Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
15
Chuyeân ñeà 2
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån
1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån
a. Daïng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
(1)
Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...
b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän
Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :
•
1221
22
11
baba
ba
ba
D−==
(goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)
•
1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(goïi laø ñònh thöùc cuûa x)
•
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
(goïi laø ñònh thöùc cuûa y)
Böôùc 2: Bieän luaän
• Neáu
0
≠
D
thì heä coù nghieäm duy nhaát
=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
•
Neáu D = 0 vaø
0
≠
x
D
hoaëc
0≠
y
D
thì heä voâ nghieäm
•
Neáu D = D
x
= D
y
= 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm
Ví dụ:
Gi
ải bằng máy tính hệ:
1 0
2 2 15 0
x y
x y
− + =
Ví dụ:
3. Heä phöông trình baäc nhaát ba aån
Daïng :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
16
Caùch giaûi: Sử dụng pheùp coäng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ:
20 4 8 0
50 10 10 0
40 12 4 0
x y z
x y z
x y z
+ − + =
− − + =
− + + =
II. Heä phöông trình baäc hai hai aån:
1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:
Caùch giaûi: Giải bằng phép thế
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
2 8 0
1 2 5
x y
x y
−−=
− + + =
2. Heä phöông trình ñoái xöùng :
1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I
:
a.Ñònh nghóa
: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau
thì
heä phöông trình khoâng thay ñoåi
.
b.Caùch giaûi:
Böôùc 1
: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi
2
4
S P
≥ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.
Böôùc 2
: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn
2
4
S P
≥.
Böôùc 3
: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình :
2
0
X SX P
− + =
( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).
Chuù yù:
Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x
0
;y
0
) laø nghieäm cuûa heä thì (y
0
;x
0
) cuõng laø nghieäm cuûa heä.
Ví dụ : Giải hệ phương trình:
(
)
3 3
2
4
xy x y
x y x y
+ =
+ + + =
2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II
:
a.Ñònh nghóa:
Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau
thì
phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä
.
b. Caùch giaûi:
•
Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
•
Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3
2 3
x xy
y yx
+ =
+ =
Ví dụ 2:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
17
III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:
a. Daïng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
+ + =
+ + =
b. Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï
x
t
y
=
hoaëc
y
t
x
=
. Giaû söû ta choïn caùch ñaët
x
t
y
=
.
Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau:
Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ?
Böôùc 2: Vôùi y
≠
0 ta ñaët
x
t x ty
y
= ⇔ =
. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông
trình ta khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .
Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y.
Ví dụ : Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1
3
x xy y
x xy y
− − = −
+ + =
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau
1. Sử dụng phép thế
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
2. Sử dụng phép cộng
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình
( )
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y
+ + =
+ =
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
18
3. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: (A-2012)
Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Ví dụ 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
4 2 0
2 8 18
xy x y
x x y y
− − + =
− = − +
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
Ví dụ 5:
4. Biến đổi về dạng tích số
Ví dụ 1: (D-2012)
Ví dụ 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2
2 2
2 0
4 2 4 0
x y xy x y
x y x y
+ + + + =
+ + − + =
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
2
1
3 3
x y xy
x y y
− + =
+ = +
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
19
Ví dụ 5:
5. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1 :
Giải hệ phương trình:
3
3
x y 6
y x 6
= +
= +
Ví dụ 2:
------------------------------H
ế
t------------------------------