Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 2 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån 1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån

=

a. Daïng :

(1)

=

  

+ a x b y 1 1 + a x b y 2

2

c 1 c 2

Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ... b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :

•

=

=

−

D

(goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)

ba 21

ba 12

a 1 a

b 1 b

•

=

=

−

(goïi laø ñònh thöùc cuûa x)

Dx

bc 21

bc 12

2 c 1 c

2 b 1 b

•

=

=

−

(goïi laø ñònh thöùc cuûa y)

D y

ca 21

ca 12

2 a 1 a

2 c 1 c

2

2

Böôùc 2: Bieän luaän

0≠D

• Neáu

thì heä coù nghieäm duy nhaát

= x

y D

thì heä voâ nghieäm

hoaëc

0≠yD

0≠xD

D x D D = y      

x

Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ:

x

= 15 0

 − + = y 1 0  − + y 2 2 

Ví dụ:

3. Heä phöông trình baäc nhaát ba aån +

=

+

Daïng :

2

=

+

d

+ a x b y 1 1 + a x b y 2 2 + a x b y 3

3

= c z d 1 1 d c z 2 c z 3

3

    

15

• Neáu D = 0 vaø • Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm

Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ:

− x y

8 − + x x

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Caùch giaûi: Sử dụng pheùp coäng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn. + 20 4 − 50 10 − 40 12

II. Heä phöông trình baäc hai hai aån: 1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån: Caùch giaûi: Giải bằng phép thế x 2

2

2

+ = z 0 + = y z 10 + = z y 4 0 0     

)

2. Heä phöông trình ñoái xöùng : 1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I: a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau

+ − + = x y 2 5 − − = y 8 0 ( ) 1   Ví dụ: Giải hệ phương trình: (  

b.Caùch giaûi:

2

S

P≥ 4

2

S

ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P. .

P≥ 4

2

−

SX P

X

Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình :

+ = ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).

0

Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0;x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä.

+

=

y

2

thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.

Ví dụ : Giải hệ phương trình:

3

3

( xy x +

x

y

) + + = x

y

4

   

2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II: a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä. b. Caùch giaûi:

• Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá. • Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .

2

2

+ = x xy 2 3

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

2

2

Ví dụ 2:

16

+ = y yx 2 3    

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:

2

2

a. Daïng :

2

2

+ + =

2

b. Caùch giaûi:

t

t

Ñaët aån phuï

= hoaëc

= . Giaû söû ta choïn caùch ñaët

= . t

x y

y x

x y

Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau:

Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ? Böôùc 2: Vôùi y ≠ 0 ta ñaët

= ⇔ = . Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông

ty

x

t

x y

trình ta khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t . Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y.

2

2

+ + = d 1 d     a x 1 a x 2 b xy 1 b xy 2 c y 1 c y 2

− − = − x xy y 1

Ví dụ : Giải hệ phương trình:

2

2

+ + = x xy y 3    

CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau

1. Sử dụng phép thế

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Ví dụ 3:

2. Sử dụng phép cộng

Ví dụ 1:

Ví dụ 1:

4

4

Giải hệ phương trình

2

2

+ = x y 6 41

2 2 x y )

17

+ = y 10 + ( xy x    

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: (A-2012)

2

3

2

Giải hệ phương trình

2

2

− + = + − x x y y y 3 9 22 3 9

+ − + = x y x y  − 3 x     1 2

Ví dụ 2:

2

− − + = x y 4 2 0 Giải hệ phương trình xy 2 − = − + x x y y 2 8 18    

Ví dụ 3:

Ví dụ 4:

Ví dụ 5:

Ví dụ 5:

4. Biến đổi về dạng tích số

Ví dụ 1: (D-2012)

Ví dụ 2:

2

2

+

+

=

x

y

xy

+ + x

y

2

0

2

2

+

+

−

x

y

y

( x

4

2

) + = 4 0

   

Giải hệ phương trình:

Ví dụ 3:

Ví dụ 4:

2

2

1

3

18

− + = x y Giải hệ phương trình: xy 2 + x + = y y     3

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ 5:

5. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1 :

3

Giải hệ phương trình:

3

= + = + x y y 6 x 6   

Ví dụ 2:

19

------------------------------Hết------------------------------

2

+ + =

− + 4x

1

3x

) 1

Bài 1: Giải hệ phương trình:

y 2

x

)( 1 x 1

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN  ( 2 x y +   + + = xy x 

2

1

4y (1)

( y y

) + = x

Bài 2: Giải hệ phương trình:

2

+ − =

x

2

y (2)

)

)( 1 y

 + + x   + ( x 

Bài 3: Giải các hệ phương trình:

2

2

( 4 x

)

(

2 )

1)

+ + y + = 7 3 + x y

1

Kết quả:

0

 = x  = y

4

2

2

= 3 1 + x y  4xy    + 2x  

2)

2

2

+ + − = x 4x y 4y 2

x

=

1

x

= −

1

Kết quả:

y

3

y

3

=

=

      

  ∨    

----------------------------Hết-------------------------

20

+ = + x y 2x 6y 23    