Chuyên đề ôn thi ĐH môn Toán

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp cho học sinh có thêm tư liệu ôn tập kiến thức trước các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán để đạt được kết quả cao trong kì thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi ĐH môn Toán

CHUYEÂN ÑEÀ 1 TOÏA ÑOÄ PHAÚNG Trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong maët phaúng thöôøng gaëp caùc yeâu caàu nhö tìm toïa ñoä moät ñieåm, moät vectô, tính ñoä daøi moät ñoaïn thaúng, soá ño goùc giöõa hai vectô, quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc giöõa hai vectô, 3 ñieåm thaúng haøng. Ta vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây: Cho a = ( a1 , a 2 ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù: ⎧a1 = b1 a= b ⇔ ⎨ ⎩a 2 = b2 a + b = ( a1 + b1 , a 2 + b2 ) a – b = ( a1 - b1 , a 2 - b2 ) k a = (k a1 , k a 2 ) (k ∈ R) α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a 2 + β b2 ) a . b = a1 b1 + a 2 b2 . Vôùi caùc quan heä veà ñoä daøi ta coù: a = ( a1 , a 2 ) ⇒ a = a12 + a 22 ⎧A ( xA , y A ) ⎪ ⎨ ⇒ AB = ( xB – x A , y B – y A ) ⎪B ( x B , y B ) ⎩ vaø AB = ( xB - xA ) + ( yB - yA ) 2 2 . Vôùi quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc ta coù: a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a 2 b2 = 0 a cuøng phöông b ⇔ sin( a, b) = 0 ⇔ a1 b2 – a 2 b1 = 0 a1 a ⇔ = 2 ( b1 , b2 ≠ 0) b1 b2 A, B, C thaúng haøng ⇔ AB cuøng phöông AC
xB - x A y B - y A ⇔ =0 xC - x A y C - y A . Vôùi vieäc tìm goùc cuûa hai vectô ta coù: - Goùc hình hoïc taïo bôûi hai vectô a , b ñöôïc suy töø coâng thöùc: a1b1 + a 2 b2 cos( a, b ) = (1) a.b - Soá ño goùc ñònh höôùng cuûa hai vectô a , b ngoaøi (1) coøn ñöôïc suy theâm töø moät trong hai coâng thöùc: a1b2 - a2 b1 sin( a, b) = a .b a1b2 - a2 b1 tg( a, b) = a1b1 + a2 b2 Ngoaøi ra trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä phaúng ta coù theå aùp duïng caùc keát quaû sau ñaây: . M( x M , y M ) laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB ⎧ x + xB ⎪ xM = A ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪y = y A + yB ⎪ M ⎩ 2 . G( x G , y G ) laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⎧ x A + x B + xC ⎪ xG = ⎪ 3 ⇔ ⎨ ⎪y = y A + yB + yC ⎪ G ⎩ 3 . I( x I , y I ) vaø J( x J , y J ) laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A trong Δ ABC thì: IB JB AB = − = − IC JC AC . Vôùi A( x A , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ) thì dieän tích tam giaùc ABC laø: 1 xB - x A y B - y A S= Δ vôùi Δ = 2 xC - x A y C - y A Ví duï 1:
Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñoái xöùng vôùi A qua B. b) Tìm toïa ñoä ñieåm M ñeå 2 AM + 3 BM - 4 CM = 0 c) Tìm toïa ñoä ñieåm E ñeå ABCE laø hình thang coù moät caïnh ñaùy laø AB vaø E naèm treân Ox. d) Tìm toïa ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC. e) Chöùng toû H, G, I thaúng haøng. Giaûi a) D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B ⇔ B laø trung ñieåm cuûa AD ⎧ xA + xD ⎪x B = ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪ B ⎩ 2 ⎧ x D = 2x B − x A = 2 ( 0 ) − 2 = − 2 ⎪ ⇔ ⎨ hay D(–2, 7) ⎪ y D = 2y B − y A = 2 ( 3 ) + 1 = 7 ⎩ b) Ta coù: 2 AM + 3 BM – 4 CM = 0 = ( 0, 0 ) ⎧2 ( x M − 2 ) + 3 ( x M − 0 ) − 4 ( x M − 4 ) = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪2 ( y M + 1) + 3 ( y M − 3 ) − 4 ( y M − 2 ) = 0 ⎩ ⎧x M = − 12 ⇔ ⎨ hay M(–12, –1) ⎩y M = − 1 c) ABCE laø hình thang coù ñaùy AB vaø E naèm treân Ox. ⎧yE = 0 ⎧yE = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ xE - 4 yE - 2 ⎪CE // ΑΒ ⎩ ⎪ 0-2 = 3+1 ⎩ ⎧yE = 0 ⇔ ⎨ hay E(5, 0) ⎩ xE = 5 d) H laø tröïc taâm cuûa Δ ABC ⎧ AH ⊥ BC ⎧ AH.BC = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩BH ⊥ AC ⎪BH.AC = 0 ⎩
⎧( x H − 2 )( 4 − 0 ) + ( y H + 1)( 2 − 3) = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪( x H − 0 )( 4 − 2 ) + ( y H − 3)( 2 + 1) = 0 ⎩ ⎧ 18 ⎪ xH = ⎧4 xH − y H − 9 = 0 ⎪ 7 ⎛ 18 9 ⎞ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ hay H ⎜ , ⎟ ⎩2 xH + 3y H − 9 = 0 ⎪y = 9 ⎝ 7 7⎠ ⎪ H 7 ⎩ G laø troïng taâm Δ ABC ta coù: ⎧ x A + x B + xC 2 + 0 + 4 ⎪ xG = ⎪ 3 = 3 =2 ⎛ 4⎞ ⎨ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + 3 + 2 = 4 ⎝ 3⎠ ⎪ G ⎩ 3 3 3 + I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC ⎧IA 2 = IB2 ⎪ ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎨ 2 ⎪IA = IC 2 ⎩ ⎧( 2 − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( 0 − x I )2 + ( 3 − y I )2 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪( 2 − x I ) + ( −1 − y I ) = ( 4 − x I ) + ( 2 − y I ) 2 2 2 2 ⎩ ⎧−4x I + 8y I − 4 = 0 ⇔ ⎨ ⎩4 xI + 6 y I − 15 = 0 ⎧ 24 12 ⎪ x I = 14 = 7 ⎪ ⎛ 12 19 ⎞ ⇔ ⎨ hay I⎜ , ⎟ ⎪ y = 19 ⎝ 7 14 ⎠ ⎪ I 14 ⎩ ⎛ 4 1 ⎞ ⎛ 6 1⎞ e) Ta coù : HG = ⎜ − , ⎟ vaø HI = ⎜ − , ⎟ ⎝ 7 21 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠ 4 1 − ⇒ 7 = 21 = 2 6 1 3 − 7 14 ⇒ HG cuøng phöông vôùi HI ⇒ H, I, G thaúng haøng. Ví duï 2: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính
cos ( AO , AB ) vaø dieän tích tam giaùc ABC. Giaûi Ta coù: AO = (–2, –2 3 ), AB = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) 2−6 1 cos( AO , AB ) = = − 4 + 12 . 1 + 3 2 AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) 1 1 ⇒ S ABC = a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − 3 ) − 3 ( −3 ) = 2 3 2 2 ***
CHUYEÂN ÑEÀ 2 ÑÖÔØNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG Caùc baøi toaùn veà phaàn ñöôøng vaø phöông trình ñöôøng thöôøng yeâu caàu xaùc ñònh quyõ tích caùc ñieåm trong maët phaúng toïa ñoä theo nhöõng ñieàu kieän cho tröôùc, quyõ tích naøy laø moät ñöôøng maø ta phaûi tìm phöông trình cuûa noù döïa vaøo ñònh nghóa: F(x, y) = 0 laø phöông trình cuûa ñöôøng (L) neáu ta coù : M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ F( x M , y M ) = 0 Neáu M ∈ (L) vaø M coù toïa ñoä phuï thuoäc tham soá t: ⎧x = f ( t ) ⎪ ⎨ (t ∈ R) ⎪y = g ( t ) ⎩ thì ñoù laø phöông trình tham soá cuûa ñöôøng (L). Töø phöông trình tham soá, ta khöû t thì coù theå trôû veà daïng F(x, y) = 0 Löu yù vieäc giôùi haïn cuûa quyõ tích tuyø theo caùc ñieàu kieän ñaõ cho trong ñaàu baøi. Ví du1: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quyõ tích ñieåm M ñeå ( MA + MB ) AB = 1 Giaûi Goïi (L) laø quyõ tích phaûi tìm. M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ ( MA + MB ) AB = 1 ⇔ [ (2 – x M ) + (–3 – x M ) ] (–3 – 2) + (1 – y M + 2 – y M ) (2 – 1) = 1 ⇔ 5 + 10 x M + 3 – 2 y M = 1 ⇔ 10 x M – 2 y M + 7 = 0 ⇔ M( x M , y M ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 Vaäy quyõ tích phaûi tìm laø ñöôøng thaúng (L) coù phöông trình 10x – 2y + 7 = 0. 1
Ví duï 2: Laäp phöông trình quyõ tích taâm cuûa nhöõng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2). Giaûi Goïi (L) laø quyõ tích nhöõng taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2). I( x I , y I ) ∈ (L) ⇔ I laø taâm ñöôøng troøn qua A(1, 2) vaø tieáp xuùc vôùi Ox taïi M ⎧IM ⊥ Ox taïi M ⇔ ⎨ ⎩IM = IA ⎧ x M − x I = 0 vaø y M = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ ( xM − xI ) + ( y M − y I ) = ( xA − xI ) + ( y A − yI ) 2 2 2 2 ⎩ ⇔ x I2 – 2 x I – 4 y I + 5 = 0 ⇔ I( x I , y I ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình F(x, y) = x2 – 2x – 4y + 5 = 0 Ñoù laø phöông trình cuûa quyõ tích phaûi tìm (Parabol). *** 2
CHUYEÂN ÑEÀ 3 ÑÖÔØNG THAÚNG I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ( Δ ) ta caàn phaûi bieát: 1) (Δ) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a = (a1, a2) seõ coù: ⎧ x = x0 + ta1 . Phöông trình tham soá : ⎨ (t ∈ R) ⎩ y = y 0 + ta 2 x − x0 y − y0 . Phöông trình chính taéc : = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) 2) (Δ) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 0 3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng Ax + By + C = 0 vôùi A2 + B2 > 0 (1) ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng x = x0 hoaëc y = kx + m (2). Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m. C C A C + Neáu B = 0 ⇒ x = − , coù daïng x = x0 vôùi x0 = − . Neáu B ≠ 0 ⇒ y = − x − , coù A A B B daïng y = kx + m. 3) ( Δ ) qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình : x − xA y − yA = neáu ( xB − xA ) ( yB − yA ) ≠ 0 xB − x A yB − yA 1
Neáu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b) ∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi ( Δ ) coù ñoaïn chaén a, b vôùi phöông trình: x y + =1 a b * Ghi chuù: Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù : (Δ) : Ax + By + C = 0 thì ( Δ ) coù : . moät phaùp vectô n = (A, B) . moät vectô chæ phöông a = (–B, A) A . heä soá goùc k = tg( Ox , Δ ) = − B . ( Δ′ ) // ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = 0 . ( Δ′ ) ⊥ ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = 0 Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân ( Δ′ ) . Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng ( Δ ) theo heä soá goùc k, baøi toaùn coù theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( Δ ) ⊥ x′ x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do ñoù ta phaûi xeùt theâm tröôøng hôïp ( Δ ) coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng ( Δ ) naøy coù thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñaàu baøi khoâng. Ghi chuù - Neáu n = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng ( Δ ) thì k. n = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0. - Neáu a = ( a1 ,a2 ) laø 1 veùc tô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng ( Δ ) thì k. a = ( ka1 ,ka2 ) cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0. II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 Ñaët : 2
A1 B1 B1 C1 C1 A1 D= ; Dx = ; Dy = thì : A2 B2 B2 C2 C2 A2 ⎧ Dx ⎪ xI = D ⎪ D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I ⎨ ⎪ y = Dy ⎪ 1 ⎩ D D = 0 vaø Dx ≠ 0 hoaëc Dy ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2) D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2) hoaëc vôùi A2, B2, C2 ≠ 0 ta coù : A1 B ≠ 1 ⇔ (d1) caét (d2) A2 B2 A1 B C = 1 ≠ 1 ⇔ (d1) // (d2) A2 B2 C2 A1 B C = 1 = 1 ⇔ (d1) ≡ (d2) A2 B2 C2 B1 C1 C1 B1 C1 A1 A1 C1 Ghi chuù = − ; = − B2 C2 C2 B2 C2 A2 A2 C2 III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 A1A 2 + B1B2 thì cos α = A12 + B12 . A 2 2 +B2 2 IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng (Δ) : Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc : 3
Ax M + By M + C d(M, Δ ) = A 2 + B2 Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng ( Δ ) ñeán ñieåm M(xM, yM) laø : Ax M + By M + C t= A 2 + B2 Ñaët phaùp vectô n = (A, B) coù goác leân ( Δ ) thì : . t > 0 neáu ñieåm M vaø n naèm cuøng moät beân ñoái vôùi ( Δ ) . t < 0 neáu ñieåm M vaø n naèm khaùc beân ñoái vôùi ( Δ ) Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø : A1x + B1y + C1 A 2 x + B2 y + C2 = ± A + B1 1 2 2 A 2 2 + B2 2 Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC. b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH. c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC. Giaûi a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BC = (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá : ⎧x = 4 + t ⎨ (t ∈ R) ⎩ y = 3 + 3t x−4 y−3 ⇔ = (phöông trình chính taéc) 1 3 ⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC. b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0 4
A(–2, 1) ∈ AH ⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ C1 = –1 Vaäy pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0 A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7 Vaäy pt Au : 3x – y + 7 = 0 Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC vôùi A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5). a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc AH keû töø A ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc ABC. b) Tính dieän tích tam giaùc ABK. Giaûi ⎧ x A + xC ⎪ xK = ⎪ 2 =2 a) K laø trung ñieåm cuûa AC ⇔ ⎨ ⎪y = y A + yC = 2 ⎪ K ⎩ 2 hay K(2, 2) x−2 y−2 Phöông trình caïnh BK : = ⇔ x – 4y + 6 = 0 −2 − 2 1− 2 AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = 0 A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = 0 ⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 1 b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S = AH.BK vôùi 2 1+ 4 + 6 AH = d A (BK ) = 17 1 11 11 ⇒ S= . . 42 + 12 = ( ñvdt ). 2 17 2 Ví duï 3: ( Ñeà döï tröõ khoái A naêm 2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc 4 1 ABC caân taïi ñænh A coù troïng taâm G ( ; ) , phöông trình ñöôøng thaúng BC laø x − 2 y − 4 = 0 vaø 3 3 phöông trình ñöôøng thaúng BG laø 7 x − 4 y − 8 = 0 .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C. 5
Baøi giaûi ⎧x − 2y − 4 = 0 Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ⎨ ⇒ B ( 0, −2 ) ⎩7x − 4y − 8 = 0 Vì ΔABC caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa ΔABC 4 1 Vì GA ⊥ BC ⇒ pt GA: 2(x − ) + 1(y − ) = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 3 3 ⎧2x + y − 3 = 0 ⇒ GA ∩ BC = H ⎨ ⇒ H ( 2, −1) ⎩x − 2y − 4 = 0 ⎧x B + x C = 2x H ⎧x C = 2x H − x B = 2(2) − 0 = 4 Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎩y B + y C = 2y H ⎩y C = 2y H − y B = 2(−1) − (−2) = 0 x + xB + xC y + y B + yC ⇒ C ( 4,0 ) . Ta coù : x G = A vaø y G = A ⇒ A ( 0,3) 3 3 Vaäy A ( 0,3) ,C ( 4, 0 ) ,B ( 0, −2 ) Ví duï 4 ( ÑH KHOÁI A -2002) 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù taâm I ⎛ ;0 ⎞ ,phöông trình ñöôøng thaúng AB laø 1 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ x – 2y + 2 = 0 vaø AB = 2AD .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát raèng ñænh A coù hoaønh ñoä aâm . BAØI GIAÛI: A ∈ ñöôøng thaúng x – 2y + 2 = 0 ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) I laø trung ñieåm AC ⇒ C (3 – 2a, −a) BC qua C vaø BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0 AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a) Ta coù : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loaïi) Vaäy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví duï 5 ( ÑH KHOÁI D -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) vôùi m ≠ 0. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m. Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G. ⎛ m⎞ m m BAØI GIAÛI: G ⎜ 1; ⎟ ; GA = (−2; − ) ; GB = (3; − ) ⎝ 3⎠ 3 3 Tam giaùc GAB vuoâng taïi G ⇔ GA.GB = 0 m2 ⇔ −6 + = 0 ⇔ m = ±3 6 . 9 Ví duï6 ( ÑH KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng x − 2 y − 1 = 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán ñöôøng thaúng AB baèng 6. x −1 y −1 BAØI GIAÛI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phöông trình AB: = −3 4 ⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ ñt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t) 6
8t + 4 + 3t − 7 Ta coù: d (C, AB) = 6 ⇔ =6 5 ⎡t = 3 ⎡11t − 3 = 30 ⇔ 11t − 3 = 30 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎣11t − 3 = −30 ⎢ t = − 27 ⎢ ⎣ 11 ⎛ 43 27 ⎞ Vaäy C (7; 3) hay C ⎜ − ;− ⎟ ⎝ 11 11 ⎠ Ví duï7 ( Ñeà DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù ñænh A (1; 0) vaø hai ñöôøng thaúng laàn löôït chöùa caùc ñöôøng cao veõ töø B vaø C coù phöông trình töông öùng laø : x – 2y + 1 = 0 vaø 3x + y – 1 = 0.Tính dieän tích cuûa tam giaùc ABC. BAØI GIAÛI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phöông trình AC : 2x + y + m = 0 A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2 Phöông trình AC : 2x + y – 2 = 0 ⎧ 2x + y − 2 = 0 Vaäy t ñ C laø nghieäm cuûa ⎨ ⇒ C(−1; 4) ⎩ 3x + y − 1 = 0 Vì AB ⊥ CC' ⇒ phöông trình AB : x – 3y + n = 0 A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1 Phöông trình AB : x – 3y – 1 = 0 ⎧ x − 3y − 1 = 0 ⎯→ ⎯→ Vaäy B ⎨ ⇒ B(−5; −2).⇒ AB = (−6; −2); AC = (−2; 4) ⎩ x − 2y + 1 = 0 1 ⎡ −6 − 2⎤ SΔABC = ⎢ ⎥ = 14 (ñvdt). 2 ⎣ −2 4 ⎦ Ví duï8 ( ÑEÀDÖÏ TRÖÕ KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm I (–2; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1 : 2x – y + 5 = 0, d2 : x + y – 3 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm I vaø → → caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi A, B sao cho : IA = 2 IB BAØI GIAÛI: P.trình ñöôøng thaúng d qua I (–2, 0), heä soá goùc k : y = k(x + 2) ⎧ 2x − y + 5 = 0 ⎛ 2k − 5 − k ⎞ A⎨ ⇒ A⎜ , ⎟ ⎩ kx − y + 2k = 0 ⎝ 2−k 2−k⎠ ⎧ x + y−3 = 0 ⎛ 3 − 2 k 5k ⎞ B⎨ ⇒ B⎜ , ⎟ ⎩ kx − y + 2 k = 0 ⎝ 1+ k 1+ k ⎠ ⎛ −1 − k ⎞ ⎛ 5 5k ⎞ ⎛ 10 10 k ⎞ IA = ⎜ ; ⎟ ; IB = ⎜ ; ⎟ ⇒ 2IB = ⎜ ; ⎟ ⎝2−k 2−k⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ ⎧ −1 10 7 ⎪ 2 − k = 1+ k ⇒ k = 3 IA = 2IB ⇔ ⎨ −k 10 k 7 ⎪ = ⇒ k = 0, k = ⎩ 2 − k 1+ k 3 7 Do ñoù phöông trình ñöôøng thaúng d laø y = (x + 2) 3 7
⇔ 7x – 3y + 14 = 0 *** 8
CHUYEÂN ÑEÀ 4 ÑÖÔØNG TROØN 1. Ñeå tìm phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn ta caàn löu yù: . Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a, b) baùn kính R laø : (x − a) + ( y − b ) = R2 2 2 . Phöông trình cuûa (C) ôû daïng khai trieån : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0) vôùi c = a2 + b2 – R2 ⇔ R2 = a 2 + b2 − c Do ñoù ta phaûi coù ñieàu kieän a2 + b2 – c ≥ 0 . Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng troøn taâm I(a, b) baùn kính R laø: ⎧ x = a + R cos t ⎨ (t ∈ R) ⎩ y = b + R sin t 2. Ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi moät ñöôøng troøn ta caàn phaân bieät : a) Tröôøng hôïp bieát tieáp ñieåm : ta duøng coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä : Tieáp tuyeán ( Δ ) taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) vôùi : - ñöôøng troøn (C) : ( x − a ) + ( y − b ) = R2 laø 2 2 (x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2 - ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 laø x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 b) Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm, ta aùp duïng tính chaát : Ñöôøng thaúng ( Δ ) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn taâm I baùn kính R ⇔ d( I , Δ ) = R. c) ñöôøng troøn (C) : ( x − a ) + ( y − b ) = R2 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø x = 2 2 a ± R. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a ± R, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ñöôøng troøn ( C) ñeàu coù daïng y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi ñöôøng troøn. Ví duï 1
Trong maët phaúng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4). a) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B. b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A, B. c) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) Giaûi a) Phöông trình ñöôøng troøn (C) coù daïng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B neân : ⎧c = 0 ⎧c = 0 ⎪ ⎪ ⎨4 + 4a + c = 0 ⇔ ⎨a = −1 ⎪16 − 8b + c = 0 ⎪b = 2 ⎩ ⎩ Vaäy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân coù taâm laø trung ñieåm cuûa AB vaø ñöôøng kính laø AB neân pt döôøng troøn (C) laø: 1 1 ( x + 1 )2 + ( y − 2 )2 = AB2 = ( 4 + 16 ) = 5 4 4 Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân vôùi M ( x, y ) ∈ (C ) ta coù AM.BM = 0 . Vaäy pt ñöôøng troøn ( C ) laø ( x − xA )( x − xB ) + ( y − yA )( y − yB ) = 0 . b) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi : . Tieáp ñieåm A(–2, 0) laø : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0 ⇔ x + 2y + 2 = 0 . Tieáp ñieåm B(0, 4) laø : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0 c) Ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 coù taâm I(–1, 2) vaø baùn kính R = 1 + 22 − 0 = 5 .Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø x = a ± R = −1 ± 5 . Hai tieáp tuyeán naøy khoâng qua M(4, 7) Vaäy phöông trình tieáp tuyeán qua M(4, 7) coù daïng: (Δ) : y – 7 = k(x – 4) ⇔ kx – y + 7 – 4k = 0 (Δ) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) ⇔ d( I , Δ ) = R 2
− k − 2 + 7 − 4k ⇔ = 5 ⇔ 5 − 5k = 5 . k2 + 1 k +1 2 1 ⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔k=2 hay k= 2 Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) vôùi phöông trình laø : k=2 ⇒ 2x – y – 1 = 0 1 1 k= ⇒ x – y + 5 = 0. 2 2 Ví duï (ÑH KHOÁI B-2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù AB=AC, BAC = 900 . 2 Bieát M(1,–1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G( ; 0) laø troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa ñoä caùc 3 ñænh A , B, C. G laø troïng taâm ΔABC ⇔ AG = 2GM ⎧2 2 2 ⎪ − x A = 2(1 − ) = ⎧x A = 0 ⇔ ⎨3 3 3 ⇔ ⎨ ⇔ A (0, 2) ⎪−y A = 2(−1 − 0) = −2 ⎩y A = 2 ⎩ PT: BC qua M (1, −1) ⊥ AM = (1, −3): x – 3y – 4 = 0 PT ñ.troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM= 1 + 9 = 10 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 ⎧x − 3y − 4 = 0 Toïa ñoä B, C thoûa : ⎨ ⎩(x − 1) + (y + 1) = 10 2 2 ⎧x = 3y + 4 ⎧x = 4 ⎧ x = −2 ⇔⎨ ⇔ ⎨ ∨ ⎨ ⎩(3y + 3) + (y +1) = 10 ⇔ (y +1) = 1 ⎩y = 0 ⎩ y = −2 2 2 2 Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0) Ví duï (ÑH KHOÁI D-2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñecac vuoâng goùc Oxy cho ñöôøng troøn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng d: x – y – 1 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng thaúng d. Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm (C) vaø (C’) Giaûi (C1) coù taâm I (1, 2), R = 2. Goïi I’ laø ñoái xöùng I qua (d) Goïi (Δ) laø ñöôøng thaúng qua I vaø (Δ) ⊥ (d) (Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1) H laø trung ñieåm cuûa II’ ⎧ x +1 ⎪2 = 2 ⎪ ⎧x = 3 Giaû söû I’ (x, y) thì ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎪1 = y + 2 ⎩y = 0 ⎪ ⎩ 2 ⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2. (C’) : (x – 3)2 + y2 = 4 3
⎧(x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 ⎪ ⎧(x − 3)2 + y 2 = 4 Giaûi heä ⎨ ⇔ ⎨ ⎪(x − 3) + y = 4 ⎩x − y − 1 = 0 2 2 ⎩ ⎧x = y + 1 ⎧x = 1 ⎧x = 3 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ∨ ⎨ ⎩2y − 4y = 0 ⎩y = 0 ⎩y = 2 2 Vaäy giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) laø A (1, 0) vaø B (3, 2). Ví duï (ÑH KHOÁI A-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A thuoäc d1, ñænh C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh. Giaûi A ∈ d1 ⇔ A (m; m). C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox vaø ABCD laø hình vuoâng neân : ⎧m = n ⎧m = 1 A vaø C ñoái xöùng nhau qua Ox ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ m = 2n − 1 ⎩n = 1 Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Goïi (C) laø ñöôøng troøn ñöôøng kính AC ⇒ Phöông trình (C) : (x–1)2 +y2=1. B vaø D laø giao ñieåm (C) vaø Ox neân toïa ñoä cuûa B, D ⎧ 2 2 laø nghieäm cuûa heä : ⎪(x − 1) + y = 1 ⎨ ⎪y = 0 ⎩ ⎧x = 0 ∨ x = 2 ⇔ ⎨ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) ⎩y = 0 Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0). Ví duï (ÑH KHOÁI B-2005)Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñieåm A(2; 0), B(6; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5. Giaûi Goïi I (x; y) laø taâm cuûa (C). Ta coù : (C) tieáp xuùc Ox taïi A ⇒ IA ⊥ i = (1; 0) ⇔ x – 2 = 0 ⇔x=2 IB = 5 ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = 9 ⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1 Tröôøng hôïp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7 Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 Tröôøng hôïp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1 ⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1. Ví duï (ÑEÀ DÖÏ BÒ KHOÁI A -2002) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn: (C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 4
1) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng x + 6y – 6 = 0. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Giaûi 1) Phöông trình chuøm ñöôøng troøn qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) laø : m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = 0 vôùi m2 + n2 > 0 2 2 ⇔ (m + n)x + (m + n)y + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0 ⎛ 4n − 10m ⎞ 2n 20n ⇔ x2 + y2 + ⎜ ⎟x − y− =0 ⎝ m+n ⎠ m+n m+n ⎛ 5m − 2n n ⎞ Coù taâm I ⎜ ; ⎟ ⎝ m + n m + n⎠ 5m − 2n + 6n − 6m − 6n Vì taâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒ =0 m+n ⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2 Vaäy phöông trình ñöôøng troøn laø :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0. 2) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1), (C2). (C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5 ⇒ I1I2 < R1 + R2 (C2) coù taâm I2(−2; 1), baùn kính R2 = 5 Vì (C1), (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm neân coù 2 tieáp tuyeán chung. Vì x = xo khoâng theå laø tieáp tuyeán chung neân pt tt chung Δ coù daïng : y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 ⏐5a + b⏐ Δ tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔ =5 a2 + 1 ⇔⏐5a + b⏐ = 5 a 2 + 1 (1) ⏐− 2a − 1 + b⏐ Δ tieáp xuùc vôùi (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔ =5 a2 + 1 ⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ = 5 a 2 + 1 (2) (1) vaø (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐ ⎡ 1 ⎡5a + b = −2a − 1 + b ⎢a = − 7 ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎣5a + b = +2a + 1 − b ⎢ b = −3a + 1 ⎢ ⎣ 2 1 5 + 25 2 5 − 25 2 Theá a = − vaøo (1) ta coù : b1 = ; b2 = 7 7 7 Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø : x + 7y – 5 + 25 2 = 0 x + 7y – 5 − 25 2 = 0. Caùch khaùc: Vì R1 = R2 vaø 2 ñöôøng troøn caét nhau neân 2 tieáp tuyeán chung laø 2 ñöôøng thaúng song song vôùi I1I2 = (−7;1) Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán coù daïng : x + 7y+m = 0 (Δ) d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ = 5 7 2 + 1 ⇔ m = – 5 ± 25 2 Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán laø x + 7y – 5 ± 25 2 = 0. 5