CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
2
2
2
2
2 A B ... C
0 , (
0)
a b
2 A B ... C
; 0
Chú ý các tính chất sau:
; 0
2
; Tích các số không
Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: 2
2
2
3
3
a
b
a
b
2
b
2ab
âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức .
2
2
3 2
2
2
a b 2 2
2
a
b
c
b
b
a b 2 d)
3 2 a b c
a) b) c) 2 a
2
2
2
2
2
a
b
c
e
d
b
f) 2 a
1 ab a b
ab bc ca a b c d e
Bµi 2 : Chứng minh các BĐT sau:
2
2
2
2
2
b
c
ab ac 2bc
b
c
2ab 2ac 2bc
c) 2 a 2 e)
2
2
5b
4ab 2a 6b 3 0
2b 4
y
z
a) 2 a b)
a 4 d) 2 a f)
2ab 2a 4b 2 0 2 2 1 2x xy
2
2
2
Bµi 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau: ca
ab bc ca
b
a
c
c) 2 a 4 e) x x x 1
2 ab bc
4
4
4
abc
c a b
2 2 b c
2 2 c a
a
b
c
a)
0
a b c b c a
2
2
2
3
3
3
a
b
c
b) c)
2 2 2 a b
2
d)
0
a b c 2 a b a b
b c a b c b c
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
a
b
c
abc
c
c
b
a
b
c
2abc
e)
a b
c a b 2 c a c a 2
4abc b a
c a
10 0
với mọi số thực x.
Bµi 4 : Chứng minh:
x 1 x 3 x 4 x 6
f)
2
2
P x
xy y
3x 3y 1998
Bµi 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2
b
c
ab bc ca
72
Bµi 6 : Cho abc=2 và 3a
a 3
Bµi 7 : CMR:
3
2
2
a
ab
3 a b b
2
2
b
2
b
2
. CMR: .
thì a b
a b
a) Nếu 2 a b) Với a b thì
y
x z
x z
c) Nếu x 1, y 1
. CM: y z
1 y
1 z
1 x
1 z
2
2
ab bc ca 1
c
b
.
d) Nếu 0 x
2
a
thì x y 1 y x 1 1 xy 1 x thì : 1 1 2 3a 5 0
e) Nếu 2 a
2
2
2
2
2
2 1 a b b c c a
b
a
c
Bµi 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR:
2
2
2
1 a
f) Cho a > 0. CMR: 5 a
1 b
1 c
Bµi 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì số thực ( a, b, c là các số thực).
2
2
2
2
Bµi 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : 2 a
b
c
d
ab bc
cd d
. 0
5
1
2
Bµi 11 : Cho các số dương a, b, c. CMR:
bằng bình phương của một
a b c
b
a
c
c a b
2
Bµi 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện : 2 mp n
ap 2bn cm 0
.
và
. 0
. 0
ac b
c
ab
Bµi 13 : Cho các số dương thỏa mãn: a> b và c
CMR:
a 2
2
b c 2
2
a
c
b
c
a
0
0
. CMR: .
2, a
2, a.b
1 a
a b
b a
Dạng 2: DÙNG CÁC BĐT: ;
a b c
a b
4
9
1 b
1 b
1 c
Bµi 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dương)
2
2
2
b
c
9abc
a b c
a) b)
1 a ab c
ac b
2
2
2
d) c)
b
a
c
c a b
a b c 2
1 a a b c a b
a b c
a
c
e) f)
3 2
4 a b 2c
2
2
g) ;
2
2
2
b c
a b
c a
4 a 2b c a bc
b ac
c a b 4 2a b c 1 1 b a
1 c
c ab
bc a a b c 9 a b c 2 a b
b c
c a
2x
Q
2
P
0
h) i)
, x
, x
Bµi 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 2x 1 x 2
4x 1 4 x x
2
T a
4 a
b) a)
2
1 a 1
a
2
U
Bµi 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
c) .
2
4
x x
x
1
.
2
2
2
y 2
DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ .
Bµi 17 : Tìm GTNN của :
x y 1
f x, y
x 1
2
2
4y
6xy
2
2 2 x y
x
a)
2xy 4x 1
f x, y
f x, y
x
4x 2
2 y
2
Bµi 18 : Tìm GTLN của :
b) c) .
f x
x 3 15 x
f x
3 4x x 2
a) b)
f x, y
2
3x x
4xy 2 y
3
Bµi 19 : Tìm GTNN của : 2x
x
1
x
0
x
0
c)
f x
f x
2
4x 4 x
x
tgx cot gx
a) b)
f x
f x
0 x 1
x 1 x
5 x
1 x
c) d) (x là góc nhọn)
Bµi 20 : Tìm GTLN của :
2x 1 3 5x
f x
f x
3 1 x 2
x
a) b)
f x
f x
3
2
2
x
2
x
x
2
c) d)
2
2
a x
a
x
0
x
a
f x
Bµi 21 : Tìm GTLN, GTNN của :
2
3x 4 3 x
3
x
3
3 x 1 4 5 x 1 x
5
e)
f x
f x
a) b)
o
o
x 180
f x
c)
3sin x 4cos x 2 0
2
2
x
y
0, y
0
Bµi 22 : Cho
2, x
B
x
. Hãy tìm :
A
y xy
1 x
1 y
2
C xy
a) GTNN của : b) GTLN của :
c) GTLN của :
Bµi 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của :
2
2
4
4
A x
y
B x
y
C
x 1 4y 3
2
2
D x y x 9 y
y 9 x
a) b) c)
0
y
y
ax , x
d)
0
, x
Bµi 24 : Cho 2 số thực dương a và b. Tìm GTNN của : b x
2 x 1
x 2
y
ax
a
b) a)
x 3
, x
a x b x x b x a x 2
x 1
x 3
x 4
c) d) y
e) y
