CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
2
2
2
2
A.LÝ THUYẾT
CH
BH
AC
AB
2
2
2
2
tại O . Chứng minh
CD
AD
BC
AB
nhọn có đường cao AH . Chứng minh
1.
2
. . 2
A A
AM MC
AB BC
2
, kẻ BM CA . Chứng minh Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại B.DẠNG BÀI MINH HỌA I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Chứng minh hệ thức Phương pháp giải Sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng minh. Bài 1. Cho ABC Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD 090
AE 1 AE
b) ; Bài 4 . Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) ; EK EG . 1 1 AK AG
AB a CD b ,
. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Bài 5. Cho hình thang ABCD có
.
1 1 1 OE OG a
1 b
song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng
15 cm,
12 cm
AH
AB
BH BC CH AC ,
,
,
Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc Phương pháp giải Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn. Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn. Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm. Bài 1. Cho ABC . Tính
AC E AC
DE
AB
9 cm,
AC
17 cm,
CD
15 cm.
Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ . Biết vuông tại A có đường cao AH , có
AD BC DE . ,
,
a) Tính
S
,
S
ABCD
ABC
. b) Tính
AB AC , .
30 cm
AB
, AC BC
3 4
vuông tại A , có . Tính Bài 3. Cho ABC
Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AB c BC a ,
.
a) Tính cạnh hình thoi biết
AB c BC a ,
.
BD
2ac a c
b) Chứng minh với
AD m DC n DE d
,
,
.
c) Tính độ dài AB, BC, biết
PQ BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và
/ /
Bài 5. Cho tam giác ABC,
. Tính độ dài của BC.
BE . Trên tia đối của tia CD
3
2 CF . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.
QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết PQ a FE b ,
31 .
Tính chiều dài CD của cây
37 ,
Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho lấy điểm F sao cho Dạng 3. Toán thực tế Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn. Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là
cầu. Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây
sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2, 5 m . Tính chiều cao cây.
800 m
AC
. Quán Game ở tại vị trí C , biết
k
và . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 m/h
Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 mk và AB AC Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A
B
C
H
2
2
2
2
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?
=
=
=
AH
AH
AH
BH CH .
AB BH .
AB AC .
CH BC .
=
AH . B. . D. . C. .
A
b
c
h
c'
b'
C
B
H
a
2
¢
¢
a h .
=
b c¢ .
b c¢= .
h
=
b c¢ .
A. Câu 2: "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng .. ". Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là: A. Tích hai cạnh góc vuông. B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông. D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông. Câu 3: Cho tam ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
= + .
1 2 h
1 2 a
1 2 b
. B. C. . D. . A. 2 b
A
B
C
H
2
2
AB
2
2
2
AH
=
AB AC .
=
AH BC .
AB
=
BH BC .
AC
=
CH BC .
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
AC 2
+ 2 AB AC .
,x y trong hình vẽ sau:
A. . B. . C. .D.
Câu 5: Tìm
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A
12
y
x
C
B
H
20
x
=
7, 2;
y
=
11, 8
x
y= 7;
x
=
7, 2;
y
=
12, 8
x
=
7, 2;
y
= . 12
= . 12
,x y trong hình vẽ sau:
. B. C. . D. A.
A
10
y
x
C
B
H
16
x
=
6, 5;
y
=
9, 5
x
=
6, 25;
y
=
9, 75
x
=
9, 25;
y
=
6, 75
x
y= 6;
Câu 6: Tính
= . 10
,x y trong hình vẽ sau:
A. . B. .C. . D.
A
8
10
x
y
C
B
H
x
=
3, 6;
y
=
6, 4
y
=
3, 6;
x
=
6, 4
x
y= 4;
x
=
2, 8;
y
=
7, 2
Câu 7: Tìm
= . 6
,x y trong hình vẽ sau:
A. . B. . C. D. .
A
4
3
x
y
C
B
H
x
=
3, 2;
y
=
1, 8
x
=
1, 8;
y
=
3, 2
x
y= 2;
x
y= 3;
Câu 8: Tính
= . 3
= . 2
,x y trong hình vẽ sau:
D. . B. . C. A.
Câu 9: Tìm
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A
7
5
x
C
B
H
y
x
y= 4;
x
=
2, 8;
y
=
7, 2
x
=
;
y
=
74
y
=
;
x
=
74
= . 6
35 74 74
35 74 74
AB
=
5;
AC
12
BC
=
y AH x
;
= . Đặt
= .
. B. . C. D. . A.
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , chiều cao AH và
,x y .
x
y= 4;
=
119
y
=
;
x
13
x
=
;
y
x
=
4, 8;
y
13
Tính
= . C.
= . D.
= . 13
60 13
60 13
AB AC =
:
3 : 4
,A AH
BC^
A. . B.
5
15 = BH =
cm 5, 4
4, 4
BH =
5, 2
( H thuộc BC ). Cho biết và Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại
BC A.
BH = .
AB AC =
:
4 : 5
,A AH
BC^
. Tính độ dài đoạn thẳng BH . . BH = B. . C. . D.
BC
=
41
cm
( H thuộc BC ). Cho biết và Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại
4
CH »
2, 5
CH »
3, 8
CH »
3, 9
. Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
CH » .
. B. C. . D. . A.
A
13
12
x
C
B
H
145
x =
x =
x =
13
14
12
Câu 13: Tính x trong hình vẽ sau:
C. D. B. . . . .
A
20
15
x
C
B
H
A. x = Câu 14: Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
8, 80
x »
8, 81
x »
8, 82
x »
8, 83
AB AC =
:
3 : 4
AH
cm= 6
x » D. . . B. . C. . A.
8
10
12
và .
CH = .
CH = .
CH = .
AH
=
42
cm
CH = . AB AC =
:
3 : 7
B. C. và .
Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết: Tính độ dài các đoạn thẳng CH . A. D. 6 Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết Tính độ dài các đoạn thẳng CH . 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
CH =
49
96
CH =
98
CH =
89
A
y
x
4
C
1
B
H
x
=
2 5;
y
=
5
x
=
5;
y
=
3 5
x
=
5;
y
=
2 5
x
=
2 5;
y
=
2 5
B. . C. . D. . . A. CH = Câu 17: Tính ,x y trong hình vẽ sau:
,x y trong hình vẽ sau:
. B. . C. . D. . A.
A
y
x
5
C
2
B
H
x
=
14;
y
=
35
x
=
35;
y
=
14
x
=
24;
y
=
3 5
x
=
6;
y
=
15
Câu 18: Tính
A. . B. . C. . D. .
M
x
x
6
P
N
D
8
x =
x =
6 2
x =
8 2
x =
8 3
Câu 19: Tính x trong hình vẽ sau:
2
A. . . B. . C. . D.
M
x
x
8
P
N
D
x =
6 2
6 3
x =
82
6
Câu 20: Tính x trong hình vẽ sau:
x = .
=
12
cm
25
=
20
BC < . cm 14
D. . B. C. . .
BC
cm
16
15
=
=
=
BC
cm
17
=
DC .
, cm . Tính độ dài BC , biết . BC
cm B.
C. D. . .
DC
cm
cm
20
10
=
=
A. x = Câu 21: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D . Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết AD A. BC Câu 22: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D . Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết AD . Tính độ dài BC . ,
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BC
=
15
cm
BC
=
3 61
cm
BC
=
2 61
cm
BC
=
61
cm
AB AC =
:
5 : 12
+ AB AC
=
34
cm
. B. . C. . D. . A.
AC
AB
AB
12;
=
=
=
5;
24;
AC
=
10;
BC
và .
= . 13
= . 26
AB
=
10;
AC
=
24;
BC
AB
=
26;
AC
=
12;
BC
= . 26
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết Câu 23: Tính các cạnh của tam giác ABC . A. BC B.
= . 24
,
,
AH BH CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
D. C.
AH
»
9, 23;
BH
»
7, 69;
CH
»
18, 31
AH
»
9, 3;
BH
»
7, 7;
CH
»
18, 3
Câu 24: Tính độ dài các đoạn
AH
»
8, 23;
BH
»
8, 69;
CH
»
17, 31
AH
»
7, 69;
BH
»
8, 23;
CH
»
17, 77
. B. . A.
AB AC =
:
3 : 4
+ AB AC
=
21
cm
. D. . C.
AC
AB
AB
10;
=
=
=
9;
9;
AC
=
12;
BC
và .
= . 15
= . 15
AB
=
8;
AC
=
10;
BC
AB
=
8;
AC
=
12;
BC
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết Câu 25: Tính các cạnh của tam giác ABC . A. BC B.
= . 15
= . 15
,
,
AH BH CH .
C. D.
BH
=
7, 2;
AH
=
5, 4;
CH
=
9, 6
CH
=
7, 2;
BH
=
5, 4;
AH
=
9, 6
Câu 26: Tính độ dài các đoạn
AH
=
7, 2;
BH
=
5, 4;
CH
AH
=
7, 2;
BH
=
5, 4;
CH
=
9, 6
= . 9
. B. . A.
D. . C.
,AB AC (hình vẽ).
A
E
D
C
N
B
M
H
2
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên
2
AB AC
2
2
2
2
=
=
=
=
Câu 27: Tỉ số bằng với tỉ số nào sau đây?
2
2
2
2
HC HB
HB HC
HA HB
HC HA
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
3
. B. . C. . D. . A.
3
AB AC
3
3
3
3
=
=
=
=
bằng với tỉ số nào sau đây? Câu 28: Tỉ số
3
3
3
3
BD EC
AD EC
BD ED
EC BD
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC cm CH ,
BH
=
9
=
16
cm
. B. . C. . . D. A.
,D E lần lượt
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết . Gọi
,M N . (hình vẽ).
A
E
D
C
N
B
M
H
là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
cm= 8
DE
DE
cm
12
=
DE
=
15
cm
DE
=
16
cm
MN
MN
cm
15
=
13
cm
MN
=
12, 5
cm
MN
=
12
cm
Câu 29: Tính độ dài đoạn thẳng DE . A. . B. . C. . D. .
BH
=
cm CH 9 ,
=
16
cm
Câu 30: Tính độ dài đoạn MN ? = A. . B. . C. . D. .
,D E lần lượt là
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết . Gọi
,M N . (hình vẽ).
A
E
D
C
N
B
M
H
2
2
2
2
150
cm
57
=
=
cm
S
S
S
=
37, 5
cm
S
=
75
cm
hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại
DENM
DENM
DENM
DENM
cm= 8
cm= 5
DE
DE
DE
cm= 7
DE
cm= 6
Câu 31: Tính diện tích tứ giác DENM . A. . B. . C. . D. .
Câu 32: Tính độ dài đoạn thẳng DE . A. . B. . C. . D. .
MN
=
BC
MN
=
BC
MN
=
BC
MN
=
BC
Câu 33: Kết luận nào sau đây là đúng?
1 3
1 2
3 4
2 3
BH
=
cm CH 4 ,
=
cm 9
. B. . C. . D. . A.
,D E lần lượt là
A
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết . Gọi
,M N . (hình vẽ).
E
D
C
N
B
M
H
2
2
2
20, 5
19, 5
cm
=
=
S
S
cm
S
=
19
cm
S
=
21, 5
cm
hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại
DENM
DENM
DENM
DENM
Câu 34: Tính diện tích tứ giác DENM . 2 A. . B. . C. . D. .
,M N theo thứ tự là hình chiếu của H lên
,CD DE . (hình
Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH . Gọi
vẽ)
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C
N
M
D
E
H
.CD CM bằng:
.CE CN .
.CH CN .
.CD CN .
Câu 35: Tính A. .CH CE . B. C. D.
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AB
=
cm AC 6 ,
=
cm 8
,BH AH .
AB
=
12
cm AC ,
=
cm BC 5 ,
=
13
cm
. Tính III.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, biết rằng
, đường cao AH . Tính AH . Bài 2: Cho tam giác ABC có
,D E lần lượt là hình chiếu của H trên
,AB AC .
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC . AH là đường cao,
.
.
= AD AB AE AC
Chứng minh rằng:
,N M trên các đường thẳng
= AMB ANC
=
b) ADE ABC =
.
=
+
a) Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao. Các điểm ,BD CE sao cho 090 Chứng minh rằng tam giác AMN cân. Bài 5: Cho hình vuông ABCD , một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB . Gọi F là giao điểm của DE và BC .
2
2
AB
1 DE cm= 4
BC
cm= 3
1 DF . C là điểm di động sao cho
Chứng minh rằng:
. Vẽ tam giác AMN vuông tại
1 2 DA Bài 6:Cho đoạn thẳng
+
A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để
2
2
1 AM
1 AN
A =
0120
đạt giá trị lớn nhất.
015 và cắt cạnh BC tại M , cắt
=
+
. Tia Ax tạo với tia BAx bằng Bài 7: Cho hình thoi ABCD với đường CD tại N .
2
2
2
1 AM
4 AB 3
= BH x HC
,
Chứng minh rằng:
1 AN Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao. Cho biết
= . y
x
y
xy
£
+ 2
Chứng minh rằng:
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
HƯỚNG DẪN GIẢI
AB
AC
BH
CH
nhọn có đường cao AH . Chứng minh .
,H ta có:
2
2
I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI Dạng 1 Chứng minh đẳng thức hình học Bài 1. Cho ABC Lời giải Xét ABH
AB
AH
BH
.
,H ta có:
2
2
2
Xét ACH
AC
AH
CH
. vuông tại 2 1 vuông tại 2
2
2
2
2
2
ta được: Lấy 1
AB
AC
BH
CH
2
2
2
2
(đpcm).
AB
CD
AD
BC
tại O . Chứng minh .
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD Lời giải
,
,
2
2
2
2
2
AD OA OD 2
2
2
2
2
2
AB OA OB BC OB OC
1 2 3 4
CD OC OD 2
Lần lượt xét các tam giác vuông AOD AOB BOC DOC ta được: ,
4 3
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AB CD 2 AD BC
OA OB OC OD OA OB OC OD
2
2
2
AB
CD
AD
BC
2.
2
2
1.
Lấy , ta được:
A A
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại , kẻ BM CA . Chứng minh
090
AM MC
AB BC
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
.BC Lại có ABC
AH .A và BMC
090
AHC
.
Lời giải Gọi H là trung điểm cân tại vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.Xét AHC
BMC g g
AHC BMC BCM
chung
2
có:
BC
2
MC AC .
1
BC MC AC HC
2 MC BC
BC AC 2
2
2
1
2
1
.
AM MC
AB BC
AC MC MC
AB BC
2
2
Xét:
AC MC
AB BC
AC MC
2. AB MC AC .
2.
2
2
(Thay 1 vào)
AC
AB
AC
2 2AB AC
2
(luôn đúng) đpcm.
AE 1 AE
; b) Bài 4.Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) ; . EK EG 1 1 AK AG
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Lời giải
AD BK / /
EK AE
EB ED
(1) a) Vì
AB DG / /
2
(2) Vì
AE
EK EG .
2
Từ (1) và (2) có:
AE
. EK EG
Vậy
AD BK / /
AB DG / /
AE EB EG ED EB EK AE AE ED EG AE DE AK DB
b) Vì ;
1
AE BE AG BD 1 1 1 AK AG AE
nên
Vậy .
BD AE DE BE AE AK AG BD BD BD 1 1 1 AK AG AE , AB a AD b
c) Đặt
AB CG / /
AD CK / /
KC CG KC AD DG b
BK a
b DG
.
BK DG a b .
BK a AB KC CG CG (hằng số).
Vì ; nên
Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Bài 5. Cho hình thang ABCD có
, AB a CD b
. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng
.
1 1 1 OE OG a
1 b
song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng
Lời giải 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
/ /OE AB nên
/ /OE CD nên
(theo hệ quả định lý Ta-lét) (1). Vì
OE DE AB DA AE OE DC DA
OE DE DA a AE OE DA b
(theo hệ quả định lý Ta- Vì
lét) (2).
OE
1
1
OE OE DE AE DA DA a
b
1 a
1 b
1 a
Từ (1) và (2) ta được
1 1 b OE 1 a
Tương tự có:
.
1 1 b OG 1 1 1 1 b OE OG a
Vậy
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AB
15 cm,
AH
12 cm
BH BC CH AC ,
,
,
. Tính vuông tại A có đường cao AH , có
2
2
2
2
2
2
2
2
1 400
1 15
1 12
1 AC 1 AB .
Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài 1. Cho ABC Lời giải
2
2
2
2 15
2 20
625
BC BC
AB 25 cm
AC
2
2
Xét ABC 1 AH 1 AC AC vuông tại A , có đường cao AH . Ta có: 1 AB 1 AH 20 cm
AB
BH BC .
BH
9 cm
AB BC 2
2
.
AC
CH CB .
CH
16 cm
.
. Biết
AC CB Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ
DE
AC E AC
AB
9 cm,
AC
17 cm,
CD
15 cm.
215 25 220 25
AD BC DE . ,
,
a) Tính
S
,
S
ABCD
ABC
. b) Tính
Lời giải
vuông tại D , có đường cao
2
2
17
2 15
64
AD
AD AC DC 8 cm
.
a. Xét ADC DE , ta được: 2 2
2
2
2
2
1 15
289 14400
1 DE
1 2 8
1 DC
cm
DE
.
.
1 AD 120 17 BH DC H DC
Từ B kẻ .
AD BH
.
( ABCD là hình thang)
.
Ta lại có: AB DH và 090 BAD ABDH
AB DH AD BH
. là hình chữ nhật. 9 cm 8 cm
2
2
2
BC
BH
Xét BHC
HC
DC DH
2
64 36 100
vuông tại H , ta được: 28
BC
10 cm
.
b. Ta có:
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
.
S
ABCD
92 cm
2
AB DC AD 2
.
AD DC .
ADCS
60 cm
2
S
S
1 2
8.15 2
92 60
ABC
ABCD
ADC
.
ABCS
.
32 cm
S 2
AB AC , .
AB
AC BC ,
30 cm
3 4
vuông tại A , có . Tính Bài 3. Cho ABC
Lời giải
x Xét 0.
cm
cm
AC x
AB
3 x 4
với Gọi
ABC
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
x
900
x 9 16
2
576
24
vuông tại A , có
x Vậy
AC
x 24 cm ,
18 cm
. . AB
, AB c BC a
.
BD
Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC). a) Tính cạnh hình thoi biết
, AB c BC a
.
2ac a c
b) Chứng minh với
AD m DC n DE d
,
,
.
c) Tính độ dài AB, BC, biết
E Vì D / /
BC nên
Lời giải a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.
ED AE BC AB
c
x
cx
x
cx
ac ax
a c
x a
c
ac
x
a c x
ac a c
(hệ quả định lý Ta-lét)
x
ac a c
Vậy .
BKA BAK
2
(tính chất góc ngoài tam giác). . b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK BA Ta có tam giác ABK cân tại B nên 1 ABC
ABC
/ / BD AK
EBD DBF
1 Mà AKB DBF 2
BD CB AK CK
(hệ quả định lý Ta-lét)
CB BD AK BC BK a c
(1)
BD
.2
c
(định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).
a Trong tam giác ABK có: AK AB BK c c c 2 a a c
2 ac a c
Từ (1) và (2) có:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BD
2ac a c
/ /
ED BC nên
. Vậy
(hệ quả định lý Ta-lét) c) Vì BC d BC m n d m n m m
ED AD BC AC d m n n
AB Tương tự có
BC và AB . Vậy d m n m d m n n
PQ BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và
/ /
Bài 5. Cho tam giác ABC,
. Tính độ dài của BC.
QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết , PQ a FE b
GE GF
1 1 GE GF
1 a
GE GF
2
EF
b
1 x ax a x
ax a x 2 ax a x
2 ax a x
ab bx
2
ax
0
x
2
ab a b
Lời giải Đặt BC x . Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có:
BC
2
ab a b
2
Vậy .
BE
/ /
AB CG nên
Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E BE . Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho sao cho CF . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC. 3 Lời giải Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.
BE FG CG CF
2.6 12
2
AB
AB CG EC BC BE
2 6 2 12 3 9
1 2
CG
/ /
AH CG nên
(hệ quả định lý Ta-lét) Vì
BH CF FG AB
BH BE
2
6.
BH
Vì
3 9 có:
BE BH
90
BH 3 9 6 và BCH Xét BAE theo treân ABE CBH tính chaát hình vuoâng
AB BC
.
90
BEA BHC
BCH c g c .
AMC MAH AHM MAH AEB
BAE Vậy 90 AMC
.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3: Toán thực tế: Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn. Lời giải
BAC .
BCA
tan
BCA
AB AC
.tan
7,5 tan 42
6, 75
BCA
cm
AB AC
Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC. Ta có: 90 Theo giả thiết, ta có 42 . Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
31 .
Tính chiều dài CD của cây
37 ,
Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm). Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là
BD AB BAD
BD AB
.tan
920.tan 37
920.0, 754
693, 68
m
cầu. Lời giải Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu. Ta có: tan BAD
BC AB
BC AB
.tan
920.tan 31
920.0, 6 552
BAC
m
Mặt khác: tan BAC
693, 68 552 141, 68
m
Vậy chiều dài của cây cầu là: CD BD BC .
Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo
được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2, 5 m . Tính chiều cao cây.
Lời giải
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
.AB Đặt
x
m
với . Gọi chiều dài dây là AC và chiều cao cây là AB x 0, 5
AC x
.
2
2
2
AC
BC
AB
2
2
2 2,5
x
0,5
x
x
0, 25
6, 25
x
2
Do khi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn 0, 5 m 0, 5 m
vuông tại B , ta được: 2
Xét ABC x 6x . Vậy cây cao 6 m .
800 m
. Quán Game ở tại vị trí C , biết AC
k
và . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 m/h
2
2
2
2000
Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 mk và AB AC Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An. Lời giải
800 m = 0,8 Km. Xét ABC 2 2 BC AB BC
2154 m 2,154 Km
AC
. vuông tại A , ta có: 800
Thời gian An đi từ nhà đến quán Game là
0,16 h
t 1
0,8 5
AC v 1
.
t
h
Thời gian Bảo đi từ nhà đến quán Game là
2
BC v 2
2,154 v 2
.
0,16
t 1
t 2
Do An và Bảo đến cùng lúc nên
2,154 v 2 13,5 Km/h
v 2
Vậy Bảo sẽ đi với vận tốc 13, 5 Km/h.
.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
=
2 HA
HB HC .
HB HC .
2 HA
=
.
bc= nên phương án C là sai.
.
1
1
1
2
2
=
+
AC
=
CH BC AB
.
;
=
BH BC AB AC BC AH .
=
.
;
.
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu 1. Lời giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức Đáp án cần chọn là B. 2. Lời giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức Hay "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền". Đáp án cần chọn là B. 3. Lời giải: Nhận thấy ah Đáp án cần chọn là C. 4. Lời giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có các hệ thức
2
2
2
AH
AB
AC
2
2
AB
2
AH
=
=
+
và .
AC 2
2
2
+ 2 . AB AC
1 AB
1 AC
là sai. Nhận thấy phương án D:
2
2
CH BC BH
=
-
= - 20
7, 2
=
12, 8
7, 2
AB
=
. BH BC
BH
=
=
=
Đáp án cần chọn là D. 5. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
144 20
AB BC
x
=
7, 2;
y
=
12, 8
.
. Vậy
2
2
CH BC BH
-
=
= - 16
6, 25
=
9, 75
6, 25
AB
=
. BH BC
BH
=
=
=
Đáp án cần chọn là C. 6. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
100 16
AB BC
x
=
6, 25;
y
=
9, 75
.
. Vậy
2
2
2
2
= 100
AC
BC
BC
BC
=
+
= . 10
Đáp án cần chọn là B. 7. Lời giải:
2
2
2
x =
3, 6
3, 6
AB
=
. BH BC
BH
=
=
=
Theo định lý Pytago ta có AB Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
6 10
CH BC BH
-
=
= - 10
3, 6
=
y =
6, 4
x
=
3, 6;
y
=
6, 4
AB BC 6, 4
hay .
hay . Vậy .
2
2
2
2
= 25
AC
BC
BC
BC
=
+
Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải:
2
2
2
x =
1, 8
AB
=
BH
=
=
=
BH BC .
1, 8
Theo định lý Pytago ta có = . 5 AB Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
AB BC
3 5 y =
=
=
-
1, 8
3, 2
CH BC BH
hay .
hay
. 3, 2 = - 5 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
=
1, 8;
y
=
3, 2
. Vậy
2
2
2
2
= 74
AC
BC
BC
BC
=
+
74
Đáp án cần chọn là B. 9. Lời giải:
.
5.7
.
.
= AH BC AB AC
AH
=
=
=
x
=
;
y
=
74
Theo định lý Pytago ta có AB = Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
35 74 74
. AB AC BC
35 74 74
74
. Vậy .
A
12
5
x
C
B
H
y
2
2
2
2
= 169
AC
BC
BC
BC
=
+
Đáp án cần chọn là A. 10. Lời giải:
= . 13
= AH BC AB AC
.
.
AH
=
=
x
=
;
y
=
Theo định lý Pytago ta có AB Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
= . 13
. AB AC BC
5.12 13
60 13
60 13
. Vậy
A
C
B
H
2
2
2
2
2
2
Đáp án cần chọn là D. 11. Lời giải:
AC
AB AC :
=
3 : 4
=
=
=
=
AB 3
AC 4
AB 9
AC 16
AB 9
+ +
AC 16
+ 25
2
=
=
= 9
BC 25
225 25 2
2
2
2
2
+
AB
AC
=
BC
AB
+
AC
=
225
AB Ta có:
2
2
= 9
= 9
AC
AB
=
9;
= . 12
) (Vì theo định lý Pytago ta có
AB 9
AC 16 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
2
2
BH =
5, 4
5, 4
AB
=
. BH BC
BH
=
=
=
Nên
81 15
AB BC
. Vậy .
Đáp án cần chọn là A. 12. Lời giải:
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A
C
B
H
AB AC =
:
4 : 5
2
2
2
2
=
=
=
=
=
1
Ta có
AB 4
AC 5
AB 16
AC 25
AB 16
AC+ + 25
41 41
2
2
2
2
2
AB
+
AC
=
BC
AB
+
AC
=
2 ( 41)
= ) 41
2
2
2
AB
AB
=
AC
= 1
= 16
4;
= 1
(vì theo định lý Pytago ta có:
= 5
AB 16
AC 25
Nên
2
25
2
=
AC
=
CH BC .
CH
=
»
3, 9
CH »
3, 9
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
AC BC
41
. Vậy .
1
1
1
AB AC .
15.20
x =
12
+
=
AH
=
=
=
12
Đáp án cần chọn là D. 13. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
2
2
2
2
2
AH
AB
AC
AB
+
AC
2 15
+
2 20
. Vậy .
2
2
2
1
1
1
AB
2
+
=
AH
=
=
2
2
2
2
AC 2
2
2
1 AH
+ 2 . AB AC
AC
AB
2 AB AC . +
AH
AB
AC
AB AC .
12.13
x »
8, 82
=
»
8, 82
AH
=
Đáp án cần chọn là C. 14. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có:
2
2
+
AC
2 12
+
2 13
. Vậy .
AB Đáp án cần chọn là B. 15. Lời giải:
A
C
B
H
AB AC =
:
3 : 4
AB
=
.3 ,
a AC
=
a a 4 (
> 0)
1
1
1
1
1
25
)
+
= a
TM (
=
+
Ta có , đặt
2
2
2
2
2
2
1 = 36
1 = 36
5 2
9 a
16 a
144 a
AB
AC
AB
=
7, 5;
AC
AH = . 10
Theo hệ thức lượng
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có:
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
8
=
-
AC
AH
100
-
36
8
= . Vậy
CH = .
CH = Đáp án cần chọn là A. 16. Lời giải:
A
C
B
H
AB AC =
:
3 : 7
AB
=
a AC 3 ;
= ( 7 a
a > 0)
=
+
=
+
=
, đặt Ta có
2
2
2
2
2
2
1 1764
1 AH
1 AB
1 AC
1 2 42
1 a 9
1 a 49
58 a 441
2
a 441
=
102312
= a
2 58 (
TM
)
AB
=
6 58;
AC
=
14 58
Theo hệ thức lượng
2
2
CH =
98
CH
=
AC
-
AH
=
2 (14 58)
-
2 42
98
= . Vậy
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có:
.
2
2
AH
= 1.4
BH CH .
AH
=
;
Đáp án cần chọn là C. 17. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
= . 2 AHB AHC ta có:
2
2
2
x
=
5;
y
=
2 5
AB
=
AH
+
2 HB AC ;
=
AH
+
HC
=
2 5
AH Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
. Vậy .
2
2
AH
= 2.5
BH CH .
AH
=
Đáp án cần chọn là C. 18. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
10 ;
.
= AHB AHC ta có:
2
2
AB
=
AH
+
HB
=
10
+ = 4
14
AH Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
2
2
AC
=
AH
+
HC
=
10
+ = 25
35
x
=
14;
y
=
35
;
. Vậy
1
1
1
=
+
Đáp án cần chọn là A. 19. Lời giải:
2
2
2
MD
MN
MP
2
+ = = =
8 2
128
x
x
8 2
x =
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
1 = 64
1 2 x
1 2 x
2 2 x
. Vậy .
1 64 Đáp án cần chọn là B. 20. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
2
+ = = =
72
x
x
6 2
+
=
x =
6 2
2
2
2
1 = 36
1 36
1 2 x
1 2 x
1 MP
1 MN
. Vậy .
2 1 2 x MD 22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
B
A
C
D
E
CD^
Đáp án cần chọn là A. 21. Lời giải:
BE
=
AD
=
12
cm
A D E
90
= = = ) nên
DE
25
=
< < x
EC
25)
(0
=
x
tại E Kẻ BE
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì Đặt - . x thì
2
=
ED EC .
x
(25
- = - 144
x
x
)
x 25
+
144
BE
= 0
2 - x
x 16
= - - x x (
16)
x 9(
-
16)
- + 9 x
144
= 0
16
- ( x
x 16)(
9)
0
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có: 2
9
0 é =ê x - = ê =êë x
2
2
16
BC
=
BE
+
EC
=
2 12
+
2 16
20
(thỏa mãn)
EC = , theo định lý Pytago ta có:
= (loại).
2
2
9
=
BE
+
EC
=
2 12
2 9
BC
+ = (nhận). 15
EC = , theo định lý Pytago ta có:
=
15
cm
BC
Với
.
= BE AD
=
10
cm
A D E
90
tại E
= = = ) nên
DE
=
20
EC
=
x
(0
< < x
25)
Với Vậy Đáp án cần chọn là A. 22. Lời giải: Kẻ BE CD^ Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì
- . x
thì Đặt
2
BE
=
ED EC .
x
(20
- = x )
100
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong
- ( x
2 10)
= =
0
x
10(
tm
)
2 - x
x 20
+
100
=
0
2
2
16
BC
=
BE
+
EC
=
2 12
+
2 10
=
2 61
tam giác vuông BCD ta có:
EC = , theo định lý Pytago ta có:
BC
=
2 61
cm
Với .
. Vậy
A
C
B
H
AB AC =
:
5 : 12
Đáp án cần chọn là B. 23. Lời giải:
Theo giả thiết: .
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
=
=
=
=
2
AB
=
5.2
=
10 (
cm AC );
=
2.12
=
24 (
cm
)
AB 5
AC 12
AB AC+ +
5
34 17
12 Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:
2
2
2
BC
=
26
cm
BC
=
AB
+
AC
=
2 10
+
2 24
=
676
. Do đó . Suy ra
, suy ra .
A
C
B
H
AB
=
10;
AC
=
24;
BC
Đáp án cần chọn là C. 24. Lời giải:
= . 26
= AH BC AB AC
.
.
AH
=
»
9, 23
=
Theo câu trước ta có
10.24 26
. AB AC BC 2
2
2
CH BC BH
=
-
= - 26
7, 69
=
18, 31
AB
BH BC .
BH
7, 69
=
=
=
=
»
;
AB BC 7, 69;
10 13 18, 31
AH
»
9, 23;
BH
»
CH
»
100 13 .
. .
Vậy
A
C
B
H
AB AC =
:
3 : 4
Đáp án cần chọn là A. 25. Lời giải:
=
=
=
3
AB
=
3.3
=
9 (
cm AC );
=
3.4
=
12 (
cm
)
Theo giả thiết:
AB 3
AC 4
AB AC+ +
3
4 Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:
2
2
2
BC
=
15
cm
BC
=
AB
+
AC
2 = + 9
2 12
=
225
. Do đó . Suy ra
, suy ra .
A
C
B
H
AB
=
9;
AC
=
12;
BC
=
15
= AH BC AB AC
.
.
AH
=
=
=
7, 2
Đáp án cần chọn là B. 26. Lời giải:
12.9 15
Ta có . AB AC BC
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
CH BC BH
-
=
= - 15
5, 4
=
9, 6
AB
=
BH
=
=
=
BH BC .
5, 4
AB BC CH
81 15 9, 6
AH
=
7, 2;
BH
=
5, 4;
=
. Vậy
2
2
AB
=
BH BC AC
.
;
=
CH BC .
Đáp án cần chọn là B. 27. Lời giải:
2
=
=
Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên
2
. BH BC CH BC .
HB HC
AB AC
Nên
2
2
BH
=
BD AB .
BD
=
Đáp án cần chọn là B. 28. Lời giải:
BH AB
2
2
HC
=
AC EC .
EC
=
Tam giác vuông AHB có
HC AC
2
2
2
AB
:
=
=
=
Tam giác vuông AHC có
2
2
HB HC
BD HB HC AB EC
2 HB AC . 2 AB
AC
AC
HC
3
=
=
Từ đó mà theo câu trước thì nên
3
BD EC
AB AC
4 AB AC . 4 AB AC
AH=
A E D
90
= = = nên DE
2
AH
HB HC .
=
9.16
= 144
AH
= 12
cm
.
AED HAE =
HAE ABC =
NEC AED+
.
BD EC Đáp án cần chọn là A. 29. Lời giải: Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì Xét ABCD vuông tại A có = Nên = DE 12 Đáp án cần chọn là A. 30. Lời giải: + Ta có: 90
+ NEC ABC
+ ACB ABC
ACB NEC=
= mà 90
= nên
(do AEHD là hình chữ nhật) và (cùng phụ
= mà ACB ) nên 90 EN
=
hay NECD cân tại N
= NEC NCE
+ NCE HEN
+ NEC NHE
= mà 90
= . Lại có 90
= nên
NH=
(1).
NC=
MN MH NH
+
=
=
HB
+
HC
=
.9
+
.16
=
12, 5
cm
hay NEHD cân tại N hay NE (2). với NC + 90 NEC HEN+ NEH NHE = Từ (1) và (2) suy ra NH
1 2
1 2
1 2
1 2
nên Tương tự ta có MH MB=
DM DE EN DE ,
^
^
DM EN D E
= = 90
;
Đáp án cần chọn là C. 31. Lời giải:
DM
=
=
4, 5;
EN
=
=
8;
DE
= 12
nên DENM là hình thang vuông Vì
BH 2
CH 2
).
+
(4, 5
8).12
2
75
cm
S
=
=
=
Theo câu các câu trước ta có:
DENM
+ 2
Nên .
DM DN DE ( 2 Đáp án cần chọn là D. 32. Lời giải: 25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AH=
A E D
90
= = = nên DE
2
AH
=
HB HC .
=
4.9
= 36
AH
= 6
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì
AED HAE =
HAE ABC =
vuông tại A có cm= 6 . Xét ABCD DE Nên
+ ACB ABC
+ AEC ABC
= mà 90
(cùng phụ
EN
=
= NEC NCE
+ NCE HEN
+ NEC NHE
= mà 90
= . Lại có 90
= nên
NH=
(do AEHD là hình chữ nhật) và = nên ACB NEC= hay NECD cân tại N
NC=
MN MH NH
=
+
=
HB
+
HC
=
BC
cân tại N hay NE (2). hay NEHD Đáp án cần chọn là D. 33. Lời giải: + Ta có 90 = mà NEC AED+ với ACB ) nên 90 (1). NC + 90 NEC HEN+ NEH NHE = Từ (1) và (2) suy ra NH
1 2
1 2
1 2
nên . Tương tự ta có MH MB=
DM DE EN DE ,
^
^
DM EN D E
= = 90
;
Đáp án cần chọn là B. 34. Lời giải:
DM
=
=
2;
EN
=
=
4, 5;
DE
= 6
Vì nên DENM là hình thang vuông
BH 2
CH 2
).
+
2
19, 5
cm
S
=
=
Theo câu các câu trước ta có:
DENM
2
CH
=
CM CD .
2
CH
=
CN CE .
.
.
Nên .
DM DN DE ( 2 Đáp án cần chọn là A. 35. Lời giải: Tam giác CHD vuông tại H , ta có Tam giác CHE vuông tại H , ta có Nên = CM CD CN CE Đáp án cần chọn là B.
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A
2
2
2
BC
=
AB
+
AC
2
2
8
2
B
C
H
2 BC = + 6 BC = + 64 36 210 cm= 10
2
.BH BC AB=
2 BC = BC Tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. Ta có:
BH BH
.10 =
2 = 6 cm 3, 6
= AH BC AB AC
.
.
III.TỰ LUYỆN Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có:
6.8 cm
= 4, 8
2
2
2
A
AC+
=
12
2 + = 5
169
Theo hệ thức liên quan đến đường cao Ta có: AH .10 = AH
=
169 2
2
2
Bài 2: Ta có: 2 BC =
=
BC
AB
AC
AB 213 có
B
C
H
ABCD Py-ta-go ta có tam giác ABC vuông tại A . Mà AH là đường cao của tam giác ABC (gt) Do đó theo hệ thức liên quan đến đường cao, Ta có: . AH .13
= AH BC AB AC =
. 12.5
)
AH
=
( cm
60 13
+ , theo định lý đảo
A
D
=
a)
E
Bài 3:
2
D
2
B
.
= AD AB AE AC
.
C
.AE AC AH=
.AD AB AH= Tương tự cũng có: Do đó:
H
b)
Ta có: 0 AHB AHB 90 ) ( HD là đường cao, theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:
A
= AD AB AE AC
.
.
=
Xét AEDD và ABCD có: EAD (chung)
AD AC
D
∽ ABCD
E
AE AB Do đó: AEDD AED ABC =
M
N
(vì )
B
C
= ADB AEC
có:
Bài 4: và ACED Xét ABDD BAD (chung); 0 = ( 90 ) 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
∽ ACED
=
.
Do đó ABDD
(1)
AD AB AE AC . = AE AB AD AC AMBD 2
=
AE AB .
AM
2
AN
vuông tại M (gt), ME là đường cao (gt), theo hệ thức liên quan tới đường cao có:
= 2
AD AC . 2
AM
AN=
(2) (3)
= AM AN
AMN
Tương tự cũng có: Từ (1), (2) và (3) có
F
cân tại A .
Qua D dựng đường thẳng vuông góc với
D Bài 5: DE , cắt BC tại P . Trong tam giác vuông DPF , có là đường cao nên
E
+
=
2
2
2
A
B
1 1 1 DF DP CD Trong đó CD DA= = D D
DCE
DCP
=
=
+
(cạnh hình vuông) . (g.c.g) DP DE
2
2
1 DE
1 DF
C
D
. Vậy:
1 2 DA Nhận xét:
P
+
=
2
2
1 DF
1 2 DA
1 DE Kết quả bài toán được phát biểu cách khác
1
1
+
Khi E di động trên cạnh AB , ta luôn luôn có:
2
2
DE
DF
M
không đổi Chứng minh rằng:
,A AC là đường cao (gt)
Bài 6: Xét AMND vuông tại
1
1
1
+
=
2
2
2
AC
C
,
,A B C ta có:
AN AM Xét ba điểm
A
AC
³
- AB BC
B
AC
cm³ 1(
)
N
£ 1
£ 1
Theo hệ thức liên quan đường cao trong tam giác vuông, ta có:
2
1 AC
1 AC
BC
cm= 3
Do vậy:
1
1
+
Dấu “=” xảy ra C nằm giữa A và B Vậy khi C nằm giữa A và B sao cho
2
2
AN
Î
^
AE AN E DC ,
AH DC H DC ,
^
Î
lớn nhất. thì
AM Bài 7: và Vẽ 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
)
=
+ EAN BAx (
= DAE DAB
và ADED có:
(vì ABCD là hình thoi)
= D
=
Ta có: 0 - 15 Xét ABMD ABM ADE = AB AD= 0 = ( 15 ) = BAM DAE
0
(c.g.c) AM AE
180
=
=
-
60
DH
=
AD
=
AB
Do đó: ABM D ADE vuông tại H có: ADHD 0 BAD ADH nên là nửa tam giác đều
1 2
1 2
H =
090
ADHD
Suy ra:
2
2
2
2
2
2
AH
+
DH
=
AD
AH
=
AB
-
AB
=
AB
1 2
3 4
æ ç ç ç çè
2 ö÷ ÷ ÷ ÷ ø
1
4
=
2
2
AH
=
090 ,
^ AH DN
AEND
3 AB có A
có , theo Định lí Py-ta-go ta có:
+
=
2
2
2
1 AE
1 AN
1 AH
+
=
2
2
2
1 AM
1 AN
4 AB 3
A
B
15°
M
x
C
N
ED
2
BH HC BH a ;
AH
=
.
, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
= (gt); HC b= (gt)
A
2AH
= ab
AH
ab
=
Bài 8: H Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC Tam giác vuông tại A , AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, Ta có:
a
b
AM
=
=
Nên ABCD vuông tại A có AM là đường trung tuyến
+ 2
C
B
BC 2 HM^
Nên
MH
a
b
ab
£
Ta có: AH nên AH AM£
+ 2
Do đó:
-------------------------Toán Học Sơ Đồ-------------------------
