BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

A.A.A.A. KIKIKIKIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN

I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

y

Xét họ đường cong (

f x m ( ,

)

, trong đó f là hàm đa thức theo biến x

=

)mC có phương trình

với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi? (cid:1) Phương pháp giải:

y

o Bước 1: Đưa phương trình

f x m ( ,

)

về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:

=

2

Am Bm C

= . 0

+

+

Am B+ = hoặc 0 o Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

0

0

hoặc

.

0 0

= A  B =

0

= A  B =  C =

o Bước 3: Kết luận

)mC không có điểm cố định.

(cid:2) Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong ( (cid:2) Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (

)mC .

II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

y

)C có phương trình

(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ

f x ( )

=

Cho đường cong ( nguyên của đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên. (cid:1) Phương pháp giải:

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số. o Bước 2: Lí luận để giải bài toán.

III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

y

)C có phương trình

f x ( )

. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm,

=

3

2

Bx Cx D

:C y Ax

=

+

+

+

trên đồ thị (

)C tìm những cặp điểm đối

) . )

I

Cho đường cong ( qua đường thẳng. Bài toán 1: Cho đồ thị ( xứng nhau qua điểm ( I x y , I (cid:1) Phương pháp giải:

3

2

3

2

Bb Cb D

;

,

(cid:2) Gọi

+

+

+

+

+

+

là hai điểm trên (

)C đối xứng

) Ba Ca D N b Ab

(

)

( M a Aa ; nhau qua điểm I .

a b

x

2

+ =

I

(cid:2) Ta có

.

3

3

2

2

b

b

D

y

A a (

)

2

2

+

+

+

+

+

+

=

( C a b

)

I

( B a

)

  

,a b từ đó tìm được toạ độ M, N.

3

2

Bx Cx D

:C y Ax

=

+

+

+

)

. Trên đồ thị (

)C tìm những cặp

Giải hệ phương trình tìm được Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. (cid:1) Phương pháp giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

3

2

3

2

Bb Cb D

(cid:2) Gọi

,

,

+

+

+

+

+

+

là hai điểm trên (

)C đối xứng

( M a Aa ,

) Ba Ca D N b Ab

(

)

nhau qua gốc tọa độ.

a b

0

+ =

(cid:2) Ta có

.

3

3

2

2

b

b

D

A a (

)

2

0

+

+

+

+

+

+

=

( C a b

)

( B a

)

  

(cid:2) Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ

,M N .

3

2

Bx Cx D

:C y Ax

+

=

+

+

trên đồ thị (

)C tìm những cặp điểm đối

.

=

+

1

) Bài toán 3: Cho đồ thị ( xứng nhau qua đường thẳng :d y A x B 1 (cid:1) Phương pháp giải:

3

2

3

2

Bb Cb D

;

,

(cid:2) Gọi

+

+

+

+

+

+

là hai điểm trên (

)C đối xứng

( M a Aa ;

) Ba Ca D N b Ab

(

)

nhau qua đường thẳng d .

(1)

là vectơ chỉ phương của

(cid:2) Ta có:

(với I là trung điểm của MN và

(cid:2) du

d

0 (2)

=

∈ I d (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2)   MN u . đường thẳng d ).

(cid:2) Giải hệ phương trình tìm được M, N.

IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

1. Lí thuyết:

2

2

;

;

Loại 1. Cho hai điểm

.

⇒ = PQ

−

+

−

(

(

)

(

)

(

)

) P x y Q x y ; 2

2

1

1

x 2

x 1

y 2

y 1

Cho điểm

và đường thẳng

:

0

d Ax By C +

+

= , thì khoảng cách từ M

( ;M x y 0 0

+

) Ax 0

By C + 0

.

đến d là

;

=

( h M d

)

2

2

B

h

Loại 2. Khoảng cách từ

+ đến tiệm cận đứng x

=

a − .

a= là

x 0

h

Loại 3. Khoảng cách từ

;M x y đến tiệm cận ngang y

=

b − .

b= là

A ) )

( ;M x y 0 0 (

0

0

y 0

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường )C nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm thẳng với một đường cong ( tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.

2. Các bài toán thường gặp:

y

c

Bài toán 1: Cho hàm số

0,

0

)C hai

=

≠

ad bc −

≠

(

)

có đồ thị (

)C . Hãy tìm trên (

ax b + d cx +

điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất. (cid:1) Phương pháp giải:

x

= − do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía

(cid:2) (

)C có tiệm cận đứng

d c

của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số

,α β là hai số dương.

x

x

y

(cid:2) Nếu A thuộc nhánh trái thì

f x (

)

.

α

< − ⇒ = − − < − ;

=

A

A

A

A

d c

d c

d c

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

y

f x (

)

.

β

=

(cid:2) Nếu B thuộc nhánh phải thì B x

> − ⇒ = − + x B

B

B

d c

d c

d > − ; c

2

2

2

2

2

AB

a

a

y

y

x

y

y

.

=

−

+

−

=

+

−

+

−

) β

(

)

(

(

(

) α

(

)

x B

A

A

B

B

A

 

 

(cid:2) Sau đó tính ) − (cid:2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.

y

. Tìm tọa độ điểm M thuộc

f x ( )

=

)C có phương trình

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số ( )C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. ( (cid:1) Phương pháp giải:

x

y

.

=

+

;M x y và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d

(

)

(cid:2) Gọi (cid:2) Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên

trục hoành, trên trục tung.

(cid:2) Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc

tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.

(cid:2) Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm

rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d .

y

)C có phương trình

f x ( )

. Tìm điểm M trên (

)C sao cho khoảng

=

Bài toán 3: Cho đồ thị ( cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy . (cid:1) Phương pháp giải:

kx

=

kx

y

(cid:2) Theo đầu bài ta có

.

k x = ⇔

kx

= −

kx

= −

= y  y 

( ) f x ( ) f x

 ⇔  

y

c

.

f x ( )

0,

0

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (

)C có phương trình

=

=

≠

ad bc −

≠

(

)

ax b + cx d +

)C sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

Tìm tọa độ điểm M trên ( (cid:1) Phương pháp giải:

x

y

(cid:2) Tiệm cận đứng

; tiệm cận ngang

=

d − c

a = . c

I

(cid:2) Ta tìm được tọa độ giao điểm

của hai tiệm cận.

  

− d a ;   c c

y

(cid:2) Gọi

là điểm cần tìm. Khi đó:

( M x

)

;M

M

2

2

2

IM

y

=

+

+

−

=

( g x

)

x M

M

M

  

  

  

  

a c

d c (cid:2) Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.

y

và đường thẳng

)C có phương trình

f x ( )

=

:

0

= . Tìm điểm I trên (

)C sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.

⇒

;

;

)

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số ( d Ax By C + + (cid:1) Phương pháp giải (cid:2) Gọi I thuộc ( )C

.

=

)

( I x y 0 0

y 0

f x ( 0

+

Ax 0

By C + 0

(cid:2) Khoảng cách từ I đến d là

)

=

=

( h I d ;

)

g x ( 0

2

2

A

B

+

y

(cid:2) Khảo sát hàm số

g x ( )

để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.

=

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3 | T H B T N

BTN_2_3

x

m

1)

3

y m ( =

−

+ − ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa

B.

C.

D.

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7) B.B.B.B. BÀI TBÀI TBÀI TBÀI TẬẬẬẬP TRP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHI C NGHIỆỆỆỆMMMM C NGHI C NGHI Câu 1. Đồ thị của hàm số độ là A. M

M

M

M

(0;3)

(1; 2)

.

.

.

(0;1)

.

( 1; 2) − −

y

x

mx m

Câu 2. Đồ thị của hàm số

1

=

2 2 +

− + ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa

độ là

A.

B.

C.

D.

M

M

.

.

.

( 1; 0)

.

−M

)0;1M (

  

  

  

  

1 3 ; 2 2

1 5 ; 2 4

3

y

x

23 x mx m

=

−

+

+ ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có

Câu 3. Đồ thị của hàm số tọa độ là A.

B.

C.

D.

M

.

.

.

.

1; 4 − −

)1; 2−M (

(

)

( 1; 2−M

)

( 1; 4−M

)

4

2

y

x

mx

2

3

=

−

+ luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay

Câu 4. Biết đồ thị (

)mC của hàm số

B.

C.

D.

.

.

.

.

đổi, khi đó tọa độ của điểm M là )1; 4M ( A.

)1;1−M (

( 0; 2−M

)

)0;3M (

m

(

y

m

0

luôn đi qua một điểm M cố định khi m

=

≠

Câu 5. Biết đồ thị (

(

)

)mC của hàm số

x m 1) + + x m +

thay đổi. Tọa độ điểm M khi đó là

A.

B.

C.

D.

M

.

.

.

.

1; − −

)0;1M (

)1;1−M (

( ) 0; 1−M

  

  

1 2

3

2

y

x

Câu 6. Hỏi khi m thay đổi đồ thị (

mx 3

x m đi qua bao nhiêu điểm cố

3

=

−

− +

)mC của hàm số

định ? A. 1.

C. 2 .

D. 4 .

B. 3 .

y

sao cho khoảng cách từ điểm M đến

=

Câu 7. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x 1 2 − x 1 −

B.

tiệm cận đứng bằng 1 là A. M

M

2;3

.

.

(

)

C.

D.

M

M

1;

.

3;

.

(  − 

  

  

) 0;1 , 3 2

)2;1M (  5   2

4

2

y

m x

Câu 8. Hỏi khi m thay đổi đồ thị (

(1 2 )

mx m đi qua bao nhiêu 3

1

= −

+

− −

)mC của hàm số

B. 4 .

C. 1.

D. 2 .

điểm cố định ? A. 3 .

y

mà có tổng khoảng cách đến hai

=

Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x 1 2 + x 1 −

)C bằng 4 là

.

2;1

−

đường tiệm cận của ( ) ( A. ( 4;3 , ) ( C. (

) . 2;1− ) ( ) ( 2;5 , 0; 1 , 4;3 , −

)

B. ( D. (

) ( ) 2;5 , 0; 1− . ) ) ( 2;5 , 4;3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

4 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

m

22 x

1 + +

y

m

Câu 10. Biết đồ thị (

(

2)

luôn luôn đi qua một điểm

=

≠ −

)mC của hàm số

y

cố định khi m thay đổi, khi đó

)

M

y bằng M

m x (1 ) + − x m − + x +M C. 1.

( M x ;M A. 1− .

D. 2− .

B. 3− .

2

y

3 x mx

Câu 11. Cho hàm số

x m có đồ thị (

4

= − +

− −

)mC và A là điểm cố định có hoành độ âm của )mC vuông góc với đường phân giác góc phần tư

)mC . Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của ( ( thứ nhất là

A.

B.

C.

D.

.

.

.

m = − .

3= −m

6= −m

2=m

7 2

y

Câu 12. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

x

2

2 +

A. 4 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

3

y

x

x

25 x

6

3

=

−

+

+ có bao nhiêu cặp điểm đối xứng nhau qua

)C của hàm số

Câu 13. Trên đồ thị ( gốc tọa độ ? A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

y

Câu 14. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên dương ?

=

2

1

3 x −

A. 4 .

C. 1.

D. 2 .

B. 3 .

y

Câu 15. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

3

2

4 x −

B. 2 .

D. 4 .

A. 6 .

C. 3 .

4

Câu 16. Gọi

y

x

=

−

2 1 − , thì

,x x là hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số 1

2

1 2x x có giá trị bằng

x 4

A.

C.

D.

.

B. 0.

.

.

2 3

2 − 3

2 3

y

Câu 17. Trên đồ thị (

)C của hàm số

số điểm có tọa độ nguyên là

=

4

1

6 x −

A. 4 .

D. 2 .

B. 8 .

C. 3 .

y

Câu 18. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

x 10 + x 1 +

A. 4 .

B. 2 .

C. 10 .

D. 6 .

y

Câu 19. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

x 2 + x 2 1 −

A. 4 .

B. 2 .

C. 1.

D. 6 .

y

Câu 20. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

x 5 x 3

2 1

− +

A. 4 .

B. 2 .

C. 1.

D. 6 .

y

Câu 21. Trên đồ thị (

)C của hàm số

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

x 8 11 + x 4 2 +

B. 2 .

C. 1.

D. 0.

A. 6 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

y

=

Câu 22. Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số

sao cho tổng khoảng cách

x x

2 + 2 −

M

M

(4;3)

từ M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là A. (3;5)

C.

B.

D.

M − . (1; 3)

.

.

M − . (0; 1)

3

y

x

23 x

2

=

+

− đối xứng với nhau qua điểm

Câu 23. Số cặp điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

I

2;18

là

)

( A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

y

Câu 24. Trong tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (

)C của hàm số

, số điểm có

=

x 3 x

5 + 1 −

D. 4 .

hoành độ lớn hơn tung độ là B. 8 . A. 2 .

C. 6 .

y

Câu 25. Cho hàm số

=

)C . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (

)C . Biết tọa

có đồ thị (

x x y

độ điểm

2 + 1 − ) có hoành độ dương thuộc đồ thị (

)C sao cho MI ngắn nhất. Khi đó giá

M

;M

( M x bằng

y−

x trị M

M

A. 0 . C. 2 .

y

x

I

Câu 26. Cặp điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

đối xứng nhau qua điểm (2;18)

là

=

B. 2 3 . D. 2− . 3 3 x 2 − + B. (3; 2) và (1;34) . D. (1;2) và ( 1; 6)

A. (1;2) và (3;34) . C. (0; 2)− và (4;74) .

− − .

3

y

x

x

Câu 27. Cặp điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

24 x

9

4

=

−

+

+

đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

.

.

− −

− −

là A. (3; 22) và ( 3; 22) C. (1;10) và ( 1; 10)

.

B. (2;14) và ( 2; 14) D. (0;4) và (4; 40) .

− −

y

d y :

Câu 28. Cặp điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x đối xứng nhau qua đường thẳng

x

= −

3= x

+

1 2

2; 10

.

.

− −

)

.

1; 2−

là A. ( C. (

)1; 2 và ( và ( )

)1; 2−

)2;1− ) − − . 1; 2

B. ( D. (

y

mà có khoảng cách đến tiệm cận

=

Câu 29. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

2; 1− và ( ) )1; 2 và ( x 1 + x 2 −

)C bằng 1 là

A.

B.

.

.

ngang của ( )3; 2M (

C.

D.

M

M

M

1; 0

.

.

4;

,

0;

−

(

) 5; 2 ,

( M −

)

  

  

1 2

)5; 2M (  5   2

3

y

x

Câu 30. Các giá trị thực của tham số m để đồ thị (

   23 x m có hai điểm phân

=

−

+

)mC của hàm số

B.

C.

D.

.

.

.

.

biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là A. 1

0

0≠m

− <

3> −m

0>m

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

6 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

y

Câu 31. Cho hàm số

=

có đồ thị (

)C . Gọi d là khoảng cách từ một điểm M trên (

)C đến giao

x x

3 1

− +

điểm của hai tiệm cận. Giá trị nhỏ nhất có thể có của d là

A. 2 .

B. 2 3 .

D. 2 2 .

C. 3 2 .

y

=

Câu 32. Cho hàm số

)C và I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (

)C . Tiếp

có đồ thị (

1 1

+ −

)C cắt hai tiệm cận của (

)C tại A và B . Diện tích của tam

x x tuyến tại một điểm M bất kỳ của ( giác ABI bằng A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

y

=

, biết M có hoàng độ a và khoảng cách

Câu 33. Cho điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x x

7 1

− +

từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy . Giá trị có thể có của a là

B.

A.

a = − hoặc 1

1a = hoặc

7 a = . 3

C.

D.

a = − .

a = − .

a = − hoặc 1

1a = hoặc

7 x = . 3 7 3

7 3

y

=

Câu 34. Cho hàm số

có đồ thị (

)C . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị (

)C và d là tổng

x 3 2 − x 2 −

khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (

)C . Giá trị nhỏ nhất của d có thể đạt được là

A. 6.

B. 10.

C. 2.

D. 5

3

2

y

x

x

x

3

= −

+

+

−

Câu 35. Cặp điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

mà chúng đối xứng nhau qua

1 3

11 3

A.

B.

và

.

3;

và

3;

.

3; − −

 3; − 

  

  

  

  

 − 

  

trục tung là  16   3

16 3

16 3

16 3

C.

D.

2;

và

2;

.

và

.

2; − −

  

  

 − 

  

 2; − 

  

  

  

11 3

11 3

11 3

11 3

x

15

y

cách đều hai trục tọa độ ?

=

Câu 36. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

A. 2. C. 1.

2 5 x + + 3 x + B. Có vô số điểm M thỏa yêu cầu. D. Không có điểm M thỏa yêu cầu.

y

=

Câu 37. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

có tọa độ nguyên ?

2

x

x

2 2

2

+

+

A. 1.

D. 4 .

C. 3 .

B. 8 .

3

2

y

x

m

x

Câu 38. Biết đồ thị (

3(

1)

3 mx

2

=

−

−

−

+ luôn luôn đi qua hai điểm cố định

)mC của hàm số

y

y

và

khi m thay đổi, khi đó giá trị của

bằng

)

;P

P

y+ Q

P

;Q

y Q

( Q x

( P x A. 1− .

) B. 6 .

C. 5 .

D. 8 .

y

=

Câu 39. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

sao cho khoảng cách từ điểm

)2;1(−I

x − 1 2 x + 1

đến tiếp tuyến của (

)C tại M là lớn nhất.là

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

7 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

A.

.

M

M

3 ;2

3;2

3

1 − +

+

1 − −

+

1

2

B.

.

M

M

3 ;2

3;2

3

1 − +

−

+

1

2

C.

M

M

3 ;2

3; 2

3

1 − +

−

1 − −

+

1

2

D.

M

M

3;2

3; 2

) ) ) 3

1 − −

−

1 − −

− −

1

2

( ( ( (

) 3 , ) 3 , ) 3 , ) 3 ,

( ( 1 − + ( (

. )

x

5

y

Câu 40. Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để trên đồ thị (

có hai

=

)mC của hàm số

2 4 mx m + − 2 x −

điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

B.

.

0; +∞ .

−

−

A. (

)

  

 ;0 \  

{

}

1 2

;0

;

1; +∞ .

.

∪

∪

−

∞

+

∞

D. (

)

)

C. [

  

  

  

  

4 13 1 4 ; 2 3

4 3

y

=

Câu 41. Cho hàm số

có đồ thị (

)C . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của (

)C

x − 3 2 x − 2

luôn cắt hai tiệm cận của (

)C tại A và B . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

A. 4 .

C. 2 .

B. 2 .

D. 2 2 .

y

=

sao cho M cách đều hai điểm

Câu 42. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x + 2 x − 2 1

A

B

và

là

(

(

1

5

1

5

A.

B.

5 1 ,

.

5 1 ,

.

+ 2

+ 2

− 2

− 2

)2, 0    

)0, 2    

   

   

1

5

5

1

1

5

5

1

,

;

,

C.

.

D. Không tồn tại điểm M .

− 2

− 2

+ 2

+ 2

   

   

   

   

x

2

I

y

đến

là

=

Câu 43. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

)1, 4 (

2 2 x − + 1 x −

.

A. 2 .

C. 2 2 2 +

D. 2 2 2− .

B. 2 2 .

y

Câu 44. Cho hàm số

=

có đồ thị (

)C . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (

)C đến hai

x + 1 2 x + 1

tiệm cận của (

)C đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

C.

.

B. 2 .

D. 4 .

A. 3 .

2 3

y

, độ dài

=

Câu 45. Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (

)C của hàm số

x x

3 3

+ −

ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

C. 4 .

D. 2 .

A. 4 3 .

B. 2 3 .

2

y

4 x mx m

Câu 46. Biết đồ thị (

2016

=

− +

+

luôn luôn đi qua hai điểm M và N cố

)mC của hàm số

I

I

B. (1;2016)

C. (0;1) I

.

.

.

D. (0;2017)

.

định khi m thay đổi. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là A. ( 1;0) −I

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

8 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

y

Câu 47. Cho hàm số

=

)C . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (

)C đến hai

có đồ thị (

x x

+ 2 − 3 hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

B.

.

D.

.

A. 2 .

C. 1.

2 3

1 6

x

3

y

Câu 48. Cho hàm số

=

có đồ thị (

)C . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (

)C đến

x + 2

2 3 + x + hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

B.

.

D.

.

A. 1.

C. 2 .

1 2

3 2

y

Câu 49. Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

đối xứng nhau qua đường thẳng

=

x x

4 2

+ −

6 0

là

2

d x : A. ( C. (

y − − = )4; 4 và ( 0; 2− và ( )

) − − . 1; 1 )3; 7 .

B. ( D. (

1; 5− và ( ) 1; 5− và ( )

) − − . 1; 1 )5;3 .

2

y

4 x mx m

Câu 50. Cho hàm số

1

=

+

− − có đồ thị (

2;3

.

2;1 , 0;1 .

−

−

−

A. (

) ( 1; 0 , 1; 0

)

B. (

) ( ) 1;0 , 0;1 .

)mC . Tọa độ các điểm cố định của ( ) C. (

. D. (

) ( 2;1 ,

) (

)mC là )

x

2

y

Câu 51. Cho hàm số

có đồ thị (

)C . Hỏi trên (

)C có bao nhiêu điểm có hoành độ và

=

+ 2

2 5 x − x 2 +

B. 2 .

D. 4 .

tung độ là các số tự nhiên. A. 3 .

C. 8 .

4

2

y

x

mx

Câu 52. Cho hàm số

2

2

m có đồ thị (

1

= −

+

−

+

dương của (

)mC . Gọi A là điểm cố định có hoành độ x thì giá

d y :

16=

)mC . Khi tiếp tuyến tại A của (

)mC song song với đường thẳng

trị của m là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

=m

5=m

4=m

1=m

63 64

x

5

y

đến đường

=

Câu 53. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x + 2

2 4 + x +

thẳng

d y :

6 0

x+ 3

+ = bằng

A. 2.

D.

.

B. 4 .

C. 10 .

4 10

y

Câu 54. Cho hàm số

=

có đồ thị (

)C . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (

)C đến hai

x x

1 1

+ −

tiệm cận của (

)C đạt giá trị nhỏ nhất bằng

D. 2 .

A. 3.

B. 4.

C. 2 2 .

y

=

Câu 55. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

cách đều hai đường tiệm cận của (

)C

x x

2 2

+ −

là A.

.

B.

.

M

4;3

)2;1M (

(

) M− 0; 1 ,

(

)

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

9 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

C.

.

D.

.

M

M

5;

,

3;

−

( M −

)2; 2

  

  

  

  

7 3

1 5

y

cách đều hai trục tọa độ là

=

Câu 56. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

A.

.

.

B.

M

M

3;3

− −

(

)

C.

.

D.

M − − .

( (

) 1; 1 , ) 1; 1

x + 3 x − 1 )1;3 ( M − )3;3M (

y

có khoảng cách

=

Câu 57. Tọa độ điểm M có hoành độ nguyên thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x x

2 1

+ −

x

y

đến đường thẳng

:

là

∆

− + = bằng 1 0

1 2

.

A.

B.

.

C.

.

D.

M

2;0

( M − (

)2; 0 ) 2; 4 ;

( M −

)

( )2; 4M (

) M − . 2; 2

3

x

m

2

3

2

7

Câu 58. Cho hàm số

+

−

−

)

(

)

+ + có đồ thị ( x m

)mC . Khẳng định nào sau đây là

( y m = khẳng định đúng? A. ( B. (

)mC không đi qua điểm cố định nào. )mC có đúng hai điểm cố định.

C.

(

)mC có đúng ba điểm cố định.

D. (

)mC có đúng một điểm cố định.

3

2

y

x

x

mx m

m 3

2

=

−

−

+

+ + có 1

Câu 59. Điều kiện của tham số m để trên đồ thị (

(

) 1

)mC của hàm số

C.

A.

B.

D.

2

0m ≤ .

m ≤ − .

2

ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là m = − .

0m < .

2

y

x

2

12

13

có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:

=

3 x mx +

−

−

Câu 60. Đồ thị hàm số A.

B.

C.

m

m

1;

2

= −

= − . D.

1

2

m = − .

0m = .

m = − .

y

có bao nhiêu điểm cách đều hai trục tọa độ?

=

Câu 61. Hỏi trên đồ thị (

)C của hàm số

x x

1 2

+ +

A. 3.

B. 2.

D. 0.

C. 4.

y

=

Câu 62. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

cách đều hai tiệm cận của (

)C .

B.

A.

M

N

M

N

3; 4

.

−

− − . 4; 6

(

)

)

D.

C.

M

N

M

N

3;3

3;3

.

.

−

−

−

−

x − 3 5 x − 2 ) ( 1;1 ; (

) 1;3 ;

(

)

( (

) 1;1 ; ) 1;3 ;

( (

)

y

x

3 3

2

x = − +

+ sao cho hai điểm đó đối xứng

Câu 63. Tọa độ hai điểm trên đồ thị (

)C của hàm số

M

–1; 3

nhau qua điểm

là

(

.

.

−

1; 6−

C. (

)0; 2 ; (

)2; 4−

) B. (

A. (

) ( 1; 0 ; 1; 6

)

) ( ) 1;0 ; 1; 6 .

. D. (

) ( 1; 0 ;

)

y

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

=

Câu 64. Trên đồ thị (

)C của hàm số

3 x

x 1

− −

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

10 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

y

Câu 65. Tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

sao cho tổng khoảng cách từ

=

x x

1 2

+ −

.

)1;1 .

3;1

3

+

+

)

.

.

3;1

3

−

−

2

3;1

3

−

−

2

3;1

3

+

+

điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là A. ( C. ( 1

)

và (

)

B. ( 1 D. (

)

1

y

Câu 66. Đồ thị của hàm số

nhận điểm nào trong các điểm sau làm tâm đối xứng ?

=

A.

C.

.

D.

1; 3

) K − − . 1; 3

(

( M −

)

) ( I − − . 3; 1

x 3 − + x 1 + ) N − . B. 3; 1

(

y

Câu 67. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị (

)C của hàm số

cách đều tiệm cận đứng và trục hoành

=

x 1 2 + x 1 −

là A.

.

B.

.

M

M

M

4;3

4;3

) 2;1 ,

(

)

) M− 0; 1 ,

(

)

C.

.

D.

.

M

M

M

3; 2

3; 2

) M− 0; 1 ,

(

)

( (

) 2;1 ,

(

)

( (

y

sao cho khoảng cách từ điểm

=

Câu 68. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (

)C của hàm số

x x

2 2

+ −

B. 1.

C. 3.

M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A. 2. D. 4.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

11 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7) C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN

8

7

6

5

4

3

2

9

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B A A A C D C D D A D C B C C B C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D C C B A D B D B A B A D C B A C C B B 61 62 63 64 65 66 67 68 C B C D D D B A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Chọn B.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0 m

Ta có

1)

m m

3

,

(

−

+ − ∀

0 =

y 0

x 0

1 0

1

− =

=

⇒

m

.

1)

−

3 0, + = ∀

M

(1; 2)

⇔

⇔

x ( ⇔ − 0

m x − 0

y 0

y

x 0 y

3 0

2

+ =

=

  

  

x 0 x − − 0

0

0

Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 2. Chọn C.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0

0

y

2

Ta có

=

+

mx m 1 − +

2 x 0

0

0

=

x 0

2

1 0

− =

⇒

y

m

M

2

.

⇔

−

1 + −

0, = ∀

⇔

⇔

(

) 1

x 0

2 m x + 0

0

  

  

1 5 ; 2 4

0

x 0 1 + −

=

  

2 x 0

y 0

=

y 0

     

1 2 5 4

Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 3. Chọn B.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0

0

y

3

Ta có

=

−

, + ∀

+

3 x 0

2 x mx m m 0 0

0

1 0

+ =

1 = −

m

M

1)

3

0,

( 1; 4)

−

−

= ∀ ⇔

⇔

⇒ − −

x ( ⇔ + 0

3 m x + 0

2 x 0

y 0

4 = −

3

0

−

−

=

  

x 0 y 0

    

x 0 3 x 0

2 x 0

y 0

Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

12 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7) Câu 4. Chọn D.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0

0

Ta có

2

0

0

=

=

⇒

P

m

M

2

3,

2

0,

(0;3).

=

−

m + ∀ ⇔

3 − −

= ∀ ⇔

⇔

y 0

4 x 0

2 mx 0

2 x m y + 0 0

4 x 0

3

=

0

  

2 x 0 3 − −

=

x 0 y 0

    

y 0

4 x 0

hương pháp trắc nghiệm Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 5. Chọn B.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0

0 m

(

m

Ta có

,

0

0

=

∀ ≠ ⇔

+

=

+

y 0

x y my mx 0 0 0

0

x m m , + ∀ ≠ 0

x m 1) + + 0 x m + 0

x

1 0

0

−

− =

=

0,

0

(0;1)M⇒

.

⇔

−

1) − +

−

= ∀ ≠

m y ( 0

x 0

x y 0 0

x 0

x 0 y

0

1

0 −

=

=

  

 ⇔  

y m ⇔ 0 x y 0

0

x 0

0

Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định

Câu 6. Chọn C.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0

0

y

Ta có:

=

−

−

+

m m 3 , ∀

3 x 0

2 mx 3 0

x 0

0

1

0

1 = −

=

m

hoặc

.

)

0,

⇔

3(1 ⇔ −

+

−

−

= ∀ ⇔

2 3 x m x 0 0

x 0

y 0

0

x 0 y

0

=

0

  

=

−

−

= x 0  y =  0

0

 − 1    

3 x 0

2 x 0 x 0

y 0 Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm cố định.

Câu 7. Chọn A.

C

Gọi

với

∈

1a ≠ .

(

)

 M a ;  

  

a 1 2 − a 1 −

1x = .

Tiệm cận đứng của (

)C là

M

M

2;3

. Vậy

Ta có

.

a

1 1

(

) 0;1 ,

(

)

− = ⇔ 

0 2

= a a =

Câu 8. Chọn B.

Gọi

M x y là điểm cố định cần tìm.

(

)

;

0

0

y

(1 2 )

1,

Ta có

m

= −

+

− − ∀

4 m x 0

2 mx m 3 0

0

2

3

1 0

−

+ =

m

(2

3

1)

1 0,

⇔

−

+

−

4 x 0

2 x 0

m y + 0

4 x 0

4 x 0 −

2 x 0 1 0 + =

  + = ∀ ⇔  

y 0

4 x 0

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

13 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

= −

x 0

1

1 = −

=

1 2

.

hoặc

hoặc

hoặc

x 0 y

0

0

=

=

 x ⇔ 0  y 

  

0

0

y

= −

= −

0

y 0

 x = 0   

    

3 4

1 2 3 4

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua bốn điểm cố định.

Câu 9. Chọn C.

C

Gọi

với

∈

1a ≠ .

(

)

 M a ;  

  

a 1 2 + a 1 −

x

y

1,

=

= . 2

Tiệm cận đừng và tiệm cận ngang của (

)C lần lượt có phương trình

a= − 1

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 1 h

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là

=

2 − =

h 2

a

1

a 1 2 + a 1 −

3 −

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 4 nên ta có:

a

3

2

.

a

a

1

4

4

1

4

+

a = ⇔ − +

= ⇔ −

−

1 3 0 − + = ⇔

⇔

h 1

h 2

a

1

3 −

a

1 1

− =

 − = 1  

4 2 = − 2 0

= a  a   = a  a =

.

−

Vậy các điểm cần tìm là: (

) ( 2;5 , 0; 1 , 4;3 , −

) (

) (

) 2;1

Câu 10. Chọn C.

y

Gọi

là điểm cố định cần tìm.

( M x

)

;M

M

m

1 + +

22 x M

Ta có

y

,

2

=

m ∀ ≠ −

M

m x ) M m +

(1 + − x − M

my

x

1

⇔ −

+

=

+

−

m m 2 , + + ∀ ≠ −

x y M M

M

22 x M

M

mx M

y

m

1)

2

1 0,

x ( ⇔ +

−

m x y −

−

−

2 − = ∀ ≠ −

M

M

M M

2 x M

x M

y

x

y

1 0

1 = −

− =

+

x M

⇔

⇔

x

x

x

x

M x

2

1 0

(1

1 0

−

− =

−

) 2 −

−

− =

−

M −

  

  

2 M

x M

M

M

2 M

M

M x y − M M

x

1 = −

( 1; 2)

⇔

⇒ − M

M y

2

=

  

M

y

Vậy

1

.

+

=

x M

M

Gọi

(

)

0

Câu 11. Chọn A. A x y , ; 0

0

x < là điểm cố định cần tìm. 0

y

Ta có

= −

−

m m ∀

3 x mx + 0

2 0

0

x 0 4 , −

4 0

− =

⇒

m

4)

0,

( 2;10)

.

−

−

= ∀ ⇔

⇒ − A

2 x ( ⇔ − 0

3 m x − 0

x 0

y 0

2 = − 10

=

0

  

−

=

x 0 y 0

    

2 x 0 3 x − − 0

x 0

y 0

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

14 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

′

y

Lại có

23 x

mx 2

1

13

= −

+

−

y

m

x

Phương trình tiếp tuyến của (

( 2;10)

có dạng

13)(

hay

−A

( 4 = −

−

+

2) 10 +

− ⇒ − = − ′ y m 4 ( 2) )mC tại

y

m

13)

.

−

−

( 4 = −

x m 8 −

x .

: =

m

13

3

1

16 ( ) ∆ Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Vì ∆ vuông góc với d nên ta có 4 −

d y = − ⇔ = − . m

−

Câu 12. Chọn A.

y

ℤ

ℤ

\

Gọi

(

)

;

∈

−

∈

{

} 2 ,

M x y với 0

0

x 0

0

x

ℤ

\

∈

{

} 2 −

0

⇒

x

⇒ + ∈ − − 2

} 2; 1;1; 2

{

{ ⇒ ∈ − − −

} 4; 3; 1; 0

x 0

0

ℤ

∈

x

2

2 +

    

0

Vậy trên đồ thị (

)C có bốn điểm có tọa độ nguyên.

Câu 13. Chọn A.

3

2

3

2

a

Gọi

;

a 5

6

;

b 5

b 6

3

−

+

+

−

+

+

là hai điểm trên (

)C đối xứng nhau qua gốc

( A a a

) 3 ,

( B b b

)

a b

0

+ =

2

a

a

10

6 0

.

tọa độ, ta có

⇒ −

+ = ⇒ = ±

3

3

2

2

a

b

a

b

5

6

6 0

+

−

+

+

a b +

+ =

3 5

(

)

(

)

  

Câu 14. Chọn D.

*

y

ℕ

,

Gọi

(

)

;

* ℕ

∈

∈

M x y với 0

0

x 0

0

ℕ

*

⇒

1

2

{ } 1;3

{ } 1;2

⇒ − ∈ x 0

⇒ ∈ x 0

ℕ

*

∈

∈ x 0   3  − 

M

M

M

M

( 1; 1),

(1;3)

và

(0; 3), −

4 (2;1).

x 2 1 0 ⇒ − − 1

3

Vậy trên đồ thị (

2 )C có hai điểm có tọa độ là các số nguyên dương.

Câu 15. Chọn C.

Gọi

)

(

;

ℤ .

M x y với 0

0

x 0

y∈ , ∈ℤ 0

ℤ

⇒

3

2

;0;

;1;

; 2

⇒ − ∈ − − −

} 4; 2; 1;1;2; 4

{

x 0

⇒ ∈ − x 0

ℤ

∈

  

  

2 3

4 3

1 3

2

3

x 0

⇒

M

M

(0; 2),

(1;4)

và

Do

3(2;1).

2

∈ x 0   4  −  −M 0x ∈ℤ 1 )C có ba điểm có tọa độ là các số nguyên. Vậy trên đồ thị (

Câu 16. Chọn D.

3

2

. Vậy

.

Ta có

′

′′

y

x

x y

x

2 ,

3

=

−

=

− ⇒ 2

=

=

x x . 1

2

x x . 1

2

2 − 3

2 − 3

Câu 17. Chọn D.

Gọi

(

)

;

ℤ .

M x y với 0

0

x 0

y∈ , ∈ℤ 0

ℤ

⇒

1

4

;

;

;0;

;1;

.

−

−

{ ⇒ − ∈ − − − −

} 6; 3; 2; 1;1;2;3;6

x 0

⇒ ∈ − x 0

ℤ

∈

  

  

5 4

1 2

1 4

1 3 ; 2 4

7 4

4

1

−

∈ x 0   6  

x 0

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

⇒

M

Do

và

−M

2 (1;2).

1(0; 6) )C có hai điểm có tọa độ là các số nguyên.

0 ∈ℤx Vậy trên đồ thị (

Câu 18. Chọn D.

Gọi

)

(

;

ℤ .

M x y với 0

0

x 0

y∈ , ∈ℤ 0

ℤ

⇒

1

− −

{ ⇒ + ∈ − − −

} 9; 3; 1;1;3;9

} 10; 4; 2;0;2;8

x 0

{ ⇒ ∈ − x 0

ℤ

1 = +

∈

y 0

1

9 +

x 0

M

M

M

M

M

( 10;0),

(0;10),

(2;4)

và

∈ x 0     ⇒ − M

( 4; 2), − −

( 2; 8), − −

1

5

4

3

6 (8; 2).

2 )C có sáu điểm có tọa độ là các số nguyên.

Vậy trên đồ thị (

Câu 19. Chọn A.

Gọi

)

(

;

ℤ .

M x y với 0

0

x 0

y∈ , ∈ℤ 0

ℤ

⇒

2

⇒ − ∈ − − 1

5

} 5; 1;1;5

{

} 2; 0;1;3

x 0

{ ⇒ ∈ − x 0

ℤ

1

=

+

∈

y 0

1 2

2

1

−

  

  

x 0

∈ x 0    

M

M

0

2

( 2; 0)

1

3

(1;3)

x 0

x 0

M

M

(cid:3) (cid:3)

1

3

2

0

(3;1)

(0; 2) −

= − ⇒ = ⇒ − y 0 = ⇒ = − ⇒ y 0

x 0

x 0

(cid:3) (cid:3) Vậy trên đồ thị (

= ⇒ = ⇒ y 0 = ⇒ = ⇒ y 0 )C có bốn điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 20. Chọn B.

Gọi

)

(

;

ℤ .

∈

x 0

y∈ ℤ , 0

M x y với 0

0

ℤ

⇒

1

3

4;

; 0;

−

} 11; 1;1;11

{ ⇒ + ∈ − x 0

x 0

 ⇒ ∈ − −  

  

ℤ

5

=

−

∈

2 3

10 3

y 0

1 3

3

1

  

  

11 x + 0

∈ x 0    

M

2

4

( 4; 2)

M

0

2

(0; 2) −

x 0 x 0

= − ⇒ = ⇒ − y 0 = ⇒ = − ⇒ y 0

(cid:3) (cid:3) Vậy trên đồ thị (

)C có hai điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 21. Chọn D.

Gọi

(

)

;

ℤ

∈

x 0

y∈ ℤ , 0

M x y với 0

0

ℤ

⇒

4

;

;

⇒ + ∈ − − 2

−

−

} 7; 1;1; 7

{

x 0

⇒ ∈ − x 0

ℤ

2 = +

∈

  

  

9 4

3 4

1 5 ; 4 4

y 0

2

4

7 +

x 0

Do

)C không có điểm nào có tọa độ nguyên.

∈ x 0     0x ∈ ℤ nên trên đồ thị (

Câu 22. Chọn A

d

a

Gọi

0

và

2

1

2

4

∈

>

= − +

a − = − +

≥

2

a ≠ , ta có

(

) C a ;

 M a ;  

  

a

a a

a a

2 2

2

2 2

+ −

4 −

+ −

2

Dấu "

.

"= xảy ra khi và chỉ khi

a

a

2

2

4

−

2 = ⇔ − = ⇔ 

0 4

= a a =

M

(4; 3)

.

Kết luận

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

16 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7) Câu 23. Chọn B.

Gọi

;M x y là điểm trên đồ thị (

)

(

)C , gọi N là điểm đối xứng với M qua I, ta có

N

x

y

4

;36

−

−

(

)

. Vì N thuộc (

)C , ta có

2

3

x

x

4

2

y − =

−

+

−

−

3

2

( 3 4

)

2

x

x

x

x

3

4

38

2

⇒ + 3 x

2 − = −

−

−

−

+ ⇔ =

(

)

( 3 4

)

3

2

y

x

x

( 3

) 2

=

+

−

 36   

Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (

)C thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 24. Chọn A.

ℤ

Gọi

(

)

;

.

ℤ ,∈

∈

x 0

y 0

M x y với 0

0

ℤ

⇒

1

{ ⇒ − ∈ − − − −

} 8; 4; 2; 1;1; 2; 4;8

{ ⇒ ∈ − − −

} 7; 3; 1; 0; 2;3;5;9

x 0

x 0

ℤ

3 = +

∈

y 0

1

8 −

∈ x 0    

x 0

M

M

M

M

M

M

( 7; 2),

(0; 5),

(2;11),

(3; 7),

(5;5)

và

Vậy

⇒ − M

( 3;1), −

( 1; 1), − −

M−

8 (9; 4).

1

2

6

7

5

4

3

có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 25. Chọn A.

I

C

a

a

Gọi

với

0 ,

1

, ta có

∈

>

≠ ; tọa độ giao điểm các tiệm cận là

(

)

)1;1 (

 M a ;  

  

a a

2 1

+ −

2

2

2

2

(

) 1

(

) 1

2

(

) 1

9 MI a a 1 6 . = − + − = − + ≥    2 1 + a  − a a −

"= xảy ra khi và chỉ khi (

)4 1

M

3 1 + a Dấu " . Vì M có hoành độ dương nên 9 − a = − 3 1 +  = a = ⇔  

+

(

) + nên 3 1; 3 1

M

x

x

x

x

3 1 chọn + , suy ra y− = . 0 x M

A x (

3

2),

B x (

;

3

2)

+

−

+

−

3 A

A

A

3 B

B

B

x

x

4

(1)

+

=

x

x

x

2

+

=

A

A

I a = Câu 26. Chọn A. ; Gọi là hai điểm trên ( )C đối xứng nhau qua (2;18) .

⇔

B y

I y

y

2

=

+

x

B x

x

x

3

3

2 36 (2)

+

− + 2

+

− =

  

B

I

A

  

3 A

A

3 B

B

x

x

1

3

A

Ta có:

x

x

x

x

3

2 (4

3 )

3(4

+

− +

−

+

−

3 A

A

A

A

x

B x

3

1

= ⇒ = = ⇒ =

 − = ⇔  ) 2 36 

A

B

. Thay (1) vào (2) ta được

x

x

x

x

x

x

A B Vậy cặp điểm cần tìm là (1; 2) , (3;34) .

Câu 27. Chọn C. ;

A x (

4

9

4),

B x (

;

4

9

4)

−

+

+

−

+

+

3 A

2 A

A

A

3 B

B

2 B

B

x

x

0

(1)

+

=

x

x

2

Gọi là hai điểm trên ( )C đối xứng nhau qua

=

A

A

⇔

B y

y

2

=

+

x

B x

x

x

x

x

4

9

4

9

0 (2)

−

+

+ + 4

−

+

+ = 4

  

x O y O

B

A

3 A

2 A

A

3 B

2 B

B

   Thay (1) vào (2) ta được

gốc tọa độ. + Ta có

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

17 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

x

x

1

A

B

3

2

x

x

x

x

x

x

4

9

)

)

−

+

+ + − 4 (

− − 4(

+ − 9(

3 A

2 A

A

A

A

A

x

x

1

1

= − ⇒ = 1 = ⇒ = −

 + = ⇔  ) 4 0 

A

A

.

3

3

A B Vậy cặp điểm cần tìm là (1;10) , . ( 1; 10) − −

; , )C đối xứng nhau qua đường thẳng Gọi + +

Câu 28. Chọn D. ( A a a ;

( ) a B b b

) b là hai điểm trên (

d y :

x hay

= −

y d x : 2 0 . + =

(cid:2) du

(2; 1)−

d

1 2 ∈ d I (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2)   AB u .

3

3

(1) (với I là trung điểm của AB và Ta có: là vecto chỉ phương của d ) 0 (2) =

2

2

a b + . Từ (1) ta có = −

b (3)

⇔ = −a

2

2

2

2

2

2

a

ab

a

a

b

b

2

2

2 b

3 2

2

a a b ab )(2 b 2 a b + + 2 2 − 1 2 3) + a b + 2 0 = ( ⇔ + +

a b ) ,

−

+

+ =

−

ab b +

+

=

−

+

3 0, + > ∀

  

  

  

  

3 2

1 2

3 2

2

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(vì

(

2

2

) b a a

b a b a a Với ; ( )( , từ (2) ta có 2) = − − + ab b + +

2

2

)( 2( ) ( 0 − b a − − + ab b + 1) + =

2 1 0 (4)

)( 1) 0 + ab b + − =

b )

b a a ( ⇔ − ⇒ + 2 a ab b + − = (Vì ≠a

2

2

2

B

1; 2

1 Thay (3) vào (4) ta được . a a a 1 0 − + a a b 1 1 1 = ⇒ = − b = − ⇒ =  − = ⇔  

− −

)1; 2A (

(

)

Vậy cặp điểm cần tìm là , .

Câu 29. Chọn C.

Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang là

1y =

(

) C a ,

M

1; 0

5 Gọi 2 . Ta có . ∈ ≠ 1 1 − = ⇔  M a ;      a a = a a 1 2 1 + − = − a a a 1 2 2 + − 3 − 1 = ⇔  

) 5; 2 ,

( M −

)

Vậy .

( Câu 30. Chọn D.

Đồ thị hàm số (

3

2

sao )mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại cho cho sao tồn tại ) ) ( y = − − x ⇔ 0 y x ( 0 0≠x 0 0≠x 0

0>m

m ⇔

2 03 =x

3 x 0

2 x m + 0

3 ( ) ) sao cho . − 3( − − + m ⇔ tồn tại 0≠x 0 x 0 x 0  = − −   

Câu 31. Chọn D.

a ≠ − ta có 1

(

)

( I −

)1;1

2

2

2

C Giao điểm của hai tiệm cận là , gọi với ∈  M a ;      a a 3 1 − +

2

.

(

) 1

(

) 1

2

(

) 1

16 MI a a MI 1 8 2 2 = + + − = + + ≥ ⇒ ≥    3 1 − a  + a a +

Câu 32. Chọn A.

Phương pháp tự luận

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

18 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

x

I

1, y

=

= ⇒ 1

( ) 1,1

C A Tiệm cận . Gọi ( ) 1, , , ta tìm được tọa độ ∈        M m ,      m m m m 1 1 3 1 + − + −

( 2 B m −

) 1,1

.

S m Diện tích . IA IB . 1 . 2 4 = = − 1 1 − − = 1 2 3 1 + −

) : C y

m 1 m 2 Phương pháp trắc nghiệm

=

)C . Tiếp tuyến tại M cắt hai

ax b + cx d +

Cho đồ thị hàm số ( . Gọi M là điểm tùy ý thuộc (

,A B . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Khi đó diện tích tam giác ABI luôn là hằng

)C . Viết phương trình tiếp tuyến tại M là

B

A

IA

d y : x= − + . Khi đó 7 2 tiệm cận tại số. Cách tính nhanh: 1. Chọn

IB= 4,

= . 2

.IB 4

và thuộc ( )2,3M ( ) ( ( ) 3,1 1,5 ,

2. Tam giác ABI là tam giác vuông tại I . Diện tích

= .

ABIS

1 IA= 2

Câu 33. Chọn D.

0

Theo giả thiết ta có :

2

2

( M C y

) :

x 3 = v ô n x x x 3 3 2 7 0 + + = y 3 . x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y y x = 3 = − x 1    x = ∨ = − x x 3 4 7 0 + − =    x 3 = −     7 3 7 1 7 1

Nhắc lại: Điểm

∈

=

sao cho khoảng cách từ M tới Ox bằng k lần khoảng − x  x +  x −   + x ( ) f x

( f x

)

( f x ( f x

) )

kx = kx cách từ M tới Oy có hoành độ là nghiệm phương trình . kx = −  = ⇔  

Cách khác:

1

3

.

a = ⇔

1

a ≠ − . Theo đề ta có:

a a

7 1

− +

a

= −

= a   

7 3

Gọi với  M a ;      a a 7 1 − +

Câu 34. Chọn C.

C

Gọi

với

∈

2

a ≠ , ta có

(

)

 M a ;  

  

a 3 2 − a 2 −

d

a

2

2

2

2

.

= − +

a − = − +

≥

a

2

a 3 2 − a 2 −

1 −

Vậy giá trị nhỏ nhất của d bằng 2.

Câu 35. Chọn B.

Phương pháp tự luận

x

x

x

x

Gọi

;

3

,

;

3

là hai điểm trên (

)C đối xứng

−

+

+

−

−

+

+

−

A

3 A

2 A

A

3 B

2 x B

x B

 A x  

  

 B x  B 

  

1 3

11 3

1 3

11 3

nhau qua trục tung.

x

(1)

= −

A

x

x

0

+

=

Ta có

⇔

A y

B y

=

x

x

x

x

x

3

3

(2)

−

+

+

−

= −

+

+

−

  

A

B

3 A

2 A

A

3 B

2 B

x B

   

x B 1 3

11 3

1 3

11 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

Thay (1) vào (2) ta được:

x

3

A

3

2

x

x

x

x

x

x

3

(

)

)

)

−

+

+

−

= −

−

( + −

3( + −

3 A

2 A

A

A

A

A

x

B x

1 3

11 3

3

11 3

1 3

= − ⇒ = 3 x = ⇒ = − 3

 − ⇔  

A

A

A

B

Vậy có hai cặp điểm cần tìm là

3;

,

3;

.

  

  

 − 

  

16 3

16 3

Phương pháp trắc nghiệm

x

x

0

+

=

A

Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung

và kiểm tra điểm có thuộc đồ thị

y

B y

=

  

A

B

không.

y

,

3

Gọi

)

Câu 36. Chọn C. ( M x

) ( ,

M

M

x ≠ − thỏa yêu cầu bài toán. Ta có: M

= −

x M

y

=

2 + +

M

x M

.

9 3 + ⇔

x M

y

= −

y

= ±

M

    

M

x M

     

15 2 15 2

Câu 37. Chọn C.

Gọi

)

(

;

ℤ .

∈

x 0

y∈ ℤ , 0

M x y với 0

0

ℤ

⇒

2

2

{ + ∈ − −

} 2; 1;1; 2

⇒ + 2 x 0

x 0

ℤ

∈

2

+

+

∈ x 0    

2 x 0

2 x 2 0

x

M

y

2

2 1

( 1; 2)

2

(cid:3)

(vô nghiệm)

(cid:3)

+

2 2 + = −

+

+ = ⇔ = − ⇒ = ⇒ − 1

2 x 0

02 x

2 x 0

0

x 0

M

0

1

(cid:3)

(vô nghiệm)

(cid:3)

+

2 + = −

x

2

2

+

2 x 0

02 x

2 x 0

0

M

2

( 2;1)

 2 + = ⇔  

x 0 x 0

0 = ⇒ = ⇒ (0;1) 1 y 0 = − ⇒ = ⇒ − 1 y 0

Vậy có trên đồ thị (

)C có ba điểm có tọa độ là các số nguyên.

Gọi

(

)

là điểm cố định cần tìm.

Câu 38. Chọn B. x y ; 0 0

y

m

3(

1)

3

Ta có

m

=

−

−

−

2, + ∀

3 x 0

0

2 x 0

mx 0

0

=

+

x 0

m

3(

)

3

0,

2

⇔

+

+

−

−

− = ∀

2 x 0

x m y 0

0

3 x 0

2 x 0

3

2 0

−

−

− =

  ⇔  

2 x 0 y 0

3 x 0

2 x 0

1

0

= −

=

hoặc

.

x 0 y

x 0 y

4

2

=

=

 ⇔  

  

0

0

P

Q

P

y

(0; 2)

( 1; 4)

Suy ra

hoặc

nên

Q −

y+

= . 6

(

)1; 4 , −

(

)0; 2 ,

Q

P

Gọi

với

1

;

C (

)

∈

x ≠ − . Tiếp tuyến tại M có phương trình 0

Câu 39. Chọn C.  M x  0 

− 1  1 + 

x 2 0 x 0

y

x

(

)

−

=

−

x 0

2

(

1)

1 − 1 +

3 +

x 2 0 x 0

x 0

2

hay

x

y

3

(

1)

2

2

−

+

+

−

1 0 − = .

x 0

2 x 0

x 0

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

20 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

Khoảng cách từ

tới tiếp tuyến

)2;1(−I

2

3 2(

1)

2

2

1

− −

+

+

−

−

1

6

+

x 0

2 x 0

x 0

6

.

d

=

=

=

4

4

2

1)

+

9

+

+

x 0 x 9 ( + 0

(

) 1

x 0

(

1)

+

+

x 0

2

(

1)

9 +

x 0

2

Theo bất đẳng thức Côsi:

(

)1

92

6

, vậy

+

+

≥

=

6≤d

. Khoảng cách d lớn nhất

x 0

2

(

)1

9 +

x 0

2

2

là 6 khi

(

)1

1

3

3

.

=

+⇔+

(

) 1

x 0

x 0

x ±−=⇔= 0

2

(

)1

9 +

x 0

Vậy :

,

.

1

3; 2

3

1

3 ; 2

3

−

+

)

( M − −

)

( M − + Câu 40. Chọn D.

Đồ thị hàm số (

và

)mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại sao cho

)

(

y = − −

2≠x 0

0≠x 0

y x ( 0

x ) 0

2

m

m 5

(

)

−

−

) 5 +

2 x 0

x 0

và

sao cho

⇔ tồn tại

= −

2≠x 0

0≠x 0

mx 4 + 0 x 2 − 0

m x 4 ( − − 0 x ) 2 ( − − 0

m

5

0

và

sao cho

(1 2 ) −

+

=

⇔ tồn tại

2≠x 0

0≠x 0

2 m x 0

0

< m

m

m

m

>

.

⇔

− −

+ +

0 ≠ ⇔ 0 ≠

 5 (1 2 ) 0 < −  m m (1 2 ).4 5   m m (1 2 ).0 5 

      ≠ m 

1 2 4 3

Câu 41. Chọn D.

1

với

.

Lấy điểm

; 2

= −

+

2m ≠ . Ta có

)C∈ (

( y m '

)

 M m  

  

m

2

1 −

m

2

−

(

)2

1

d y :

.

Tiếp tuyến tại M có phương trình

x m −

2 + +

= −

(

)

2

m

2

1 −

m

2

−

(

)

A

.

2; 2

+

Giao điểm của d với tiệm cận đứng là

  

m

2

2; 2

.

Giao điểm của d với tiệm cận ngang là

   ( B m − 2

2 − )

2

1

2

AB

m

)22

Ta có

4

2

8

. Dấu “=” xảy ra khi (

, suy ra

m −

= , 1

=

−

+

≥

22

AB ≥

(

)

2

m

2

−

)

   

nghĩa là

    3m = hoặc

( m = − . 1

Câu 42. Chọn C.

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y = x .

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phương trình :

2

1 5

x x . 1 0 x = ⇔ − − = ⇔ x 2 + x 2 1 − 1 5

 x =   x =  − 2 + 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

21 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

1

5

5

1

1

5

5

1

,

;

,

− 2

− 2

+ 2

+ 2

   

   

   

   

. Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là

Câu 43. Chọn C.

)C , ta có

2

2

2

2

2

Gọi

M x; y thuộc ( ) ( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( IM x =

) − ⇒ 4

(

) 1

) 1

y IM x x . 1; 4 − = − + 3 + + − = − + 1 − +          x x 1 1 1 − 1 −  ( x x   (cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:8) g x ( )

2

2

2

1

1

x

x

x

g x ( )

2

2 2 2

2

Mà

=

−

+

−

+

2 + =

−

+

+ ≥ +

(

) 1

(

) 1

(

) 1

2

2

x

x

−

−

(

) 1

(

) 1

x

1 = −

2

4

1

⇒

x

IM

2

.

−

=

(

) 1

( x ⇔ −

) 1

2

1 = ⇒ 2

x

−

(

) 1

x

1 = +

1 4 2 1 4

     

2

min 2 2 2 . Đạt được khi . = +

Câu 44. Chọn B.

, 2

−

M

1

1 +

Gọi thuộc (C). Và MH, MK là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và

Phương pháp tự luận   

 M x  

x M

MH x=

+ và

MK

=

1M

Cauchy

tiệm cận ngang. Khi đó . Do đó

(

)

MH MK x M

1 x 1M + 1 +

x M

y

2

3

2 = + 1 + + ≥ 1

1

+

)2 1

x M

0

= − ⇒ = M = ⇒ = y 1

 = ⇔  

x M x M

M

Suy ra MH MK+ bé nhất khi (

Phương pháp trắc nghiệm

=

) : C y

ax b + cx d +

. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số, khi đó tổng khoảng Cho đồ thị hàm số (

2

ad - bc 2 c

cách từ M đến 2 tiệm cận có độ dài nhỏ nhất là .

Câu 45. Chọn A.

0α> , đặt

Ax < ⇒ với số

y

Gọi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là 3

α= − , suy ra

( ) 1

Ax

A

x

A

3 . 1 = + 1 = + 1 = − 3 3 3 6 − 6 α − − 6 α

β= + ,

Bx > ⇒ với số

Bx

y

Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là 3 3 0β > , đặt

( ) 2

B

x

B

2

2

2

2

2

AB

x

y

y

suy ra . 1 = + 1 = + 1 = + 3 3 3 6 − 6 β + − 6 β

(

)

(

)

(

) β

(

) α

x B

A

B

A

 

 

  

  

  

  

  

  

3 3 1 1 Vậy = − + − = + − − + + − − 6 β 6 α

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

22 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

2

2

2

2

2

2

) g α β α β =

(

( ) α β +

( ) ( 6

) α β +

2

( ; ) + + = + 6 6 + α β 1 αβ            

) ( 2 α β αβ

2 = + + 36 2 2 α β  1 +    

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

(

) 2 2 αβ αβ +

. 1 2 4.144 48 ≥ + = + ≥ = g α β ( ; ) 4 αβ 36 2 2 α β 144 αβ      

Vậy 48 4 3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi AB ≥ =

α β ⇔ ⇒ = = αβ = 1 6 = = α β   )2 ( αβ  4 αβ = α β   144   1 36

Vậy độ dài AB ngắn nhất là 4 3 .

Gọi ( ) là điểm cố định cần tìm.

Câu 46. Chọn D. x y ; 0 0

m

2016,

(

1)

2016 0,

m

=

− +

+

∀ ⇔ −

−

+

= ∀

y 0

4 x mx m 0

2 0

2 x 0

4 m x + 0

y 0

Ta có

1 = −

x 0 y

2017

=

  

0

2 x 0 4 x 0

1 0 1 − = = hoặc ⇔ ⇔ 2017 = 2016 0    − + = x 0 y 0      y 0

. hoặc M N M N ( 1; 2017) − (1; 2017) (1; 2017) ( 1; 2017) −  ⇒  

   I (0; 2017) . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là

Câu 47. Chọn B.

0

Điểm M nằm trên trục Ox :

Md⇒ = − + = 2 2

Điểm M nằm trên trục tung :

( 2; 0) M −

Md = + − 0

x

d

x

y

= < 2 2 3 2 3

> ⇒ =

+

M

2 3

2 > . 3

x

y

y

;

(*)

Xét những điểm M có hoành độ

<

< − ⇒ >

2 3

2 3

2 3

x

y

0

(cid:4) Trường hợp :

x≤ ≤ . Do (*) cho nên :

=

+

Md

2 > 3

2 3

5

d

x

x

d

0;

0

1

;

'

(cid:4) Trường hợp :

− < < − < < ⇒ = − − − y

1 = − +

M

M

x

3

2 3

2 3

5 −

x

3

−

(

)2

Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn

d

5 d 0 . Khi lập bảng biến thiên,ta thấy hàm số nghịch biến với mọi ' M x 5 3 = +

min

(0)

d=

M

M

2 = . 3

x . Vậy ; 0  = − x 3 = ⇔       ∈ −  2 3

Điểm

M 0, nằm trên trục Oy . Khoảng cách từ M đến hai trục là

Câu 48. Chọn D.   

3 d = . 2

   3 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

23 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

x

y

⇒ = d

+

3 > . 2

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn

3 2 3 2

d

x

x

y

0

< < ⇒ > ⇒ = y

+

Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn :

3 2

3 2

3 > 2

1

x

y

d

x

x

d

0;

1

0

;

'

0

• Với

− < <

> ⇒ = − + + +

1 = +

= −

<

x

x

2

2

3 2

1 +

1 +

x

2

+

(

)2

d

min

. • Với

y=

( ) 0

3 = . 2

Chứng tỏ hàm số nghịch biến. Suy ra

Câu 49. Chọn B.

x

d y :

3

=

−

1 2

y suy ra : Gọi đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng ∆ 2 = − x m . +

)C tại hai điểm phân biệt ,A B . Khi đó hoành độ của ,A B là nghiệm của

Giả sử ∆ cắt ( phương trình

x 2 ≠ 2 x m . 2 = − x m 4 0 ( + = − x m 2 + + x x 4 2 + − 3) 2 (cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:8) h x ( )   + ⇔  

)C tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

Điều kiện cần: Để ∆ cắt (

2

h x ( ) 0=

2 , tức là

m 5 4 3 < − m m − 23 0 > (*). ⇔ 0 ∆ > h (2) 0 ≠ 10 − 6 0 − ≠       m 5 4 3 > +  ⇔   

Điều kiện đủ: Gọi I là trung điểm của AB , ta có:

A

B

I

I

I

I

m 3 x x x = x = m 3 ⇒ I 3 3 ; . ⇔ 3       + 4 m + 2 y 2 = y m = +      + 2 x m + I

Để

điểm

m

3

3

m

2.

0

6

y       đối + 4 m + 2 xứng hai ,A B nhau qua d x : 2 6 0 khi − − =

⇔

−

3 − = ⇔ = −

d

∈I

+ 4

m 3 + 2

(thỏa điều kiện (*)).

2

3= −m

y 1 Với phương trình x h x ( ) 2 0 2 0 x x 1 = − ⇒ = − 1 = ⇒ = − y 5  = ⇔ − = ⇔  

1; 5− và ( )

) − − . 1; 1

2

y

4 x mx m

:

=

− − , ta có 1

+

,x y là điểm cố định của họ đồ thị(

)

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (

Câu 50. Chọn A. )

mC

2

Gọi (

4

2

m y 1, − − ∀ +

2

m 0, 1 m x + y − − = ∀

4 x mx m ) 1 1 0 − =

4

x ; ⇔ ⇔ x y x y 1 0 = = 1 = − 0 =       x 1 0 = ( x ⇔ −     

−

)

. y − − = ) ( 1; 0 , 1; 0 Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định là (

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7) Câu 51. Chọn B.

ℕ .

0

ℕ

Gọi ( ) ; M x y với 0 x 0 y∈ ∈ℕ , 0

{ ⇒ + ∈ − − − −

} 8; 4; 2; 1;1; 2; 4;8

} 9; 5; 3; 2; 0;1;3;7

{

ℕ

⇒ 1 ⇒ ∈ − − − − x 0 x 0 = 6 − + ∈ y 0 x 0 1 2 1 8 +       x 0

∈ x 0     0x ∈ ℕ nên Do

1

(cid:3)

(cid:3)

= ⇒ = − (loại)

x 0

y 0

1 2

y

M 0 1 (0;1) x 0 = ⇒ = ⇒ y 0

3

(cid:3)

(cid:3)

= ⇒ = − (loại)

x 0

0

1 2

M 7 1 (7;1) . x 0 = ⇒ = ⇒ y 0

Gọi ) ( là điểm cố định cần tìm.

Câu 52. Chọn A. A x y , ; 0

0

m

2

2

0>x 0

m

= −

+

−

1, + ∀

y 0

4 x 0

2 mx 0

Ta có:

m

2 (

⇔

1) 1 − + −

−

0, = ∀

2 m x 0

4 x 0

y 0

2 x 0 −

4 x 0

1 0 1 ( 0) − = = > x 0 ⇒ ⇒ A (1; 0) ⇔ 0 = 0    − = x 0 y 0     1  y 0

34 x

⇒ ′ y mx y 4 ′ (1) 4 . 4 Lại có = − + = −

A y m x Phương trình tiếp tuyến của ( (1; 0) có dạng (4 4)( 1) hay = − − m )mC tại điểm

y m x m (4 4) 4 4 . = − + − ( ) ∆

Vì ∆ song song với d nên 5. ⇔ ⇒ = m m m 5 1 m 4 4 4 − 4 16 − = m 0 ≠ = ≠      

Câu 53. Chọn D.

x C Gọi , ( ) . 2 + + ∈  M x      x 2 1 +

) ( h M;d cho bởi

Khoảng cách từ M đến d là

(

)

x 3 6 y + + x x h M d ( ; ) 3 2 6 4 2 . = = x + + + + = + + x x 2 2 1 + 1 + 10 1 10 1 10

x

x

x

2)

4(

4

4(

2)

2

• Khi

+

+

≥

+

=

= ⇒ = −

( x ⇔ +

)2

x

x

2

2

1 4

3 2

x + > : 2 0 1 +

1 +

Ta có dấu bằng xảy ra khi

( h M;d đạt giá trị nhỏ nhất là

)

. Vậy 4 10

x + < 2 0

• Khi

(

)

(

)

x

x

x

4

2

2

x Ta có 2 4 4 − + − ≥ x 2 1 +

⇔ −

+

= −

= ⇒ = −

(

)

( ⇔ +

)2

x

1 4

5 2

2

1 +

Dấu bằng xảy ra .

( h M;d đạt giá trị nhỏ nhất là

)

Vậy . 4 10

Câu 54. Chọn C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

25 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

1a ≠ ta có

(

)

0

a

C d a 1 1 1 2 2 Gọi với . ∈ = − + a − = − + ≥  M a ;      a a a a a 1 1 1 1 1 + − 2 − + −

2

1

2 − =

a − ⇔ − =

2

a ≠ ta có

(

)

C . Vậy Gọi với ∈

Câu 55. Chọn B.  M a ;  

a a

a

2 2

2

4

+ −

4 −

= a a =

⇔  

M

4;3

   a a 2 2 + −

(

) M− 0; 1 ,

(

)

.

Câu 56. Chọn A.

2

1a ≠ ta có

(

)

2

M

M

3;3

a a 2 3 0 1 − − = C a Gọi . Vậy với = ⇔ ⇔ ∈  M a ;      a a = − 3 = a a a a 3 1 3 1 + − + −    a 3 0 + =   

− −

(

) 1; 1 ,

(

)

.

Câu 57. Chọn C.

1a ≠ ta có

(

)

C Gọi với ∈  M a ;      a a 2 1 + −

2

2

2

3 a 1 − + a 3 a − − a a 2 2 0 − − = a a 3 . 1 = ⇔ ⇔ a 1 − 2 + 1 − 2 1 = ⇔ 2 a 4 0 − =   

M

2;0

 = + a 1   a 1 = −  a 2 =   = − a 2 

.

(

) 2; 4 ;

( M −

)

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu là

Câu 58. Chọn C.

)

)mC , ta có

( ;M x y 0 0

m

m

m

3

2

2

7,

+

−

+ + ∀

Gọi

)

(

)

3 x 0

x m 0

y 0

m

m

2

6

3

+

+

7 + −

0, = ∀

+

3 x 0

x 0

y 0

x 0

3

− ) 1 1 0 + =

0

+

7 + −

=

= ( 3 x ⇔ − 0  − 3 x  0 ⇔  3  x 2 0

x 0 x 6 0

y 0

là điểm cố định của họ đồ thị ( (

Vì hệ có 3 nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có 3 điểm cố định.

Câu 59. Chọn B. ,

,

) M x y N x y− ,

(

(

)

)mC đối xứng nhau qua trục tung. Ta có

3

2

3

2

Gọi là hai điểm thuộc đồ thị (

(

) 1

(

) 1

x x mx m x x m 3 2 m 3 mx m 2 1 − − + 1 + + = − − − − + +

3

0 mx 4 0 . x 2 ⇔ + = x 2 x m 2 = − = ⇔  

0m < .

Vậy

Câu 60. Chọn B.

2

' 0

m

72 0 >

2

0

m ⇔ =

0m = .

⇔

∆ > S 0

=

m

+ 0

=

  

  

y x mx Ta có 2 12 . Điều kiện . Vậy ' 6 = + −

Câu 61. Chọn C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

26 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

2

a ≠ − , ta có 2

(

)

2

a a 1 0 + − = C a Gọi , với = ∈  M a      a a a a 1 2 1 2 + + + + a a 3 1 0 + + =  ⇔  

Phương trình có 4 nghiệm nên trên đồ thị có 4 điểm cách đều hai trục tọa độ.

Câu 62. Chọn B.

2

a ≠ ta có

(

)

(

)2

N

M

3; 4

C . , Gọi với ∈ a a 3 2 1 2 − = − ⇔ −    1 3 = a a = a 3 5 − a 2 − = ⇔  

)

3

M

–1; 3

Vậy .  M a   ( ) 1;1 ; a 5 3 − a 2 − (

3 − +

Gọi a 3 b 3 2 , + + +

là hai điểm trên (

)C đối xứng nhau qua

(

)

) 2 ,

( B b b ,

)

3

a

b

3

b 3

2 6

a b 2 + = − 3 a − +

2 + −

+

+ =

ta có:

Câu 63. Chọn C. ( A a a , −   

3

( ab a b 3

)

(

)

0 2 ⇔ ⇔ ⇔ ∨ a b ab a b 2 + = − 0 2 = = = − = − 0 = 3 2 0 a b + − + − a b + + =        a  b  a b ( 2 + = − )    

Câu 64. Chọn D.

3

1 ⇒ ⇒ Ta có . y = = 1 = − + 3 x x x 1 1 − − x 1 2 − + + x 1 − 2 −

x x x x x x x x 1 2 − = 1 2 − = − 1 1 − = 1 1 − = − = = − 2 = 0 =            

Vậy có 4 điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 65. Chọn D.

2

a ≠ . Ta có

(

)

C d a Gọi với 2 2 1 2 3 . ∈ = − + a − = − + ≥  M a ;      a a a a a 1 2 1 2 2 + − + − 3 −

"= xảy ra khi và chỉ khi

(

)2

2

3;1

3

−

−

2

3;1

3

+

+

3 a Dấu " 2 3 . Vậy hai điểm đó là − a 3 2 = −  = + a 2 = ⇔  

và (

)

)

( Câu 66. Chọn D.

1; 3

( M −

)

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận. Vậy điểm cần tìm là .

Câu 67. Chọn B.

1a ≠ .

(

)

2

C Gọi với ∈  M a ;      a 1 2 + a 1 −

2

2

M

4;3

a a a 2 1 2 1 − + = + a a Ta có 4 1 − = ⇔ a ⇔ − 0 = ⇔ 0 4 a 1 2 + a 1 − = a  a =  a a 1 − −

Vậy điểm cần tìm là: .    ( 2 ) M− 0; 1 , a 2 1 + = − ) (

Câu 68. Chọn A.

a ≠ . 2

(

)

C Gọi với ∈  M a ;      a a 2 2 + −

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

27 | T H B T N

BTN_2_3

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)2.(cid:7)Các(cid:7)bài(cid:7)toán(cid:7)liên(cid:7)quán(cid:7)đến(cid:7)đồ(cid:7)thị(cid:7)hàm(cid:7)số(cid:7)

2

(

)

2

a a a a Ta có 5 2 1 5 4 4 4 . 2 − = 5 − ⇔ − = ⇔ − + = a a a 2 2 2 + − 4 −

a a 20 16 0 a 5 ⇔ − + = ⇔ = 10 2 5 ± 5

Vậy có hai điểm cần tìm.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

28 | T H B T N