Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN

A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT.

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Công thức diện tích hình tròn

2

S

R

Diện tích S của một hình tròn bán kinh R được tính theo công thức:

2. Công thức diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính E, cung n0 được tính theo công thức:

S 

lR 2

2 R n  360

hay . S 

(l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn).

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các loại lương có liên quan

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức trên và các kiến thức đã có.

1.1. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):

Diện tích hình Bán kính Độ dài đường Diện tích hình Số đo của cung

quạt tròn cung đường tròn (R) tròn (C) tròn (S) tròn n0

n0

12cm 450

2cm 12,5cm2

40cm2 10cm2

1.2. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bán kính Độ dài đường Diện tích hình Số đo của cung Diện tích hình

đường tròn (R) tròn (C) tròn (S) tròn n0 quạt tròn cung

n0

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

14cm 600

4cm 15cm2

60cm2 16cm2

2.1. Cho hình vuông có cạng là 4cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích

hình tròn (O).

2.2. Cho hình vuông có cạnh là 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích

hình tròn (O).

3.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OC và cung nhỏ AC khi  040 . ABC 

. 3.2. Cho tam giác ABC nội tếp đường tròn (O; 6cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OC và cung nhỏ AC khi  060 ABC 

Dạng 2. Bài toán tổng hợp

Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kính đường tròn. Từ

đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.

4.1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với

đường tròn (A, B là các tiếp điểm).

a) Tính độ dài cung nhỏ AB.

b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, MB và cung nhỏ AB.

4.2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lây M thuộc đoạn AB. vẻ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả

sử AM = 2cm và CD = 4 3 cm. Tính:

a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích đường tròn (O);

b) Độ dài cung DCA và diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ DC .

III. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ

5. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với

AB tại M. Điểm E chuyên động trên cung lớn CD (E khác A). Nôi AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.

a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AE.AK không đổi.

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

c) Tính theo R diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.

6. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt

nhau tại M.

a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì độ lớn góc AMB không đổi.

, tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình viên phân giói hạn bởi dây AC và cung nhỏ b) Cho  030 ABC 

AC.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

1.1.

Diện tích Độ dài Diện tích Số đo của cung Bán kính đường hình quạt tròn tròn (R) tròn n0 đường tròn (C) hình tròn (S) cung n0

12cm 11,3cm2 450 1,9cm 1,4cm2

12,6cm 12,6cm2 351,10 2cm 12,5cm2

22,4cm 40,7cm2 900 3,6cm 10,2cm2

1.2.

Diện tích Độ dài Bán kính đường Diện tích hình Số đo của cung hình quạt tròn tròn (R) tròn (S) tròn n0 đường tròn (C) cung n0

600

2,2cm 2,6cm2 14cm 15,2cm2

4cm 15cm2 25,1cm 50,3cm2 107,40

2

R

2 2

cm C O ,

(

)

2

cm S O ,

(

cm

4,4cm 16cm2 27,6cm 60cm2 94,80





4 

) 8 



2.1.

2

2.2. Tương tự 2.1.

S

3

cm

3.1.

3.2. Giải tương tự 3.1

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

R

2

2

l



2  3

b) 3 ( 3 ; S R R 4.1. a)     R  3  ) 3

2

4.2. a) AC cm 4 4 3 cm  BC  

4 cm C cm S , 16 cm R     8   



0

b) AOC đều  060 AOC 

120

 COD

cm











l  CAD

.4.120 180

8 3

.

2

.4  8 3 cm  S    2 16 3

5. a) Chú ý:  090 KMB  và  090 KEB 

 ĐPCM.

ABE

AKM g g ( . )







AE AB  AM AK

2

.

.

3

R



AE AK AB AM 



b)

không đổi.

2

060

đều. c) OBC

 BOC S     R  6

0

ABC

l

60

6. a) Chứng minh được COD đều  060 AMB 

  

 AC

R  3

b)   0 AOC 30  

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY

Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O), Tiếp

tuyến tại điểm M tùy ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D.

. a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD

AB  cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính diện tích của phần tứ

8

b) Cho

giác nằm ngoài (O).

Bài 2. Cho đường tròn tâm O, cung AB bằng 120 . Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và tại B cắt nhau

ở C. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CB và cung AB nói trên. So sánh độ dài của

đường tròn (I) với độ dài cung AB của đường tròn (O)

Bài 3. Cho đường tròn có bán kính bằng 3. Người ta tô đỏ một số cung của hình tròn, tổng độ dài các

cung được tô bằng 9. Có tồn tại hay không một đường kính của đường tròn mà hai đầu không bị tô mầu?

Bài 5. Trong một hình tròn có bán kính 20 có thể đặt được 500 điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm

bất kỳ lớn hơn 2 không?

Bài 6. Một hình vuông và một tam giác đều cùng nội tiếp trong đường tròn (O;l) sao cho một cạnh của

tam giác song song với một cạnh của hình vuông. Tính diện tích phần chung của tam giác và hình vuông.

Bài 7. Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC. Qua O kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AC và BC lần lượt

22 r

CMNS

tại M và N. Chứng minh rằng: .

Bài 8. Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Đặt AD =



  y

z

x, BE = y, CF = z. Chứng minh rằng:

 xyz x



ABCS

a)



xy



yz



zx





ABCS

3 3

b)

S



Bài 9. Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp được trong các đường tròn.

AB BC CD DA .

.

.

ABCD

. Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN

Bài 1.

6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

vuông tại O (OC và OD là phân giác của hai góc kề bù) a) OCD

tại O nên I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO AB

. AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD

(cm)

(cm)

AC x

BD y

AB

2

28

y

10





AC BD 

x    





ABDCC

2

và b) Đặt

Mặt khác OM MC MD . 16  xy  

AC

8

AC

BD

10 hoặc ta được Giải hệ 8 2 2 8 x xy y   16  x   y  x   y    

cm 2

BD cm

cm 8

cm 2

Vậy C cách A một đoạn và hoặc và . Cả hai trường hợp trên

40 (cm2). hình thang vuông ABCD có cùng diện tích: S  1

2

8 (cm2) Diện tích nửa hình tròn (O): S 

S

S







2 40 8 (cm ) 



S 1

2

Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngoài đường tròn:

Bài 2.

Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của đường tròn (O), (I).

OC

OA 2

2

R

Gọi tiếp điểm của đường tròn (I) với cung AB và với cạnh CA theo thứ tự là M và H.

OAC





CM OC OM R R R

2

  (1)







IC

2

IH

2

r

vuông tại A,  60 và AOC   nên

IHC





IC r

2

r

r 3

vuông tại H,  60 HIC   nên

MC MI 



 



(2) Do đó

r 

R 3

Từ (1) và (2) suy ra

R 2 3

R

Độ dài cung AB của (O) bằng

2 r  

2  3

Độ dài đường tròn (I) bằng

7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Vậy độ dài đường tròn (I) bằng độ dài cung AB của đường tròn (O).

Bài 3.

Ta tô xanh các cung đối xứng với các cung đỏ qua tâm O.

18

. Như vậy tổng độ dài các cung được tô màu là 9.2 18







. Chu vi của hình tròn là 2 .3 6

Vậy tồn tại ít ra là một điểm của đường tròn không bị tô mầu. Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng

không được tô mầu. Đó là hai đầu đường kính phải tìm.

Bài 4.

Giả sử đặt được 500 điểm trong đường tròn có bán kính 20

sao cho khoảng cách giữa hai điểm đều lớn hơn 2.

Vẽ 500 đường tròn có bán kính bằng 1 có tâm là các điểm đã

cho. Vì khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng của hai bán

kính nên các hình tròn này nằm ngoài nhau và nằm trong

 

hình tròn có bán kính 20 1 21 .

Tổng diện tích của 500 hình tròn bán kính 1 phải nhỏ hơn

500.

2 .1

2 .21





diện tích của hình tròn có bán kính 21 nên



441. 

hay 500. , vô lý.

Vậy không thể đặt 500 điểm thỏa mãn đề bài.

Bài 5.

Ta kí hiệu ABC là tam giác đều và PQRL là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O;1) như hình vẽ. Đặt

diện tích phần chung của tam giác đều và hình vuông là S.

AKF

MNB

ABC

S S S Do đó S 2. (*)   

ABC là tam giác đều và PQRL là hình

2

3

vuông nội tiếp trong đường tròn (O;1) , nên

AC

3;

RQ

AF

2



  

 2

2

3

ta có:

.tan 60

. 3

KF AF 

 

 2

Ta có

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

2

3







 3 5 2 6 



.

AF KF .

.

. 3









AKFS

1 2

4

8

1 2

BH OB OH   1    2 2 2 1  2



2.

3 2 2

3



  2 1













.

MN BH .

.

BMNS

6

1 2

1 2

6

 2 1 2





 Ta có  MH BH    .tan 30 2 1 1 . 3 2  2 1 6





S

ABCS

9 2 2 6 6 3 6

3 3 4

. Thay các giá trị trên vào (*), ta được: Mà

Bài 6.









 CM CN r 

S CMN

S CMO

S CNO

1 2

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

 CM CN   2 CM CN . S 2 2. CMN

2

2



S



S

r



S



r

2.

.

2

2 CMN

CMN

CMN

Do đó:  r 2. . S CMN S CMN

x

y

z

z

      y





Bài 7.



  y

z

a) Vì 2 p AB BC CA x 

   y z

x

 2 x



nên p

z

  nên p a

  x







Mặt khác a BC BE EC y

Tương tự p - b = y, p - c = z









 p p a p b p c







ABCS



  y

z

 xyz x



Áp dụng công thức Hê-rông, ta có:

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com



xy



yz



zx





ABCS

3 3





xy



yz



zx

b)

3. ABCS



  y

z



xy



yz



zx

(*)

 3xyz x





2

Từ câu a, nên   *

xy

c





 . Bất đẳng thức trên có dạng:

a yz ,

b zx ,

2

2

2

 ab bc



ca



a b c

a b



 b c



 c a

3

 0







2     













Đặt:

Bất đẳng thức cuối cùng, nên bất đẳng thức đầu đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam

giác đều.

Bài 8. Giả sử đường tròn (I;r) nội tiếp tứ giác ABCD, tiếp xúc với AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P,

Q.









x AM AQ y BM BN ,

,









z CN CP t DP DQ ,

Đặt

Do tứ giác ABCD nội tiếp nên:

    180  BAD BCD

IAM 



CIN



AM IM  IN CN

2

Từ đó suy ra      IAM NIC  BAD NIP 



 AM CN IM IN

.

.

2

hay xz r



x



y

y



z

z



t

t



x

Tương tự ta có: yt r

AB BC CD DA .

.

.











2

Ta có:

Khai triển vế phải, và chú ý: xz  yt  r

2

2

2

2

AB BC CD DA r



x



y



z

2   t

xy



xz



xt



yz



yt



zt

.

.

.

2

2

2

2

2

2





2

2

2



r

x

  

y

z

t



rp



S









2 ABCD

Ta được:

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

x

y

z

t

    là nửa chu vi của tứ giác ABCD).

S



( p

AB BC CD DA .

.

.

ABCD

Từ đó suy ra

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

S

=

225 (

cmp

)

C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

. Bán kính của hình tròn đó là: Câu 1. Một hình tròn có diện tích

)cm .

)cm .

)cm .

)cm .

8R

cm=

A. 15( B. 16( C. 12( D. 14(

2

2

2

2

2

8 (

cmp

)

64 (

cmp

)

16 (

cmp

)

32

cmp (

)

Câu 2. Diện tích hình tròn bán kính là:

R

cm= 10

A. . B. . C. . D. .

2

2

2

2

2

100 (

cmp

)

10 (

cmp

)

20 (

cmp

)

100

cmp (

)

là: Câu 3. Diện tích hình tròn bán kính

)

M OÎ ( )

A. . B. . C. . D. .

O cm , đường kính AB . Điểm

 45 BAM =  . Tính diện

Câu 4. Cho đường tròn ( ;10 sao cho

2

2

2

2

cmp 5 (

)

25 (

cmp

)

50 (

cmp

)

tích hình quạt AOM .

)

M OÎ ( )

O cm , đường kính AB . Điểm

cmp ( ) . B. . C. . D. . A. 25 2

 60 BAM =  . Tính diện tích

sao cho Câu 5. Cho đường tròn ( ; 8

2

2

2

2

32 (

cmp

)

23 (

cmp

)

hình quạt AOM .

AB

=

4 3

cm

C

OÎ ( )

cm ( ) cm ( ) . B. . A. . C. . D. p 16 3 p 32 3

 30 ABC =  . Tính diện

Câu 6. Cho đường tròn ( )O đường kính . Điểm sao cho

tích hình viên phân AC (hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung

2

2

2

2

p -

3 3cm

p - 2

3 3cm

4

p -

3 3cm

p - 2

3cm

ấy).

AB

=

3 3

cm

C

OÎ ( )

A. . B. . C. . D. .

 60 ABC =  . Tính diện

Câu 7. Cho đường tròn( )O đường kính . Điểm sao cho

tích hình viên phân BC . (hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung

ấy).

2

2

2

2

27 3 18 9 3 18 3 3 2 18 cm ( ) cm ( ) cm ( ) cm ( ) A. .B. . C. . D. . p - 16 p - 16 p - 16 p - 27 3 4

Câu 8. Cho hình vuông có cạnh 6cm là nội tiếp đường tròn ( )O . Hãy tính diện tích hình tròn ( )O .

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

2

18 (

cmp

)

36 (

cmp

)

18(

)

36(

)

2 cm .

2 cm .

. B. . C. D. A.

2

2

2

2

Câu 9. Cho hình vuông có cạnh 5cm là nội tiếp đường tròn ( )O . Hãy tính diện tích hình tròn ( )O .

AB

=

2 2

cm

C

OÎ ( )

cm ( ) cm ( ) cm ( ) cm ( ) . B. . C. . D. . A. p 25 4 p 25 3 p 15 2 p 25 2

 30 ABC =  . Tính

;AC BC .

Câu 10. Cho đường tròn ( )O đường kính . Điểm sao cho

p -

3

p -

2 3

p -

3 3

3

diện tích hình giới hạn bởi đường tròn ( )O và

p - .

AB

=

4 2

cm

C

OÎ ( )

. B. 2 . C. . D. 2 A.

 30 ABC =  . Tính

;AC BC .

Câu 11. Cho đường tròn ( )O đường kính . Điểm sao cho

p -

3

p -

2 3

p -

3 3

3

diện tích hình giới hạn bởi đường tròn ( )O và

p - .

2

66cm . Bán kính của hình quạt bằng?

. B. 2 . C. . D. 2 A.

R

cm= 5(

)

R

cm= 6(

)

R

cm= 7(

)

R

cm= 8(

)

Câu 12. Một hình quạt có chu vi bằng 34cm và diện tích bằng

2

49(

)

)cm và diện tích bằng

cm . Bán kính của hình quạt bằng?

. B. . C. . D. . A.

R

cm= 5(

)

R

cm= 6(

)

R

cm= 7(

)

R

cm= 8(

)

Câu 13. Một hình quạt có chu vi bằng 28(

OM

M= 2

A. . B. . C. . D. .

)O R và điểm M sao cho

,MA MB với

Câu 14. Cho đường tròn ( ; . Từ M vẽ các tiếp tuyến

,A B là các tiếp điểm). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến

,AM MB và cung nhỏ AB

đường tròn (

2

2

2

.

R

3

R

3

23R .

ö÷ æ p ç ÷+ç ÷ ç ÷ çè 3 ø

ö÷ æ p ç ÷-ç ÷ ç ÷ çè 3 ø

,

,

AB BC CA đều bằng 6p .

R C. . D. . . B. A. p 3

Câu 15. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( )O . Độ dài các cung

Diện tích của tam giác đều ABC là:

,

,

AB BC CA đều bằng

3 3 3 D. . B. . C. 61 3 . . A. 243 2 234 4 243 4

4p . Diện tích của tam giác đều ABC là:

Câu 16. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( )O . Độ dài của các cung

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

2

2

2

27 3cm .

7 3cm .

29 3cm .

9 3cm .

,

,

,

A B C D là 4 đỉnh của hình vuông có cạnh là 2cm . Tính diện tích của hình hoa 4 cánh

B. C. D. A.

Câu 17. Cho

S

8

4

S

S

p 4

8

S

p= 4

p= - .

giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng a , tâm là các đỉnh của hình vuông.

+ . 8

p= . 4

= - .

,

,

,

B. C. D. A.

A B C D là 4 đỉnh của hình vuông có cạnh là 2cm . Tính diện tích của hình hoa 4 cánh

Câu 18. Cho

2

2

2

2

S

p= + (

a 2)

S

p= 2(

+

a 2)

S

p= - (

a 2)

S

p= 2(

-

a 2)

giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng a , tâm là các đỉnh của hình vuông.

. B. . C. . D. . A.

HƯỚNG DẪN

2

S

R

cm

=

p

=

225

p

2  = R

225

 = R

15(

)

Câu 1. Đáp án A.

Diện tích

2

2

2

S

R

cm

=

p

=

p

.8

=

p 64 (

)

Câu 2. Đáp án B.

Diện tích

2

2

2

Câu 3. Đáp án A.

S

R

cm

=

p

=

p

.10

=

p 100 (

)

Diện tích .

 090 . =

MOA

 D

AOM

Câu 4. Đáp án B.

ìï OA OM = ïï Xét đường tròn ( )O có:  45 í ï MAO =  ïïî

p

2

S

=

=

=

p 25 (

cm

)

2 p R n 360

2 .10 .90 360

là tam giác vuông cân

Vậy diện tích hình quạt AOM là .

Câu 5. Đáp án C.

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

120=

 60 BAM =  suy ra số đo cung MB bằng 2.60

 Suy ra số đo cung AM





 n =

180

-

120

=

60

Xét đường tròn ( )O có



p

2

S

=

=

=

cm (

)

bằng

2 p R n 360

2 .8 .60 360

p 32 3

Vậy diện tích hình quạt AOM là

Câu 6. Đáp án B.

ABC và

AOC là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung

2

2

p

.60

p

0

  = ABC AOC

2.



=

2.30

0 =  60

S

=

=

qAOC

R 360

R 6

=

Xét đường tròn ( )O có:

= nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .

 60 AOC =  và OA OC R Gọi CH là đường cao của tam giác AOC , ta có:

0

2

Xét AOCD có

AOC

2

p

2

S

S

R .

-

=

-

=

-

= CH CO =  S = = = .sin 60 R . CH OA . R R . . R . . 3 2 1 2 1 3 . 2 2 3 4

2 R .

qAOC

AOC

R 6

3 4

3 4

pæ ç ç ç ç 6 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

2

3 3

= - 2 p

3 3

Diện tích hình viên phân AC là:

(cm2).

( . 2 3

)

æ -ç 2 p ç= ç ç 12 çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Câu 7. Đáp án A.

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

 90 ACB =  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)



 CAB

90 - CBA

=

=

 (tam giác ABC vuông tại C )

Xét đường tròn ( )O có:

30 BOC là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn

2

2

p

.60

p

0



  = ACB BOC

2.

=

2.30

0 =  60

S

=

=

Suy ra ACB và

quat AOC

R 360

R 6

=

cung

 60 BOC =  và OA OC R

= nên tam giác AOC đều

Xét BOCD có

cạnh bằng R .

0

2

Gọi CH là đường cao của tam giác AOC , ta có:

AOC

= CH CO =  S = = = .sin 60 R . CH OA . R R . . R . . 1 2 1 3 . 2 2 3 4 3 2

2

p

2

2

S

R .

R .

S

-

=

-

=

-

quat BOC

D

OC

B

p 6

3 4

3 4

æ ç ç ç ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

3 3

18

2 p

p

2

=

=

)

( m c

- 12

3 3 2

- 27 3 1 6

ö æ ÷ ç÷ ç . ÷ ç÷ ç÷ ç ø è

æ ç ç ç ç ç è

R 6 2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Diện tích hình viên phân BC là:

Câu 8. Đáp án A.

16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

=

=

=

=  là giao

Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( )O khi đó OA OB OC OD R O

R = điểm của AC và BD AC 2

2

2

2

2

Xét tam giác vuông ABC ta

2 = + =  6

2

2

S

=

p

R

=

p

3 2

=

p 18 (

cm

)

AC = AB + BC 72 6 AC = 6 2  = R = 3 2 có 6 2 2

(

)2

Diện tích hình tròn ( )O là .

=

=

=

Câu 9. Đáp án D.

= là giao điểm

Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( )O khi đó OA OB OC OD R

2

2

2

2

. BD R = của AC và AC 2

2 = + =  5

2

2

AC = AB + BC 50 5 AC = 5 2  = R Xét tam giác vuông ABC ta có 5 2 2

S p= R = cm ( ). Diện tích hình tròn ( )O là p 25 2

2

Rp=

Câu 10. Đáp án A.

)OS

(

0

0



 0 CBA BAC 90

=

-

=

90

-

30

=

0 60 .

Diện tích hình tròn ( )O là:

ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Ta có góc

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

=

= nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .

 60 CAO =  và OA OC R Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC , ta có:

0

Tam giác AOC có

2 . R

ABC

.sin 60 CH CO = = . R  S = . CH AB = .2 R R = 1 2 1 3 . 2 2 3 2 3 2

,AC BC là:

2

2

2

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn ( )O và

ABC

O (

)

S - S = p R - R = p - R = p - = - p 3 3 2 3.

(

)

(

)(

)2

1 2 1 2 1 2 1 2 3 2

2

Rp=

Câu 11. Đáp án B.

)OS

(

0

0



 0 CBA BAC 90

-

=

=

90

-

30

=

0 60 .

Diện tích hình tròn ( )O là:

ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=

Ta có góc

= nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .

 60 CAO =  và OA OC R Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC , ta có:

0

Tam giác AOC có

2 R .

ABC

CH CO = =  S = = = .sin 60 R . CH AB . R R .2 1 2 1 3 . 2 2 3 2 3 2

,AC BC là:

2

2

2

S

-

S

R

-

R

=

p

-

R

3

ABC

O (

)

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn ( )O và

(

)

3 2

1 2

1 2

1 2

2

=

p

-

=

p

-

2

2 3.

(

= )( 3 2 2

p )

1 2

12

66









Câu 12. Đáp án B.

132 = R 2 =

34

264 34 =

= 22

= =

6 22

R 2

=

34

ì ï lR ï í ï l + ï î

ì ï l R .2 = ï í ï R 2 l + ï î

ì ï R 2 ï í ï l = ï î

ì ï R ï í ï l ï î

ìï lR ï =ï ï í 2 ï ï l + ïïî

cm= ( 6R

)

Ta có

Vậy .

Câu 13. Đáp án C. 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

=

=

=

14

7

49









98 =

196 =

= =

R 2

28

R 2

28

14

14

=

R 2

28

ì ï lR ï í ï + l ï î

ì ï l R .2 ï í ï + l ï î

ì ï R 2 ï í ï = l ï î

ì ï R ï í ï l ï î

ìï lR ï =ï ï í 2 ï ï + l ïïî

cm= ( 7R

)

Ta có

Vậy

2

Câu 14. Đáp án D.

2 2 - OM OA

OAM

2

OAM

c

S

D

D=

( OBM c

- -  c

)

=

2 S

=

3 R

R 3 AM = = R 3  S = = Xét OAMD có OA AB . 2 2

OAMB

OAM

Mà



2

2

.120

p

p

S

=

=

cos  AOM =    =  AOB AOM 60 = 120 Xét OAMD có OA OM 1 =  2

q AB

R 360

R 3

Diện tích quạt tròn

,AM MB và cung nhỏ AB là

2

p

2

2

.

S

S

S

R 3

R

=

-

=

-

=

OAMB

q AB

R 3

p 3

æ ç -ç 3 ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

Diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến

,

,

Câu 15. Đáp án D.

).O Độ dài của các cung

AB BC CA đều bằng 6 p nên ta

p

C

=

18

p 6

Rp 2

OA OB OC

=

=

9R = hay

= 9

Gọi RR là bán kính của đường tròn (

=

=

có , suy ra

= + + = p 6 6 p    0120 = AOB BOC COA Ta cũng có 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

   0120 = AOB BOC COA

=

=

AOB

AOC

BOC

ABC

D

D

D

D

S = S = S = S suy ra suy ra 1 3

AOC có:

=  30 Xét tam giác =  120 ìï   = OAC OCA ïïí  ï COA ïïî

OE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc

COA

Kẻ đường cao

  1 = AOE COE AOC = Ta có 2

COE có:

2

2

2

30 =  =  = OE CO Xét tam giác 1 2 R 2 =  90 ìï  ECO ïï í  ï CEO ïïî

2 ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

2

CE = OC - OE = R - = R Áp dụng định lý Pytago ta có: R 2 3 2 æ ç ç ç çè

COE

COE

COA

23 R 4

2

S = OE CE . = . = S S= 2 = Vậy Suy 1 2 R 1 . 2 2 R 3 2 R 3 8

COA

ABC

2 3 3.9 4

R S S= 3 = = = và . 3 3 4 243 3 4

,

,

Câu 16. Đáp án A.

AB BC CA đều bằng 4p nên ta

OA OB OC

=

=

C

=

Rp 2

=

4

p

+ + 4 p

4

p

=

12

p

Gọi R là bán kính của đường tròn ( )O . Độ dài của các cung

6R = hay

= 6

   0120 = AOB BOC COA

=

=

có , suy ra

D AOB = D AOC = D BOC = D ABC Ta cũng có suy ra 1 3

=  30 Xét tam giác AOC có: =  120 ìï   OAC OCA = ïïí  ï COA ïïî

COA.

Kẻ đường caoOE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc

20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

  1 = AOE COE AOC = Ta có 2

2

2

2

30 =  =  = OE CO Xét tam giác COE có: 1 2 R 2 =  90 ìï  ECO ïï í  ï CEO ïïî

2 ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

2

CE = OC - OE = R - = R Áp dụng định lý Pytago ta có: R 2 3 2 æ ç ç ç çè

COE

2

2

S = OE CE . = . = 1 2 R 1 . 2 2 R 3 2 R 3 8 Vậy

2

COE

COA

ABC

COA

23 R 4

R R S S= 2 = S = S 3 = = = 27 3 cm . Suy ra và 3 3 4 3 3 4

Câu 17. Đáp án A.

S

S= 4

.

viên phân AC

Ta có diện tích của hình hoa cần tính bằng 4 lần diện tích của hình viên phân AC

AC bằng

S

quat ADC

S D-

ADC

= DA DC

=

cm 3

Hình viên phân

0

2

p

2

S

=

S

-

S

=

-

R

viên phân AC

quat ADC

D

ADC

.90 0

1 2

R 360

2

p

2

2

.2

2

R

=

-

=

= - p

p 4

1 2

- 4

æ ç ç ç çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

 = S

4 S

=

4.(

p

2) - =

4

p

-

8

Quạt tròn ADC có bán kính và số đo cung 90 Có:

viên phân AC

.

Câu 18. Đáp án C.

21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

S

S= 4

.

vp AC

0

2

2

p

p

2

2

2

=

-

=

-

=

-

=

S

S

S

R

R

a

Ta có diện tích của hình hoa cần tình băng 4 lần diện tích của hình viên phân AC :

vp AC

cung AC

ADC

.90 0

1 2

p 4

1 2

- 4

R 360

æ ç ç ç çè

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Có:

2

2 a .

vp AC

p 2 a S  = S 4 = 4. ( p = - 2) - 4

22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

D.TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Bài 1:

Tính diện tích hình tròn có bán kính là 4 cm. a)

072 .

Tính diện tích hình quạt có bán kính là 4 cm, số đo cung là b)

Bài 2: Tính theo a diện tích hình tròn ( )O ;

Biết độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn ( )O là a . a)

b) Biết độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp của đường tròn ( )O là a .

)O R có AB là dây cung và

=AB R . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi

Bài 3: Cho đường tròn ( ;

AOB

0120

cung AB và dây AB .

Bài 4: Hãy tính diện tích hình viên phân AmB theo R biết góc ở tâm  = và bán kính hình tròn

là R .

R (

Bài 5: Hình vành khăn là phần hình tròn bao gồm phần giữa hai hình tròn đồng tâm. Hãy lập công thức

1R và

2R

>1

R . ) 2

tính diện tích hình vành khăn S theo

Bài 6: Trong một tam giác đều, vẽ những cung tròn

đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó (hình

bên) cạnh tam giác bằng a . Tính diện tích hình hoa thị

OA

= 2

)O R ; A là điểm sao cho

R . Vẽ hai tiếp tuyến

,AB AC đến đường tròn ( )O

gạch dọc.

Bài 7: Cho hình tròn ( ;

( B và C là tiếp điểm).

Tính diện tích phần của tứ giác OBAC nằm ngoài hình tròn ( )O .

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB : M là điểm nằm giữa A và B trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các nửa

đường tròn có đường kính AM ; MB và AB . Xác định vị trí của M để diện tích hình giới hạn bởi ba

;

;

;

;

R R R có diện tích lần lượt là

S S S tiếp xúc ngoài và cùng tiếp

nửa đường tròn trên có giá trị lớn nhất.

1

2

3

1

2

3

Bài 9: Cho ba hình tròn có bán kính

3R là bán kính có độ dài nhỏ nhất.

xúc với đường thẳng d trong đó

2S S theo độ dài cho trước

1

3R .

Tìm giá trị nhỏ nhất của

23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Bài 10: Một tờ giấy hình tròn bán kính 100cm có 9800 lỗ kim châm. Chứng minh rằng có thể cắt ra ở tờ

giấy ấy một hình tròn bán kính 1cm không có lỗ kim châm nào.

HƯỚNG DẪN

Bài 1:

S

=

p

R

=2

15 ( p

2 cm )

a) Diện tích hình tròn có bán kính 4cm là:

072 là:

2

p

S

=

=

2 cm ( )

q

2 R n p 360

R 5

b) Diện tích hình quạt tròn có bán kính 4cm, số đo cung

Bài 2:

AB là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn ( ;

)O R

a

AB R =

2

R  =

a)

2

2

2

S

p=

R

=

Ta có:

hinhtron

a p 2

(đvdt)

AB là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn ( ;

)O R

a

AB R =

3

R  =

b)

3

2

2

S

p=

R

=

Ta có:

hinhtron

a p 3

(đvdt)

= ,

AB R AB là dây cung của đường tròn ( ;

)O R

 AB là cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn ( ;

)O R

0

=

60

Bài 3:

 AB s đ

nên là tam giác đều.

24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

3

=

=

S

OAB

2 OA 4

R 3 4

2

p

S

=

=

(đvdt)

quatOAB

2 R n p 360

R 6

3 3

2

S

S

S

=

-

=

R (đvdt)

quatOAB

OAB

 vienphan AmB

p - 2 12

(đvdt)

 0120 AOB =

AB

)O R ( ;

Bài 4:

0



OH

=

;

= AB R

3, s

AB

=

120

đ

R 2

2

S

=

=

R

là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn

OAB

OH AB . 2

3 4

2

2

2

=

p

R

=

p

R

=

p

S

(đvdt)

quatOAB (

)

n 360

120 360

R 3

2

2

2

=

S

-

S

=

p

-

R

=

(4

p

-

3 3)

S

(đvdt)

vienphanAmB

AOB

(

)

quatOAB (

)

R 3

3 4

R 12

(đvdt)

S

R1

1

2 R . p= 1

O

R2

S

2

2 R . p= 2

S

vanhkhan

S = -1

S 2

)

R (đvdt)

-2 R ( p= 1

2 2

A

Bài 5:

m

Bài 6:

I

3

a

a

3

OA

=

AH

=

.

=

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

O

2 3

2 3

2

3

C

B

0

H

O nằm trên cung chứa góc

120 dựng trên đoạn AB

Ta có:

25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

OA

a

3

IO AI AO

=

=

=

 DIAO đều có

3

S

S = ( 6

)

hoathi

vienphanAmO

S

=

S

-

S

)

vienphanAmO (

quatAIO

AIO

a

a

3

3

2

p

3

2

a

p

2

3

3

2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ç ç ç è

æ ç ç ç ç ç è

3 3

p

(2

3 3)

-

=

=

-

=

-

6

2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 4

a 3 6

4

a 36

2

=

(2

p

-

3 3)

S

nên có số đo  = 060

hoathi

a 6

Suy ra: (đvdt)

B

DOAB có  = 090

Bài 7:

OB

=

OA R = ) (

1 2

;

BOA

060 ;

AB R =

30

Nên DOBA là nửa tam giác đều

OBA

= D

BOC

0120

OCA nên  =

Suy ra:  =

=

=

S

2

R R .

3

= 2 R

3

Mà D

BOAC

D= S 2

OBA

OB AB . 2

2

p

p

=

=

S

R

Và (đvdt)

quatOBC

120 360

R 3

2

2

2

=

-

=

3

-

p

=

(3 3

-

p

)

S

S

S

R

Mặt khác: (đvdt)

)

cantim

OBAC

quatOBC (

R 3

R 3

Do đó: (đvdt)

AB

=

a AM 2 ,

=

Bài 8:

x 2

=

MB

a -2(

Đặt

x )

B

A

M

Suy ra:

Gọi S là diện tích hình giới hạn bởi ba nửa đường

26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

,

,

S S S là diện tích các nửa đường tròn

1

2

3

;

;

AM MB AB .

tròn trên;

2

2

a (

x

2 )

+

=

-

+

p

p

p

S

S (

S

)

có đường kính lần lượt là

= - S 3

1

2

a 2

x 2

- 2

é ê ê ê ë

ù ú ú ú û

2

2

2

2

- - +

-

a

a

x

2 ax

x

2

= -

-

=

( x p

ax )

2

2

2

= -

p

-

+

p

£

p

Ta có:

a 2

a 4

a 4

æ ç x ç ç çè

2 ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

x

M là trung điểm AB .

(không đổi)

a 2

2

Dấu “=” xảy ra khi = 

a 4

Diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn lớn nhất là p khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .

d

C

B

A

Bài 9:

=AC OD

R2 D

2

2

R1 O

¢

OD

OO

=

-

2 ¢ O D

O'

=

+

2 )

-

-

2 )

=

R ( 1

R 2

R ( 2

R 1

R R 4 1 2

AC

=

2

Dễ thấy OACD là hình chữ nhật do đó

R R 1 2

Suy ra:

AB

=

2

=

2

+

;

R R AC AB BC =

R R BC ; 3

1

2

3

1

1

1

2

2

2



=

+



=

+

R R 1 2

R R 1 3

R R 2 3

R 3

R 2

R 1

1

min

min

max





S S 1 2

R R 1 2

R R 1 2

1

1

1

=

+

=

Chứng minh tương tự ta cũng có:

R 3

R 2

R 1

không đổi Mà tổng

27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

1

1

1

1

1



=

=

max

.

2

R 1

R 2

R 1

R 2

R 3

=

R  = 1

R 2

R . 34

16 R (đvdt).

Do đó tích

3

2S S là p 2

1

Vậy giá trị nhỏ nhất của

)

Bài 10:

O cm không có lỗ kim châm nào.

)

O cm có mép giấy 1cm.

Ta cần chứng minh được hình tròn ( ;1

)

(1) Tâm ( )O của hình tròn ( ;1

O cm cách mọi lỗ kim châm không nhỏ hơn 1cm.

¢( O

; 99

)

(2) Tâm ( )O của hình tròn ( ;1

cm có diện tích là:

99

=2 p

9801 ( p

2 cm )

Từ (1)  tâm ( )O thuộc hình tròn

9800.1 .

=2 p

9800 ( p

2 cm )

Từ (2)  tâm ( )O phải ở ngoài 9800 hình tròn có tâm là 9800 lỗ kim chân và có bán kính là 1cm, diện

9801

>

9800

tích là:

Suy ra trong tờ giấy vẫn còn chỗ trống để chọn được tâm ( )O .

Ta có đpcm.

---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------

28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com