Kh o sát hàm s
ả
ố
www.mathvn.com
KH O SÁT H
ÀM S VÀ V Đ TH Ẽ Ồ Ị
Ố
Ả
i bài toán kh o sát và v đ th hàm s c n ti n hành các b c sau ướ ả ế ậ ố ầ , tu n hoàn. ầ ‡ 0, v i x < 0 hàm s có tính đ i x ng. ố ố ứ ẻ ả ộ ế ế
ơ ả ả ệ i lõm, đi m u n. ể ố ể ườ ồ ự ạ ự ể ệ ủ ồ ị ớ ụ ể ế
ng ti m c n (n u có), ch rõ các đi m đ c bi ặ ệ ủ t (c c đ i, c c ti u, đi m u n, các giao đi m c a ự ạ ự ể ể ể ố ế ể ậ ỉ ệ ụ ọ ộ f(x) ch n thì đ th nh n tr c oy làm tr c đ i x ng, còn n u hàm y = f(x) l ụ ố ứ ụ ế ậ ẻ thì đ th có ồ ị ồ ị
+
=
+
y
a x
b 2a
2 4ac b 4a
Gi ẽ ồ ị ả 1) Tìm t p xác đ nh, xét tính ch n, l ẵ ị ch c n kh o sát x N u hàm s ch n hay l ớ ẻ ỉ ầ ố ẵ N u hàm tu n hoàn thì ch c n xét trên m t chu kì. ỉ ầ ầ 2) Tính y’, y” Xét d u y’ đ tìm kho ng đ n đi u. ể ấ Xét d u y” đ tìm các kho ng l ể ấ 3) Tìm các đi m c c đ i, c c ti u, đi m u n ố ể Tìm các đ ng ti m c n. ậ Xác đ nh các giao đi m c a đ th v i các tr c. ị 4) L p b ng bi n thiên. ậ ả 5) V đ th . ẽ ồ ị V các đ ườ ẽ đ th v i các tr c t a đ ). ồ ị ớ Chú ý n u hàm y = ế ẵ tâm đ i x ng là g c t a đ . ố ọ ộ ố ứ 1. Kh o sát và v đ th hàm s . ố ẽ ồ ị ả 2 + bx + c a „ 0 a) Hàm b c hai : ậ y = ax 2 - (cid:230) (cid:246) Ta có (cid:231) (cid:247) Ł ł
2 b ng phép t nh ti n song song theo véct
= -
,
2 b 4ac b 2a
4a
ng parabol đ c suy t đ th hàm y = ax ượ ừ ồ ị ế ằ ị ơ (cid:230) (cid:246) - (cid:231) (cid:247) Đ th đ ồ ị ườ r r . (cid:231) (cid:247) Ł ł
= -
+¥ ,
,
=
x
y
b 2a
b 2a
b 2a
2 4ac b 4a
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) - - - ¥ - V i a > 0, min đ t đ c t i . Hàm tăng trên , gi m trên . (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ớ ạ ượ ạ ả Ł ł Ł ł
- - ¥ -
)
= -
, b / 2a
=
x
y
b 2a
2 4ac b 4a
, đ t đ c t i . Hàm tăng trên ( , gi m trên ạ ượ ạ ả ớ
+¥ b / 2a,
3 + bx
2 + cx + d
- V i a < 0, max ) ( .
2 - 3 ac
a „ 0. ậ ) ị ậ D ’y’ = b
y = f(x) = ax b) Hàm b c ba: - ¥ , + ¥ - T p xác đ nh ( 2 - Ta có y’ = 3 ax + 2bx + c, y” = 6 ax + 2 b N u a > 0 thì ế
2 - 3ac < 0, y’ > 0 v i m i x, khi đó hàm luôn đ ng bi n. 2 - 3ac > 0, ph
+ V i bớ ớ ọ ồ
1, x2)). Đi m c c đ i (c c ti u) là (x ự ạ
1, y(x1))
2, f(x2)).
ng trình y’ = 0 có hai nghi m phân bi x ˇ + V i bớ ươ ệ ế ệ 1 < x2 và y’ > 0 (cid:219) t x [x1, x2]. - ¥ Hàm s tăng (gi m) trên ( ) (t ng ng, trên (x ả ố ươ ứ ự ể ể , x1) và (x2, + ¥
(t ng ng (x N u a < 0 thì ươ ứ ế
2 - 3ac < 0, y’ < 0 v i ớ " x, hàm y luôn ngh ch bi n. 2 - 3ac > 0, t
+ V i bớ ế ị
ta cũng có ng t + V i bớ ươ ự
1, x2). Đi m c c ti u (c c đ i) (x ự ể
1, f(x1))
2, f(x2)).
- ¥ Hàm y luôn ngh ch bi n trên ( ) y đ ng bi n trên (x ế ị ế ồ ự ạ ể , x1) và (x2, + ¥
(cid:219) x = - b/3a, đi m u n là ( - b/3a, f(- b/3a)). ng ng (x (t ươ ứ - Đi m u n: y” = 0 ố ể ể ố
www.mathvn.com 1
Kh o sát hàm s
ả
ố
- b/3a, f(- b/3a)) cũng là đi m u n. ố
=
www.mathvn.com - Tâm đ i x ng ( ố ứ ể
y
c „ 0 c) Hàm phân th c:ứ
+ ax b + , cx d 1
=
+
y
-
a bc ad c
2 c
+
x
d c
Ta có
y
” - ad = 0 thì - d/c. , x „ - N u bc ế
=
=
k
y
a c 0 thì đ th hàm s đ ồ ị bc ad 2 c
c suy ra t đ th hàm s - ad „ ố ượ ừ ồ ị ố - v i ớ - N u bc ế k x ơ ị ế (- d/c, a/c).
+
+
c
ệ ậ
=
=
y
, a „ 0 d) Hàm phân th c:ứ b ng phép t nh ti n theo véct ằ r r = Đ th có hai ti m c n x = ồ ị ( f x - d/c và y = a/c. 2ax bx ) + x d Ta có
2ad
+
- -
(
= f (x) ax
+ bd c + x d
) + b ad }d- {
+
ị ậ
m
=
y '
2 - bd + c
2
- , m = ad T p xác đ nh R\ ) ( 2 a x d (
)
- ad), x „ - d
+ x d - N u m = 0 thì y = ax + (b - N u am < 0 thì + V i a > 0, y’ > 0 ( + V i a < 0, y’ < 0 (x
" - ¥ x „ „ , - d), (- d, +¥ , - d), (- d, +¥ ế ế ớ ớ - d), hàm đ ng bi n trên ( ồ - ¥ - d), hàm ngh ch bi n trên ( ị ế ế
= - m d
x 1,2
- N u am > 0 thì ph ng trình y’ = 0 có hai nghi m ế ươ ệ ). ). m a
1, - d), (- d, x2) các đi m c c đ i (c c ti u) là (x
1,
- ¥ + N u a > 0 thì hàm tăng trên ( ) gi m trên (x ế ả ự ể ự ạ ể , x1), (x2, +¥
2, 2ax2 + b)
1, - d1), (- d1, x2) và gi m trên (
ng ng, (x ươ ứ 2ax1 + b), (t - ¥ + N u a < 0 thì hàm tăng trên (x ). ế ả , x1), (x2, +¥
1, 2ax1 + b)
Đi m c c ti u là (x ự ể ể
2, 2ax2 + b).
2 - (m - 1)x - 1
Đi m c c đ i: (x ự ạ ể
ả
3 Ví d 1.ụ Cho hàm s y = f(x) = mx + 3mx ố a) Kh o sát và v đ th hàm s v i m = 1. ẽ ồ ị ố ớ b) Xác đ nh m đ hàm y = f(x) không có c c tr ự ể
3 + 3x
2 - 1
ị ị
ớ ị
iả . a) v i m = 1, y = x Gi T p xác đ nh R. ậ 2 + 6x, y’ = 0 (cid:219)
x = 0 và x = - 2 x < - 2 ho c x > 0 ặ
- ¥ , - 2) và (0, +¥ ) (t ng ng ( - 2, 0)). Hàm có đi m c c đ i ( - 2 < x < 0. V yậ ả ự ự ươ ứ ự ạ - 2, 3) và c c ti u ự ể ể
- 1 v y y = f(x) có đi m u n ( x = - 1, y” đ i d u qua x = ổ ấ ố - 1, 1). ể ậ y’ = 3x y’ = 3(x + 2) x > 0 (cid:219) y’ < 0 (cid:219) y tăng (gi m) th c s trên ( (0, - 1). y” = 6x + 6, y” = 0 (cid:219) Ta có b ng bi n thiên ả ế
www.mathvn.com 2
Kh o sát hàm s
ả
ố
+ + 2 0 3 0 0 1 ồ ị
www.mathvn.com X y’ Y Đ th y 3
-2 0 x -1
2 + 6mx - (m - 1) ủ ể
=
m
m 0
0 m
1 4
D =
2 +
' 9m 3m(m 1) 0
2 - m
3 + mx ố
ng trình f’ (x) = 0 không có hai nghi m phân bi t, nghĩa ươ ệ ệ ệ ầ ự ề b) y’ = 3mx Đi u ki n c n và đ đ y = f(x) không có c c là ph là Ø Œ „ (cid:236) (cid:219) £ £ (cid:239) Œ (cid:237) Œ - £ (cid:239) (cid:238) º
ả i 3 đi m phân bi t ệ ạ ‰ y‰ £
2 + 6x, y’ = 0 (cid:219)
Ví d 2ụ . Cho hàm s y = x ố a) Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 3 ẽ ồ ị b) Khi nào đ th c t tr c hoành t ể ồ ị ắ ụ ‰ x‰ £ c) Xác đ nh m sao cho 1. 3 + 3x 1 (cid:222) 2 - 3 y = x ị iả a) m = 3 (cid:222) Gi T p xác đ nh R ậ ị
x = 0 và x = - 2
¥ ) hàm đ ng bi n ế ồ (- 2, 0), trên đó y ngh ch bi n ế ị ố - 1, - 1). ể ả
+ + 2 0 1 0 0 3 Chi u bi n thiên y’ = 3x ế ề x < - 2 và x > 0. y’ > 0 (cid:219) , - 2), (1, +¥ Trên (- y’ < 0 (cid:219) x ˛ y” = 6x + 6, ta có đi m u n ( B ng bi n thiên ế X y’ Y Đ th xem hình v ồ ị ẽ
y
1
-2 -1 0 x
www.mathvn.com 3
Kh o sát hàm s
ả
ố
www.mathvn.com -3
2 + 2mx = x(3x + 2m)
i 3 đi m phân bi t khi và ch khi hàm s có c c đ i và c c ti u và ạ ể ệ ự ể ự ạ ố ỉ ồ ị ắ ụ b) Đ th c t tr c hoành t ycđ. yct < 0
ấ ằ
=
- 2m/3 „ m „ 0 0 (cid:219) 3 - - Th y r ng y’ = 3x x = 0 và x = - 2m/3 y’ = 0 (cid:219) ự ể (cid:219) Hàm có c c đ i và c c ti u ự ạ (
(
) = -
) y 0 .y
y .y
2m / 3
m
0
c® ct
4m 27m < 27
> m
24m 27 0 >
3 3 2
>
m 3 3 / 2
(cid:219) (cid:219) -
=
V y đ th c t tr c hoành t i ba đi m phân bi t khi và ch khi ậ ạ ể ệ ỉ
£
)
)
1£
( y 0
m 1
(cid:222) v i ớ x
- £
)
1
˛
( y x
1£
1£
}0 đ ể
, m „ 0, ta có 2m / 3 . V y, v i m [- 1, 1]\{ đi u ki n đ là ồ ị ắ ụ ( 1£ y x c) V i ớ m 1£ ậ ớ v i ớ x ệ ủ ề
‡ - -
(
1
y
) = 2m / 3
m
34m 27
- =
, m 1
m 1
3 4m 27
2 4m 27
(vì y (- 1) = - 1, y(1) = 1, y (0) = - m đ u thu c [ ộ - 1, 1]). ề (cid:230) (cid:246) - £ £ (cid:231) (cid:247) khi m 1£ . m = 0 cũng th a mãn. Nh ng ư ỏ (cid:231) (cid:247) Ł ł ˛ ế K t lu n m ậ
3 - mx + 2 - 1
(1)
- 2)x ố ˛ ự ạ ả ứ ứ ồ ị ủ ể ố
ự ạ - 1/3, 16/9), c c ti u (1/3, 20/9). x= 0, đi m u n (0, 2). x = - 1/3 và x = 1/3 ự ể ố ể [- 1, 1]. Ví d 3ụ . Cho hàm s y = (m ố a) Kh o sát và v đ th hàm s khi m = ẽ ồ ị b) Ch ng minh r ng khi m (0, 2) hàm không có c c đ i và c c ti u. ự ể ằ c) Ch ng minh r ng đ th c a hàm s (1) luôn qua ba đi m c đ nh. ố ị ằ Giải a) T p xác đ nh R ị ậ 2 y’ = - 9x + 1 = 0 (cid:219) Đi m c c đ i ( ể y” = - 18x = 0 (cid:219) B ng bi n thiên ế ả
+ X Y’ Y 1/3 0 16/9 1/3 0 20/9
y 4
20/9 16/9
www.mathvn.com 4
Kh o sát hàm s
ả
ố
www.mathvn.com
-1 -1/3 0 1/3 1 x
ng trình y’ = 0 vô nghi m. ệ
3 - 1) - y = 0
=
0,
2
=
o
1
0
x
x
ươ 2 - 1) - 2(x b) y’ = 3(m - 2)x Khi m ˛ c) y = mx Đi m c đ nh (xo, yo) ph i th a mãn ể mx (x ỏ = (cid:236) (cid:236) - (0, 2) (cid:222) 3 - 2x )
(
o
1,
y = y
4,
2 - m m / 3(m - 2) < 0 và ph 3 - mx + 2 (cid:219) ả x o = - x o
o
= -
y
2 x
1
ố ị 2 o (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) -
(
)
=
=
o
3 o
x
1
o
y 0 - 1, 4), (1, 0).
o ố ị
(cid:238) (cid:238)
2 3 - 3(2m + 1)x + 6m (m + 1)x + 1 (1)
ồ ị ể Đ th luôn đi qua 3 đi m c đ nh (0, 2), ( Ví d 4ụ . Cho hàm s ố
ể ể y = f(x) = 2x a) Tìm quĩ tích đi m u n ố b) Tìm quĩ tích đi m c c đ i ự ạ c) Tìm quĩ tích trung đi m đo n n i đi m c c đ i và c c ti u c a đ th . ự ể ủ ồ ị ể ự ạ ố ể
=
Gi iả . a) y’ = 6x
x
=
U
, f
x
+ 2m 1 2
+ 2m 1 2
=
=
m
y
2x
+ x 1.
+ 2m 1 2 3 3 2
=
y” = 12x - 6(2m + 1), y” = 0 (cid:219) ạ 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) + 2m 1 2 (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) y” đ i d u khi x bi n thiên qua (2m + 1)/2. V y đi m u n là suy (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ổ ấ ế ể ậ ố . T ừ Ł ł Ł ł - - ra , thay vào ph ng trình y = f(x) ta thu đ c V y quĩ tích đ th hàm ươ ượ ồ ị ậ
y
2x
+ x 1.
2x 1 2 3 3 2
-
2 - (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 (cid:219)
= x m =
+
x m 1
Ø Œ b) y’ = 6[x º
t và rõ ràng
¥ (m + 1, +¥ Đó là hai nghi m phân bi ệ x ˛ y’(x) < 0 (cid:219) y’(x) > 0 (cid:219) x ˛ ) V y hàm luôn có c c đ i và c c ti u t ệ (m, m + 1) , m) ¨ (- ự ạ ự ể ạ ậ ươ ứ ể ử ng ng. Đi m c c đ i là (m, f(m)). Kh m ự ạ
3 + 3x
3 + 3x
c y = 2x i x = m và x = m + 1 t 2 + 1. V y đ th c a hàm b ng cách thay m = x, vào (1) ta đ ằ ượ ồ ị ủ ậ
2 + 1 ể ủ
3 - (2m + 1)x
2 + mx + 1 ẽ ồ ị ủ
câu a). ể ố ự ạ ổ ự ể ể ố t ế ở
ố ớ c ba ti p tuy n v i đ th c a y = f(x) v i m = 0. y = 2x là quĩ tích các đi m c c đ i c a hàm s khi m thay đ i. ự ạ ủ c) Trung đi m c a đo n n i đi m c c đ i và c c ti u là đi m u n, mà quĩ tích đã bi ố ạ ể Ví d 5ụ . Cho hàm s ố 4 - mx ự ế ể ớ ồ ị ủ ế ế ớ ng trình ươ ị
ơ y = f(x) = x a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i a = 0. ả b) Tìm các đi m trên tr c tung sao cho qua đó có th k đ ể ẻ ượ ụ c) Xác đ nh m sao cho ph f(x) = 0 có hai nghi m khác nhau l n h n 1. iả . a) V i m = 0, hàm s có d ng Gi ớ ố ạ
4 - x y = x T.X.Đ. R
ệ ớ 2 + 1
2 /2
2 - 1), y’ = 0 (cid:219)
– y’ = 2x(2x x = 0 và x =
www.mathvn.com 5
Kh o sát hàm s
ả
ố
x = –
www.mathvn.com 2 - 1), y” = 0 (cid:219) y” = 2(6x 6/6
- –
) ) ( 6/6,31/36 , 6 /6,31/36
. y” đ i d u qua x = ể ổ ấ ố ( 6/6 nên hàm s có hai đi m u n ố
2 /2
2/2
ả B ng bi n thiên ế X 0 -
- + + Y’ Y 0 1
0 3 4 0 3 4
y
1
3/4
- 2 /2 0 2 /2 x
x
x
1 ax
1
+ o
4x
2x
a
3 o
= o
ẵ ụ ế ế ớ ồ ẻ ượ ể ụ ế ừ ể ế ầ ả b) f(x) là hàm ch n nên tr c tung là tr c đ i x ng. Nên qua đi m trên tr c tung k đ c ba ti p tuy n v i đ ụ ố ứ th thì ph i có 1 ti p tuy n song song v i tr c hoành. T đó đi m c n tìm ph i là đi m M(0, 1). Ta ki m tra ớ ụ ả đi u đó. Gi s y = ax + 1 là ti p tuy n khác qua a. Khi đó ph i có ể ể ả ế ế (cid:236) - (cid:239) ị ề 4 o ả ử 2 + = o (cid:237) - (cid:239) (cid:238)
n u xo là hoành đ ti p đi m. ộ ế ế ể – –
(
3/3,
) 4 3/9 .
= –
+
i h đó (đ i v i (xo, a)) ta có các nghi m (0, 0), và T đó các ti p tuy n khác y = 1 Gi ệ ừ ế ế ả ệ
(
y
là .
ố ớ ) 4 3/9 x 1 V y đi m c n tìm là M (0, 1). ể ậ ầ
2 + mx + 1 = 0
2
+
3 - (2m + 1)x (
c) Ph (1) t ươ ứ ng ng v i ớ (cid:230) (cid:246) - - -
)
x
m x
= + 2m 1
0
4 - mx 1 x
x
+
1
(2) (cid:231) (cid:247) ng trình x ươ 1 2 Ł ł
t
= - x
1 2
1 x
x
. t’(x) = > 0, do đó x > 1 thì t(x) > t(1) = 0. Bây gi (2) có d ng Đ t ặ ờ ạ
2
2 - mt - (2 - 1) = 0. ệ ậ > D =
(3) ng trình (3) ph i có hai nghi m d ng. T c là ph i có ể ớ ơ ệ ả ươ ứ ả (cid:236) (cid:236) - -
(
)
- >
m 4 1 2m 0 > =
S/ 2 m / 2 0
>
= -
m 8m 4 0 > m 0 <(cid:239) m 1 / 2
t V y đ có hai nghi m l n h n 1, ph ươ 2 + (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
˛ (cid:219)
)
m
4 2 5,1 / 2
p 1 2m 0 ( - + Ví d 6ụ . Cho hàm s ố
=
y
mx 1 x m ả ớ
- (1) -
a) Kh o sát và v đ th hàm s v i m = 2. ẽ ồ ị b) V i m nào hàm đ ng bi n, ngh ch bi n không đ i? ế ồ ố ớ ị ế ổ
www.mathvn.com 6
ả
ố
Kh o sát hàm s ố ị
=
= + 2
y
2x 1 x 2
3 x 2
ổ ồ ị ứ ể www.mathvn.com c) Ch ng minh r ng khi m thay đ i đ th luôn đi qua hai đi m c đ nh. ằ d) Tìm quĩ tích tâm đ i x ng c a đ th . ủ ồ ị ố ứ - Gi - -
{
ệ ậ ồ ị
= -
y '
x 2
iả . a) V i m = 2, ớ }2 T p xác đ nh R\ ị Đ th có hai ti m c n ậ x = 2 và y = 2. 3 - ¥ x „ 2. V y y gi m trên các kho ng ( , 2) và (2, +¥ ). 0 v i ớ " ả ả ậ -
ặ x = 1/2. V y đ th đi qua các đi m (0, 1/2) và (1/2, 0). ồ ị ể ậ
> ) 2 ( Các đi m đ c bi t ệ ể y = 1/2; y = 0 (cid:222) x = 0 (cid:222) B ng bi n thiên ế ả X y’ Y
2
+¥ 2 Đ th có tâm đ i x ng là giao đi m I c a hai ti m c n. 2 ¥ ố ứ ồ ị ủ ể ệ ậ
y
2 I
1/2 0 1/2 2 x
2 1 m
=
y '
2
- , x „ m b) -
)
(
- ¥ , m) và (m, +¥ ). ả ỗ
ế [- 1, 1] thì hàm luôn ngh ch bi n trên m i kho ng xác đ nh ế ả ỗ ị ị
1) thì y không đ iổ
x m 2 - 1 < m < 1) thì hàm luôn đ ng bi n trên m i kho ng ( > 0 ((cid:219) ồ 2 m ˇ < 0 ((cid:219) 2 m = – = 0 ((cid:219) 1 trên R\ { }1 - 1 trên R\ {
- m - m - m y ”
y ”
s (xo, yo) là đi m c đ nh. Khi đó ể
}1- ố ị
„ (cid:236) • N u 1 ế • N u 1 ế • N u 1 ế m = 1 (cid:222) m = - 1 (cid:222) c) Gi x (cid:239) (cid:237) ả ử m + -
(
) =
1 m x
y
0 ví i mäi m
o x y
+ o
o
o o
(cid:239) (cid:238)
www.mathvn.com 7
Kh o sát hàm s
ả
ố
= -
=
=
y
= - x 1, y
1
x
x
o
y o = -
=
1
o x y
x
1
x
o o
o = - o
o 2 o
(cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:239) www.mathvn.com + 0 (cid:222) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:238) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
o = 1, y 1 o - 1) và (- 1, 1). V y đ th luôn đi qua hai đi m c đ nh (1, d) Tâm đ i x ng là giao c a hai ti m c n t c là đi m (m, m). Khi m thay đ i các đi m này v ch đ ể ậ ứ y = x.
+
ồ ị ể ậ ố ị ệ ố ứ ủ ể ạ ổ ườ ẳ ng th ng
-
(
=
y
Ví d 7ụ . Cho hàm s ố -
) 2 2 m 1 x m x m
ố ọ ậ ệ ố ị ế ộ ớ ị
t c các đi m mà ti m c n xiên không đi qua ấ ả ệ ể ậ
{
}1
ị
1
=
+
=
+
- V i m = 1, ớ
) ( 2 x 1
y
1 x 1
1
= - y ' 2
- - a) Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 1 ẽ ồ ị ả b) Ch ng minh r ng v i m i m ti m c n xiên c a đ th luôn ti p xúc v i m t parabôn c đ nh. Xác đ nh ủ ồ ị ớ ằ ứ parabôn đó. c) Tìm t iả Gi a) T p xác đ nh R\ ậ 22x x 1
= – x 1
(cid:219) , y’ = 0 -
(
) 2
x 1
2 2
,
x
,1
+¥ 1
2 2
2 + 2
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) ˛ - ¥ - ¨ (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) y’ > 0 (cid:219) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł
x
1
+ ,1
2 2
2 2
(cid:230) (cid:246) ˛ - (cid:231) (cid:247) y’ < 0 (cid:219) . (cid:231) (cid:247) Ł ł
+
1
, 4 2 2
1
+ , 4 2 2
2 2
2 2
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ự ạ . Đi m c c đ i ể , c c ti u ự ể (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł
+
1
1
2 2
2 2
ả 1 B ng bi n thiên ế X -
+
- || y’ + +
- 0 4 2 2 0 4 2 2 ệ
ậ ứ
2 + m
Ti m c n xiên ậ y = 2(x + 1) Ti m c n đ ng ệ x = 1 b) Ta có ti m c n xiên ệ ậ
y = (m + 1)x + m y 4 +2 2
4 I 2
-1 0 1 x
www.mathvn.com 8
Kh o sát hàm s
ả
ố
www.mathvn.com
s các ti m c n xiên trên luôn ti p xúc parabôn c đ nh Gi ố ị ệ ế ậ
2 + m
a „ 0. y = ax Khi đó ph ng trình ả ử 2 + bx + c, ươ
2 ax + bx + c = (m + 1)x + m có nghi m kép v i m i m. Ta ph i cóả
ệ ớ ọ
2 2 = (b - m - 1) - m) = 0 - 4a(c - m v i m i m, hay ọ ớ
2 + 2(2a - b + 1)m + b
2 - 4ac - 2b + 1 = 0
D
= -
a
1 / 4
=
+ = 4a 1 0 - + = 2a b 1 0
b 1 / 2 = -
c
1 / 4
+ = 4ac 2b 1 0 Nh v y parabôn c n tìm là ầ
2 b ư ậ
= -
(4a + 1)m v i m i m ớ ọ (cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) - - (cid:238)
x
y
0
1 2
1 = 4
-
21 + x 4 c) Gi s (xo, yo) là đi m mà ti m c n không đi qua. ả ử T đó ph ừ
ệ ể ậ ươ
ng trình 2 + m yo = (m + 1)xo + m vô nghi m, hay ph ệ ươ
2 - 4(xo - yo) < 0 = (xo + 1)
ng trình 2 + (xo + 1)m + xo - yo = 0 m vô nghi mệ (cid:219) D
< -
y
x
x
o
2 + o
o
1 2
1 4
(cid:219) -
= -
Đó là các đi m n m trong parabôn ằ
y
x
1 4 ể 21 + x 4
1 2
-
1 4 Ví d 8ụ . Cho hàm s ố
=
y
-
-
(
2x 2 x 1
+ 3x 6 ) a) Kh o sát và v đ th hàm s ố b) Tìm các đi m trên đ th sao cho t ng các kho ng cách t đó đ n các ti m c n là nh nh t. ệ ấ ỏ ừ đó đ n hai tr c là nh nh t. c) tìm các đi m trên đ th sao cho t ng các kho ng cách t ấ ụ ừ d) Tìm các đi m M, N trên hai nhánh c a đ th (m i đi m thu c m t nhánh) sao cho đ dài đo n MN là nh ộ ể nh t.ấ
ả ẽ ồ ị ậ ồ ị ồ ị ả ả ế ế ổ ổ ỏ ủ ồ ị ể ể ể ạ ỗ ộ ộ ỏ
=
(cid:230) (cid:246)
{
y
- + x 2
Gi . T p xác đ nh R\
}1 .
1 2
4 x 1
(cid:231) (cid:247) iả . a) Ta có ậ ị - Ł ł
4
=
y '
1
1 2
(cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) - , y’ = 0 (cid:219) x = - 1 và x = 3. (cid:231) (cid:247) -
(
) 2
x 1
Ł ł
1,
5 2
(cid:230) (cid:246) - - (cid:231) (cid:247) y’(x) < 0 v i ớ - 1 < x < 1 ho c 1 < x < 3/2 đi m c c đ i ự ạ ặ ể Ł ł
3,
3 2
(cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) y’(x) > 0 v i x < - 1 ho c x > 3/2 đi m c c ti u ớ ự ể ể ặ Ł ł
www.mathvn.com 9
Kh o sát hàm s
ả
ố
1 0
5 2
- + 1 || + www.mathvn.com X y’ Y - 3 0 3 2
y
3/2 -1 0 3
x -5/2
=
-3
-
(
)
x 2
y
~ x - 2y - 2 = 0 ệ Ti m c n xiên : ậ
ệ
1 + d2 trong đó d1 (t
2) là
1 2 Ti m c n đ ng: x = 1 ậ ứ x = 0, y = - 3 b) Gi ả ử kho ng cách t ả
x
- + x 2
2
4
=
=
d 2
5 x 1
+
2 1
2 2
4
=
d
- + x 1
s M(x, y) là đi m thu c đ th mà t ng các kho ng cách d = d ng ng d ể ươ ứ ả M đ n ti m c n đ ng (t ệ ộ ồ ị ậ ứ ệ ậ ừ ế (cid:230) (cid:246) - - (cid:231) (cid:247) - ổ ng ng ti m c n xiên) là bé nh t. ấ ươ ứ 4 x 1 Ł ł , Ta có d1 = x 1- -
5 x 1
4
và -
d 2 x 1
4 4
= 5 x 1
5
4
= –
‡ - V y ậ -
=
x 1
= x 1
min d
2 4
4 4
5 x 1
5
5
- (cid:219) và . D u b ng x y ra khi ả ằ ấ -
=
y
- + x 2
1 2
4 x 1
=
+
(cid:230) (cid:246) „ (cid:231) (cid:247) c) Đi m M(x, y) thu c đ th thì x . T ng các kho ng cách t M đ n các tr c là 1 và ộ ồ ị ể ả ổ ừ ụ ế - Ł ł
˛ - ¥ ¨
)
(
(
)
( f x
x
- + x 2
, x
) +¥ ,1
1,
1 2
4 x 1
-
+
(cid:236) (cid:230) (cid:246) ˛ ¥
(
)
x
- + x 2
ví i x
1,+
1 2
4 x 1
(cid:231) (cid:247) (cid:239) - (cid:239) Ł ł (cid:237) (cid:230) (cid:246) (cid:239) - ˛ - ¥
(
)
x
- + x 2
ví i x
,1
1 2
4 x 1
(cid:231) (cid:247) (cid:239) - Ł ł (cid:238)
2
2
ớ
- -
)
= + 1
3 2
Ta có = c1) Xét f(x) v i x > 1 1 ( f ' x 2 - -
(
) 2
(
) 2
x 1
x 1
2
2
= +
x 1
-
) 2 =
x 1
4 3
3
3
f’(x) = 0 (cid:219) ( x - 1 = , (cid:222)
www.mathvn.com 10
Kh o sát hàm s
ả
ố
2
2
x
+ 1,1
x
+ 1
+¥ ,
3
3
www.mathvn.com (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) ˛ ˛ f’(x) < 0 khi và f’(x) > 0 khi (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł
2
2
+
+
(cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
(
)
= + 1
1
- + 2
1 2
4 2
min f x > x 1
3
3
3
=
+
x
3 3
V y ậ (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł
2
=
£
-
) =
)
( f x
0
1 2 x < 1. Khi đó 1 ( + 1, f ' x 2
> ) 2
- -
(
x 1
=
=
)
c2) Xét f(x) v i 0 ớ 2 x + x 1 2 ) (
( f 0
3
min f x £ < 0 x 1
V y ậ
= -
Ø ø - -
)
)
(
+ x 2
( f x
x
4 x 1
2
2
Œ œ - c3) Xét f(x) v i x < 0. Khi đó ớ 1 2 º ß
)
( f ' x
)
= - x 1
( f ' x
3 = - + 2
, 0= (cid:219) -
(
) 2
x 1
3
2
2
< -
x
> - x 1
. f’(x) < 0 khi và f(x) > 0 khi
2
= -
(cid:230) (cid:246) -
(
)
2 3
1
1
3 1 2
2 = - + 2
3 3 2
min f x < x 0
+ - 3
3
=
=
(cid:231) (cid:247) V y ậ Ł ł -
(
)
)
( f 0
3
min f x x 1
. So sánh ta th y ấ „ đây t < 1 < s là các đi m thu c đ th . Khi đó ể ộ ồ ị (cid:230) (cid:246) -
)
-
) =
(cid:231) (cid:247) d) Gi ả ử ( ) y s
( y t
- + s t
và - -
(
)
1 2
2
s M(s, y(s)) và N (t, y(t)) ở ( 4 s t ) ( s 1 1 t Ł ł
(cid:230) (cid:246) -
)
=
2 +
-
(
)
MN
s t
- + s t
. (cid:231) (cid:247) - -
(
)
Ł ł
1 4 )
- -
( 4 s t ) ( s 1 1 t ) ( 4 s t
= 2
‡ - - -
)
(
16 s t
( 4 s t ) ( s 1 1 t
- + - s 1 1 t 2
2
, do đó Nh ng ư (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) Ł ł
2 +
MN
s t
- + s t
(cid:230) (cid:246) ‡ -
(
)
16 = s t
1 4
64
- =
(cid:231) (cid:247) - Ł ł
-
) 2 +
(
s t
8
5 4
-
(
+ ‡ ) 2
s t
2
= .64
8 5
‡
5 4 D u b ng đ t đ ằ
c khi ấ ạ ượ
www.mathvn.com 11
Kh o sát hàm s
ả
ố
- = - s 1 1 t
+ =
s t
2
64
4
2 =
www.mathvn.com (cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) -
)
(
s t
- = s t
2
5 4
(cid:239) (cid:239) -
(
)
s t
5
(cid:238) (cid:238)
=
+
= +
2
/ 2 1
s o
4 4
2 4
5
5
= - 1
t
o
2 4
5
(cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) v y ậ Ł ł
T đó M(so, y(so)), N (to, y(to)). ừ
www.mathvn.com 12
