NGUYỄN TRUNG KIÊN 1
Chuyên đề luyện thi đại học
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP
HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH
Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên
Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều
học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ
hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này
Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán
⊻
Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có:
- tanb c B=, tanc b C=,
2
.AH HB HC=
-
2 2 2 2 2
1 1 1 .AB AC
AH
AH AB AC AB AC
= + ⇒=+
⊻
Trong tam giác thường ABC ta có:
2 2 2
2 2 2
2 cos ;cos 2
b c a
a b c bc A A bc
+ −
= + − = .
Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C:
-
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
ABC
S ab C bc A ac B
∆
= = =
-
.S p r=
(Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác)
-
4
abc
S
R
=
H
C
B
A
w w w .VNM ATH.com
NGUYỄN TRUNG KIÊN 2
⊻
Thể tích khối đa diện:
-
1.
3
chop
V B h=
(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
- .
LT
V B h=
Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp:
- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao.
- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ
mặt bên đến giao tuyến.
- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của 2 mặt kề nhau đó.
- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc
bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.
- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy.
Sử dụng các giả thiết mở:
- Hình chóp SABCD có mặt phẳng
( )SAB
và
( )SAC
cùng tạo với đáy góc
α
thì chân
đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc
BAC
- Hình chóp SABCD có SB SC= hoặc
,SB SC
cùng tạo với đáy một góc
α
thì chân
đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của
BC
Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi
trong bài toán hình không gian cổ điển
Phần 3: Các bài toán về tính thể tích
A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao:
Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường
cao và sử dụng các công thức
+
óp
1.
3
ch
V B h=
+ .
LT
V B h=
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A
và
D
, có
2 ,AB AD a CD a= = =
. Góc giữa 2 mặt phẳng
( ),( )SCB ABCD
bằng 60
0
. Gọi
I
là trung
điểm
AD
biết 2 mặt phẳng
( )SBI
và
( )SCI
cùng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối
chóp SABCD .
HD giải:
Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng
( )SBI
và
( )SCI
cùng
vuông góc với đáy ABCD’’
w w w .VNM ATH.com
NGUYỄN TRUNG KIÊN 3
Vì 2 mặt phẳng
( )SBI
và
( )SCI
cùng vuông góc với đáy ABCD mà
( )SBI
và
( )SCI
có giao
tuyến là SI nên
( )SI ABCD⊥
. Kẻ
⊥ ta có góc giữa 2 mặt phẳng
( ),( )SCB ABCD
là
0
ˆ60SHI =
. Từ đó ta tính được:
2
1
2; 5; ( ) ( ) 3
2
IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a
= = = = + =
2 2
2 2
1 3
. ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 2 2
a a
IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên
2
IBC
S
IH
BC
∆
= =
3 3
5a. Từ đó tính được
3
3 15
5
SABCD
V a=
.
Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng
' ' 'ABCA B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
, ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = =
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn
' '
B C
,
I
là giao điểm của
BM
và
'
B C
. Tính thể tích khối chóp
IABC
theo
a
HD giải:
Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’
I
nằm trong mặt bên
( ' ')
BCC B
vuông góc với đáy
( )ABC
’’
Ta có:
-
' ' 'ABCA B C
là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy.
( ' )
I B BC
⊂
⊥
(ABC), từ
I
ta kẻ
⊥
thì
( )
IH ABC
⊥
và
I
chính là trọng tâm tam giác
' '
BB C
2 4
' ' 3 3
IH CI a
IH
BB CB
⇒= = ⇒=
H
I
S
D
C
B
A
w w w .VNM ATH.com
NGUYỄN TRUNG KIÊN 4
Có
2
2 2 2 2 2
AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a
′ ′
= − = = = ⇒= − =
3
1 1 4 1 4
. ( ) . . .2 .
3 3 3 2 9
IABC
a
V IH dt ABC a a a= = =
( đvtt)
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 2,AB a AD a SA a= = =
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
AD
và
SC
;
I
là
giao điểm của
BM
và
AC
. Chứng minh rằng mặt phẳng
( )
SAC
vuông góc với mặt phẳng
( )
SMB
. Tính thể tích khối tứ diện
ANIB
.
Lời giải:
+) Chứng minh
( ) ( )
SAC SMB⊥
.
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2
2 6
2 3; 4 2
a a
AC AB BC a a a BM AB AM a= + = + = = + = + =
Gọi
O AC BD= ∩
;do
I
là giao điểm của hai đường trung tuyến
AO
và
BM
nên là trọng tâm
của tam giác
ABD
.
Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
2 1 3 2 6
;
3 3 3 3 3
a a
AI AO AC BI BM= = = = =
A
M
O
B
I
H
C
C'
B'
A'
w w w .VNM ATH.com
NGUYỄN TRUNG KIÊN 5
Nhận xét:
2 2
2 2 2 2
2
3 3
a a
AI BI a AB+ = + = =
, suy ra tam giác
AIB
vuông tại
I
.
Do đó
BM AI
⊥
(1)
Mặt khác:
( )
SA ABCD⊥
nên
SA BM⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
BM SAC
⊥
+) Tính thể tích khối tứ diện
ANIB
Ta thấy khối chóp
ANIB
cũng chính là khối chóp
NAIB
Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm
N
nằm trong mặt phẳng
( )SAC
vuông góc với đáy
( )ABCD
’’
Do
NO
là đường trung bình của tam giác
SAC
nên ta có:
/ /
NO SA
và
1
2 2
a
NO SA= =
Do đó
NO
là đường cao của tứ diện
ANIB
Diện tích tam giác đều
AIB
là:
2
1 1 3 6 2
. .
2 2 3 3 6
AIB a a a
S AI BI= = =
Thể tích khối tứ diện
ANIB
là:
2 3
1 1 2 2
. .
3 3 6 2 36
AIB a a a
V S NO= = =
N
M
I
D
C
B
A
S
O
w w w .VNM ATH.com