sin = cos 2 2 1 a ' b 'sin C ' S ' dt ( ΔA 'B 'C ') 2 Ta coù : = = S dt ( ΔABC ) 1 ab sin C 2 S ' ⎛ a ' ⎞ ⎛ b ' ⎞ sin C ' ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ S ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ sin C C cos B C A 2 = 4 sin sin 2 sin ⋅ 2 2 2 C C 2 sin cos 2 2 B C A = 2 sin ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 Baø i 200: Cho ΔABC coù troï n g taâ m G vaø taâ m ñöôø n g troø n noä i tieá p I. Bieá t GI vuoâ n g goù c vôù i ñöôø n g phaâ n giaù c trong cuû a BCA . Chöù n g minh: a+b+c 2ab = 3 a+b Veõ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG caé t AC taï i L vaø caé t BC taï i N Ta coù : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) =ID.LC = r.LC (1) Maë t khaù c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN) 1 = ( GH.LC + GK.CN ) (2) 2 Do ΔCLN caâ n neâ n LC = CN Töø (1) vaø (2) ta ñöôï c : 1 rLC = LC ( GH + GK ) 2 ⇔ 2r = GH + GK Goï i h a , h b laø hai ñöôø n g cao ΔABC phaù t xuaá t töø A, B GK MG 1 GH 1 Ta coù : = = vaø = ha MA 3 hb 3 1 Do ñoù : 2r = ( ha + h b ) (3) 3
1 1 Maø : S = Dt ( ΔABC ) = pr = a.ha = b.h b 2 2 2pr 2pr Do ñoù : ha = vaø h b = a b 2 ⎛1 1⎞ Töø (3) ta coù : 2r =pr ⎜ + ⎟ 3 ⎝a b⎠ 1 ⎛a + b⎞ ⇔ 1 = p⎜ ⎟ 3 ⎝ ab ⎠ a+b+c a+b ⇔3= ⋅ 2 ab 2ab a+b+c ⇔ = a+b 3 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)
BAØI TAÄP 1. Cho ΔABC coù ba caï n h laø a, b, c. R vaø r laà n löôï t laø baù n kính ñöø ô ng troø n ngoaï i tieá p vaø noä i tieá p ΔABC . Chöù n g minh: C A B a/ ( a − b ) cotg + ( b − c ) cotg + ( c − a ) cotg = 0 2 2 2 r b/ 1 + = cos A + cos B + cos C R A B C c/ Neá u cotg , cotg , cotg laø caá p soá coä n g thì a, b, c cuõ n g laø caá p soá coä n g. 2 2 2 d/ Dieä n tích ΔABC = R r ( sin A + sin B + sin C ) e/ Neá u : a 4 = b4 + c4 thì ΔABC coù 3 goù c nhoï n vaø 2sin2 A = tgB.tgC 8 2. Neá u dieä n tích ( ΔABC ) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC = 15 3. Cho ΔABC coù ba goù c nhoï n . Goï i A’, B’, C’ laø chaâ n caù c ñöôø n g cao veõ töø A, B, C. Goï i S, R, r laà n löôï t laø dieä n tích, baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p , noä i tieá p ΔABC . Goï i S’, R’, r’ laà n löôï t laø dieä n tích, baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p , noä i tieá p cuû a ΔA 'B 'C ' . Chöù n g minh: a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC R b/ R ' = 2 c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC 4. ΔABC coù ba caï n h a, b, c taï o moä t caá p soá coä n g. Vôù i a < b < c Chöù n g minh : a/ ac = 6Rr A −C B b/ cos = 2 sin 2 2 3r ⎛ C A⎞ c/ Coâ n g sai d = ⎜ tg − tg ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠ 5. Cho ΔABC coù ba goù c A, B, C theo thöù töï taï o 1 caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. Chöù n g minh: 1 1 1 a/ = + a b c 5 b/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = 4