Chuyên đề luyện thi đại học: Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh ĐH - Nguyễn Trung Kiên

Chuyên đề luyện thi đại học

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP

HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH

Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên

Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này

Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán

⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có:

2

=

AH

HB HC .

-

,

,

= b c

tan

B

= c b

tan

C

=

+

⇒ = AH

-

2

2

2

2

.AB AC + 2

1 AH

1 AB

1 AC

AB

AC

A

H

B

C

2

2

2

+

b

a

2

2

=

+

a

b

c

bc

A

= A

.

2 2

cos

;cos

⊻ Trong tam giác thường ABC ta có:

c bc 2

Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C:

=

=

=

-

S

ab

sin

C

bc

sin

A

ac

sin

B

- -

ABC

1 2

1 2

1 2

=

-

(Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác)

S

p r .

=

-

S

abc R 4

1

D

NGUYỄN TRUNG KIÊN

⊻ Thể tích khối đa diện:

=

-

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)

B h .

chopV

1 3

-

B h= .

LTV

Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp:

- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ

-

mặt bên đến giao tuyến. Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó.

- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc

bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.

- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao

chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy.

Sử dụng các giả thiết mở:

- Hình chóp SABCD có mặt phẳng (

SAB và ( )

SAC cùng tạo với đáy góc a thì chân

)

đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC

hoặc

- Hình chóp SABCD có SB SC=

,SB SC cùng tạo với đáy một góc a thì chân

đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC

Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển

Phần 3: Các bài toán về tính thể tích

A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức

=

+

B h .

óp

chV

LTV

=

= AB AD

a CD a

2 ,

), (

)

= . Góc giữa 2 mặt phẳng ( )

SBI và ( )

1 3 B h= + . Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và SCB ABCD bằng 600. Gọi I là trung D , có SCI cùng vuông góc với đáy ABCD . Tính thể tích khối điểm AD biết 2 mặt phẳng ( chóp SABCD . HD giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng (

SBI và ( )

SCI cùng )

vuông góc với đáy ABCD ’’

2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

SBI và ( )

SCI cùng vuông góc với đáy ABCD mà (

)

SBI và ( )

SCI có giao

)

Vì 2 mặt phẳng ( tuyến là SI nên

. Kẻ IH BC

SI

(

ABCD

)

ta có góc giữa 2 mặt phẳng (

SCB ABCD là

), (

)

0

2

=

=

=

+

. Từ đó ta tính được:

ˆ SHI =

60

2;

5;

(

)

(

= IC a

IB BC a

S ABCD

AD AB CD

= ) 3 a

1 2

2

2

^ ^

2

2

=

=

=

=

= IH BC S IBC

= S CDI

a

nên

(

.

)

S ABCD S ABI )

(

(

)

(

a ) 3

IH

2 IBCS BC

a 2

a 3 2

1 2

3

D - - - -

a . Từ đó tính được

.

SABCD

3 3 5

= V a 3 15 5

S

A

B

I

H

D

C

'

'

'

=

=

'

. Gọi M là trung điểm của đoạn

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B 'B C , I là giao điểm của BM và

,

= AB a AA

2 ,

a 3

'

Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng , a A C ' 'B C . Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải:

BCC B

'

')

Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’ I nằm trong mặt bên ( vuông góc với đáy (

ABC ’’ )

Ta có:

-

ABCA B C là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy.

'

'

'

thì

(ABC), từ I ta kẻ IH BC

và I chính là trọng tâm tam giác

I

(

B BC '

)

IH

(

ABC

)

^ (cid:204) ^ ^

⇒

BB C ' '

3

= = ⇒ = IH IH BB ' CI CB ' 2 3 a 4 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

2

=

= 2

= 2

= 2

= 2

AC

A C

AA

9

a

4

a

a

5

⇒ = BC

AC

AB

2

a

Có

3

¢ ¢ - -

( đvtt)

IABC

= = = V IH dt ABC ( . ) a a .2 . a . a 1 4 1 . 3 3 2 4 9 1 3

C'

A'

M

B'

I

O

C

A

H

B

=

=

AB a AD a ,

2,

) ABCD . Gọi

= SA a ,M N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là

)

SAC vuông góc với mặt phẳng

)

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và vuông góc với mặt phẳng( giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng ( ( SMB . Tính thể tích khối tứ diện ANIB .

Lời giải:

)

(

)

SAC

SMB

+) Chứng minh (

.

Ta có:

2

a

2

6

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

AC

AB

BC

a

a

a

BM

AB

AM

a

2

3;

a 4

2

=

^

Gọi O AC BD

;do I là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm

của tam giác ABD .

˙

Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

4

a 3 a 6 = = = = = ; AI AO AC BI BM 2 3 1 3 3 2 3 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

2

2

2

2

2

Nhận xét:

, suy ra tam giác AIB vuông tại I .

2 + = = = + AI BI a AB a 3 a 3

(1)

Do đó BM AI

^

(

)

SA

ABCD

Mặt khác:

(2)

nên SA BM^

^

)

( BM SAC

Từ (1) và (2) suy ra

+) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB

^

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng (

SAC

)

vuông góc với đáy (

ABCD ’’

)

Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có:

NO SA và

/ /

Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB

2

= = NO SA 1 2 a 2

Diện tích tam giác đều AIB là:

AIB

2

3

a a 3 6 2 = = = S AI BI . . 1 2 a 1 2 3 3 6

Thể tích khối tứ diện ANIB là:

AIB

a a 2 2 = = = V S NO . . 1 3 1 3 6 a 2 36

S

N

M

A

D

I

O

C

B

5

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

=

. Các

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với

= AB AC

a BC 3 ,

2

a

mặt bên đều hợp với đáy một góc

060 . Tính thể tích khối chóp SABC

Lời giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là:

‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường

tròn nội tiếp đáy hình chóp’’

Từ đó ta có lời giải sau:

) ABC và

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (

I H J lần lượt là hình chiếu của O trên ,

,

AB BC CA . ,

,

Theo định lý ba đường vuông góc ta có:

SI

AB SJ ,

AC SH BC

,

SAB

) ( ,

) ( ,

Suy ra:

) SAC SBC và mặt đáy

(cid:1) (cid:1) (cid:1) SIO SJO SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên (

,

,

=

=

(cid:1) (cid:1) (cid:1) 060 = SIO SJO SHO

Theo giả thiết ta có:

=

=

Các tam giác vuông

SOI SOJ SOH bằng nhau nên OI OJ OH

,

,

Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa

là đường trung tuyến

Suy ra

,A O H thẳng hàng và H là trung điểm của BC

,

2

2

=

2 =

^ ^ ^

AH

AB

BH

9

a

2 = a

2

a

2

Tam giác ABH vuông tại H , ta có:

2

- -

Diện tích tam giác ABC là:

ABC

= = = S BC AH . .2 .2 a a 2 2 a 2 1 2 1 2

)

(

pr=

, với

.

và r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC

Ngoài ra: ABCS

2

2

a

=

=

=

⇒ = r

OH

2

ABCS p

22 a 4 a

6

D = + + = p AB AC BC 4 a 1 2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

0

Tam giác SOH vuông tại O , ta có:

3

a 6 = SO OH= tan 60 2

2

Thể tích khối chóp SABC là:

ABC

a 6 2 a 3 = = = V S SO . .2 a 2. 1 3 2 3 1 3

S

I

B

A

O

H

J

C

'

'

'

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A

'C cách đều các đỉnh

,A B C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt

,

Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác = AB a

3,

AC a

.Tính thể tích khối chóp

phẳng (C’AC) bằng

A ABC theo a và tính cosin góc tạo bởi mặt

'

'

= . Biết đỉnh a 6 15 ABB A và mặt phẳng đáy (

')

'

ABC .

)

phẳng ( Giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Đỉnh

'C cách đều các đỉnh

,A B C (cid:219) ,

=

=

’’

C A C B C C '

'

'

C'

B'

A'

N

H

B

C

M

I

A

K

7

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

=

⇒ D

^ (cid:219)

- Hạ

C H '

(

ABC

)

= D C HA '

= D C HB '

C HC '

HA HB HC

d= 2

d

.

Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC . Vì tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . Ta có:

B ACC

/(

')

H ACC

/(

')

=

=

=

⇒

⇒

Hạ

HM AC HN C M HN

,

'

(

ACC

')

d

HN

d

.

/(

')

/(

')

H ACC

B ACC

1 2

a 3 15

^ ^ ^

Ta có:

từ đó tính được

CC

a= ' 2 .

3

a 3 = = = ⇒ HM AB C H a ' 3 1 2 2

Có

'

'

A ABC

LT

=

= = = = V V C H dt ABC ( . ' ) a . 3. a . a 3. 1 3 1 3 1 3 1 2 a 2

thì

thì

suy ra I

- Hạ

'

'

C HKA là hình chữ nhật . Gọi I HK AB

A K '

(

ABC

)

= ^ ˙ OI AC / /

AB

là trung điểm của AB . Tam giác ABC vuông tại A nên KI

')

(cid:1) 'A IK

đáy (

ABC là )

^ 1 2 ⇒ Góc tạo bởi ( ABB A và '

Ta có:

. Tính được

(cid:1) A IK '

= cos IK A I '

2

2

=

2 ,

AB

,

= a AD a BAD

(cid:1) 0 = 60

a = = = + = = = ⇒ IK HK IK ; A I ' A K ' cos (cid:1) A IK ' 1 2 a 2 13 2 IK A I ' 13 13

Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành SAB là tam giác đều . Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt

và điểm K nằm trong tam

phẳng (

SCD . Tính thể tích khối chóp SABCD biết

)

a HK = 15 5

giác SCD Giải:

Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở.

Dấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là:’’ SAB là tam giác đều

Tức là

SA SB=

''

8

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

B

C

120°

K

H

E

F

D

A

Gọi E là trung điểm của

,CD F là trung điểm của ED

ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường

Với giả thiết SA SB= trung trực của đoạn thẳng AB

Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên (

ABCD thuộc đường thẳng chứa HF

)

⇒

Hạ

HK SF

HK

(

SCD

)

^ ^

Ta có:

SABCD

SHCD

Ta cần tính diện tích tam giác SCD

= = V V 2 HK dt SCD ( . ) 2 3

Ta có:

2

2

2

=

=

= dt SCD ( ) SF CD . ; 1 2

Mà

+ SF SK KF SK

;

SH

2 = HK KF ;

HF

HK

SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra:

là đường cao tam giác đều HDE

= SH a

3,

HF

- -

suy ra:

Thay số ta có:

3

a

a

=

=

Vậy:

V

.

.2

a

SABCD

2 . 3 1 3 15 . 10 2 3

a 3 5

5

9

a 3 a HF = SF = 2 3 15 10

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3a

Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =

=

và

(cid:1) (cid:1) 090 = SAB SCB

. Tính thể tích khối chóp

2a

khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng S.ABC theo a .

Giải:

Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp.

S

K

C

H

A

B

AB SH

⇒ ^

vì

⇒ ^ AB

(

SHA )

AB HA

.

Hạ

SH

(

ABCD

)

AB SA

  

^ ^ ^

⇒

là hình vuông.

Chứng minh tương tự ta có BC HC

HABC

^

=

⇒

⇒

kẻ

Ta có HC BC

HK SC

HK

(

SBC

)

HK a

2

1

1

1

HK HC .

=

+

=

Mặt khác ta có:

⇒ = SH

a

6

2

2

2

2

2

HK

HC

HS

^ ^ ^

HC

HK

2

3

-

Thể tích khối chóp

SABC

ABC

=

và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối

2

= = = V SH S . a 6. D 1 3 1 3 a 3 2 a 6 2

= , Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a SD a= chóp S.ABCD Giải:

10

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

A

D

O

H

B

C

⇒ D

⇒ =

Hạ

SH BD

⇒ ^ SH

(

ABCD

)

= D SHA

SHC

SA SC

=

^

⇒ =

= D Từ giả thiết ta suy ra ASC

= D ADC

ABC OB SO OD

SBD

vuông tại S

6

. SB SD

a

=

=

Tính được

3,

= BD a

SH

,suy ra tam giác ABC là tam giác đều

2

2

3

+

SB

SD

2

3

D (cid:219) D

SABCD

ABCD

a 6 a 3 = = = V SH S . . . 1 3 1 3 3 2 a 2 6

Chú ý: Ta có thể tính thể tích theo cách:

SABCD

CSBD

SBD

Trong ví dụ này chìa khóa để giải quyết bài toán là phát hiện ra tam giác SBD vuông tại S

Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau:

, các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và

‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD x= (

x >

0)

.’’

. Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng

bằng a (

x >

0)

32 a 6

= = V V 2 CO SD . 2 3

B. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn.

Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau:

11

NGUYỄN TRUNG KIÊN

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ =

(1)

SABC

V SA B C V SA SB SC SA SB SC . . . .

A ABC

(2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ.

SABC

¢ = V S V A A ' SA

S

C'

A'

B'

A

C

B

0

, SA vuông góc 'AC song song

ˆ BAD = 60 )P đi qua

,SB SD của hình chóp tại

B D . Tính thể tích khối chóp SABCD

'

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , với đáy ABCD , SA a= . Gọi 'C là trung điểm của SC , mặt phẳng ( với BD cắt các cạnh ', HD giải:

Để xác định mặt phẳng (

)P các em cần tính chất:

)P song song với đường thẳng D

thì mặt phẳng (

)P sẽ cắt các mặt phẳng chứa D

’’Mặt phẳng ( (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với D

’’

'AC và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC

Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt các cạnh

,SB SD của hình chóp

tại

B D là 2 giao điểm cần tìm.

',

'

Ta có:

¢ ¢ ¢ = = = ; SC SC 1 2 SD SD SB SB SI SO 2 = 3

=

=

Dễ thấy

;

V (

SAB C D

)

SAB C

)

SAB C

)

SABC

)

V 2 (

V (

V 2 (

ABCD

SABC

12

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = = ⇒ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ . . . . 1 = 3 V SAB C D V V SAB C V SA SB SC SA SB SC

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

Ta có

SABCD

)

3

(đvtt)

= = = = . ) . . . ( SA dt ABCD ˆ SA AD AB sinDAB . . . a a a a V ( 1 3 3 2 3 6 1 3 1 3

¢ =

)

SAB C D

a ¢ ¢ V ( 3 18

S

D'

C'

I

A'

D

A

O

B

C

=

=

Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

cạnh SA vuông góc

AB a AD

,

2

a

. Mặt

với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho

BCM cắt SD tại N . Tính thể tích khối chóp SBCMN

)

a 3 AM = 3

phẳng ( HD giải:

)P song song với đường thẳng D

)P sẽ cắt các

Ta cần tính chất: ’’Mặt phẳng ( mặt phẳng chứa D

(nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với D

thì mặt phẳng ( ’’

Từ đó có lời giải như sau:

Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB

(cid:1) 060 SBA =

.

và ABCD là

=

Ta có

= SA SB

.tan 60

a

3

.

Từ đó suy ra

=

+

=

=

=

+

;

Dễ thấy

V (

SABCD

)

SABC

)

SACD

)

SABC

)

V (

V (

V 2 (

V 2 (

SACD

)

V (

SBCMN

)

SMBC

)

SMCN

)

V (

V (

13

= = - - ⇒ SM SA AM a 3 a a 3 = 3 2 3 3 SM SN = SD SA 2 = 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

+

)

V (

V (

)

SMBCN

)

)

SMCN

)

=

=

+

⇒

V ( SMCN V 2 (

SACD

)

V ( SMCN V 2 (

)

=

+

= + =

V ( V ( ) SM SB SC 1. SA SB SC 2.

SABCD . .

. .

SMBC V ( ) SABCD SM SC SN 1. . SA SC SD 2. .

. .

SABC 2 9

5 9

1 3

3

Mà

)

SABCD

3

= = = SA dt ABCD ( . ) a a a 3 .2 a V ( 1 3 2 3 3 1 3

SMBCN

)

= ⇒ a V ( 10 3 27

S

N

M

D

A

O

B

C

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi

,

,M N P lần lượt là trung điểm )MNP chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng

AB AD SC . Chứng minh mặt phẳng (

,

,

của nhau.

Lời giải:

/ /MN BD nên mặt phẳng

Trong bài toán này ta thấy:’’Mặt phẳng (

)MNP chứa đường thẳng

(

)MNP sẽ cắt mặt phẳng (

SBD theo giao tuyến song song với BD ’’

)

Từ đó ta có lời giải sau:

Gọi

I J K lần lượt là giao điểm của MN và ,

,

CB CD CA

,

,

14

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Nối PI cắt SB tại E , nối PJ cắt SD tại F

)

PMN và hình chóp

Ngũ giác PEMNF là thiết diện của mặt phẳng (

=

CB

=

=

=

; do

Gọi O AC BD

BD MN nên ta có:

/ /

CB CD CO CK CJ CI

=

CD

 CI  2 = ⇒  3  CJ 

3 2 3 2

˙

)

)

)

)

Vì P là trung điểm của SC nên ta có:

( ( d P ABC ,

( ( d S ABC ,

= 1 2

)

)

)

)

Do đó:

( ( . , d P ABC

( (cid:1) ( , . BCD d P ABC

PCIJ

CIJ

=

)

)

.sin

3 CB CD . 2

=

=

)

)

CB CD . .

.sin

1 ( (cid:1) ( BCD d S ABC , . 2 ( (cid:1) ( BCD d S ABC , .

  

9 V 16 SABCD

1 3 . 6 2  9 1   16 3

= = .sin V . CI CJ S 1 1 . 3 2 1 3

ICPJ

= = = . . . . 1 1 1 3 2 3 1 18 V IBEM V IB IE IM IC IP IJ

⇒

IBEM

ICPJ

PCIJ

SABCD

= = = V V V V 1 18 1 18 1 32

Tương tự

PCIJ

JDFN

SABCD

)

PMN và mặt phẳng đáy của hình

= = V V V 1 18

) =

chóp ta có:

( V

SABCD

JDFN

PCIJ

SABCD

Gọi 2V là thể tích phần còn lại của khối chóp thì 2 V

= - - V V V V V V V 1 + IBEM + SABCD  =  SABCD  1 32 Gọi 1V là thể tích phần khối chóp giới hạn bởi mặt phẳng (  1   32 9 16 1 32 1 2

.

Vậy 1

V V= 2

15

1 V= 2 SABCD

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

P

E

I

A

B

F

O

M

K

C

N

D

J

'

'

'

'

ABCDA B C D cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung

Ví dụ 6) Cho khối lập phương 'C B và điểm của

C D . '

'

'

1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng( 2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (

) AEF ) AEF

Lời giải:

1) Dựng và tính diện tích thiết diện:

Kéo dài EF cắt

A D lần lượt tại I và J

'A B và

'

'

'

Nối AI và AJ cắt

'BB và

'DD lần lượt tại P và Q

)

AEF và hình lập phương

Ngũ giác APEFQ là thiết diện của mặt phẳng (

=

Gọi

và

O A C B D '

'

'

'

= K IJ

A C '

'

˙ ˙

Do

B D IJ nên ta có:

'/ /

'

' ' ' = = = ' B D IJ ' A B A I ' ' A D A J ' ' A O A K ' 2 = 3

Suy ra:

2 2 = = = = = = ' ; ' ' ' IJ ' B D ' A I ' A B ; A J A K ' A O 3 2 3 a 2 3 a 2 3 a 4 3 2 3 2

Do

PB AA nên ta có: '

'/ /

=

= = = = = PB ' AA ' QD ' PB AA IP IA ' ' ' ' 1 = ⇒ 3 1 3 a 3

(

Ta có:

S

S

S

S

S

2

S

APEFQ

AIJ

+ PIE

QJF

AIJ

PIE

16

- - IB IA ) =

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

a

2

=

+

=

=

AK

AA

a

2 '

A K '

Trong tam giác vuông

'AA K ta có:

a 2 18 + 16

34 4

2

Do đó:

AIJ

a 3 17 2 = = = S IJ AK . 1 2 a 1 3 . 2 2 a 2 3 . 4 8

PH AK và

/ /

Trong tam giác PIE kẻ đường cao PH thì

a 34 = = PH AK 1 3 12

Mặt khác:

2

a 2 2 = = = IJ ⇒ = IE IJ A I ' 2 a 3 2 1 3 2

Diện tích tam giác PIE là:

PIE

2

2

2

a 2 a 34 a 17 = = = S IE PH . . . 1 2 2 12 24 1 2

Vậy

APEFQ

AIJ

a 3 17 a 7 a 17 = 17 = - - S S 2 S = PIE 12 24 8

A

D

O

B

C

Q

D'

J

P

A'

F

O'

K

C'

B'

E

I

H

2) Tính tỉ số thể tích:

3

=

=

=

V

A A A I A J '

.

.

'

'

a . .

.

AA IJ '

1 6

1 6

a 3 2

a 3 2

a 3 8 3

=

=

=

V

B P B I B E '

.

.

'

'

.

.

' B PIE

1 6

a a a 1 . 6 3 2 2

a 72

V

V=

Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có:

B PIE '

D QJF '

17

NGUYỄN TRUNG KIÊN

) AEF

Gọi 1

2,V V lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng (

3

3

Ta có:

AA IJ '

3 a 2 = 72

3

= - - V V 2 V 1 = B PIE ' a 3 8 a 25 72

3

ABCDA B C D '

'

'

3 a 25 = 72

47 = - - V a V 2 = V 1 a 72

= 25 47 V Vậy 1 V 2

Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian

A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau

⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC ( )

(Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của khối chóp)

⊻ PHƯƠNG PHÁP

- Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với (

SBC . )

Vậy khoảng cách từ A đến (

SBC là AH

)

S

- Ta có 1

1

1

AM AS .

=

+

=

⇒

AH

2

2

2

AH

AM

2 AS

2 + AM AS

H

C

A

M

B

18

NGUYỄN TRUNG KIÊN

* Tính chất quan trọng cần nắm:

)P thì khoảng cách từ mọi điểm trên ( )d đến

- Nếu đường thẳng ( )d song song với mặt phẳng ( mặt phẳng (

)P là như nhau

d

= |

k d |

thì

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) - Nếu AM k BM=

trong đó (

)P là mặt phẳng đi qua M

A P /(

)

B P /(

)

- Nếu

,a b là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi (

)P là mặt phẳng chứa b và (

) / /P

a thì

=

=

d

d

d ˛

a b /

a P /(

)

M a P

/(

)

Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản.

Trong 1 số trường hợp khi việc tìm hình chiếu khó khăn, thì ta nên sử dụng công thức

⇒ = h

= V . B h 3 V B 1 3

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD Lời giải:

)

(

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , E là hình chiếu của G lên AB . Ta có: SG AB GE

⇒ ^ AB

SGE

AB

;

0

=

ˆ SAG⇒

60

=

⇒ =

SG GE

. tan

ˆ SEG

GE 3

Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD

^ ^

⇒ = GE

3

= BC a 3 1 3

SABCD

ABCD

Hạ GN vuông góc với AD , GH vuông góc với SN

19

a 3 = = ⇒ V SG S . 1 3 9

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

3

a

3

=

=

=

=

=

d

3 d

3 GH

Ta có

B SAD

/(

)

G SAD

/(

)

2

2

2

. 3 GN GS + 2 GN GS

3

a

  

a 3

3

a a 3 . 3  2  +    

  

S

A

D

H

G

E

C

B

N

M

Trong bài toán này G là chân đường cao của khối chóp. Để tính khoảng cách từ B đến (

SAD )

ta đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (

SAD

)

,

3

AB a=

¢ ¢ ¢ ¢

Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng

ABCD A B C D .

0

120

= BAD

)

có đáy ABCD là hình thoi , ADD A¢ bằng 'BB đến mặt phẳng (

030 .Tính thể tích C MA .

)

'

¢ —

. Biết góc giữa đường thẳng AC¢ và mặt phẳng ( khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của Biết M là trung điểm của A D ' '

Giải:

=

Ta có

V

AA S '.

(1).

ABCD

' ABCD A B C D

.

'

'

'

Đáy ABCD là hình thoi gồm 2 tam giác đều

ABC ACD nên:

,

2

(

a

3

3

=

=

=

S

2

2.

(2)

SD

ABCD

ABC

)2 4

a 3 3 2

20

NGUYỄN TRUNG KIÊN

0

(

)

C M '

ADA D

'

'

Gọi

nên

'C M là đường cao của tam giác đều

C A D thì

'

'

'

ˆ' C AM =

30

0

2

^

Ta có

(3)

2

3

= = = 2 - ⇒ = AM C M AM A M a C M ' ' .cot 30 A A ' ' 6 a 3 3 2 a 3 = ⇒ 2

.

Thay (2),(3) vào (1) ta có:

.

'

'

'

ABCD A B C D '

Ta có

với K là trung điểm của

'DD (Vì K và N đối xứng nhau qua trung

d

d=

/(

)

/(

)

N C MA '

K C MA '

điểm O của

'AC ’)

Từ K hạ KH vuông góc với AM thì

a = = V a . 6 a 3 3 2 9 2 2

⇒

/(

)

K C MA '

= = ^ - - - KH ( AC M ' ) d KH KH AM dt AA D D dt AA M dt MD K ' ( ( ) ( ) ; . ' ' ' ) dt AKD ( ) 1 2

a a 6 6 = = - - - ⇒ ⇒ KH . a a 6. 3 a 6. . . . a . 3 KH a a 3 3 4 a 3 2 1 2 a 3 2 1 2 2 6 2 1 2 2

Vậy

/(

)

N C MA '

= d a 6 2

C'

D'

M

A'

H

K

B'

O

D

N

C

B

A

AKC M để quy khoảng cách

'

Trong bài toán này việc nhìn ra AK là đường cao của khối chóp về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công.

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600. Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC . (Đề dự bị khối A 2007) HD giải:

21

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

=

Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS BA BC đường cao hạ từ B xuống mp (

. Gọi O là chân SAC . O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC . Gọi

)

M là trung điểm BC ta có

SM BC AM BC ;

. góc tạo bởi 2 mặt phẳng (

SBC và ( )

ABC là )

^ ^

.

Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC

Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA là CN ( N là trung diểm của SA ). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm

2

2

2

2

= = = (cid:1) 0 = ⇒ SMA 60 SM AM AS a 3 2

SC

a

  

SA 2

a 3 16

=

=

=

=

cos

(cid:1) SNC

NC SC

   SC

a

13 4

2

=

= 2

=

- -

.

;

⇒ = OC

BO

2 BC OC

a

2 4 a = 13

2 a 13

3 a 13

SC 2 (cid:1) SNC

cos

Ở cách giải này ta đã sử dụng dấu hiệu ‘’ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy’’

- -

S

P

N

O

C

A

M

B

0

= = = =

Cách 2:

)

)

SABCD

SABM

3 3 16

2

=

=

=

⇒

=

CN AS .

a .

a

d B SAC , (

(

)

1 2

1 = . 2

13 4

3 2

a 39 16

SABCV 3 ( ) dt SAC (

)

a 3 13

22

2 BM dt SAM ( . ) AM MS . .sin 60 a dt SAC ( ) V ( V 2 ( 1 3 a 2 3.2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

,

=

=

=

. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và

(cid:1) (cid:1) 090 = ABC BAD SA a= 2

,

2

a

)

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang , gọi H là hình chiếu của BA BC a AD A lên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD (TSĐH D 2007) (

HD giải:

Cách 1:

2

∼

=

⇒

Dựa vào tam giác

SHA

SAB

2

2 3

SH SA = ⇒ SB SA

SH SA = SB SB

Ta sẽ tìm cách quy khoảng cách từ H đến (

SCD thành khoảng cách từ A lên (

)

SCD )

D D

⇒

⇒

Ta có

. Lại có

/(

)

/(

)

/(

)

/(

)

/(

)

/(

)

H SCD

B SCD

B SCD

A SCD

H SCD

A SCD

=

=

⇒ D

Tính được

AC CD a

2

ACD

vuông tại C . Ta kẻ

= = = d BF AF d d d d 1 2 1 2 1 3 2 d= 3

/(

)

/(

)

A SCD

H SCD

2

= = = ^ ⇒ AK SC ⇒ ^ AK ( SCD ) d AK = ⇒ a d . AC AS + 2 a 3 AC AS

S

D

A

K

H

B

C

D

A

F

B

C

Trong cách giải này ta đã quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao A lên mặt phẳng (

SCD .

)

2

2

2

2

=

+

=

=

+

=

= AC a

2;

SD

SA

AD

a

6;

SC

SA

AC

2

a

. Ta cũng dễ dàng

Cách 2: Ta có

2

2

2

=

+

SD

SC

CD

tính được

. Ta có

CD a=

2

nên tam giác SCD vuông tại C .

23

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

=

+

=

=

=

⇒

AH

a

2

2

2

2

2

2

2

. AB AS +

. a a +

2 3

1 AH

1 AB

1 AS

2

AB

a

a

a

2

AS 2 3

= 2

=

=

⇒

⇒ = SH

SA

AH

a

SH SB

2 3

a

2 3

3

2

+

1.

.(

)

=

-

dt BCD dt ABCD dt ABD

(

)

(

)

(

= )

= AB AD .

;

AB BC AD 2

1 2

a 2

2

=

=

dt SCD

(

)

SC CD a

.

2

1 2

2

1. a

SHCD

)

3

=

=

=

=

=

;

.

)

( SA dt BCD

a

V (

)

SBCD

. .

. .

2 3

1 3

2. a 3.2

2 6

SH SC SD SB SC SD

V ( V (

)

SBCD

1

3

3

=

=

- -

.Ta có

d

a

.3

)

SHCD

(

/(

))

H SCD

2

V 3 SHCD ( ) dt SCD ( )

2 9

a = 3

2

a

=

(cid:1) (cid:1) 090 = ABC BAD

,

=

=

=

. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=

2a

, góc tạo bởi SC và

,

a

2

SAD . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng

)

= a V ( 2 9

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang BA BC a AD SAD bằng 300.Gọi G là trọng tâm tam giác ( ) ( SCD ( ) Giải:

S

H

G

N

A

D

M

O

B

C

Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và

CE

(

SAD

)

0

=

⇒

= ⇒ =

⇒ =

ˆ CSE

SE CE

30

. tan 60

a

3

SA a

2

24

^

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE . Ta có BE song song với (

SCD ,

)

MN cũng song song với (

SCD . Ta có

)

= ND AD 3 4

⇒

/(

)

)

/(

)

/(

)

/(

)

G SCD

M SCD /(

N SCD

A SCD

A SCD

Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với (

SAC . Hạ AH vuông góc với SC

)

= = = = = GS MS d d . d d d 2 3 2 3 2 3 . 3 4 1 2 2 3

thì

/(

)

A SCD

2

(Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH a= )

= = = ^ ⇒ AH ( SCD ) d AH a . SA SC + 2 SA SC

Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến (

SCD thành bài toán cơ bản là tính

)

khoảng cách từ A đến (

SCD )

'

' biết

' 'A cách đều các đỉnh

AA

,

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền ,M N lần lượt là trung 'C đến mặt phẳng

,A B C . Gọi 'C MNB và khoảng cách từ

Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ BC a= a= 2 cạnh bên ' 2 , điểm của ',AA AC . Tính thể tích khối chóp )MNB ( Giải:

- Tính thể tích:

Vì

'A cách đều

,A B C nên chân đường cao hạ từ

,

'A lên mặt phẳng (

ABC là tâm vòng tròn

)

ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi H là trung điểm của BC suy ra

A H '

(

ABC

)

=

^

⇒

⇒

Gọi

K MN AC

'

C MNB

'

AMNB

˙ = = AK C K ' V V 3 1 3

⇒

Gọi E là trung điểm của

⇒ AH ME

MANB

= ^ ABC V ( ) ME dt ANB ( . ) 1 3

Tính được:

2

3

3

a a = = = ME ' A H 1 2 1 2 14 2 14 4

Suy ra:

. Vậy

MANB

C MNB

'

d

d= 3

. Gọi F là trọng tâm tam giác ABC.

- Tính khoảng cách:

C BMN

'/(

)

A BMN

/(

)

a = = = V . . V a 14 16 1 3 14 4 a 4 a 14 48

⇒

Ta có:

A BMN

/(

)

E BMN

/(

)

25

= = = = = AE AH AF AF EF ; AF d d 3 1 2 1 3 . 2 2 3 4 1 4

NGUYỄN TRUNG KIÊN

EP BN

. EP EM

=

=

⇒ ^

⇒

)

( EQ MNB

d

EQ

Hạ

E MNB

/(

)

^

2

2

EQ MP

  

+

EP

EM

^

⇒

Ta có EPF

đồng dạng với BHF

D D = ⇒ = EP EF EP BH BF BH EF . BF

Tính được

;

;

EP EM .

=

=

EP

⇒ = EQ

Suy ra:

2

2

a 5 20

a 14 4 71

+

EP

EM

=

=

=

Vậy

d

d

d 3

12

C BMN

'/(

)

A BMN

/(

)

E BMN

/(

)

a 3 14 4 71

a 2 a 5 = = = = EF AF AH AH BH = BF = 1 4 1 2 . 4 3 1 6 a 2 12 2 3

A'

C'

M

B'

M

Q

I

K

N

C

N

A

C

P

E

A

H

E

H

B

B

B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau:

- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P)

- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã

trình bày ở mục A.

26

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

= , cạnh

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông AB BC a

'

'

'

và

¢ = AA a

. Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C¢ 'B C .(TSĐH D2008)

¢ ¢

Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng 2 bên khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và HD giải

.

3 2 2

¢ ¢ ¢ = = V ABCA B C ( ) S h . a

Tính khoảng cách

Gọi N là trung điểm của

'BB ta có

'B C song song với (

AMN . Từ đó ta có:

)

=

= d B C AM d B AMN

, (

)

(

(

,

))

d B AMN , (

(

))

¢ ¢

BK AM

Kẻ

⇒ ^ BH

(

AMN

)

. Ta có:

mà

2

2

2

2

2

2

BH NK

  

=

^ = + = + ^ 1 BH 1 BN 1 BK 1 BK 1 BA 1 BM

⇒

BH⇒

2

2

2

2

a 7

chính là khoảng cách giữa AM và B’C.

= + + 1 BH 1 BN 1 BA 1 BM

C'

A'

B'

N

H

C

A

K

M

B

Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này

Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))

27

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC . (TS B2007) HD giải: Gọi P là trung điểm của SA , ta có tứ giác MPNC là hình bình hành.

/ /MN PC . Từ đó suy ra

nên BD PC

MN

/ /(

SAC . Mặt khác

)

BD

(

SAC

)

Nên ⇒ ^

.

BD MN

^ ^

Ta có:

)

/(

)

MN AC /

MN SAC /(

N SAC

= = = = = ( )) 2 d d d , ( d B SAC BD a 1 2 1 4 1 2

E

S

P

M

A

D

O

K

C

B

N

( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này để vận dụng)

=

hai

a 2 ,

= AB BC

)

SAC và ( )

SBC cùng vuông góc với đáy ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt ABC bằng 600.

SBC và ( )

)

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , mặt phẳng ( phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N . Biết góc tạo bởi ( Tính thể tích khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a (TSĐH A 2011)

Giải

28

NGUYỄN TRUNG KIÊN

0

0

ˆ

⇒

= ⇒ =

Ta có

SA

= ABC ABC );

(

90

ˆ SBA

SA

60

2

a

3

Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm của AC

=

V

33 a

Từ đó tính được

- Kẻ đường thẳng ( )d qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng (

)P chứa

SN và ( )d nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến (

)P .

Dựng AD vuông góc với ( )d thì

AB

/ /(

SND , dựng AH vuông góc với SD thì

)

SA AD .

39

2

=

==

=

=

^

⇒

AH

(

SND

)

d

d

AH

AB SN /

A SND

/(

)

2

2

a 13

+

SA

AD

^

S

H

D

N

C

A

M

B

'

'

'

=

= . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A 'AB và BC .

a AA

2 ,

a

,

'

Ví dụ 4) Cho lăng trụ đứng = AB a AC Giải:

'AB nên

Ta có BC song song với mặt phẳng (

AB C chứa ')

'

=

=

=

d

d

d

d

(vì

A B AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi

,

'

'

BC AB /

'

BC AB C /(

'

')

B AB C

/(

'

')

A AB C

'/(

'

')

đường)

29

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Từ

'B C , Hạ

'

'A hạ

'A K vuông góc

'A H vuông góc với AK thì

A K A A .

'

'

=

=

=

⇒

A H '

(

AB C '

')

d

A H '

A AB C

'/(

'

')

2

2

a 2 3

+

' A K

' A A

^

(Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này)

= -

. Góc tạo bởi SC và mặt

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng (

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HB

2

)

ABC là điểm H thuộc AB sao cho 060 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng

ABC bằng )

phẳng ( ,SA BC theo a . Giải:

S

K

F

H

B

A

M

E

D

C

- Tính thể tích:

Vì

SH

(

ABCD

)

nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (

ABCD . Góc tạo

)

(cid:1) 060 SCH =

.

bởi SC và mặt phẳng (

ABCD là

)

Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có

2

2

2

2

2

2

=

+

+ 2

^

HC

HB

BC

(cid:1) = HBC HB

BC

a

2

HB BC .

.cos

2

HB BC .

= 0 .cos 60

2.

= a . .

2 a + 9

a 3

1 2

a 7 9

- - -

Suy ra

30

a 7 a 7 a = = = ⇒ = HC SH HC .tan (cid:1) SCH . 3 3 3 21 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

0

Ta suy ra

( ĐVTT)

SABC

ABC

- Tính khoảng cách:

Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD

a = = = V SH S . a a . .sin 60 D 1 3 1 3 21 1 . 2 3 a 7 12

Ta có

AD BC nên

/ /

)

/(

)

)

SA BC /

BC SAD /(

B SAD

H SAD /(

= = = d d d d 3 2

HF

AD

=

⇒

⇒

Kẻ

HK

(

SAD

)

d

HK

/(

)

H SAD

HK SF

  

^ ^ ^

Trong tam giác vuông SHF ta có

2

2

2

2

= + = ⇒ HK .HF HS + 2 1 HK 1 HF 1 HS HS HF

Mặt khác ta có

=

=

=

Suy ra

HK

a

2

. HF HS + 2

42 12

2

2

HS

HF

+

a

a

3 a a . 3 3 9

21 3 21 9

3 = = = HF AE 2 3 a 2 3 2 a 3 3

Vậy

/ SA BC

SAB là 300. Gọi

)

= = d a a 3 42 . 2 12 42 8

Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ,E F lần lượt là trung điểm của BC và SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF

Giải:

AB

0

=

⇒

= ⇒ =

⇒ =

⇒ ^ CB

(

SAB

)

ˆ CSB

SB BC

30

.cot 30

a

3

SA a

2

Vì

^

 CB  CB SA 

Từ C dựng CI song song với DE ta có

^

)CFI chứa CF và

song song với DE

= . Ta có mặt phẳng ( CI DE= a 2

Ta có

với H là chân đường cao hạ từ F lên AD

/ DE CF

/( DE CFI

)

/( D CFI

)

/( H CFI

)

31

= = = d d d d 1 2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

HK CI

=

=

⇒

Dựng

(

)

⇒ ^ HR

FCI

d

HR

/( H CFI

)

2

^

. HK HF + 2

HR FK

  

HK

HF

. a

a

=

=

=

=

⇒

Ta có

. HK CI

. CD HI

HK

2

1 2

1 2

. CD HI CI

3 a 13

2

a

a

3 2  +  

  

3 2

a

2

a

2

2 3 a . 13

=

=

Ta có

FH

⇒ = HR

2

2

2

3 31 31

2

a

+

2

  

  

3 a 13

  

  

^

S

F

R

D

A

I

H

K

B

C

E

Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

AB

a= 2

. Mặt bên SAB là

Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết AC vuông góc với SD tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Giải:

- Tính thể tích khối chóp SABCD

32

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Gọi H là trung điểm

,AB O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

⇒ ^ SH

(

ABCD

)

và

Gọi M là trung điểm của SB thì góc tạo bởi OM và AC cũng là góc tạo bởi SD và AC . Suy

ra

(cid:1) 090 MOC =

.

2

2

2

2

2

=

=

+

3 = = SH a 3. AB 2

⇒ ^

⇒

Ta có

.

BC

(

SAB

)

BC SB MC

+ BC MB

BC

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

^

2

2

2

= = = + = = + OM SD SC ( BC 4 a OC ), AC ( BC 4 a ) 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

Như vậy tam giác MOC vuông cân tại

⇒ O MC

2 + BC

2 = a

2 + BC

= (cid:219) OC 2 ( 4 a ) 1 2

⇒ =

= 2 BC

22 a

BC a

2.

Thể tích hình chóp S.ABCD là

3

(cid:219)

S ABCD

ABCD

.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD,SC:

=

=

=

⇒

SC

/ /(

BDN

)

d

d

d

d

Gọi N là trung điểm của SA thì

SC BD /

SC BDN /(

)

C BDN

/(

)

A BDN

/(

)

=

⇒

NK SH / /

⇒ ^ NK

(

ABCD

)

d

2

d

Kẻ

A BDN

/(

)

K BDN

/(

)

2 a 6 = = = = V S SH . AB AD SH . . a a 2 . a 2. 3 1 3 1 3 1 3 3

KE BD

=

=

⇒

(

)

⇒ ^ KF

BDN

d

KF

Kẻ

K BDN

/(

)

^

. KE KN 2

2

KF NE

  

+

KE

KN

a

3

AB AD .

a

=

=

=

=

Có

KN

,

KE

AQ

.

2

2

2

3 4

3 4

6 4

+

AB

AD

^

Thay số ta tính được

a 6 KF = 6

(

)

Vậy

33

6 a = = , 2 d BD SC KF 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

N

A

D

M

K

F

H

O

Q

E

B

C

Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản.

Phần 6

Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.

Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b.

Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c.

Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a và b. Sau đó ta

2

2

2

+

b

a

=

cos

A

-

hoặc theo hệ thức lượng

tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin

c 2 bc

trong tam giác vuông.

ABCA B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông

'

'

AC a=

' và hình chiếu vuông góc của

3

)

ABC là trung

'A lên mặt phẳng ( 'A ABC và tính côsin góc tạo bởi

'AA và

'

Ví dụ 1) Cho lăng trụ tại A , AB a= , điểm của cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp 'B C . (TSĐH A 2008)

HD giải :

và

Gọi H là trung điểm của BC . Suy ra

A H '

(

ABC

)

34

^

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

2

2

=

= 2

A H '

A A '

AH

a

3.

3

=

=

V

A H S ' .

△

A ABC

ABC

'

a 2

1 3

2

2

=

+

=

HB

'

A H '

2

a

Trong tam giác vuông

'A B H ta có

'

'B BH cân tại

- = = + = Do đó AH BC a a 3 a 1 2 1 2

a

⇒

'B C thì

'

'B . Đặt a là góc tạo bởi

'AA và

A B ' (cid:1) B BH '

a cos

nên tam giác 1 = 4

= = a a 2.2

Tel 0988844088

A'

C'

B'

A

C

H

B

=

=

mặt

SA a SB a ,

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi

3 ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh

)

Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , phẳng ( ,AB BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN . Hd giải:

Hạ

SH AB

⇒ ^ SH

(

ABCD

)

2

2

2

+

=

SA

SB

AB

vuông tại

SH cũng chính là đường cao khối chóp SBMDN . Ta có

SAB⇒ D

^

⇒

là tam giác đều

S

3

2

a 3 = SM = ⇒ D a SAM SH⇒ = AB 2 2

Dễ thấy

. Do đó V(SBMDN)=

SBMND

BMDN

BMDN

ABCD

35

= = = = 2 V SH S . S S a 1 2 1 3 a 3 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra

a

a⇒ =

Giả sử góc tạo bởi SM và DN là

(

SM ME ,

).

a AE = 2

⇒

Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy ra SA AE

^

2

2

2

Tam giác SME cân tại E nên cos

a =

=

5 5

SM 2 ME

a 5 a 5 = + = = = SE SA AE , ME + 2 AM ME 2 2

S

E

A

D

H

M

C

B

N

=

=

.

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và

AB

a AC 3 ,

4

a

=

=

. Tính thể tích khối chóp SABC và cosin của góc giữa hai

(cid:1) (cid:1) 0 60

= a SAB SAC

2 ,

SA Cạnh bên đường thẳng SB và AC Giải:

Lời giải:

) ABC

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (

Kẻ

/ /HI AJ và

/ /HJ AI

; do tam giác ABC vuông tại A nên

HI

AB HJ ;

AC

^ ^

Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI

AB

và SJ

AC

=

(cid:1) (cid:1) 060 = SAB SAC

Hai tam giác vuông SIA và SJA bằng nhau, vì có SA là cạnh chung và

36

^ ^

NGUYỄN TRUNG KIÊN

0

0

=

=

=

=

SI

SJ

SA

sin 60

a

3

Do đó

và

= AI AJ

SA

cos 60

a

= , từ đó HI HJ=

Suy ra AH là đường phân giác trong của góc A

Vậy tứ giác AIHJ là hình vuông cạnh bằng a .

Khi đó

AH a=

2

2

2

=

2 =

SH

SA

AH

4

a

2 = a

2

a

2

Tam giác SHA vuông tại H, ta có:

2

- -

Diện tích tam giác ABC là:

ABC

2

3

= = = S AB AC . a a 3 .4 6 a 1 2 1 2

Thể tích khối chóp

(đvtt)

SABC

ABC

= = = 2.6 2 2 V . SH S a a a 1 3 1 3

S

M

J

C

A

H

I

B

- Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng:

⇒

IM SB / /

(cid:1)( AC SB ,

) (cid:1)( = ,

) IH IM j

Kí hiệu j là góc tạo bởi 2 đường thẳng

=

,AC SB . Kẻ

2

2

2

2

=

+

=

+

=

Tính được

SB

SI

IB

a 3

4

a

a

7

Mặt khác

=

=

⇒ D

Do

SH AH a

2

SHA

vuông cân tại H .

37

7 a = = = = ⇒ = IM , AM a IM AM AI AB AS SB 1 3 3 2 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Trong tam giác AMH ta có :

2

2

4

2

2

2

=

+

=

2 +

2

.cos 45 2

.

HM

AH

AM

. AH AM

a

2 2 . a

a 9

2 a 3

10 a 9

1 = 2

2

2

2

+

- -

a

a

2

2

2

+

IH

7 9

10 a 9

j

=

=

=

cos

cos

(cid:1) HIM

Ta có

IM HM IH IM 2 .

7 = ⇒ 7

7 7

7

a

2. . a

3

- -

PHẦN 7) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau:

** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

SA A A thì tâm I cách đều các đỉnh

1 2.. n

;

;

A

S A A 1 2

..... n

- Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy

A (đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý

A A 1

2... n

việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất)

A nên I thuộc mặt phẳng trung trực của

A A 2;

..... n

iSA

- Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh 1 đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng

** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh a dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm của cạnh a.

** Khi tính toán cần lưu ý các công thức:

=

;

a

2 sin ,...

R

A

⇒ = R

Ta xét các ví dụ sau:

=

=

=

.Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA a= . Gọi E là trung

;

BC

ADa

a

2

= S abc R 4 abc S 4

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB điểm của AD .Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó.

HD giải:

38

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

O

M

A

E

D

N

K

I

B

C

V =

3a 6

Gọi

,M N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng (

ABMN là mặt phẳng trung

)

)

đồng

=D

trực của SE . Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng ABMN và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE . Gọi D là đường thẳng qua trung điểm I ( của CD và song song với SA .Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM vì KN và D phẳng suy ra

là điểm cần tìm

KN

O

˙

=

;

Tam giác OIK vuông cân nên OI

IK=

2

2

2

+ BC AD = 2 a 3 2

2

2

2

Ta có

9 2 a = + = + = = OC OI IC =⇒ R OC 11 2 a 4 a 4 a 11 4

Trong ví dụ này ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE

vuông cân ở A

Nếu biết chọn đỉnh và đáy hình chóp hợp lý ta có một cách giải khác đơn giản hơn như sau:

Ta coi SED là mặt đáy của khối chóp CSED . Gọi J là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SED . Thì J nằm trên đường trung trực Kx của ED . Vị trí J được xác định theo hệ thức

SE ED SD a a . .

5

a

=

=

=

= JE R 1

. S

4

2. a a a 2. .

10 2

SED

39

D

NGUYỄN TRUNG KIÊN

thì

Qua J kẻ đường thẳng

Jy

(

SED

)

Jy CE . Trong mặt phẳng (

/ /

)CEJ kẻ đường trung trực

của CE cắt Jy tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có bán kính mặt cầu là

2

2

2

2

2

2

2

2

^

2 R 1

= = + = + = + = R OE OJ JE ⇒ = R CE 4 a 4 a 10 4 a 11 4 a 11 2

x

S

J

O

y

A

D

E

K

I

C

B

=

=

AB a AD a ;

2

góc ABCD bằng 600. Gọi H là trung điểm của AB . Biết mặt bên

SAC và ( )

)

SAB là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối

)

Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh giữa hai mặt phẳng ( ( chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC Giải:

- Ta có

.Kẻ HM vuông góc với AC thì góc tạo bởi (SAC) và

SH AB

⇒ ^ SH

(

ABCD

)

0

(ABCD) là

ˆ SMH =

60

a

a

2

6

2

0

ˆ

=

=

Có

= HM AH

= HAM AH

= SH HM

sin

;

tan 60

BC a a = AC

2

6

2

3

a

3

=

=

V

SHdt ABCD (

)

SABCD

1 3

a 3

40

^

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

y

x

I

E

A

D

M

K

J

H

B

C

Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có

.

AC

.

AC

a 3

3

=

=

=

r

.

AH HC . S 4

AH HC . 2 S

24

AHC

ABC

qua J và

là

// SH

.

Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AHC

S.

trong mặt phẳng (SHJ). Ta có

Kẻ đường thẳng D giao điểm của đường trung trực đoạn SH và D

2

2

2

2

=

+

=

+

IH

IJ

JH

r

.

SH 4

aR =

.

Suy ra bán kính mặt cầu là

31 32

a

=

DA DB=

D

Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a,

, CD vuông góc

3

0

90

ˆ AEB =

)

.Tính góc tạo bởi mặt phẳng ABD . Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện

với AD .Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho ABC và mặt phẳng ( ( ) ABCE Giải:

- Gọi I là trung điểm của AB thì CI vuông góc với AB và DI vuông góc với AB . Nên góc

(cid:1) CID .Do hai tam giác ACD và BCD bằng nhau nên

tạo bởi (

ACD và ( )

ABD là )

2

2

2

0

2

2

41

3 a = 2 - - ⇒ ^ 90 ( ) ; ; (cid:1) (cid:1) = BDC ADC = ⇒ ^ CD ABD = CD DI CI DI DA = AI 2 a 3 a = 4 a 12

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

a

a

=

=

cos

:

(cid:1) CID

2

1 = 3

DI CI

2

2

2

=

= 2

CD

CA DA

a

. Tam giác ABE vuông cân, do đó

- Tam giác vuông ACD có

2 3

2

a

a

2

= 2

-

=

;

AE

⇒ = DE

AE DA

ACE

có AD là đường cao và

2

6

2

2

=

=

⇒ D

. CD DE

DA

ACE

vuông tại A .

a 3

Tương tự ta có tam giác BCE vuông tại B . Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE là đường kính tâm I của mặt cầu là trung điểm của CE . Bán kính

3

3

p

6

6

6

a

a

a

a

3

p

=

=

+

=

=

=

)

R

+ ( CD DE

a

⇒ = V

R

1 2

1 2

2 3

4

4 3

4 p 3

4

8

6

   

   

   

   

- D

E

D

C

A

I

B

= -

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HN

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 HM

,M N là trung điểm của

,AB CD . Mặt phẳng

SAC và xác định

)

)

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và đường cao là SH với H thỏa mãn trong đó SAB tạo với đáy ABCD góc 600. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( ( thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra H là trung điểm của MO và

0

vuông cân

42

3 a = ^ ⇒ ^ ⇒ = ⇒ = ⇒ MH ; AB HM AB SM SMH SH 60 SM SAB 4 a = ⇒ D 2 a 4

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

d N SAC / (

(

))

tại S và

. Ta có

thì

. Kẻ HK AC

/ /HK BD và

SNACV 3 dt SAC (

)

2

a 2 ^ = SA SB= 2

0

a ˆ ˆ = = = ⇒ = ⇒ = KHO KOH SK 45 dt SAC ( ) AC SK . 14 8 a 7 8 1 2

3

SNAC

. Vì tam giác SAB

Trục đường tròn đáy là đường thẳng ( )d qua O và / / SH

⇒ (cid:204) d

(

SMN

)

a 21 = = = ⇒ V SH dt NAC ( . ) a d N SAC / ( ( )) 3 48 1 3 14

nên

'/ /d HE .

vuông cân tại S nên trục d’ của tam giác SAB qua M và vuông góc với SAB . Theo trên ta có (

SMH nên kẻ HE vuông góc với SM thì

SAB vuông góc với (

SAB

HE

(

)

)

)

Như vậy

'd

˙ = d

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD . Ta có

2

2

2

^

2

2

2

2

0 30 ;

3

a

3

p

=

=

Thể tích khối cầu là:

V

a

.

p 4 3

21 6

7 21 54

   

   

3 a a = = + = = + = tan 30 ˆ OMI = OI OM ⇒ = R IA OA OI ⇒ = R 6 a 2 a 12 7 a 12 21 6

S

A

D

E

O

M

N

H

K

C

B

I

PHẦN 8. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN

Để giải quyết tốt dạng toán này học sinh cần lưu ý các tính chất và các bất đẳng thức cơ bản:

[ 1;1]

không đổi và

+ ‡ a b

2

= ab

2

M

˛ -

j j 1) sin , cos 2) Nếu tích ab M=

, a b+ không đổi và

a b > thì , 0

43

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

)

(

2 =

ab

0

a b > ,

N 4

. Khi đó với điểm N bất kỳ thuộc

£

‡ D

+ a b 4 3) Cho đường thẳng D ta có MN MH

và một điểm M không thuộc D trong đó H là hình chiếu vuông góc của M lên D

4) Cho đường tròn (

)C và dây cung AB cố định. Khi đó khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đường tròn đến dây cung AB là lớn nhất khi M thuộc đường thẳng qua tâm của đường tròn và vuông góc với dây cung AB ....

)

ABC để thể tích khối chóp lớn nhất.

0

0

a< <

a

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với SBC và ( ) đáy SC c= . Hãy tìm góc giữa mặt phẳng ( Lời giải: (

)

90

0

SBC và ( )

) ABC

là góc hợp bởi hai mặt phẳng (

Giả sử

BC AC

(

)

⇒ ^

Ta có:

⇒ ^ BC

SAC

BC SC

^

BC SA

  

Do đó:

(cid:1) SCA a=

a

=

=

=

=

Trong tam giác vuông SAC , ta có:

BC AC SC

cos

a

a cos

= SA SC

a sin

;

a a

sin

3

2

2

3

a

^

Thể tích khối chóp SABC là:

a .sin

( a 1 sin

) a .sin

ABC

0

a

<

a<

=

(

< 0 sin

< ⇒ ˛ t

1

) 0;1

Đặt

do 0 0

90

nên

t

a sin ,

1

3

2

2

3

=

= = = - V S SA . a cos a 1 3 1 3 1 3

(

)

)

Ta có:

V

a

t

= V

a

V

( 1

t t ,

) 0;1 ;

'

( t 1 3

⇒ = (cid:219) = t ' 0

1 3

1 3

3

1

1

1

- ˛ -

=

a =

a ⇒ =

Lập BBT ta thấy:

, khi

t

sin

arcsin

32 a 27

  

  

3

3

3

Cách khác: Theo BĐT Cauchy ta có:

2

6

4

2

6

2

3 (cid:219) max V =

a

)2

2 a .sin

( a 1 sin

a .sin

44

= = - V a cos a 1 9 1 9

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

2

a

2

+

+

a

sin

2

6

6

6

a

2

1 sin 2

2 a 1 sin 2

=

=

a

.

.

.sin

a 4 9

1 sin 2

2 a 1 sin 2

a 4 9

3

a 4 243

     

     

- - - - £

32 a 27

2

3 V⇒ £

a

2

=

=

a

⇒ = a

, đạt được khi:

sin

a sin

arcsin

32 a 27

1 sin 2

  

  

1 3

1 3

- 3 = (cid:219) ⇒ V max

S

A

B

α

C

) SBC

Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( bằng 2a . Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất? Lời giải:

=

và

Gọi O AC BD

,M N lần lượt là trung điểm của AD và BC

=

(

)

)

)

)

AD

/ /

) SBC nên

Do

( ( d A SBC ,

( ( d M SBC ,

˙

BC MN

)

(

Ta có:

⇒ ^ BC

SMN

^

BC SN

  

^

)

(

)

(

)

BC

SBC

SBC

SMN

Mà

nên (

theo giao tuyến SN

45

(cid:204) ^

NGUYỄN TRUNG KIÊN

(

)

MH

SBC

Trong tam giác SMN kẻ đường cao MH thì

=

=

=

)

)

)

)

Do đó:

( ( d A SBC ,

( ( d M SBC ,

MH

2

a

0

0

a

a< <

)

^

(

)

0

90

Giả sử

là góc hợp với mặt bên (

SBC và đáy hình chóp thì

(cid:1) SMN a= .

Trong tam giác vuông

,MHN ta có:

a

= = = AB MN MH a sin a 2 a sin

Trong tam giác vuông SON , ta có:

a .tan

a

Thể tích khối chóp SABCD là:

2

3

3

4

a

4

=

=

=

=

V

S

SO .

.

.

ABCD

a 2

a 2

a

a

= = = SO ON tan a sin a a cos

a

1 3

1 3

a cos

sin

4 2 a 3sin

a .cos

)

( 3 1 cos

a cos

0

a

=

<

a

a<

(

< 0 cos

< ⇒ ˛ t

1

) 0;1

Đặt

t

cos

, do 0 0

90

nên

3

4

a

=

-

(

V

t

,

) 0;1

Ta có:

2

)

t

t

( 3 1

3

2

˛ -

(

a

4

t 3

) 1

=

V

V

'

;

= (cid:219) = t ' 0

2

3

1 3

-

(

)

t

3

t

1

1

1

3

=

-

a =

a

⇒ =

min

V

a= 2

3

Lập BBT ta thấy:

, khi

t

cos

arccos

3

3

3

(cid:219)

S

D

C

N

M

O

A

B

46

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc ,CD H là hình chiếu của đỉnh S lên BM . Tìm vị trí với đáy. M là một điểm di động trên cạnh của điểm M trên CD để thể tích khối chóp SABH là lớn nhất. Lời giải:

S

A

B

H

C

D

M

2

2

=

< £

=

+

(

)

CM x

0

x a

, ta có:

Đặt

BM

a

x

2

2

)

( a a x

ABM

ABCD

2

2

a

=

=

=

⇒

Mặt khác:

S

BM AH .

AH

ABM

2

2

1 2

S ABM BM

+

a

x

4

ax

2

2

=

2 =

= - - - - S S S a ax = BCM 1 2 1 = 2 a 2

BH

AB

AH

a

Trong tam giác vuông ABH , ta có:

2

2

2

a +

= 2 x

a

+

a

x

2

a

ax

3 a x

=

=

=

S

AH BH .

.

.

Diện tích tam giác ABH là:

ABH

2

2

2

2

2

2

1 2

1 2

+

+

+

a

x

a

x

a

x

=

=

V

S

SA .

Thể tích khối chóp SABH là:

ABH

2

3 a hx 2 +

1 3

(

)

a

x

6

2

2

2

2

+

a

x

=

- -

⇒

2

.

2

+ ‡ x

= x

a

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

2

x +

x

a x

a x

1 a 2

a

x

47

£

NGUYỄN TRUNG KIÊN

, đạt được khi

.

2 a h 12

2 a h 12

2a x

= ⇒ ⇒ £ V V max = (cid:219) = x x a

Cách khác:

Thể tích khối chóp SABH là:

. Mà SA không đổi nên thể tích V lớn nhất khi

lớn nhất.

ABHS

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2

2

2

2

2

= V SA . 1 S 3 ABH

ABH

2

= = + = ‡ £ ⇒ 2 a AB AH BH . AH BH S . AH BH 1 2 a 4

, đạt được khi AH BH=

, suy ra tam giác ABH vuông cân tại H . Khi đó

ABH

M D”

lớn nhất và thể tích lớn nhất đó là:

Vậy M D”

thì thể tích khối chóp ABHS

= ⇒ max S a 4

.

ABH

2 a h 12

)P và một điểm C di )P tại A lấy một điểm S . )Q qua A vuông góc với SB tại H cắt SC tại K . Tìm vị trí của điểm C để thể

= = V S SA . 1 3

Ví dụ 4) Cho đường tròn tâm O đường kính AB nằm trong mặt phẳng ( động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Mặt phẳng ( tích khối chóp SAHK lớn nhất. Lời giải:

S

H

K

O

B

A

C

48

NGUYỄN TRUNG KIÊN

BC AC

(

)

⇒ ^

Ta có:

⇒ ^ BC

SAC

BC AK

(1)

^

BC SA

  

^

(2)

Mặt khác: AK SC

^

(

)

AK

SBC

Từ (1) và (2) suy ra:

^

Do đó: AK SB

và AK HK

^ ^

SB

AH

(

)

Từ đó ta có:

⇒ ^ SB

AHK

^

SB

AK

  

Tam giác SAB vuông cân tại A nên H là trung điểm của SB

^

⇒

Ta có:

= = = SB SA 2 2 R 2 AH = SB R 2 1 2

.

Thể tích khối chóp SAHK là:

V

S

lớn nhất

Do SH không đổi nên SAHK

lớn nhất khi AHK

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2

2

2

2

2

= V SH . 1 S 3 SAHK

AHK

2

= = + = ‡ £ ⇒ 2 R AH AK HK 2 AK HK . S AK HK . 1 2 R 2

=

=

, đạt được khi AH HK R

AHK

1

1

1

1

3

2

=

+

= ⇒ max S R 2

⇒ = AC

Trong tam giác vuông SAC , ta có:

2

2

2

R 3

AK

2 SA

AC

1 = 2 R

1 + 2 R

AC

4

j =

(cid:219)

Đặt

, ta có:

(cid:1) BAC

= j = cos AC AB 3 3

thì thể tích khối chóp SAHK

Vậy có hai vị trí của điểm M trên đường tròn sao cho

đạt giá trị lớn nhất.

j = cos 3 3

Khi đó:

.

SAHK

3 2 6

49

R = V max

NGUYỄN TRUNG KIÊN

x

3

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có cạnh SB x= , tất cả các cạnh còn lại bằng

3

 > a a  

   

1. Tính thể tích khối chóp theo a và x 2. Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất.

Lời giải:

S

A

D

O

H

B

C

1) Tính thể tích khối chóp:

Tứ giác ABCD có các cạnh đều bằng nhau và bằng a nên là hình thoi.

=

Gọi O AC BD

=

=

=

= Hai tam giác SAC và ABC bằng nhau vì có AC là cạnh chung và SA SC BA BC a

=

= Do đó: OB OD OS

Suy ra tam giác SBD vuông tại S

2

2

2

2

=

+

=

+

Từ đó

BD

SB

SD

x

a

Trong tam giác OAB vuông tại O , ta có:

2

2

2

2

=

=

2 =

˙

- - -

(

) 2 =

AC

OA 2

2

AB OB

2

a

2 + x

a

a 3

x

1 4

2

2

2

2 +

Diện tích hình thoi ABCD là:

ABCD

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD

50

= = - S AC BD . a 3 x . x a 1 2 1 2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

Ta có:

SA SC=

= nên HA HC=

1

, suy ra H thuộc đường trung trực của đoạn AC

Mà ABCD là hình thoi nên BD là đường trung trực của AC , tức H thuộc BD

ax

=

= SH BD SB SD

.

.

⇒ = SH

Tam giác SBD vuông tại S , ta có:

2

2

SB SD . BD

+

x

a

Thể tích khối chóp SABCD là:

ax

2

2

2

2

2

=

=

2 +

V

S

SH .

a 3

x

.

a

x

.

ax

a 3

x

ABCD

ABCD

2

= 2

1 3

1 6

1 6

+

a

x

2) Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất.

2

2

3

+

- -

x

2

2

=

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

V

ax

a 3

x

SABCD

1 6

a 3 2

a 4

 a x   6 

 2 =   

3

- - £

2

2 (cid:219) =

.

, đạt được khi 2 x

SABCD

a 6 = - = ⇒ x x max V a 3 a 4 2

Vậy khi

thì thể tích của khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.

a 6 x = 2

Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( và N là hai điểm lần lượt di động trên cạnh BC và CD

(

)

= DN y

0

x a

;0

y

a

sao cho góc

. Chứng minh rằng

SA a M= ; . Đặt BM x= và

) ABCD và (cid:1) 045 MAN = 2

+

=

£ £ £ £

)

xy

( a x

y

a

. Tìm

,x y sao cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé nhất.

-

Lời giải:

2

+

=

)

( a x

y

a

xy

+) Chứng minh

a b+

=

-

Goi

b = thì

, với

(cid:1) (cid:1) a = DAN BAM

;

045

0

a b ,

0 45

£ £

Ta có: tan

+

a

x a

=

= = a b ; tan x a y a

a

b +

(

)

Mặt khác:

tan

0 = tan 45

b + tan tan a b 1 tan .tan

1

y a x y . a a

51

(cid:219) - -

NGUYỄN TRUNG KIÊN

+

)

y

+

)

(đpcm)

(cid:219) = 1

2 = a

xy

( a x

y

( a x 2

a

xy

+) Tìm

,x y để cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé nhất:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

=

+

=

+

=

(cid:219) - -

AN

a

y

a

a

Ta có:

;

tan

b

a cos

3

=

=

=

V

S

SA

SA .

AM AN .

0 .sin 45 .

Thể tích khối chóp SAMN là:

AMN

a

a 12 cos

2 b cos

1 6

1 3

a = + = + = AM a x a a tan a a cos

Ta có:

nên

=

+

p - a + b p = ⇒ = b 4 a 4

a

(

)

cos

b .cos

a cos

.cos

a cos

a cos

sin

 =  

p  a  

2 a 2

4

2

+

+

=

=

a

a

a

a +

)

(

)

cos

sin .cos

( a 1 cos 2

sin 2

p

=

+

+

-

 a sin 2  

  

2 2 2 4

1 2

4

2 + 4

2 4 1 2

3

£

2

3

Do đó:

V

a

2 1 3

   

+

12

2 4

1 2

a   

 =      

- ‡

3

⇒

min

V

a

2 1 3

 =   

   

p p - + = a a , đạt được khi sin 2 = (cid:219) 1       4 = b 8

(

) 2 1

- (cid:219) = = x y a tan a p = 8

(

Vậy khi

(cid:219) = = x y

) 2 1

a

thì thể tích khối chóp SAMN nhỏ nhất.

52

-

NGUYỄN TRUNG KIÊN

S

A

D

45°

N

M

C

B

,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của

Ví dụ 7) Cho tam giác đều OAB có cạnh AB a= . Trên đường d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( )OAB lấy một điểm M với OM x= . Gọi A lên MB và OB . Đường thẳng EF cắt d tại N .

1. Chứng minh rằng AN BM^ 2. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Giải:

1. Chứng minh: Chứng minh rằng AN BM^

AF OB

Ta có

⇒ ^ AF

OBM (

)

⇒ ^ AF

BM

^

AF OM

  

^

⇒

⇒

Mặt khác

BM AE

BM

(

AEF

)

BM AN

2. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Thể tích tứ diện ABMN là

^ ^ ^

ABMN

MOAB

NOAB

OAB

2

= + = V V V ). ( + OM ON SD 1 3

Ta thấy rằng

2

2

3

a

=

.

Do đó

.

V

ABMN

1 3

a 2

4

x

 + x  

   

53

∼ = D D ⇒ OMB OFN ⇒ = ON OF OB a 2 ON OF = OB ON . OM x

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2

+

⇒

x

2

x .

2

a

V

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

ABMN

2 = x

a 2

x

a 2

36 a 12

2

‡ ‡

Dấu bằng xảy ra khi

a 2 = x (cid:219) = x a 2 2 x

M

F

E

B

O

A

N

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

7a

, góc tạo bởi 2 mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng (

ABC bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a .

SBC và ( )

)

a= 33V

ĐS:

0

ˆ

ˆ

=

=

=

=

=

ˆ ASB BSC CSA

60

. Gọi H là hình

Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA SB SC a chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( SBC

= và )

(cid:1) BSC

1) Chứng minh rằng SH là phân giác của góc 2) Tính thể tích khối tứ diện SABC

ĐS:

3 2 12

a V =

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi mặt bên và đáy là 600. Tính thể tích của khối chóp đã cho.

54

NGUYỄN TRUNG KIÊN

34 a

ĐS:

=

. Hai mặt

15 V = 75

Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

,

2

a

= AB a BC SAB SAD cùng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600.

bên (

), (

)

1) Tình thể tích của khối chóp 2) Tính góc tạo bởi 2 mặt phẳng (

SBC và ( )

ABCD )

ĐS:

32 a 3

15 = = j V ; arctan 15

Bài 5: Cho đường tròn đường kính

R= 2

nằm trong mặt phẳng (

)P và một điểm M nằm

trên đường tròn đó sao cho

AB (cid:1) 030 ABM =

. Trên đường thẳng vuông góc với (

)P tại điểm A lấy

SA

R= 2

. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và

điểm S sao cho SM

AHK )

1) Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng ( 2) Gọi I là giao điểm của HK với (

)P . Hãy chứng minh IA là tiếp tuyến của đường trong

đã cho.

3) Tính thể tích của khối chóp SAHK

ĐS:

32 R 15

3 V =

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc

.

(cid:1) ACM a=

2

Hạ SN vuông góc

SA a=

. Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc

với đáy và với CM

1) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tình thể tích tứ diện SACN

theo a và a

2) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN . Chứng minh rằng SC vuông

góc với mặt phẳng (

AHK và tính độ dài đoạn HK

)

a

3

=

=

a

ĐS:

sin 2 ;

V

a

HK

2

a

2 6

cos a + 1 sin

=

, cạnh

Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C ,

= AC a AB

a

2

SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (

SAB và mặt phẳng (

)

, SBC bằng 600. Gọi

)

,H K

lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC . Chứng minh rằng AK vuông góc với HK và tính thể tích khối chóp SABC

55

NGUYỄN TRUNG KIÊN

ĐS:

3 6 12

a V =

Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A , AB a= . Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy , hai cạnh bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 600. Hãy tính thể tích của khối chóp SABC

ĐS:

3 6 6

a V =

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

,M N P lần lượt là trung điểm của các

,

cạnh

SB BC CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

,

,

ĐS:

3 3 96

a V =

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là tâm của đáy, I là trung điểm của AB . Góc hợp bởi SC và đáy là a .

1) Tính thể tích của khối chóp SABCD theo a và a 2) Tính thể tích khối tứ diện SOCD theo a và a 3) Tính khoảng cách từ I đến mặt bên (

SCD . Suy ra thể tích khối tứ diện SICD

)

3

3

3

a

a

5

a

5

a

a

5

=

=

=

=

ĐS:

V

a tan ;

V

a tan ;

d

;

V

a tan

SABCD

SOCD

SICD

5 tan a 2

+

6

24

12

4

5 tan

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt phẳng (

SAC )

(cid:1) 090 ASC =

vuông góc với đáy, góc

và SA tạo với đáy một góc j . Tính thể tích của khối chóp

SABCD

ĐS:

SABCD

3 2 6

a = V j sin 2

Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là 600, các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a . Tính thể tích của khối chóp theo a .

56

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

=

ĐS:

V

SABCD

a 8

2

BD =

. Trên đường thẳng

Bài 13: Trong mặt phẳng (

)P cho hình thoi ABCD có AB a= và

a 3

)P và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi trên

vuông góc với mặt phẳng ( người ta lấy điểm S sao cho SB a=

1) Chứng minh rằng tam giác SAC là tam giác vuông 2) Tính thể tích của khối chóp SABCD 3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (

SAB và ( )

)

SAD vuông góc với nhau

ĐS:

SABCD

34 a 27

0

=

. Góc

và

+ SB SC

a 3

ˆ BAC =

90

=

=

3 = V

Bài 14: Cho hình chóp SABC có cạnh SA a= và (cid:1) (cid:1) (cid:1) 060 = BSC CSA ASB

. Tính thể tích khối chóp SABC theo a .

ĐS:

SABC

3 2 12

a = V

Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc 600. Mặt phẳng ( ,M N

)P chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 300 cắt

,SC SD lần lượt tại

1) Tính theo a tứ diện tứ giác ABMN 2) Tính thể tích khối chóp SABMN theo a

2

2

ĐS:

ABMN

SABMN

5

SA a=

. Mặt

'C và

a 3 3 a 3 = = S ; V 8 16

Bài 16: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a , và cạnh bên phẳng (

)P chứa cạnh AB và vuông góc với mặt phẳng (

SCD cắt SC và SD lần lượt tại

)

'D

'

2

1) Tính diện tích tứ giác 2) Tính thể tích hình đa diện 5 3

ADC D ' ' ABCDD C ' 3 a

ĐS:

ABC D

'

'

ABCDD'C'

57

a 3 3 = = S ; V 6 2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

)

(

;

. Gọi

SA

a= 2

,E F là

ABCD )

AEF . Tính thể tích khối chóp

^

Bài 17: Khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA hình chiếu của A trên SB và SD . I là giao điểm của SC và ( SAEIF .

3

16

ĐS:

a 45

)

ABCA B C đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (

Bài 18: Cho lăng trụ đứng

1A BC tạo với đáy 1

1 1 1

28a . Tính thể tích khối lăng trụ.

góc 300 và tam giác 1A BC có diện tích bằng

ĐS:

3 8 3a

=

ABCA B C có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền

. Mặt

AB

2

a

1 1 1

,

a=

3

)1AA B vuông góc với mặt phẳng (

) ABC AA 1

; góc 1A AB nhọn, góc tạo bởi

)

ABC bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 19: Khối lăng trụ phẳng ( 1A AC và mặt phẳng ( ) (

3

ĐS:

,M N lần

)

AMN vuông góc với mặt phẳng (

= V a 3 5 10

Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt ) phẳng ( SBC .

ĐS:

2 10 16

)

a S =

Bài 21: Cho hình chóp SABC có

=

a= 3 SA (cid:1) 0 ABC = 120

, góc

ABC . Tam giác ) SBC .

ABC có

= AB BC

2

a

và SA vuông góc với mặt phẳng ( . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (

ĐS:

và SA

a SA ,

a= 2

)

ABC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên

Bài 22: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh vuông góc với mặt phẳng ( các đường thẳng SB và SC

) SBC

a) Tính khoảng cách t ừ A đến mặt phẳng ( b) Tính thể tích của khối chóp ABCMN .

58

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

ĐS:

)

SBC bằng 2a

a a ) b ; ) 2 57 19 a 3 3 50

Bài 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( . Góc giữa các mặt bên và mặt đáy làa .

a) Tính thể tích khối chóp theo a và a b) Xác định a để thể tích khối chóp nhỏ nhất.

3

ĐS:

,

2a

)

ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD

a a = ; cos 4 a a 2 3cos .sin 3 3

Bài 24: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= , AD = SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng ( và SC , I là giao điểm của BM và AC .

)

SAC vuông góc với mặt phẳng (

) SMB .

a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB .

ĐS:

3 2 36

'

'

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a= ,

,

a= ' 2

a= 3

' . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng '

'A C , I là giao điểm của AM và

a V =

Bài 25: Cho lăng trụ đứng AA A C ' 'A C

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (

) IBC

ĐS:

34 a 9

=

2

= AB AD

a , ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD

)

)

)

SCI

SBI

) SBC và ( ) cùng vuông góc với mặt phẳng (

ABCD , tính thể tích khối

và (

5 2 = = ; V d a 5

Bài 26: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , CD a= , góc giữa 2 mặt phẳng ( . Biết 2 mặt phẳng ( chóp SABCD theo a .

3

ĐS:

59

= V a 3 15 5

NGUYỄN TRUNG KIÊN

a= , góc tạo bởi

'

'

'BB và mặt phẳng

)

'BB (cid:1) BAC =600. Hình chiếu vuông góc của điểm

ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện

ABCA B C có ' Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ( ABC là 600, tam giác ABC vuông tại C và góc ) 'B lên mặt phẳng( 'A ABC theo a .

ĐS:

V =

39 a 208

SC a=

7

. Góc tạo bởi

)

Bài 28: Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có ABC và ( ) (

SAB =600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a .

ĐS:

33V a=

Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a , góc

(cid:1) ABC = )P là

600, SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy),

. M là trung điểm của AD . (

mặt phẳng qua BM và song song với SA , cắt SC tại K . Tính thể tích khối chóp KABCD .

3

ĐS:

V =

a 6

=

a 3 SO = 2

Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật,

Cạnh SA vuông

= AD a

2,

CD

a 2 .

=

góc với đáy và

SA

a 3 2 .

Gọi K là trung điểm AB .

)

) SDK

) SDC .

SAC vuông góc với ( a) Chứng minh rằng ( b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến (

ĐS:

3 2 ; a h

'

'

' )

của

ABCA B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc )P chứa ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng (

a = = V 3 5 10

Bài 31: Cho lăng trụ 'A lên mặt phẳng (

. Tính thể tích khối

BC và vuông góc với

'AA cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích

2 3 8

lăng trụ

a

ĐS:

3 3 12

60

a V =

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

= ;

; góc

(cid:1) SAB bằng góc

(cid:1) SAC

=

Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB AC a

và bằng 300. Tính thể tích của khối chóp theo a .

3

ĐS:

V =

a 16

BC = SA a ; 3 a 2

) SCD bằng

a 3

Bài 33: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (

) SCD

a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt bên( b) Tính thể tích của khối chóp SABCD .

3

. 6

ĐS:

=

AD

a a 3 3 a ) b ; ) 4 6

= ; Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB BC a tại B . Gọi

'B là trung điểm của

a= 2 . Đáy là tam giác vuông cân SB C là chân đường cao hạ từ A xuống SC .Tính thể tích khối

,

'

chóp

SAB C . '

'

3

ĐS:

a 36

=

= , cạnh bên

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a

'

'

'

2a

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC

Bài 35: Cho lăng trụ đứng 'AA =

ABCA B C ' ' ' 'B C .

a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và

ĐS:

3 2 2

SB a=

và

3

)

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB

) ;SM ND .

7 a a ) a ; ) b 7

Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a= ; mặt phẳng( và BC . Tính thể tích khối chóp SBMDN và góc giữa (

ĐS:

33 a 3

61

a j = = ; cos V 5 5

NGUYỄN TRUNG KIÊN

(cid:1) ABC và bằng

(cid:1) BAD bằng góc

. SA vuông góc với đáy và

. Gọi

a= 2

a= 2

AD

SA

,M N lần lượt là trung

Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, góc = ; = 900; AB BC a điểm của

;SA SD . Tính thể tích khối chóp SABCD và khối chóp SBCMN .

3

ĐS:

3) a a b ; )

a 3

'

'

'

)

AC a=

ABC là trung điểm của cạnh

và hình chiếu vuông góc của

3.

ABCA B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại 'A trên (

Bài 38: Cho lăng trụ ,A AB a= ;

BC . Tính theo a thể tích khối chóp 'A ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng

'B C . '

'AA và

3

=

a

ĐS:

V

;cos

a 2

1 = 4

Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

,M N P lần lượt là trung điểm của các

,

cạnh

SB BC CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP .

,

,

ĐS:

3 3 96

=

=

=

AB a AC

,

2

a

5

2 ,

và góc

(cid:1) 0 BAC = 120

.

a V =

Bài 40: Cho lăng trụ đứng

ABCA B C có 1 1 1

và tính khoảng cách từ điểm

Gọi M là trung điểm của cạnh

1CC . Chứng minh rằng

a AA 1 MB MA 1

A đến mặt phẳng

A MB 1( )

^

ĐS:

SBC và ( )

ABC bằng 600 . Các tam

)

a 5 d = 3

Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc giữa 2 mặt phẳng ( giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (

SAC )

ĐS:

d = a 3 13 13

Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O , SA vuông góc

với đáy

2

. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên

,SB SC . Chứng minh

và tính thể tích khối chóp OAHK

SA a= AHK )

(

SC

62

^

NGUYỄN TRUNG KIÊN

ĐS:

V =

32 a 27

=

=

= AB AC

a;

a

2.

ABCA B C có đáy là tam giác vuông

Gọi

Bài 43: Lăng trụ đứng

1 1 1

AA 1

,M N lần lượt là trung điểm của

của

1AA và 1BC . Tính thể tích khối chóp

1AA và

1BC . Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung MA BC 1 1

ĐS:

3 3 12

a V =

Bài 44: Cho lăng trụ đứng

ABCA B C có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của

1 1 1

BM B C

và tính khoảng cách giữa

cạnh

1AA .. Chứng minh

1

1,BM B C

^

ĐS:

a 10 d = 30

=

Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại

,A B ,

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và

SA a=

2

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB

a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (

SCD )

ĐS:

= AB BC = . a AD 2

=

=

= . Gọi

a h = 3

Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông. SA SB SC a ,M N E lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB AC BC , D là điểm đối xứng của S qua E ,

,

,

,

I là giao điểm của AD và SMN

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI

3

ĐS:

V =

a 36

63

NGUYỄN TRUNG KIÊN

và góc

a 3 = = =

Bài 47: Cho hình hộp đứng

ABCDA B C D có các cạnh

'

'

'

'

'AC vuông

. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

A D và '

'

'A B . Chứng minh

'

BDMN và tính thể tích khối chóp ABDMN

)

(cid:1) 060 BAD = góc với mặt phẳng (

V =

ĐS:

33 a 16

AB AD a AA ; ' 2

Bài 48: Cho hình lập phương

'

'

'

'

'CC sao

ABCDA B C D có cạnh a và điểm K thuộc cạnh

cho:

. Mặt phẳng a đi qua

,A K và song song với BD chia khối lập phương thành 2

khối đa diện. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó.

3

3

=

=

ĐS:

;

V 1

V 2

a 3

2 a 3

=

=

= ,

và vuông góc với đáy. Gọi

,

a= 2

a= 2

AD

SA

,M N lần lượt là trung điểm của

CK = a 2 3

(cid:1) (cid:1) 090 = Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AB BC a BAD ABC , ,SA AD . Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp SBCNM theo a

3

=

ĐS:

V

SBCNM

a 3

Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SC vuông góc

với đáy và

. Hai điểm

SC

a= 2

,M N thuộc SB và SD sao cho

(

AMN cắt SC tại P . Tính theo a thể tích của khối chóp SAMPN

)

=

ĐS:

V

SAMPN

32 a 9

= . Mặt phẳng 2 SM SN = MB ND

Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , đường cao SA a= . M là

=

(

)

SM x

0

< < x

a

2

một điểm thay đổi trên SB , đặt

. Mặt phẳng (

ADM cắt SC tại N .

)

1) Tứ giác ADMN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác này theo a và x

64

NGUYỄN TRUNG KIÊN

2) Mặt phẳng (

ADM chia hình chóp ra làm hai phần, một phần là hình chóp SADMN có

)

thể tích 1V và phần còn lại có thể tích 2V . Xác định giá trị của x để

5 = 4 V 1 V 2

2

(

)

ĐS:

ADNM

2 2 = - S + a x 2 x a = + 2 x a x ; 2 2 1 4 a 3

Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác đều

'

'

'

ABCDA B C D có chiều cao bằng a . Mặt phẳng (

A BD )

'

' ABB A một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

')

'

hợp với mặt bên (

a= 32V

ĐS:

'

'

'

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ

'

Bài 53: Cho lăng trụ đứng ' 'AA đến mặt bên

BCC B bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (

ABC và bằng a . Mặt

')

phẳng (

ABC hợp với đáy một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

')

ĐS:

V =

34 a 3

'

'

'

Bài 54: Cho hình lăng trụ (

')

'

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A . Mặt bên ACC A tạo

')

'

.a

ABB A là hình thoi cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ( Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và a

với đáy một góc

3

a

=

ĐS:

sin

V

a 2

'

'

'

Bài 55: Cho lăng trụ Hình chiếu của

ABCA B C có đáy ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O . 'AA và BC là a và góc

ABC là O . Khoảng cách giữa

'A trên mặt phẳng (

)

ABCA B C ' '

'

giữa hai mặt phẳng (

ABB A và (

')

'

ACC A bằng a . Tính thể tích khối lăng trụ

')

'

a

3

3

2

a

tan

2

=

ĐS:

V

a

2

1

3 tan

2

'

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A với

,

ABB A là hình thoi, mặt bên (

. Mặt bên (

' ')

' '

2

a

')

'

-

Bài 56: Cho hình lăng trụ = = BCC B nằm trong mặt phẳng AB a BC vuông góc với đáy, hai mặt phẳng này hợp với nhau một góca . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

65

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

a

V

ĐS:

cot

33 a 2

Bài 57: Cho hình hộp đứng

ABCDA B C D có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng

'

'

'

'

7a

'AO C là tam giác vuông tại

'O (

'O là tâm

2a hình thoi

, đường chéo AC bằng '

biết tam giác A B C D ).Tính thể tích của khối hộp

'

'

'

ĐS:

37 a= 4

V

Bài 58: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a tâm O . Gọi

,M N lần lượt là

trung điểm của

060 . Tính thể tích khối

,SA SC . Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND là

chóp SABCD

3

3

ĐS:

a

hoặc

V = V = 30 6 a 30 18

Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

,A B có

=

=

=

, SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,

a

2

AB BC a AD

SB tạo với (

)P qua O

)

; SAC góc 600. Gọi O là giao điểm AC và BD . Giả sử mặt phẳng ( song song với SC cắt SA ở M . Tính thể tích khối chóp MBCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (

SCD .

)

ĐS:

,

MBCD

M SCD /(

)

36 a 54

'AA

'

'B C tạo với

'

030 . Tính

a 2 = = V d 6

Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật đường thẳng AD một góc

ABCDA B C D có cạnh ' 'B D tạo với mặt bên (

a= . Đường thẳng '

BCC B một góc ')

thể tích khối chóp

' 060 , đường chéo '

ACB D và cosin góc tạo bởi AC và

'

'B D

3

(

)

ĐS:

,

cos

AC B D = '

,

ACB D

'

'

1 4 7

. Đỉnh

= V a 3 27

Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a góc

. Tính thể

S cách đều các điểm

,A B D . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

SCD bằng )

,

(cid:1) 060 BAD = a 2 tích khối chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB

66

NGUYỄN TRUNG KIÊN

ĐS:

,

SABCD

32 a 12

ABCDA B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc

'

'

'

'

.Góc giữa mặt phẳng (

A BD và ( )

'

ABCD bằng 600.Tính thể tích khối chóp

)

a 7 = V R = 8

Bài 62: Cho hình hộp đứng (cid:1) 060 ABC = 'C A AD và khoảng cách giữa hai đường thẳng '

'CD và

'A D theo a

3

ĐS:

,

a 3 d = V = 4 a 8

Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD tạo với (

SBC một góc a sao

)

a =

cho

cos

. Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng (

)P qua M vuông góc với (

SAD

)

2 5 SA SD CD lần lượt ở

,

,

,

,N E F . Tính thể tích khối chóp SMNEF và xác định tâm , tính bán

cắt kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a .

ĐS:

=

,

SMNEF

33 a 8

V R = a 93 6

Bài 64: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi

trung điểm của

,M N lần lượt là ,AD CD . Hình chiếu của S trên ABCD trùng với giao điểm của AN và BM .

Tính thể tích chóp SBCNM cùng khoảng cách giữa 2 đường thẳng BM và SC biết đường cao

=

.

SH

2

a

3

ĐS:

=

,

SBMNC

V a 5 2 24

Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , đường cao SE với E là trung điểm cạnh BC và

a

,SE CE . Trên tia đối của

0

0

a<

,M N là trung điểm của )

= = 2 SE CE . Gọi ACD a= và ( (cid:1)

tia BA lấy điểm D sao cho

. Gọi H là hình chiếu của S lên CD

45

90

a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a và a b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a khi thể tích tứ diện EHMN lớn

nhất.

3

3

£

ĐS:

,

31 a . 6

67

= - = = p V R a V a .cos 2 4 3 160 5 p 3

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

có đáy ABC là một tam giác vuông tại

,

60 ,

ABC A B C¢ .

(cid:1) B BAC

và

(cid:176) ¢ ¢

Bài 66: Cho lăng trụ đứng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng a , khoảng cách giữa hai đường thẳng A B¢

+

(

)

a

3

3

.

Tính theo a thể tích khối lăng trụ

AC bằng

ABCA B C ' '

'

4

ĐS:

¢ ¢

Bài 67: Cho khối lăng trụ

ABC A B C¢ .

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh huyền

bằng

AA

'

a=

3

, góc

2a

. Mặt phẳng (

A AB vuông góc với đáy ABC ,

)

'

(cid:1) 'A AB là góc nhọn. ABC A B C¢ .

)

'

A AC tạo với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ

'

Biết mặt bên ( theo a và tính khoảng cách từ

A AC )

'B đến mặt phẳng (

3

¢ ¢

ĐS:

,

LTV

' B A AC

,(

)

=

=

,M N lần ,biết MN vuông góc

= = a d 3 5 10 a 3 2

Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA a= , Gọi lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng ,AB AD sao cho

AM MB DN

AN

3

;

là tam giác cân tại S . Tính thể tích khối chóp SMNCD và khoảng cách giữa

với SM , SMC SA và CM

3

D

ĐS:

,

SMCND

a 93 = V d = a 11 3 192 31

¢ ¢

Bài 69: Cho lăng trụ đứng

ABC A B C¢ .

có đáy ABC là một tam giác vuông tại

=

với mặt phẳng trung trực đoạn BC bằng 30 .(cid:176) Tính theo a

A BC ,

a AA 3 ,

a

¢

và khoảng cách giữa hai đường thẳng

thể tích khối lăng trụ

= và góc giữa A B¢ ABC A B C¢ .

A B AC ,

.

ĐS:

¢ ¢ ¢

Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

,A D biết

. Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông

,BC SA theo

góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng a .

ĐS:

68

= AD DC= AB 2

NGUYỄN TRUNG KIÊN

=

.

ABC A B C có M là trung điểm cạnh AB,

và

BC

(cid:1) 0 = 90

a ACB

2 ,

1 1

1

,450 hình chiếu vuông góc của

cạnh bên

( ABC một góc

)

1CC tạo với mặt phẳng

Bài 71: Cho hình lăng trụ (cid:1) 060 , ABC = lên mặt phẳng

1C ( ABC là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai

)

mặt phẳng

(

ACC

).

( ABC và )

11A

=

V

3 a 2 3 .

ĐS:

,

tan((

ABC

); (

))

ACC A = 2 1 1

)

) SAB =

060

Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB a= . Cạnh bên SA ABC . Góc hợp bởi SC và mặt phẳng ( vuông góc với mặt phẳng ( ; M là trung

, tính thể tích khối chóp SABC

điểm của AC . Biết khoảng cách giữa SM và AB bằng

a 6

theo a .

3

ĐS:

V a=

=

= và nằm trong

2

Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác cân với SB SC a

=

=

mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết

(cid:1) (cid:1) (cid:1) 060 = ASB BSC CSA

. Tính thể tích khối chóp SABC

ĐS:

3 2 8

a V =

'BC

060 và

= . Gọi

= AB AA

a

'

¢ ¢

Bài 74: Cho lăng trụ đứng tạo với mặt phẳng (

ABC A B C¢ . ABB A góc ')

'

có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng ,

,M N P lần lượt là trung điểm

của

. Chứng minh

BB CC BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho

',

',

BQ = a 4

và tính thể tích khối lăng trụ theo a

Chứng minh rằng (

MAC

)

(

NPQ

)

^

ĐS:

3. 15 4

a V =

có cạnh đáy bằng a . Gọi

¢ ¢

Bài 75: Cho lăng trụ tam giác đều

ABC A B C¢ .

)

,M N I lần lượt là , ABC bằng 600. Tính thể tích

trung điểm của

',AA AB và BC . Biết góc tạo bởi (

'

khối chóp

NAC I và khoảng cách giữa hai đường thẳng

'

C AI và ( ) MN AC , '

69

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

=

V

,

ĐS:

NAC I '

a 32

a 3 d = 8

;

ABC A B C¢ .

có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền

BC

a= 2

(cid:1) 0 B BC < 90

'

)và vuông góc với đáy mặt bên

BCB C là hình thoi (

. Mặt bên (

'

¢ ¢

ABC A B C¢ .

¢ ¢

Bài 76: Cho lăng trụ (cid:1) 060 ABC = ') ABB A tạo với đáy một góc 450 .Tính thể tích khối lăng trụ ') ' (

3

ĐS:

= V 7 a 3 7

có đáy ABC là tam giác vuông tại B có

¢ ¢

Bài 77: Cho lăng trụ đứng =

=

BB

,

6

'

'A C cắt

AB a BC a ,

. Mặt phẳng (

2

)P qua A vuông góc với

CC BB lần

',

'

lượt tại

ABC A B C¢ . a= ,M N . Tính thể tích khối chóp ABCMN

3

ĐS:

= V a 2 3 9

Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 5a ,

AC

a= 4

=

a

2 2

và SO vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính thể tích khối chóp

SO SMBD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

3

ĐS:

,

=

=

, SA

AB a AD

,

2

a

a = V = d a 2 2 3 2 6 3

Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh vuông góc với đáy ABCD . Gọi

,SA BC , E là giao điểm của

,M N lần lượt là trung điểm của (cid:1) 030 DMN =

. Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a.

mặt phẳng (

DMN với SB . Biết

)

ĐS:

38 a 9

=

=

,

Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O biết

AB a BC a ;

3

Tam giác SAO cân tại S , mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD . Biết SD hợp với đáy ABCD một góc 600. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa SB và AC

70

NGUYỄN TRUNG KIÊN

3

ĐS:

,

SABCD

'

'

'

ABCDA B C D có cạnh bằng a . Gọi H là tâm của mặt

'

'

' 'BD . Tính thể tích tứ diện

'D DHK và khoảng cách từ

= V d = a 2 3 3 a 3 4

Bài 81: Cho hình lập phương ADD A , K là hình chiếu của D lên H đến mặt phẳng (

D A B ' )

'

3

ĐS:

V =

,

d =

a 36

a 2

(

)

SC

ABC

^

Bài 82: Cho hình chóp SABC có

và tam giác ABC vuông tại B . Biết rằng

a =

=

=

>

(

)

tan

AB a AC a ,

a

3,

0

.

và góc giữa mặt phẳng (

SAB và ( )

SAC bằng a với

)

13 6

Tính thể tích khối chóp SABC theo a

=

ĐS:

V

32 a

'

'

'

Bài 83: Cho hình hộp đứng ABD là tam giác đều.Gọi

'B D

' ,M N là trung điểm của

ABCDA B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tam giác '

BC C D . Biết MN vuông góc với

,

'

hãy tính thể tích khối chóp DAMN và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (

AMN )

ĐS:

,

DAMN

36 a 24

= = d a V 22 11

Bài 84: Cho hình chóp tứ giác đều

.S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi

,M N lần lượt là trung

điểm của

.S ABCD biết AM vuông góc với

,SB SD . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp

CN

ĐS:

=

=

= . Gọi

a R = 3 10 10

Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giácvuông, SA SB SC a ,M N E lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB AC BC D là điểm đối xứng của S qua E ; I

,

,

,

,

71

NGUYỄN TRUNG KIÊN

SMN . Chứng minh rằng AD vuông góc SI

)

là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng ( và tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI

3

ĐS:

(cid:1) 0 ABC = 120

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, BC a= và

V = a 36

Bài 86: Cho hình chóp . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 2a và tạo với mặt đáy góc a . Biết hình chiếu vuông góc

của S trên mặt đáy nằm trong hình bình hành ABCD và

.S ABCD cùng khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD theo a

3

a = . Tính thể tích khối chóp cos 1 3

ĐS:

,

a V = d = 2 2 3 2 114 19

Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3a . Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC là trọng tâm G của tam giác ABC cạnh bên

. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (

SAC )

a SB = 14 2

ĐS:

33 a 4

=

= và nằm trong mặt

= = V d a , 3

Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác cân SB SC a =

=

phẳng vuông góc với đáy . Biết

(cid:1) (cid:1) (cid:1) 060 = ASB BSC CSA

. Tính thể tích khối chóp SABC

ĐS:

32 a 2

=

và đường thẳng

V =

Bài 89: Cho lăng trụ đứng

ABCA B C có '

'

(cid:1) 0 = 120

'A C

= AC a CB

2 ,

' , a ACB 030 . Gọi M là trung điểm

'BB . Tính thể tích của khối

tạo với mặt phẳng (

ABB A một góc ')

'

'CC theo a

lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa AM và

3

ĐS:

ABCDA B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và

'

'

'

'

'A O và

= ' 2

AC

a

'AC .

. Gọi O là giao điểm của AC và BD , E là giao điểm của

a a d = V = 105 14 21 7

Bài 90: Cho lăng trụ đứng (cid:1) 060 , = BAD Tính thể tích khối tứ diện EABD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (

BDE )

72

NGUYỄN TRUNG KIÊN

ĐS:

33 a 36

(cid:1) 060 BAC =

, bán

a = = V d , 21 7

Bài 91: Cho lăng trụ đứng

'

'

'

(

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , ) 3 1

a

khoảng cách giữa hai đường thẳng

kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

2

-

. Tính thể tích khối lăng trụ

ABCA B C ' '

'

'A B và AC bằng

a

ĐS:

15 5

33 a= 2

BC

'

'

'

a= 2

V

Bài 92: Cho lăng trụ đứng Gọi M là trung điểm của BC , biết hai mặt phẳng (

ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , '

. BA C vuông góc với nhau.

AB M và ( )

')

'

Tính thể tích khối lăng trụ

ABCA B C và khoảng cách từ

'

'

'

'B đến mặt phẳng (

AC M theo a . )

'

=

V

32 a

,

ĐS:

= d a 2 6 3

Bài 93: Cho lăng trụ đứng

ABCA B C có đáy ABC là tam giác cân tại C , đường thẳng

'

'

'BC

= AB AA

'

a

ABB A một góc ')

tạo với mặt phẳng (

'

,M N P lần lượt là trung điểm

,

= .Gọi '

ABCA B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng

'

'

' 060 và BB CC BC . Tính thể tích khối lăng trụ

',

của ', ,AM NP theo a

ĐS:

3 15 4

=

(cid:1) (cid:1) 030 = SAB SAC

a a = = , V d 15 5

Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với

=

=

=

. Tính thể tích khối chóp SABC theo a

= AB AC

2 ,

a BC a SA a

,

3

3

ĐS:

các

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a và

V = a 4

Bài 95: Cho hình chóp tam giác

SAC SBD cân tại S . Gọi

,

,M N lần lượt là trung điểm của

(cid:1) 060 BAD = ,AB BC . Biết hai mặt

phẳng (

SDM SDN vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ

), (

)

điểm D đến mặt phẳng (

SMN theo a .

)

73

NGUYỄN TRUNG KIÊN

ĐS:

,

36 a 3

a 6 V = d = 2

Bài 96: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy là

,AB CD . Biết

=

=

060 .

AB

a AC a 3 ,

7,

CD a

= . Các mặt bên (

SAB SBC SAD cùng tạo với đáy một góc

), (

), (

)

ABCD nằm trong hình thang ABCD . Tính thể tích khối

)

Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( chóp SABCD theo a

=

V

33 a

ĐS:

Do khuôn khổ thời gian có hạn nên không thể trình bày hoàn chỉnh mọi vấn đề về hình không gian. Vì vậy nếu có gì sai sót mong bạn đọc lượng thứ.

Mọi đóng góp xin vui long gửi về: kiên.noiaybinhyen@gmail.com hoặc nguyentrungkien_ntk@yahoo.com

HÀ NỘI

MÙA KHAI TRƯỜNG 2012-2013

NGUYỄN TRUNG KIÊN

74

NGUYỄN TRUNG KIÊN