Chuyên đề LTĐH: Chuyên đề 7 - Hệ thức lượng giác trong tam giác

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 7: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Caùc kyù hieäu:

• A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C • a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C • ha, hb, hc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C • ma, mb, mc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C • la, lb, lc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C • R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC • r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC

• p =

(a+b+c) : laø nöõa chu vi tam giaùc ABC

1 2

• S : laø dieän tích tam giaùc ABC

A

c

b

ha

la

ma

a

M

H D

B

C

II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng : Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b', c' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc heä thöùc:

'

'

2

2

=

=

.1

. ca

b

. ba 2

2

c & 2 +

=

.2

b

c

a

2

'

=

.3

=

+

.4

h 1 2

' . cb 1 2

1 2

h

b

c

=

=

=

cos

cot

C

. c

gC

=

.5

.7

. ha

. cb

.6

=

=

=

cos

cot

sin. a sin. a

= . aB = . aC

B

. tgBc . tgCb

. b

gB

 b  c 

 b  c 

45

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

A

c

b

h

c'

b'

C

H

B

a

II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng 1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :

2

2

2

2

2

2

= + − cos a b c 2 bc A

2

2

2

= + − 2 cos b c a ca B

A

b

c

C

a

B

= + − 2 cos c a b ab C

Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng. Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+ − + − + − b a a b a c = = = cos cos cos A B C

,

,

c 2 bc c 2 ac b 2 ab

Trong tam giaùc ABC ta coù :

2. Ñònh lyù haøm soá SIN:

=

=

=

R

a sin

b sin

c sin

A

B

C

2

Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù:

=

=

=

2

sin

2

sin

2

sin

a

R

R

B

R

C

, b A

, c

46

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

A

b

c

O

C

B

a

Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán: Trong tam giaùc ABC ta coù :

2

2

2

2 a

2

2

+ b c = − m

2 b

2

2

2 + a c = − m

2 c

A

c

b

ma

a

M

B

C

2 + a b = − m 2 a 4 2 b 4 2 c 4

4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc:

Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau:

=

=

=

1. S

ah

bh

ch

a

c

=

=

=

2. S

1 2 ab sin C

1 2 acsin B

bcsin A

b 1 2

1 2

=

3. S

= =

−

−

1 2 1 2 abc 4R 4. S pr 5. S

− p(p a)(p b)(p c)

47

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

A

b

c

ha

H

a

C

B

5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc:

a

b

c

cos cos 2 cos .2 bc .2 ac ab C 2 = = = A ;2 B ;2 l l l + cb + ca + ba

CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN

Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau:

a)

.cos

.cos

B 2

C 2

2

2

2

A 2 = +

+ = + sin A sin B sin C 4.cos

b)

sin A sin B sin C 2 2 cos A.cos B.cos C

+ +

+ + =

Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: a) tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC

( ∆ ABC khoâng vuoâng)

+

+

b)

tg

tg

= 1

A B .tg 2 2

B C tg .tg 2 2

C A .tg 2 2

b c

•

c a

a b

Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc : Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì : • a > 0, b > 0, c > 0 − < < + • a b c − < < + b c a − < < + c a b > > ⇔ > c

• • a

b

> A B C

II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn : 1. Baát ñaúng thöùc Cauchy:

48

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

≥

ab

Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :

+ a b 2

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt : Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù :

+

+ + ...

a n

a 1

a 2

n

≥

a ... n

a a . 1 2

n

2

2

2

2

≤

+

+

+ ax by

a

b

x

y

(

2 )

(

)(

)

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an 2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski : Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx Toång quaùt : Cho hai boä soá

,...,

,...

(

(

a vaø )n

b ta coù : )n

a a , 1 2

b b , 1 2

2

2

2

2

2

+

≤

+

+

(

+ + ...

2 )

(

+ + ...

)(

+ + ...

)

a b n n

a n

b n

a b 1 1

a b 2 2

a 1

a 2

2 b 1

b 2

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi

= = = vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng ... a n b n a 1 b 1 a 2 b 2

3) Baát ñaúng thöùc cô baûn:

2

2

≤ + ) a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù: 1 +x y 1 y 1 1 ( x 4

2

x

y

xy

x ∈∀

);( ba

+ ≥ Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù:

(f laø haøm loài) thì

,...,

x

, 2 xx 1

n

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y III. Baát ñaúng thöùc JENSEN : 1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) < 0 ∈ Vôùi moïi

)

...

);( ba + )

( xf

x

x

x 1

( xf 1

n

n

(

)

)2

f

( ≥n

2 n

+ + ++ ... ta coù: ( xf ≤

...

x

2

) 2 n x 1

nx

x ∈∀

);( ba

= = = Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi

2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) > 0 (f laø haøm loõm) thì

49

,...,

x

∈

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Vôùi moïi

, 2 xx 1

n

);( ba + )

)

...

( xf

x

x

( xf 1

x 1

n

n

(

)

)2

f

( ≥n

2 n

+ + ++ ... ta coù: ( xf ≥

...

x

2

) 2 n x 1

nx

= = = Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi

) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông

sin

sin.

sin.

Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A < B (>, ≥≤, phaùp sau: Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA:

Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:

B 2

≤C 2

1 8

A 2

Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:

+

+

≤

+

+

≤

cos cos cos a) A 2 B 2 C 2

+

+

≥

sin sin sin A B C b) 33 2 33 2

3 tg tg tg c) A 2 B 2 C 2

cos cos cos . . a)

Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: 33 8

≤C 2 33≥ 1

A 2 + tgA B 2 + tgC b)

≤C 2

tg . tg . tg c) tgB B 2 A 2 33

Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1:

tamlaø giaùc vuoâng

tamlaø giaùc vuoâng caân tam Cho giaùc ABC thoûa maõn ∆ ABC tamlaø giaùc caân ⇒ THÌ " Ñieàu kieän cho tröôùc"       tamlaø giaùc ñeàu

tamlaø giaùc coù goùc ñaëc                        bieät.... 

50

KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2:

tamlaø giaùc vuoâng

tamlaø giaùc vuoâng caân tam Cho giaùc ABC thoûa maõn ∆ tamlaø giaùc ABC caân ⇔ CAÀN VAØ ÑUÛ cho tröôùc" kieän Ñieàu "       tamlaø giaùc ñeàu

tamlaø giaùc coù goùc ñaëc                bieät.... 

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn        

"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø:

BA ≥ hoaëc

• Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc • Ñaúng thöùc löôïng giaùc + ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...) • Ñaúng thöùc ñoä daøi • Heä ñaúng thöùc

1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 2) Nhaän daïng tam giaùc caân Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm 2 böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng ñaúng thöùc A = B BA ≤ (1) Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu VÍ DUÏ MINH HOÏA:

tgA

=

Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù

A B

01

cos

cos

cos

2

2

2 C

B

A

B A thoûa maõn ñieàu kieän

. Chöùng minh raèng ∆ ABC vuoâng + + sin sin =+ + + thì tam

cos cos Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu ABC∆ giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân

+ = = 1) tgA tgB 2.cot g 2) cot g .cot g + + + − C 2 sin A sin B sin C sin A sin B sin C A 2 C 2

Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu

cos cos cos A 2 B 2 C 2 + + = 1) cos A.cos B.cos C = 2) 3 + + 1 8 1 cos A 1 cos B 1 cos C + 1 1 1 1 1 + = + + + = + + 3) + cos A cos B cos C sin sin sin 4) B 2 C 2 A 2 1 + cos A cos B cos C sin sin sin B 2 C 2 A 2

Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát:

1) + = a b tg + (a.tgA b.tgB)

C 2 c b a + = 2) cos B cos C sin B.sin C

51

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

= 3) + cos B cos C

+ b c a + + = 4) a.cos A b.cos B c.cos C 1 2 + + a b c

Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù :

2

2

2

2 sin A sin B sin C

+ + + 3 cos C cos C 9 = + 4

− ≤

Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng (4

)

app

bc

sin

sin

A 2

B 2

C 2

− =    sin  

p

332 8 ++ cba 2

= trong ñoù BC = a, AB = c,

52

--------------------------------Heát---------------------------