Chuyên đề ôn thi ĐH môn Toán

CHUYEÂN ÑEÀ 1

TOÏA ÑOÄ PHAÚNG

Trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong maët phaúng thöôøng gaëp caùc yeâu caàu nhö tìm toïa ñoä moät ñieåm, moät vectô, tính ñoä daøi moät ñoaïn thaúng, soá ño goùc giöõa hai vectô, quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc giöõa hai vectô, 3 ñieåm thaúng haøng.

Ta vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây:

(cid:71) b

(cid:71) Cho a = (

)

a , a 1

( 1 b , b

, = ta coù:

(cid:71) a =

(cid:71) b

a = b 1 a = b

⎧ ⎨ ⎩

⇔

(cid:71) a +

= ( , ) a + b a + b 1

(cid:71) b (cid:71) b

(cid:71) a – (cid:71)

= ( , ) a - b a - b 1

∈ R)

) (k k a = (k

(cid:71) α + a

α 1a

β 1b , α 2a + β 2b )

= ( + , k 1a (cid:71) β b

(cid:71) a .

(cid:71) b

1a 1b

= +

. Vôùi caùc quan heä veà ñoä daøi ta coù:

a + a

(cid:71) a

(cid:71) a = (

2 1

, ) = ⇒

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB

( (

) )

A x , y A = ( – , – ) ⇒ B x , y B ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

x - x

(

)

( y - y B

vaø AB =

. Vôùi quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc ta coù:

(cid:71) a

(cid:71) ⊥ b

= 0 ⇔ 1a 1b

(cid:71) a

(cid:71) cuøng phöông – = 0 (cid:71) b ⇔ + (cid:71) sin( a, b) = 0 ⇔

2b ≠ 0)

a b

a 1 b 1

= ( , ⇔

2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇔ AB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) cuøng phöông AC

A, B, C thaúng haøng

x - x y - y A x - x y - y A

= 0 ⇔

. Vôùi vieäc tìm goùc cuûa hai vectô ta coù:

(cid:71) - Goùc hình hoïc taïo bôûi hai vectô a

(cid:71) , b

ñöôïc suy töø coâng thöùc:

(cid:71) (cid:71) (cid:110) a, b

(1) ) = cos( a b + a b 1 1 22 (cid:71) (cid:71) a . b

(cid:71) - Soá ño goùc ñònh höôùng cuûa hai vectô a

(cid:71) , b

ngoaøi (1) coøn ñöôïc suy theâm töø moät trong

hai coâng thöùc:

a b - a b 1 2 1 (cid:71) (cid:71) a . b

(cid:71) (cid:71) sin( a, b) =

a b - a b 1 2 1 a b + a b 1 1 2

(cid:71) (cid:71) tg( a, b) =

Ngoaøi ra trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä phaúng ta coù theå aùp duïng caùc keát quaû sau ñaây:

. M( , ) laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB

x = M ⇔

y = M x + x 2 y + y 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

Δ ABC

. G( , ) laø troïng taâm cuûa

x = G ⇔

y = G x + x + x B 3 y + y + y B 3 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

Ix ABC thì:

. I( , ) vaø J( , ) laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A trong

AB AC

(cid:74)(cid:74)(cid:71) IB (cid:74)(cid:74)(cid:71) IC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) JB = − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) JC

= −

. Vôùi A( , ), B( , ), C( , ) thì dieän tích tam giaùc ABC laø:

Δ =

1 2

x - x y - y A x - x y - y A

S = vôùi

Ví duï 1:

Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BM

a) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñoái xöùng vôùi A qua B.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) - 4 CM

(cid:71) = 0

b) Tìm toïa ñoä ñieåm M ñeå 2 + 3

c) Tìm toïa ñoä ñieåm E ñeå ABCE laø hình thang coù moät caïnh ñaùy laø AB vaø E naèm treân

Ox.

d) Tìm toïa ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC.

e) Chöùng toû H, G, I thaúng haøng.

Giaûi

a) D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B

B laø trung ñieåm cuûa AD ⇔

x = B ⇔

y = B x + x 2 y + y 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

( ) x = 2 0 ( ) y = 2 3 + 1 = 7

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

B (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM

x = 2x − − 2 = 2 − hay D(–2, 7) ⇔ y = 2y − ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + 3 BM – 4 CM

(cid:71) = 0

b) Ta coù: = ( 0, 0 ) 2

( ( ) 2 + 3 x 2 x ( ) ( 2 y + 1 + 3 y

) ) 3

( 4 x ( 4 y

) 4 = 0 ) 2 = 0

x = 12

−

0 − − − − ⇔ − − − ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

y = 1

−

⎧ ⎨ ⎩

hay M(–12, –1) ⇔

y = 0

c) ABCE laø hình thang coù ñaùy AB vaø E naèm treân Ox.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ΑΒ

Ey = 0 ⎧⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎨ // CE ⎪⎩

x - 4 E 0 - 2

y - 2 E 3 + 1

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

y = 0

⇔ ⇔

x = 5

⎧ ⎨ ⎩

hay E(5, 0) ⇔

d) H laø tröïc taâm cuûa ABC

⊥ AH BC ⇔ ⇔ ⊥ BH AC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AH.BC = 0 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BH.AC = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

)( )(

) )

( (

)( ) 3 1 2 ) )( 3 2 1

( ⎧⎪ ⎨ ( ⎪⎩

4 0 − − + + − = x 2 0 y ⇔ 4 2 0 − − + − + = x 0 y

−

9 − =

= x

9 − =

18 7

H 3 y

9 7

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎨ ⎩

hay H ⇔ ⇔

= y 18 7 9 7 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

G laø troïng taâm ABC ta coù:

+ + 4 2 x x 2 = = = x

2 ,

4 3

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

hay G + + 2 y y = = = y x B 3 y B 3 0 + + 3 1 3 − + + 3 4 3 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

+ I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

−

IA = IB = IC ⇔ ⇔

−

) )

( + − − ( + − −

) )

( (

) )

( (

) )

⎧ ( ⎪ ⎨ ( ⎪⎩

4 −

4 − =

⇔

I +

I −

⎧ ⎨ ⎩

⇔

12 19 , 7 14

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

= = x 12 7 hay I ⇔

= y 24 14 19 14 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) vaø HI

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) HG

4 1 , 7 21

6 1 , 7 14

⎛ −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

= e) Ta coù : =

2 3

− = = ⇒

− 1 21 1 14

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) HI

cuøng phöông vôùi ⇒ 4 7 6 7 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) HG

H, I, G thaúng haøng. ⇒

Ví duï 2:

Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) cos ( AO

) vaø dieän tích tam giaùc ABC.

Giaûi

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = (–2, –2 3 ), AB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AO

Ta coù: = (–1, 3 ) = ( a1;a2 )

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) cos( AO

1 − 2

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 )

2 ) = = + + 6 − 4 12 1 3 .

−

(

)(

)

(

) = 2 3

a b 1 2

a b = 2 1

ABCS

1 2

⇒

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 2

ÑÖÔØNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG

Caùc baøi toaùn veà phaàn ñöôøng vaø phöông trình ñöôøng thöôøng yeâu caàu xaùc ñònh quyõ tích caùc ñieåm trong maët phaúng toïa ñoä theo nhöõng ñieàu kieän cho tröôùc, quyõ tích naøy laø moät ñöôøng maø ta phaûi tìm phöông trình cuûa noù döïa vaøo ñònh nghóa:

F(x, y) = 0 laø phöông trình cuûa ñöôøng (L) neáu ta coù :

M( , ) ∈ (L) F( , ) = 0 ⇔

Neáu M ∈ (L) vaø M coù toïa ñoä phuï thuoäc tham soá t:

( ) f t ( ) g t

(t ∈ R) =⎧⎪ x ⎨ =⎪⎩ y

thì ñoù laø phöông trình tham soá cuûa ñöôøng (L).

Töø phöông trình tham soá, ta khöû t thì coù theå trôû veà daïng

F(x, y) = 0

Löu yù vieäc giôùi haïn cuûa quyõ tích tuyø theo caùc ñieàu kieän ñaõ cho trong ñaàu baøi.

Ví du1:

Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quyõ tích ñieåm M ñeå

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( MA +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) AB

= 1

Giaûi

Goïi (L) laø quyõ tích phaûi tìm.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( MA

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + MB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) AB

= 1 M( , ) ∈ (L) ⇔

[ (2 – ) + (–3 – ) ] (–3 – 2) + (1 – + 2 – ) (2 – 1) = 1 ⇔

5 + 10 + 3 – 2 = 1 ⇔

10 – 2 + 7 = 0 ⇔

M( , ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình ⇔

F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0

Vaäy quyõ tích phaûi tìm laø ñöôøng thaúng (L) coù phöông trình

10x – 2y + 7 = 0.

Ví duï 2:

Laäp phöông trình quyõ tích taâm cuûa nhöõng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2).

Giaûi

Goïi (L) laø quyõ tích nhöõng taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2).

I laø taâm ñöôøng troøn qua A(1, 2) vaø tieáp xuùc vôùi Ox taïi M I( , ) ∈ (L) ⇔

−

vaø y

⊥ IM Ox taïi M ⇔ IM = IA ⎧ ⎨ ⎩

−

(

)

(

)

(

)

(

)

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

⇔

– 2 – 4 + 5 = 0 ⇔

I( , ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình ⇔

F(x, y) = x2 – 2x – 4y + 5 = 0

Ñoù laø phöông trình cuûa quyõ tích phaûi tìm (Parabol).

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 3

ÑÖÔØNG THAÚNG

I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

(

)Δ

Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ta caàn

(cid:71) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a

phaûi bieát:

)Δ

= (a1, a2) seõ coù: 1) (

∈ R)

ta 1 ta

⎧ ⎨ ⎩

. Phöông trình tham soá : (t

− a

− a 1

. Phöông trình chính taéc : = (a1, a2 ≠ 0)

Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt :

Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)

)Δ

a(x – qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình :

2) ( x0) + b(y – y0) = 0

3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng

Ax + By + C = 0 vôùi A2 + B2 > 0 (1)

ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng

x = x0 hoaëc y = kx + m (2).

Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông.

+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m.

−

C A

A B

C B

, coù + Neáu B = 0 ⇒ = − . Neáu B ≠ 0 ⇒ = − , coù daïng x = x0 vôùi x0 = −

daïng y = kx + m.

)Δ

qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình : 3) (

− −

x x

x A x

y y

y A y

0 = neáu − − ≠ ( x B x ) ( y B y ) A

∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi (

)Δ coù ñoaïn chaén a, b

)Δ

qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b)

Neáu ( vôùi phöông trình:

x a

y b

+ = 1

* Ghi chuù:

Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân

(

)Δ : Ax + By + C = 0 thì (

)Δ coù :

vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù :

(cid:71) n

. moät phaùp vectô = (A, B) (cid:71) . moät vectô chæ phöông a = (–B, A)

−

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) Ox

A B

. heä soá goùc k = tg( , ) =

′Δ // ( )

)Δ

. ( ⇒ )′Δ : Ax + By + C0 = 0 (

′Δ ⊥ ( )

)Δ

. ( ⇒ )′Δ : Bx – Ay + C0 = 0 (

)′Δ .

Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân (

Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng (

)Δ

)Δ theo heä soá goùc k, baøi toaùn coù )Δ ⊥ x′ x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do ñoù ta phaûi xeùt )Δ naøy coù thoûa maõn ñieàu

(

coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( ( theâm tröôøng hôïp

(cid:71)

kieän cuûa ñaàu baøi khoâng.

(

)Δ thì

(cid:71)

(

)Δ vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0.

Ghi chuù - Neáu n = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng

(

)Δ thì

- Neáu laø 1 veùc thaúng k. n = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa (cid:74)(cid:71) =a ( a ,a ) 1

(cid:74)(cid:71) =a ( ka ,ka ) 1

k. cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa tô chæ phöông cuûa ñöôøng )Δ vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0. (

II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù

Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0

vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

Ñaët :

C A

A B 1

B C 1

1 thì :

C A

1 A B 2

B C 2

D = ; ; Dx = Dy =

= x

y D

≠

≠ 0

D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I D x D D = y 1 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

D = 0 vaø Dx 0 hoaëc Dy ⇔ (d1) // (d2)

D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2)

≠

0 ta coù : hoaëc vôùi A2, B2, C2

B 1 B

A A

≠ ⇔ (d1) caét (d2)

B 1 B

C 1 C

A A

= ≠ ⇔ (d1) // (d2)

B 1 B

C 1 C

A A

C A

B C 1

−

= = ⇔ (d1) ≡ (d2)

C A

B C 2

C B 1 C B 2

A C 1 A C 2

Ghi chuù = ; =

III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng

(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

2 1

2 B . A 1

+ A A 1 B B 1 thì cos α = + + A B

IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG

(

)Δ : Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc :

Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng

+ + Ax By C d(M, Δ ) = + A B

)Δ ñeán ñieåm M(xM, yM) laø :

Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng (

By 2

+ 2

M B

t =

(cid:71) n

(

)Δ thì :

(cid:71)

Ñaët phaùp vectô = (A, B) coù goác leân

(

)Δ

(cid:71) . t < 0 neáu ñieåm M vaø n naèm khaùc beân ñoái vôùi

(

)Δ

. t > 0 neáu ñieåm M vaø n naèm cuøng moät beân ñoái vôùi

Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng

(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø

(d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø :

+ 2

A x B y C 2

2 +

A x B y C 1 1 2 + 1

B 1

= ±

Ví duï 1:

Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)

a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC.

b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH.

c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC.

Giaûi

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BC

= (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø

qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá :

∈ R)

x (t 4 = + 3 = + y t 3 t ⎧ ⎨ ⎩

−x 1

−y 3

= (phöông trình chính taéc) ⇔

⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC.

b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0

⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0

A(–2, 1) ∈ AH ⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ C1 = –1

Vaäy pt AH : x + 3y – 1 = 0

c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0

A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7

Vaäy pt Au : 3x – y + 7 = 0

Ví duï 2:

Cho tam giaùc ABC vôùi A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).

a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc AH keû töø A ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc

ABC.

b) Tính dieän tích tam giaùc ABK.

Giaûi

x x 2 = = x

a) K laø trung ñieåm cuûa AC ⇔ y y 2 = = y + 2 + 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

hay K(2, 2)

2 2

x − 2 − −

2 y − 1 2 −

Phöông trình caïnh BK : = ⇔ x – 4y + 6 = 0

AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = 0

A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = 0

⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0

1 2

1 4

+ +

b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S = AH.BK vôùi

= AH = A (BK ) d

2 1+

1 2

11 2

S = . . = ( ñvdt ). ⇒ 11 17

Ví duï 3: ( Ñeà döï tröõ khoái A naêm 2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc

)

(

y− 2

− = 0 4

, phöông trình ñöôøng thaúng BC laø vaø ABC caân taïi ñænh A coù troïng taâm G

− = .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C.

4 1 ; 3 3 y− 4

phöông trình ñöôøng thaúng BG laø

( B 0, 2

)

ABC

Baøi giaûi x 2y 4 0 − = − Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ⇒ − 7x 4y 8 0 − = − ⎧ ⎨ ⎩

Vì caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa

GA BC⊥

⇔ + − = 0 2x y 3

)

2x y 3 0

2(x

+ ) 1(y

−

= ⇔ + − =

−

1 3

Vì ⇒ pt GA:

GA BC∩

) ( H 2, 1 −

4 3 2x y 3 0 + − = − =

2(2) 0

−

− =

⇒

= H ⇒ ⇒ x 2y 4 0 − ⎧ ⎨ ⎩

( 2) 0

2( 1)

−

= − − − =

⎧ ⎨ ⎩ y

⎧ ⎨ ⎩ +

C +

H y +

Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒

vaø y

(C 4,0

)

) ( A 0,3

x B 3

y B 3

. Ta coù : ⇒ ⇒

A 0,3 ,C 4, 0 ,B 0, 2− )

)

(

)

(

Vaäy

Ví duï 4 ( ÑH KHOÁI A -2002) 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

hình chöõ nhaät ABCD coù taâm I ,phöông trình ñöôøng thaúng AB laø

I laø trung ñieåm AC ⇒ C (3 – 2a, −a)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GA ( 2;

)

= − −

−

AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a)

m 3

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ; ) GB (3; = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

BAØI GIAÛI: G ; x – 2y + 2 = 0 vaø AB = 2AD .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát raèng ñænh A coù hoaønh ñoä aâm . BAØI GIAÛI: A ∈ ñöôøng thaúng x – 2y + 2 = 0 ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) BC qua C vaø BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0 Ta coù : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loaïi) Vaäy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví duï 5 ( ÑH KHOÁI D -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) vôùi m ≠ 0. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m. Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G. m 3

6 − +

Tam giaùc GAB vuoâng taïi G ⇔ GA.GB 0=

= 0 ⇔ m = 3 6

2m 9

1 0

. ⇔

− = sao cho khoaûng caùch töø C ñeán

y− 2

Ví duï6 ( ÑH KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng

ñöôøng thaúng AB baèng 6.

y 1 − 4

x 1 − 3 −

BAØI GIAÛI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phöông trình AB:

⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ ñt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t)

8t 4 3t 7

+ +

−

= 6

− =

Ta coù: d (C, AB) = 6 ⇔

− = −

11t 3 30 − = ⎡ ⎢ 11t 3 ⎣

27 11

t 3 =⎡ ⎢ ⎢ = − t ⎢⎣

;

−

⇔ 11t 3 ⇔ ⇔

43 11

27 11

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Vaäy C (7; 3) hay C

Ví duï7 ( Ñeà DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù ñænh A (1; 0) vaø hai ñöôøng thaúng laàn löôït chöùa caùc ñöôøng cao veõ töø B vaø C coù phöông trình töông öùng laø : x – 2y + 1 = 0 vaø 3x + y – 1 = 0.Tính dieän tích cuûa tam giaùc ABC. BAØI GIAÛI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phöông trình AC : 2x + y + m = 0

A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2 Phöông trình AC : 2x + y – 2 = 0 + +

2x 3x

− = 0 y 2 − = y 1 0

⎧ ⎨ ⎩

Vaäy t ñ C laø nghieäm cuûa ⇒ C(−1; 4)

Vaäy

⇒ B(−5; −2).⇒

= (−2; 4)

⎯→ AB

⎯→ = (−6; −2); AC

− = + =

− −

x 3y 1 x 2y 1

0 0

⎧ ⎨ ⎩

−

SΔABC =

2 4

1 2

− 6 ⎡ ⎢−⎣

⎤ ⎥ = 14 (ñvdt). ⎦

Vì AB ⊥ CC' ⇒ phöông trình AB : x – 3y + n = 0 A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1 Phöông trình AB : x – 3y – 1 = 0

→ IB

→ =IA

Ví duï8 ( ÑEÀDÖÏ TRÖÕ KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm I (–2; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1 : 2x – y + 5 = 0, d2 : x + y – 3 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm I vaø

caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi A, B sao cho : BAØI GIAÛI: P.trình ñöôøng thaúng d qua I (–2, 0), heä soá goùc k : y = k(x + 2) 2 5 k − 2 k −

05 2 yx A A , ⇒ 0 2 kx y +− = k − 2 k − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

=+− k 03 yx , ⇒ 0 kx =−+ 2 y k +− = 23 k − 1 k + 5 k 1 k + ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ B ⎜ ⎝

;

⇒

;

k − ; 2 k 2 k −

1 − −

k k

5 +

10 1 k +

10 1 +

⎛ = ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎨ ⎩ ⎧ B ⎨ ⎩ (cid:74)(cid:74)(cid:71) IA

5 k 1 k + 7 3

⎞ ⎟ ⎠ 1 − 2 k − k − 2 k −

⎛ ⎜ 1 ⎝ 10 1 k + 10 k 1 k +

Do ñoù phöông trình ñöôøng thaúng d laø y =

(x + 2)

7 3

= k =⇒ 2 IA IB ⇔= 0 k, = k =⇒ = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 7 3

⇔

7x – 3y + 14 = 0

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 4

ÑÖÔØNG TROØN

1. Ñeå tìm phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn ta caàn löu yù:

. Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a, b) baùn kính R laø :

x a−

b−

(

) + (

= R2

. Phöông trình cuûa (C) ôû daïng khai trieån :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0)

− c

vôùi c = a2 + b2 – R2 R2 = ⇔

Do ñoù ta phaûi coù ñieàu kieän a2 + b2 – c 0 ≥

. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng troøn taâm I(a, b) baùn kính R laø:

∈ R)

x a R cos t (t = = + + y b R sin t ⎧ ⎨ ⎩

2. Ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi moät ñöôøng troøn ta caàn phaân bieät :

a) Tröôøng hôïp bieát tieáp ñieåm : ta duø ng coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä :

)Δ

taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) vôùi : Tieáp tuyeán (

x a−

) +

(

b− )

= R2 laø - ñöôøng troøn (C) : (

(x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2

- ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 laø

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0

b) Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm, ta aùp duïng tính chaát :

)Δ

tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn taâm I baùn kính R Ñöôøng thaúng (

= R. ⇔ Δ d( I , )

x a−

b−

) +

(

)

= R2 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø x = c) ñöôøng troøn (C) : (

± ± R, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ñöôøng troøn ( C) ñeàu coù

a R. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a daïng y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi ñöôøng troøn.

Ví duï

Trong maët phaúng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).

a) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B.

b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A, B.

c) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7)

Giaûi

a) Phöông trình ñöôøng troøn (C) coù daïng :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

+ =

Ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B neân :

0 4 a c 8

1 = − 2

−

+ =

b c

=⎧ c ⎪ a ⎨ ⎪ =⎩ b

=⎧ c ⎪ 4 + ⎨ ⎪ 16 ⎩

⇔

Vaäy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0.

−

4 16 +

( x

2 )

( y

2 )

(

)

1 4

M x y ( ,

)

Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân coù taâm laø trung ñieåm cuûa AB vaø ñöôøng kính laø AB neân pt döôøng troøn (C) laø:

C∈ (

ta coù

0 . Vaäy pt ñöôøng troøn ( C ) laø . − − + − − = Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân vôùi (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM.BM ( x x )( x x ) ( y y )( y y ) B

b) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi :

. Tieáp ñieåm A(–2, 0) laø : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

x + 2y + 2 = 0 ⇔

. Tieáp ñieåm B(0, 4) laø : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0

1 2 +

x + 2y – 8 = 0 ⇔

1 = − ±

c) Ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 coù taâm I(–1, 2) vaø baùn kính R =

0 − = 5 . Hai tieáp tuyeán

= ± x a R

5 .Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø

naøy khoâng qua M(4, 7)

(

)Δ : y – 7 = k(x – 4)

Vaäy phöông trình tieáp tuyeán qua M(4, 7) coù daïng:

⇔ kx – y + 7 – 4k = 0

(

)Δ tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) ⇔

Δ d( I , ) = R

5 5k−

k + 1

7 4 2 − − + − k k = 5 . ⇔ = 5 ⇔ 1 + k

1 2

hay k = ⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2

Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) vôùi phöông trình laø :

k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒

1 2

k = x – y + 5 = 0. ⇒

Ví duï (ÑH KHOÁI B-2003)

Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù AB=AC, (cid:110) 090 . BAC =

2 3

; 0) laø troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa ñoä caùc Bieát M(1,–1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G(

2(1

)

−

ñænh A , B, C. G laø troïng taâm ΔABC ⇔

⎧ ⎨ ⎩

2 3 2( 1 0)

= − −

2 ⎧ ⎪ 3 ⎨ ⎪− ⎩

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AG 2GM = 2 3 2 = − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM

1 9

+ =

⇔ ⇔ ⇔ A (0, 2)

A PT: BC qua M (1, −1) ⊥ PT ñ.troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM=

= (1, −3): x – 3y – 4 = 0 10

x 3y 4

−

(x – 1)2 + (y + 1)2 = 10

− = 2

(y 1) +

⎧ ⎨ (x 1) − ⎩

= −

Toïa ñoä B, C thoûa :

= −

2 (y 1)

= ⇔ +

+ +

x =⎧ ⎨ y =⎩

x 3y 4 + ⎧ ⎨ 2 (3y 3) + ⎩

⎧ ⎨ ⎩ Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)

⇔ ⇔ ∨

x =⎧ ⎨ y =⎩

x 1 + 2 + y 2 2

Giaû söû I’ (x, y) thì ⇒ ⇒

Ví duï (ÑH KHOÁI D-2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñecac vuoâng goùc Oxy cho ñöôøng troøn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng d: x – y – 1 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng thaúng d. Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm (C) vaø (C’) Giaûi (C1) coù taâm I (1, 2), R = 2. Goïi I’ laø ñoái xöùng I qua (d) Goïi (Δ) laø ñöôøng thaúng qua I vaø (Δ) ⊥ (d) (Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1) H laø trung ñieåm cuûa II’ ⎧ =⎪⎪ 2 ⎨ ⎪ = 1 ⎪⎩ ⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2. (C’) : (x – 3)2 + y2 = 4

(x 1) −

(y 2) − 2

(x 3) −

⎧ − (x 3) + ⎨ x y 1 0 − − = ⎩

Giaûi heä ⇔

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ x y 1 = + 2

−

4y 0 =

x =⎧ ⎨ y 2 =⎩

⎧ ⎨ ⎩

∨ ⇔ ⇔

x 1 =⎧ ⎨ y =⎩ Vaäy giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) laø A (1, 0) vaø B (3, 2). Ví duï (ÑH KHOÁI A-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A thuoäc d1, ñænh C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh.

Giaûi

A ∈ d1 ⇔ A (m; m). C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox vaø ABCD laø hình vuoâng neân :

m n = m 2n 1 =

−

⎧ ⎨ ⎩

m 1 =⎧ ⎨ n 1 =⎩

A vaø C ñoái xöùng nhau qua Ox ⇔ ⇔

Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Goïi (C) laø ñöôøng troøn ñöôøng kính AC ⇒ Phöông trình (C) : (x–1)2 +y2=1. B vaø D laø giao ñieåm (C) vaø Ox neân toïa ñoä cuûa B, D

2 ⎧⎪ − (x 1) ⎨ y 0 =⎪⎩ 2

0 x = ∨ =

laø nghieäm cuûa heä :

x ⎧ ⎨ y =⎩

. Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) ⇔

Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0).

Ví duï (ÑH KHOÁI B-2005)Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñieåm A(2; 0), B(6; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.

(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:71) Goïi I (x; y) laø taâm cuûa (C). Ta coù : (C) tieáp xuùc Ox taïi A ⇒ IA i⊥

Giaûi

= (1; 0) ⇔ x – 2 = 0

IB = 5 ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25

⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1 Tröôøng hôïp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7 Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 Tröôøng hôïp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1

(C1) : x2 ⇔ x = 2 ⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = 9 ⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1. Ví duï (ÑEÀ DÖÏ BÒ KHOÁI A -2002) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn: + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0

vôùi m2 + n2 > 0

−

1) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng x + 6y – 6 = 0. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Giaûi 1) Phöông trình chuøm ñöôøng troøn qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) laø : m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = 0 ⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0

− 4n 10m + m n

2n + m n

20n + m n

⎛ ⎜ ⎝

⇔ x2 + y2 +

⎞ ⎟ ⎠ n +

− 5m 2n +

; m n m n

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

Coù taâm I

− + 5m 2n 6n 6m 6n + m n

Vì taâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒

⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2 Vaäy phöông trình ñöôøng troøn laø :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0.

⏐

+ ⏐ b

Vì (C1), (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm neân coù 2 tieáp tuyeán chung. Vì x = xo khoâng theå laø tieáp tuyeán chung neân pt tt chung Δ coù daïng : 2) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1), (C2). (C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5 ⇒ I1I2 < R1 + R2 (C2) coù taâm I2(−2; 1), baùn kính R2 = 5 y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0

5 a

Δ tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔

⏐−

− + ⏐

(1) ⇔⏐5a + b⏐ =

5 a

= 5 Δ tieáp xuùc vôùi (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔

(2) ⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ =

= −

(1) vaø (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐

+ +

= − = +

−

5a 5a

b b

− + 2a 1 + − 1 2a

b b

⎡ ⎢ ⎣

1 7 + 3a 1 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = b ⎢⎣

−

⇔ ⇔

1 7

25 2 7

5 25 2 7

Theá a = vaøo (1) ta coù : b1 = ; b2 =

( 7;1)

= −

Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø : x + 7y – 5 + 25 2 = 0 x + 7y – 5 − 25 2 = 0. Caùch khaùc: Vì R = R2 vaø 2 ñöôøng troøn caét nhau neân 2 tieáp tuyeán chung laø 2 ñöôøng

1 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1 2I I

5 7

Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán coù daïng :

1 ⇔ m = – 5 ± 25 2

thaúng song song vôùi x + 7y+m = 0 (Δ) Vaäy d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ =

phöông trình 2 tieáp tuyeán laø x + 7y – 5 ± 25 2 = 0.

GHI CHUÙ :

Tröôùc heát caàn löu yù :

Baøi ñöôøng troøn trong chöông trình lôùp 12 bao goàm caùc vaán ñeà chính laø : Tìm phöông trình ñöôøng troøn; caùc baøi toaùn lieân quan ñeán vò trí töông ñoái giöõañöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn, giöõa hai ñöôøng troøn; phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn; truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ngoaøi ra coøn coù moät soá caâu hoûi lieân quan ñeán phöông trình x2 + y2 + 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chaúng haïn tìm ñieàu kieän ñeå (1) laø phöông trình ñöôøng troøn. Töø phöông trình (1) tìm taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn, tìm tham soá ñeå baùn kính thoaû moät ñieàu kieän naøo ñoù . . . Sau ñaây, chuùng toâi chæ ñeà caäp ñeán caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc vaø vaøi öùng duïng truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ñaây laø vaán ñeá caùc em thöôøng “ sôï” khi gaëp phaûi. A/ Caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC : • Taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng phaân giaùc trong . • Muoán tìm phöông trình ñöôøng troøn ta tìm taâm I (a ; b) vaø baùn kính R. Khi ñoù phöông trình ñöôøng troøn coù daïng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 .

• Cho k laø soá thöïc khaùc 1, ta coù : x

MBk

⇔

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

kx − A k1 − ky − A k1 − Neáu ñeà baøi cho bieát toïa ñoä A, B, C thì :

(I)

1/ • Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A cuûa

tam giaùc ABC.

DB −=

AB AC

Ta coù :

−

AB AC

Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k = ta xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä ñieåm D.

• Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC thì I chính laø chaân ñöôøng phaân giaùc

IA −=

Ta coù : trong keû töø B cuûa tam giaùc ABD. BA BD

−

BA BD

Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k = laø xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä taâm I.

Coøn baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc chính laø khoaûng caùch töø taâm I ñeán moät

trong 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC. Chuù yù : Neáu moät trong ba ñænh cuûa tam giaùc truøng vôùi goác toïa ñoä vaø hai ñænh coøn laïi naèm treân hai truïc toïa ñoä thì caùch giaûi ñöôïc thu goïn hôn vì bieát tröôùc ñöôïc 1 ñöôøng phaân giaùc trong keû töø goác toïa ñoä. Ñöôøng phaân giaùc coøn laïi ñöôïc tìm thoâng qua tìm chaân ñöôøng phaân giaùc trong nhö ñaõ trình baøy ôû treân.

Ngoaøi ra coøn coù theå giaûi baèng kieán thöùc mieàn taïo bôûi 1 ñöôøng thaúng vaø khoaûng caùch

(C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2)

Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm : Truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø taäp hôïp caùc ñieåm coù cuøng phöông tích ñoái vôùi

2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0

ÖÙng duïng : Trong chöông trình Hình hoïc lôùp 10 ta ñaõ bieát caùch döïng truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø

• Neáu (C1) vaø (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm A vaø B thì truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø

• Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau (Tieáp xuùc trong hoaëc tieáp xuùc ngoaøi) thì truïc ñaúng

(C)

(C’)

2/ Neáu ñeà baøi cho bieát phöông trình 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC thì töø phöông trình 3 caïnh ñoù, ta tìm ñöôïc toïa ñoä caùc ñieåm A, B, C baèng caùch giaûi heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm vaø söû duïng caùch giaûi nhö phaàn 1. ñaïi soá töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng. B/ Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm : 1/ (C1) vaø (C2) vaø coù phöông trình laø : 2/ (C2). ñöôøng thaúng AB. phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) taïi tieáp ñieåm. • Neáu (C1) vaø (C2) khoâng caét nhau thì veõ theâm ñöôøng troøn (C3) sao cho caét ñöôïc (C1), (C2) vaø coù taâm khoâng naèm treân ñöôøng noái taâm cuûa (C1), (C2). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C3), (C2) vaø (C3). Khi ñoù truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø ñöôøng thaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng noái taâm cuûa (C1) vaø (C2). Baøi toaùn : Cho ñöôøng troøn (C) vaø M laø ñieåm naèm ngoaøi (C). Töø M keû MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán cuûa (C) (A vaø B laø hai tieáp ñieåm). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB. Caùch giaûi : Goïi I laø taâm vaø R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C). Goïi (C’) laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính :

2 R

IM −

R’ = MA =

Suy ra (C) vaø (C’) caét nhau taïi A vaø B. Do ñoù ñöôøng thaúng AB chính laø truïc ñaúng phöông cuûa (C) vaø (C’).

Qua keát quaû treân ta ghi nhôù ngay 2 keát quaû : • Ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) chính laø truïc ñaúng

• Tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi tieáp ñieåm chính laø

Sau ñaây, löu yù theâm 2 baøi toaùn thöôøng gaëp :

M •

Goïi MA vaø MB (nhö hình veõ) laø 2 tieáp tuyeán töø M ñeán (C1) vaø (C2)

)

M C /(

)

P M C /( 1

A •

phöông cuûa (C1) vaø (C2) [Nghóa laø khoâng caàn tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2)]. truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2). Baøi 1 : Cho (C1) vaø (C2) ôû ngoaøi nhau. Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù veõ ñöôïc ñeán (C1) vaø (C2) nhöõng ñoaïn tieáp tuyeán baèng nhau. Caùch giaûi : Ta coù : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 ⇔

• B

(C2)

Do ñoù quyõ tích M laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2).

(C1)

Baøi 2 : Tìm tieáp ñieåm M cuûa hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau (C1) vaø (C2)

(C2)

(C1)

Goïi I1 vaø I2 laø taâm cuûa (C1) vaø (C2). Tieáp ñieåm M chính laø giao ñieåm cuûa truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) vôùi ñöôøng noái taâm I1I2.

−

= 0

Ví duï (ÑEÀ DÖÏ BÒ KHOÁI B -2005)

vaø (C2 ): x2 + y2

) , baùn kính

)1C coù taâm ( ,0 O 0 ) )2C coù taâm ( ,1 I 1

)2C laø

)1C , (

2x 2y 23

= 0

−

baùn kính R

)

7 −

Goïi Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñöôøng troøn : (C1 ): x2 + y2 . Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông d cuûa 23 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Chöùng minh raèng neáu K thuoäc d thì khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa (C1) nhoû hôn khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa ( C2 ). Giaûi: Ñöôøng troøn ( 3 1 = Ñöôøng troøn ( 5= Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( ( 2 ⇔ + + = (d) ) d

( 0 ) ∈ ⇔ = −

(

x y 7 ( K x ,y k

14x

−

(

)

( + −

)

2 k

) 2

14x

−

+ 5 6

(

) 1

(

) 1

)

2 k

( 2

14x

−

− K OK

2 k

) 1 2 k

( + − ( )

+ )

Ta xeùt

Vaäy I

( IK OK(ñpcm) ⇔ >

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 5

ELIP

Caùc baøi toaùn veà elip chuû yeáu qui veà vieäc vieát phöông trình chính taéc cuûa elip, xaùc ñònh

caùc phaàn töû cuûa elip (taâm, ñænh, tieâu cöï, ñoä daøi truïc lôùn, truïc nhoû, tieâu ñieåm…), nhaát laø xaùc ñònh phöông trình cuûa tieáp tuyeán cuøng vôùi toïa ñoä tieáp ñieåm. Trong moïi tröôøng hôïp ta caàn naém vöõng kieán thöùc cô baûn sau ñaây :

. Elip (E) coù tieâu ñieåm treân x′ x . Elip (E) coù tieâu ñieåm treân y′ y

Phöông trình (E) : + = 1 (E) : + = 1 x a y b x a y b chính taéc

a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2 a2 < b2 vaø b2 – a2 = c2

2c 2c Tieâu cöï

F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) Tieâu ñieåm

Treân Ox, daøi 2a Treân Oy, daøi 2b Truïc lôùn

Treân Oy, daøi 2b Treân Ox, daøi 2a Truïc nhoû

A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Ñænh treân truïc lôùn

B1(0, –b), B2(0, b) B1(–a, 0), B2(a, 0) Ñænh treân truïc nhoû

c a

c b

Taâm sai e = e =

= F M a ex

= F M b ey

Baùn kính qua tieâu

−

1 M = F M a ex

1 M = F M b ey

r 1 r 2

⎧ ⎨ ⎩

Ñieåm cuûa M ∈ (E)

1 2,Δ : x = ±

1 2,Δ : y = ±

a e

b e

Ñöôøng chuaån

* Ghi chuù :

Tröôøng hôïp elip coù taâm I( , α β ) hai truïc cuøng phöông vôùi 2 truïc toïa ñoä thì phöông trình

coù daïng

(

x y + = 1 − α 2 − β 2 a b

(cid:74)(cid:74)(cid:71) Ta dôøi heä truïc toïa ñoä xOy ñeán XIY baèng pheùp tònh tieán theo OI

ñeå ñöôïc phöông trình

daïng chính taéc cuûa elip laø

− α + = 1 vôùi − β = X x = Y y Y 2 b X 2 a ⎧ ⎨ ⎩

ñeå suy ra deã daøng toïa ñoä caùc ñænh vaø tieâu ñieåm.

x x 0 2 a

. Tieáp tuyeán vôùi elip (E) : + = 1 taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình x a y b

y y 0 2 b

= 1 +

. Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm ta aùp duïng tính chaát :

(

)Δ

: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi elip

(E) : + = 1 a2A2 + b2B2 = C2 ⇔ x a y b

)Δ theo heä soá goùc ôû daïng

Thöôøng ta vieát phöông trình cuûa (

)Δ ⊥ x′ x töùc

(

)Δ : x = ± a

kx – y + c = 0 vaø löu yù tröôøng hôïp (

. Elip (E) : + = 1 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø x a y b

x = a. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ( E) ñeàu coù daïng ± ±

y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi elip.

Ví duï1 :

Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

a) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, hai ñænh treân truïc lôùn, 2 ñænh treân truïc nhoû vaø taâm sai cuûa (E).

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi ñieåm M0(–2, 3).

c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip (E) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm M(8, 0).

d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) bieát noù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – 3y

+ 1 = 0, tính toïa ñoä tieáp ñieåm.

Giaûi

a) Tieâu ñieåm, caùc ñænh vaø taâm sai cuûa (E)

(E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

2x 40

+ = 1 coù daïng + = 1 ⇔ y 10 x a y b

vôùi a2 = 40 > b2 = 10 c2 = a2 – b2 = 30 ⇒

a = 2 ⇒ 10 , b = 10 , c = 30

Vaäy elip (E) coù truïc lôùn treân Ox, hai tieâu ñieåm naèm treân truïc lôùn laø

F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0).

Hai ñænh treân truïc lôùn laø A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0)

Truïc nhoû cuûa (E) naèm treân Oy vôùi 2 ñænh laø B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ).

c a

3 2

Taâm sai cuûa elip (E) laø e = = = 30 2 10

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi M0(–2, 3)

)22−

( )23

Ta coù + 4 + 4 – 40 = 0 – 40 = (

⇒ M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi tieáp ñieåm M0(–2, 3) seõ laø:

x0x + 4y0y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0

⇔ x - 6y + 20 = 0

c) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip phaùt xuaát töø M(8, 0).

.Hai tieáp tuyeán naøy khoâng ñi qua

± qua M(8, 0) coù daïng: (E) coù hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 0y laø: x = 2 10 )Δ M(8,0). Vaäy pt tieáp tuyeán (

y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = 0

(

)Δ tieáp xuùc vôùi elip (E) :

2x 40

2y 10

+ = 1

40k2 + 10 = 64k2 ⇔

10 24

5 12

15 6

k2 = = ⇔ ⇔ k = ± = ± 5 2 3

Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi (E) qua M(8, 0) laø :

15 6

5 6

x – y – 8 = 0 ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0

15 6

5 6

hay – x – y + 8 = 0 ⇔ 15 x + 6y – 8 5 = 0

d) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) vaø vuoâng goùc vôùi (D)

(

)′Δ ⊥

(D) vôùi (D) : 2x – 3y + 1 = 0

(

)′Δ

: 3x + 2y + C = 0 ⇒

(

)′Δ tieáp xuùc (E) :

2x 40

2y 10

+ = 1

40.9 + 10.4 = C2 ⇔ ⇔ C2 = 400

⇔ C = ± 20

)′Δ vôùi (E) thì (

)′Δ :

Goïi M0(x0, y0) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (

0x x 40

0y y 10

+ = 1 ⇔ x0x + 4y0y – 40 = 0

)′Δ

Vôùi C = 20 : 3x + 2y + 20 = 0 ⇒ (

04y 2

− 40 20

= −

= = ⇒ 0x 3

= −

x ⎧ ⇔ 0 ⎨ y ⎩

hay M0 (–6, –1)

Vôùi C = –20 (⇒ )′Δ : 3x + 2y – 20 = 0

− −

0x 3

04y 2

40 20

= = ⇒

⎧ ⎨ ⎩

⇔ hay M0(6, 1).

Ví duï2 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm C (2; 0) vaø elíp

= . Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A, B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi

x 4

y 1

(E) :

nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu

Giaûi

4 a − 2

Giaû söû A (a, ) ∈ (E) ⇒ B (a, − ) ∈ (E)

Vaø ñieàu kieän: –2 < a < 2. Do A,B ñoái xöùng qua Ox neân ta coù: ΔCAB ñeàu ⇔ CA2 = AB2

4 a − 4

= 4 – a2 ⇔ 7a2 – 16a + 4 = 0 ⇔ (a – 2)2 +

−

⇔ a = 2 (loaïi) hay a = 2

2 4 3 7

2 7

4 3 7

7 . Neân toïa ñoä cuûa A vaø B laø: 4 3 7

2 4 3 7

2 7

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ hoaëc A ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

vaø B vaø B A

x 16

Cho (E) : = 1. Cho M di chuyeån treân tia 0x, N di chuyeån treân tia 0y sao cho ñöôøng Ví duï3 :(ÑH KHOÁI D-2002) : 2 y 9

thaúng MN luoân tieáp xuùc (E). Tìm toïa ñoä ñieåm M, N sao cho ñoä daøi ñoaïn MN ngaén nhaát. Tìm ñoä daøi ñoaïn ngaén nhaát ñoù.

Giaûi

M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > 0

x 16

y 9

(E) : = 1. MN : nx + my – n.m = 0

16 2

9 2

m Ta coù : MN2 = m2 + n2 .Theo BÑT BCS ta coù

≤

(MN) tieáp xuùc (E) ⇔

16 2

9 2

4 m

3 n

n 2

Ta coù : 7 =

n 3

m 4

m 4 m

⇔ MN nhoû nhaát ⇒

vaø n = 21 (vì m, n>0) Do ñoù : MN nhoû nhaát ⇔ m =

vaø ñöôøng thaúng dm : mx – y – 1 = 0.

, 0); N (0, 21 ). Khi ñoù min MN = 7.

n 3 n ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 vaø n2 = 21 ⇒ M ( Ví duï4 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho elip (E): x 9

y 4

a) Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m, ñöôøng thaúng dm luoân caét elip (E) taïi hai ñieåm phaân

bieät.

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm N (1; −3).

a) (E) :

4x2 + 9y2 – 36 = 0

= ⇔ 1

x 9

y 4

(dm) : mx – y – 1 = 0 ⇔ y = mx – 1

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (dm) vôùi (E) : 4x2 + 9(mx – 1)2 – 36 = 0 ⇔ (4 + 9m2)x2 – 18mx – 25 = 0 coù Δ' = 81m2 + 25(4 + 9m2) > 0 ñuùng vôùi moïi m Vaäy (dm) luoân luoân caét (E) taïi 2 ñieåm phaân bieät. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; −3)

2 tieáp tuyeán thaúng ñöùng cuûa (E) laø x = ± 3 ( khoâng qua N )

Goïi Δ laø tieáp tuyeán qua N(1; −3) thì phöông trình Δ coù daïng:

y + 3 = k(x – 1) ⇔ kx – y – 3 – k = 0

(Δ) tieáp xuùc vôùi (E) ⇔ 9k2 + 4 = (−3 – k)2 = 9 + 6k + k2

= −

1 2

⇔ 8k2 – 6k – 5 = 0 ⇔

5 4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ Δ1 : x + 2y + 5 = 0; Δ2 : 5x – 4y – 17 = 0. * * *

Giaûi

CHUYEÂN ÑEÀ 6

HYPEBOL

Ñeå giaûi caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán ñöôøng hypebol ta caàn naém vöõng caùc vaán ñeà cô

baûn sau:

Hypebol (H) coù taâm O, hai truïc ñoái xöùng laø x′ x, y′ y.

. Hypebol coù tieâu ñieåm treân x′ x . Hypebol coù tieâu ñieåm t reân y′ y

Phöông trình – = 1 – = –1 x a y b x a y b chính taéc

vôùi c2 = a2 + b2 vôùi c2 = a2 + b2

Tieâu ñieåm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c)

Tieâu cöï 2c 2c

Truïc thöïc, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a

Truïc aûo, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b

Ñænh A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b)

a b

b a

Tieäm caän x x y = ± y = ±

c b

c a

e = e = Taâm sai

= F M ex

= F M ey

Baùn kính

−

1 M = F M ex

1 M = F M ey

r 1 r 2

⎧ ⎨ ⎩

M(xM, yM) ∈ (H)

= −

−

= −

−

= −

M ex

M ey

r 1 r 2

⎧ ⎨ ⎩

a)≥ (xM (yM ≥ b)

(xM ≤ – a) (yM ≤ – b)

a e

b e

Ñöôøng chuaån x = ± y = ±

Phöông trình tieáp

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

– = 1 – = –1 tuyeán taïi tieáp

ñieåm M0(x0, y0) ∈ (H)

Ngoaøi ra ta cuõng caàn löu yù:

. Ñieàu kieän ñeå:

(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : – = 1 laø x a y b

a2A2 – b2B2 = C2 > 0

(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : – = –1 laø x a y b

a2A2 – b2B2 = –C2 < 0

Ví duï :

Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4

1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, ñænh, taâm sai, caùc ñöôøng tieäm caän vaø ñöôøng chuaån cuûa (H)

2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi ñieåm M(1, 0)

3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø ñieåm N(1, 4) tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.

Giaûi

1) Caùc phaàn töû cuûa hypebol (H)

x2 – = 1 coù daïng – = 1 vôùi (H) : 4x2 – y2 = 4 ⇔ y 4 x a y b

a2 = 1 ⇒ a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 vaø c2 = a2 + b2 = 5

5− Vaäy hypebol (H) coù 2 tieâu ñieåm F1( , 0), F2( 5 , 0) ; hai ñænh A1(–1, 0), A2(1, 0) ;

c a

taâm sai e = = 5 ; hai ñöôøng tieäm caän phöông trình y = ± 2x vaø hai ñöôøng chuaån phöông

trình

a e

= x = ± ± 1 5

2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0)

Ta coù M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4

⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0) laø

4xMx – yMy = 4

x = 1 ⇔ 4x – 0y = 4 ⇔

3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø N(1, 4). Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi

0y laø x = a = 1. Vaäy x=1 laø moät tieáp tuyeán qua N(1, 4). ± ±

)Δ

qua N(1, 4) khoâng cuøng phöông vôùi 0y coù daïng: Tieáp tuyeán (

(

)Δ

: y – 4 = k(x – 1) ⇔ kx – y + 4 – k = 0

(

)Δ tieáp xuùc vôùi hypebol (H) :

– = 1 x 1 y 4

k2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 ⇔

k2 - 4 = 16 – 8k + k2 ⇔

= .Vaäy

(

)Δ

5 2

20 8

5 2

k = : x – y – 4 – = 0 ⇔

⇔ 5x – 2y – 13 = 0

Toùm laïi coù hai tieáp tuyeán qua ñieåm N(1, 4) laø x = 1, vaø 5x – 2y – 13 = 0.

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 7

PARABOL

Caùc baøi toaùn veà parabol thöôøng qui veà vieäc xaùc ñònh caùc yeáu toá cuûa parabol (tieâu

ñieåm, ñöôøng chuaån), laäp phöông trình cuûa parabol vaø caùc vaán ñeà veà tieáp tuyeán cuûa parabol. Do ñoù ta caàn naém vöõng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây :

)Md Δ } (

Parabol (P) = { M∈ (Oxy) / MF =

)Δ

laø ñöôøng chuaån. F laø tieâu ñieåm vaø (

Caùc daïng phöông trình chính taéc :

(

)Δ

(

)Δ

y y

− P 2

F x O O x F( P , 0) 2

(P) (P)

−

(

)Δ : x =

(

)Δ : x =

p 2

(P) : y2 = –2px (P) : y2 = 2px

p 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

F F

M ∈ (P) 0 0 ≥ M ∈ (P) ⇒ xM xM ⇒ ≤

p 2

vaø r = MF = xM + vaø r = MF = –xM +

(d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pB2 = 2AC (d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pB2 = –2AC

Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm

M0(x0, y0) coù phöông trình M0(x0, y0) coù phöông trình

y0y = p(x0 + x) y0y = –p(x0 + x)

(

) Δ

2 O

x (P)

− P

F 2 x (P)

(

)Δ

F O

−

(

)Δ : y =

(

)Δ : y =

p 2

⎛ F 0 , ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ F 0 −⎜ , ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(P) : x2 = 2py (P) : x2 = –2py

⇒ ≤ yM

M ∈ (P) 0 0 ≥ M ∈ (P) ⇒ yM

p 2

vaø r = MF = yM + vaø r = MF = –yM +

(d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pA2 = 2BC (d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pA2 = –2BC

Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm

M0(x0, y0) coù phöông trình M0(x0, y0) coù phöông trình

x0x = p(y0 + y) x0x = –p(y0 + y)

Ví duï1 :

Cho parabol (P) : y2 – 8x = 0

1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm F vaø ñöôøng chuaån ( )Δ cuûa (P)

2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi ñieåm M(2; –4)

3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) bieát noù song song vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – y +

5 = 0. Suy ra toïa ñoä tieáp ñieåm.

4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm

I(–3, 0), suy ra toïa ñoä tieáp ñieåm.

Giaûi

1) Tieâu ñieåm vaø ñöôøng chuaån

⇔

(P) : y2 – 8x = 0 y2 = 8x coù daïng y2 = 2px vôùi p = 4

⇒

( )Δ : x = –2.

Tieâu ñieåm F(2, 0) vaø ñöôøng chuaån

2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M(2; –4)

Tieáp tuyeán vôùi (P) : y2 = 8x taïi tieáp ñieåm M(2, –4) coù phöông trình cho bôûi coâng thöùc

phaân ñoâi toïa ñoä :

⇔

–4(y) = 4(2 + x) x + y + 2 = 0

3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) vaø song song vôùi (D)

Ñöôøng thaúng (d) // (D) vôùi (D) : 2x – y + 5 = 0

⇒

(d) : 2x – y + C = 0

(d) tieáp xuùc vôùi (P) : y2 = 8x

⇔

⇔ C = 1

4 = 2 . 2C = 4C

Vaäy tieáp tuyeán vôùi (P) phaûi tìm coù phöông trình

2x – y + 1 = 0

Tieáp tuyeán (d) vôùi (P) : y2 = 8x taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coøn coù phöông trình

y0y = 4(x0 + x) ⇔ 4x – y0y + 4x0 = 0

maø (d) : 2x – y + 1 = 0, do ñoù :

1 2

04 x 1

4 2

y 0 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1 2 2

⎧ x ⎪ ⇒ 0 ⎨ ⎪ y ⎩

= = hay M0

4) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) xuaát phaùt töø I(–3, 0).

d′

Tieáp tuyeán vôùi (P) vaø cuøng phöông vôùi 0y laø x = 0. Vaäy pt tieáp tuyeán ( ) qua

′

I(–3, 0) coù daïng:

⇔

kx – y + 3k = 0 ( d ) : y – 0 = k(x + 3)

d′

( ) tieáp xuùc vôùi (P) : y2 = 8x

⇔

6 3

k = 4 = 2k(3k) = 6k2 = ± 2 6

Vaäy töø ñieåm I(–3, 0) coù 2 tieáp tuyeán vôùi parabol (P) laø:

6 3

x – y + 6 = 0 hay – x – y – 6 = 0

⇔

6 3

′

x – y + 6 = 0 hay 6 x +3 y +3 6 = 0

Tieáp tuyeán ( d ) vôùi (P) taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình

′

4x – y0y + 4x0 = 0

y 0 1

6 3

04 x 6

4 6 3

= = x – y + 6 = 0 ⇒ Do ñoù vôùi ( d ) :

⇒

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2 6 12 6

d′

y− 3

04 x 3 6

Vôùi ( ) : 6 x + 3y + 3 6 = 0 = = ⇒ 4 6

⇒

= −

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2 6 12 6

IN4

Vaäy 2 tieáp ñieåm phaûi tìm laø (3; 2 6 ) vaø (3; –2 6 ).

Ví du2( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕKHOÁI A –2003) : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho parabol (P) coù phöông trình y2 = x vaø ñieåm I (0; 2). Tìm toïa ñoä hai ñieåm M, N thuoäc (P) sao cho IM =

Goïi M(m2; m) ∈ (P), N(n2; n) ∈ (P)

= (m2; m – 2)

⎯→ IM ⎯→ IN

= (4n2; 4n – 8)

⇒ 4

= (n2; n – 2) ⎯→ IN

Giaûi

⇔

⎯→ Vì IM

⎯→ = 4 IN

= m 4n = − m 2

− 4n 8

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

−

m 4n 6

⇒

= −

m 1

⇔

⇒

= m 6

n 1 n

−

+ 4n 3

⎡ ⇒ ⎢ ⎣

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3)

Ví du 3 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕKHOÁI A –2003) :Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho

elip (E):

. M(−2; 3); N(5; n). Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng d1, d2 qua M vaø tieáp xuùc

x 4

y 1

vôùi (E). Tìm n ñeå trong soá caùc tieáp tuyeán cuûa (E) ñi qua N coù moät tieáp tuyeán song song vôùi d1 hoaëc d2.

Giaûi

1) Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua M tieáp xuùc vôùi E.

x = 2 laø 2 tieáp tuyeán thaúng ñöùng cuûa (E)

Vaäy d1 : x = −2 laø 1 tieáp tuyeán cuûa (E) qua M.

Phöông trình tieáp tuyeán d qua M(−2; 3) khaùc döôøng thaúng x = −2

coù daïng : y – 3 = k(x + 2)

⇔ kx – y + 3 + 2k d tieáp xuùc vôùi (E) ⇔ 4k2 + 1 = (3 + 2k)2 ⇔ 4k2 + 1 = 9 + 4k2 + 12k

−2

= −

⇔ k =

2 3

− 8 12 d2 : 2x + 3y – 5 = 0 deã thaáy tieáp tuyeán d cuûa (E) qua N(5; n) khoâng song song vôùi :

2) x = −2.

Do ñoù d song song vôùi d2 : 2x + 3y – 5 = 0 vaø qua N(5; n) coù heä soá goùc :

= −

. Vaäy d :

hay

k = −

− ( x 5 )

2 3

d :

−

+ n = 0 ⇔ −2x – 3y + 10 + 3n = 0

2 3 2 3

10 3

d tieáp xuùc vôùi E ⇔ 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2

−

⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – 5 hay n=

5 3

−

n =

: loaïi vì khi ñoù d truøng vôùi d1.

5 3 Vaäy N(5; −5).

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 8

VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN

Caùc ñònh nghóa vaø pheùp toaùn cuûa vectô trong khoâng gian cuõng gioáng nhö trong maët

∀

phaúng, ta caàn löu yù ñeán caùc vaán ñeà cô baûn thoâng duïng nhö :

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + BC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = AC

. Qui taéc 3 ñieåm : A, B, C thì

. Coäng 2 vectô cuøng goác laø moät vectô cuøng goác vaø laø ñöôøng cheùo hình bình haønh coù 2

caïnh laø 2 vectô ñaõ cho.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MI =

(cid:71) = 0

. I laø trung ñieåm ñoaïn thaúng AB, vôùi ñieåm M baát kyø naøo ta luoân coù:

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB+ 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . G laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ GA

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + GB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + GC

(cid:71) 0

Ngoaøi ra ta coøn coù :

(cid:71) 0 naøo ñoàng phaúng vôùi hai vectô khoâng cuøng phöông

goïi laø ñoàng phaúng neáu giaù cuûa chuùng cuøng song song hoaëc naèm

≠

, trong . Ba vectô khaùc trong moät maët phaúng . (cid:71) . Baát kyø vectô a (cid:71) 1e (cid:71) 2e

coù nghóa: , (cid:71) 1e

(cid:71) a =

( α , β ∈ R) khoâng gian, ñeàu coù theå phaân tích theo (cid:71) α 1e (cid:71) 2e (cid:71) + β 2e

khoâng ñoàng phaúng naøo trong khoâng gian cuõng coù theå phaân tích ñöôïc theo 3 vectô coù nghóa : (cid:71) 1e

(cid:71) ≠ 0 (cid:71) , 3e (cid:71) α 1e

(cid:71) = 0

+ β + γ ( α , β , γ ∈ R) vaø söï phaân tích treân laø duy nhaát . (cid:71) . Baát kyø vectô a (cid:71) , 2e (cid:71) a = (cid:71) 2e (cid:71) 3e

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇔ GA

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GD

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GB

+ . G ñöôïc goïi laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + GC +

Ghi chuù :

(cid:71) , a

(cid:71)

1) Neáu moät trong 3 vectô thì chuùng ñoàng phaúng.

(cid:71) (cid:71) (cid:71) laø 0 b , c (cid:71) (cid:71) (cid:71) ⎤ = a b c . , ⎦

⎡ ⎣

2) a , b , c ñoàng phaúng ⇔

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OC

ñoàng phaúng ⇔ O, A, B, C cuøng naèm treân moät maët phaúng. 3) OA , OB ,

Ví duï 1:

Cho moät hình laêng truï ABC A′ B′ C′ . Goïi I, I′ laàn löôït laø troïng taâm cuûa Δ ABC vaø

Δ A′ B′ C′ , O laø trung ñieåm cuûa I I′ .

(cid:71) = 0

a) Chöùng minh raèng

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OB′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC′

b) Goïi G laø troïng taâm cuûa hình töù dieän ABC C′ vaø M laø trung ñieåm cuûa A′ B′ . Chöùng

minh raèng O, M, G thaúng haøng.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OM (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OG

c) Tính tæ soá

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ′ + OA +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB′

a) +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC (cid:74)(cid:74)(cid:71) IA

(cid:71) = 0 (cid:74)(cid:74)(cid:71) + IC

Δ (cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

I laø troïng taâm cuûa ABC ⇒ Giaûi (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC′ (cid:74)(cid:74)(cid:71) + IB

(cid:71) = 0 (cid:71) ) = 0

(cid:74)(cid:74)(cid:71) IO

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

+ ) + ( IO + OB ) + (

(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇒ IO ( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB

(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC = 3 OI

⇒

Δ A′ B′ C′

Töông töï,

⇒

I′ laø troïng taâm cuûa (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ′ ′ OB′ + OC = 3 OI (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB′ OA′ + OB +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ′ OA + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC

Vaäy

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC′ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + 3 OI′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OI′

(cid:74)(cid:74)(cid:71) = 3 OI (cid:71) = 0

) = (cid:74)(cid:74)(cid:71) = 3( OI

(vì 0 laø trung ñieåm I I′ )

b) O, M, G thaúng haøng

(cid:71) = 0

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GC′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GB (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + GC + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABC C′

(cid:71) ) = 0

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GO

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) + ( GO

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OC′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇒ GA + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GO (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇒ OA +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ′ + OC + OC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = 4 OG

′

) + ( ⇒ ( + OA ) + ( GO +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ′ ⇒ OA + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇒ OA +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ′ + OC + OC

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OA′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + OB′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = 4 OG

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + 2 OM

M laø trung ñieåm cuûa A B′ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB′ = 2 OM (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OB

(cid:71) ⇒ 0 = 4

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OG

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + 2 OM (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OG

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇒ OM = –2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇒ OM cuøng phöông vôùi OG

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

⇒ OM , OG cuøng giaù (vì cuøng goác O)

⇒ O, M, G thaúng haøng.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OM (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OG

c) Tæ soá

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OM

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OG

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OM (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = –2 OG

= –2 ⇒

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) /AC

Ví duï 2:

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB

(cid:71) = b

(cid:71) c

, = . Haõy bieåu thò caùc

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) B D′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) Cho hình hoäp ABCD. A′ B′ C′ D′ vôùi AA′ (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , b AD

(cid:71) theo caùc vectô a

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , A C′

(cid:71) = a (cid:71) , c .

(cid:71) b

, , vectô A D Giaûi

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) D D′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AD

(cid:71) c

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = AC′ (cid:71) = c

Ta coù vôùi hình hoäp ABCD. A′ B′ C′ D′ thì : (cid:71) a B C +

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) /C D′ (cid:71) – a

A ′

D′

+ (cid:71) – b

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) /C C

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) A C′ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) A C′

C′

B′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) B D′

(cid:71) b

(cid:71) a

–

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD′

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = A A′ (cid:71) = –2 a (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = B B′ + BA (cid:71) (cid:71) = – a – b (cid:71) = – 2 a (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = BA (cid:71) = – b

(cid:71) a

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) /AC + (cid:71) c (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + AD (cid:71) + c (cid:71) – 2 b (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + AD (cid:71) + ( c – (cid:71) (cid:71) + c = – 2 b

– (cid:71) c (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) DD′ (cid:71) – a ) + + (cid:71) b

* * *

CHUYEÂN ÑEÀ 9

PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

Caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong khoâng gian thöôøng coù caùc yeâu caàu xaùc ñònh toïa ñoä cuûa ñieåm, vectô, ñoä daøi ñoaïn thaúng, tính goùc 2 vectô, caùc vaán ñeà veà maët phaúng vaø ñöôøng thaúng trong khoâng gian (phöông trình, vò trí töông ñoái, song song, vuoâng goùc, soá ño goùc, khoaûng caùch,… ). Tuøy theo töøng tröôøng hôïp ta caàn löu yù vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây :

I. Toaï ñoä ñieåm. Toaï ñoä vectô

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

, . (cid:71) 1e (cid:71) 2e Trong khoâng gian toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz coù 3 vectô ñôn vò treân ba truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït laø (cid:71) , 3e

(cid:71)

. * Cho M(x, y, z) thì OM = x. (cid:71) 3e (cid:71) 2e (cid:71) 1e

. * Cho a = (a1, a2, a3) thì a = a1. + a2. + a3. + y. (cid:71) 1e + z. (cid:71) 2e (cid:71) 3e

II. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä ñieåm, vectô

1. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä ñieåm

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) Cho hai ñieåm A(x1, y1, z1) vaø B(x2, y2, z2). Ta coù nhoùm coâng thöùc tính toïa ñoä vectô AB

, khoaûng

caùch giöõa hai ñieåm A, B vaø toïa ñoä ñieåm M laø chia ñoaïn AB theo tæ soá k ≠ 1

−

= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) * AB (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) * AB

(

)

(

)

(

)

x 1

y 1

z 1

2 , y =

2 , z =

)

− x 1 1 −

− 1 1 −

− z 1 1 −

kx k

ky k

kz k

α vaø β laø 2 soá thöïc ta coù caùc coâng thöùc tính

* ( x =

(cid:71) Cho hai vectô a = (a1, a2, a3),

2. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä vectô (cid:71) b = (b1, b2, b3). Vôùi

vaø coâng thöùc quan heä sau :

(cid:71) α a .

β .b2, α .a +

β .b ) 3

a) Coâng thöùc tính toaùn (cid:71) b = ( α .a1 + .b1, .a2 +

(cid:71) a

+ β . (cid:71) . b = a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3

cos = (cid:71)(cid:71) (cid:110)(a, b

)

a .b 3 +

a .b 1 1 2 a

a .b 2 2 2 2 a . b 1

b) Coâng thöùc quan heä

a 1 a

b 1 b

(cid:71) b

(cid:71) a

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

= ⇔

≠ 0)

(cid:71) b

(cid:71) a

⇔ (

) (b1, b2, b

a b

a 1 b 1

cuøng phöông = =

(cid:71) b ⇔

(cid:71) a

⊥ a1.b1 + a2.b2 + a .b = 0

Chuù yù :

Goùc hai ñöôøng thaúng cheùo nhau trong khoâng gian laø goùc nhoïn taïo bôûi hai vectô chæ phöông cuûa

2 ñöôøng thaúng ñoù.

MAËT PHAÚNG

I. Phöông trình maët phaúng

(cid:71) b

(cid:71) 1.* Phöông trình tham soá cuûa maët phaúng α qua M(x0, y0, z0) coù caëp vectô chæ phöông a a2, a

= (a1,

∈ R

), = (b1, b2, b ) vieát laø : 3

z 0

t a 1 1 t a 1 t a 1 3

t b 2 1 t b 2 t b 2

⎧ ⎪ = y ⎨ ⎪ = z ⎩

t1, t2

2.* Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng α laø :

Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A2 + B2 + C2 > 0

(cid:71) Maët phaúng α coù : phaùp vectô : n

= (A, B, C)

3.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø vuoâng goùc vôùi vectô (cid:71) n = (A, B, C) vieát laø : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 0

= (b1, b2, b

(cid:71) 3 b

−

) vieát laø 4.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø nhaän 2 vectô chæ phöông (cid:71) a = (a1, a2, a ),

(

)

(

)

(

) =0

x 0

y 0

a 2 b 2

a 3 b 3

a 1 b 1

a 2 b 2

5.* Phöông trình maët phaúng caét ba truïc toïa ñoä taïi A(a, 0, 0);

B(0, b, 0); C(0, 0, c) vôùi a.b.c ≠ 0 vieát laø :

x a

y b

z c

+ + = 1

II. Toaùn treân maët phaúng

1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng

Khoaûng caùch töø M(x0, y0, z0) ñeán

α : Ax + By + Cz + D = 0 laø :

+ Cz D 0

MH =

2. Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng

= (A, B, C),

(cid:71) Cho hai maët phaúng α , β coù 2 phaùp vectô laàn löôït laø n (cid:71) 1n

= (A1, B1, C1)

α β ,

(cid:71) n

Vò trí giöõa hai maët phaúng , : (cid:71) 1n

α ⊥ β

// // β

khaùc phöông caét β laø vò trí giöõa 2 phaùp vectô (cid:71) (cid:71) ⇔ n 1n (cid:71) (cid:71) ⇔ n ⊥ 1n (cid:71) ⇔ n (cid:71) 1n

ÑÖÔØNG THAÚNG

I. Phöông trình ñöôøng thaúng

(cid:71) M(x0, y0, z0) coù vectô chæ phöông a

1.* Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng Δ qua

= (a1, a2, a ) vieát laø 3

ta 1 ta 2

x 0 y 0

ta 3

⎧ ⎪ y = ⎨ ⎪ = z ⎩

,t ∈ R (Heä I).

x x − a

y y − a

− a

Neáu a1.a2.a3 ≠ 0 ta coù phöông trình chính taéc laø:

2.* Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng Δ xaùc ñònh bôûi giao tuyeán 2 maët phaúng α vaø β vieát laø :

+ Ax By Cz D +

α ( ) = β ( )

+ A x B y C z D 1

⎧ ⎨ ⎩

(II)

Ghi chuù:

Cho phöông trình ñöôøng thaúng Δ xaùc ñònh bôûi heä (II). Ñeå vieát thaønh phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ta coù theå ñaët z = t vaø tính x, y theo t töø heä (II) vaø nhôø heä (I) ta coù ñöôïc vectô chæ phöông vaø ñieåm cuûa (hoaëc x = t,

hoaëc y = t, neân choïn löïa aån phuï t ñeå pheùp tính hai bieán coøn laïi theo t ñöôïc ñôn giaûn).

A x B y C z D + 1 A x B y C z D

⎧ ⎨ ⎩

3.*Phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (d) :

(*) vôùi m, n khoâng ñoàng thôøi Coù daïng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 baèng 0. Phöông trình (*) goïi laø phöông trình cuûa chuøm maët phaúng xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng (d).

Chuù yù :Neáu m= 0 thì n khaùc 0, chia hai veá cuûa (*) cho n ta coù

(*) thaønh A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Neáu m khaùc 0 chia hai veá cuûa (*) cho m ta coù:

n m

. A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 vôùi

Vaäy chuøm maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (d) coù daïng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0. hay A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Vaán ñeà 1 TÌM PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG

- Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng. - Caùch 2 : Tìm moät ñieåm vaø moät phaùp vectô cuûa maët phaúng. - Caùch 3 : Duøng phöông trình chuøm maët phaúng.

(cid:190) Phöông phaùp : Thoâng thöôøng ta coù 3 caùch sau :

Vaán ñeà 2 : TÌM PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

(cid:190) Phöông phaùp : Thoâng thöôøng ta coù 2 caùch sau :

- Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng. - Caùch 2 : Tìm phöông trình toång quaùt cuûa 2 maët phaúng phaân bieät cuøng chöùa ñöôøng thaúng caàn tìm. - Ghi chuù : Trong 2 caùch, thöïc chaát cuûa vieäc tìm phöông trình ñöôøng thaúng laø tìm phöông trình 2 maët phaúng cuøng chöùa ñöôøng thaúng aáy. Caùi khoù laø phaûi xaùc ñònh ñöôïc 2 maët phaúng phaân bieät naøo cuøng chöùa ñöôøng thaúng caàn tìm. Thoâng thöôøng ta hay gaëp 3 giaû thuyeát sau :

+ Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët

phaúng ñi qua A vaø chöùa d.

+ Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm

trong maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.

+ Ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi d1 vaø caét d2 : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng chöùa d2

vaø song song vôùi d1.

Chaúng haïn : 1. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a vaø caét ñöôøng thaúng

aáy.

(cid:170) Caùch giaûi :

- (Δ) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. - (Δ) ñi qua A vaø caét d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β.

2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (cid:170) Caùch giaûi : - (Δ) ñi qua A vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø chöùa d1.

- (Δ) ñi qua A vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d2.

Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 3. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α, vuoâng

goùc vôùi d vaø naèm trong α.

- Töø giaû thuyeát ta ñaõ coù (Δ) ⊂ α. - (Δ) qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.

- (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi (D). - (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi (D). (cid:170) Caùch giaûi : Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi ñöôøng thaúng (D) vaø caét 2 ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (cid:170) Caùch giaûi : Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β.

(d)

A H

Vaán ñeà 3 HÌNH CHIEÁU

- Caùch 1 : (d) cho bôûi phöông trình tham soá :

→ ⊥ a d

Baøi toaùn 1 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng (d) (cid:190) Phöông phaùp : + H ∈ (d) suy ra daïng toïa ñoä cuûa ñieåm H phuï thuoäc vaøo tham soá t. → AH

→

⊥ a (*)

+ Tìm tham soá t nhôø ñieàu kieän - Caùch 2 : (d) cho bôûi phöông trình chính taéc, goïi H(x, y, z)

- Caùch 3 : (d) cho bôûi phöông trình toång quaùt :

- Caùch 1 : Goïi H(x, y, z)

→ nα

cuøng phöông vôùi : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z.

- Caùch 2 :

→ + AH + H ∈ (d) : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z. + Tìm phöông trình maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d). Baøi toaùn 2 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân maët phaúng (α) + H ∈ α () → + AH + Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (α). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (α).

- Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua A vaø song song vôùi (d). - Hình chieáu H chính laø giao ñieåm cuûa (Δ) vaø (α).

Baøi toaùn 3 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) xuoáng maët phaúng α. - Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa ñöôøng thaúng d vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng α. - Hình chieáu (Δ) cuûa d xuoáng maët phaúng α chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. Baøi toaùn 4 : Tìm hình chieáu H cuûa A theo phöông ñöôøng thaúng (d) leân maët phaúng (α). (cid:190) Phöông phaùp : Baøi toaùn 5 : Tìm hình chieáu (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) theo phöông cuûa ñöôøng thaúng (D) leân maët

(d)

(D)

(Δ) A H

(Δ)

phaúng (α).

(cid:190) Phöông phaùp :

- Hình chieáu (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa (α) vaø (β)

- Tìm phöông trình maët phaúng (β) chöùa (d) vaø song song vôùi (D)

Vaán ñeà4 ÑOÁI XÖÙNG

- Tìm hình chieáu H cuûa A treân d. - H laø trung ñieåm AA’.

(D)

- Tìm hình chieáu H cuûa A treân α. - H laø trung ñieåm AA’.

(Δ)

A’

- Tröôøng hôïp 1 : (Δ) vaø (D) caét nhau :

Baøi toaùn 1 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua ñöôøng thaúng d. (cid:190) Phöông phaùp : Baøi toaùn 2 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. (cid:190) Phöông phaùp : Baøi toaùn 3 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua ñöôøng thaúng (Δ) (cid:190) Phöông phaùp :

+ Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (Δ). + Tìm moät ñieåm A treân (D) khaùc vôùi ñieåm M. + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’ vaø M.

- Tröôøng hôïp 2 : (Δ) vaø (D) song song :

- Tröôøng hôïp 3 : (Δ) vaø (D) cheùo nhau :

- Tröôøng hôïp 1 : (D) caét α

(D)

A’

- Tröôøng hôïp 2 : (D) song song vôùi α.

- Tìm moät ñieåm A treân (D) - Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. - d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (D)

+ Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (Δ) + Tìm 2 ñieåm phaân bieät A, B treân (D) + Tìm ñieåm A’, B’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A, B qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’, B’. Baøi toaùn 4 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua maët phaúng α. (cid:190) Phöông phaùp : + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (α) + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α . + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A’ vaø M .

Vaán ñeà 5 KHOAÛNG CAÙCH

Baøi toaùn 1 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán maët phaúng α : Ax + By + Cz + D = 0

, d M (

)α =

2 B

(cid:190) Phöông phaùp :

- Tìm hình chieáu H cuûa M treân (Δ) - Khoaûng caùch töø M ñeán (Δ) chính laø ñoä daøi ñoaïn MH.

Baøi toaùn 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (Δ) (cid:190) Phöông phaùp : Baøi toaùn 3 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song d1 vaø d2. (cid:190) Phöông phaùp :

- Tìm moät ñieåm A treân d1. - Khoaûng caùch giöõa d1 vaø d2 chính laø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán d2.

D D −

( , )α β =

Baøi toaùn 4 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 maët phaúng song song α : Ax + By + Cz + D1 = 0 Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = 0 (cid:190) Phöông phaùp :

2 B

Khoaûng caùch giöõa α vaø β ñöôïc cho bôûi coâng thöùc : d

- Caùch 1 :

- Caùch 2 :

- Caùch 3 :

C Baøi toaùn 5 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2 (cid:190) Phöông phaùp : + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. + Tìm moät ñieåm A treân d2. + Khi ñoù d(d1, d2) = d(A, α) + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. + Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi d1. + Khi ñoù d(d1, d2) = d(α, β) Ghi chuù : Maët phaúng α vaø β chính laø 2 maët phaúng song song vôùi nhau vaø laàn löôït chöùa d1 vaø d2. + Vieát döôùi daïng phöông trình tham soá theo t. + Vieát d2 döôùi daïng phöông trình tham soá theo t2. + Xem A ∈ d1 ⇒ daïng toïa ñoä A theo t1. + Xem B ∈ d2 ⇒ daïng toïa ñoä B theo t2.

→ → , a a1

+ Tìm vectô chæ phöông laàn löôït cuûa d1 vaø d2.

→ → AB a ⊥ 1 → → AB a ⊥

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

+ AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung d1, d2. ⇔ tìm ñöôïc t1 vaø t2

+ Khi ñoù d(d1, d2) = AB

Vaán ñeà 6 GOÙC

x x − a

y y − b

y y − ' b

− c

z '

β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

x x − a ' Cho 2 maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : Ax + By + Cz + D = 0 1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø d’ :

aa bb cc

cos

ϕ =

d : d’ : Cho 2 ñöôøng thaúng d vaø d’ coù phöông trình : z − c

2. Goùc giöõa hai maët phaúng α vaø β :

AA BB CC'

cos

ϕ =

2 B

2 C A B C' +

A 3. Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α :

Aa Bb Cc

sin ϕ =

2 B

2 C a

+ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0

⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0

- d ⊥ d’

- α ⊥ β - d song song (hoaëc naèm treân) maët phaúng α ⇔ aA + bB + cC = 0

Chuù yù :

Vaán ñeà 7 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI MAËT PHAÚNG

β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

(

, A B C

(

Cho hai maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

→ Goïi n

2 )

→ B C n 1 treân maët phaúng α.

laàn löôït laø phaùp vectô cuûa 2 maët phaúng treân vaø M laø moät ñieåm

⇔

→ n2 →

khoâng cuøng phöông. - α caét β

1 M

∉

→

→ n vaø n cuøng phöông

vaø → n vaø n cuøng phöông - α song song β ⇔

⇔

1 M

∈

→ n1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪ ⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪

- α truøng β

≠

Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta coù caùch khaùc : - α caét β

⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 C C

D 1 D

A A

- α song song β ⇔

⇔

2 C C

2 D 1 D

A A

B 1 B 2 B 1 B 2

- α truøng β

Vaán ñeà 8 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA 2 ÑÖÔØNG THAÚNG

- Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2.

→ a

→ vaø a

+ Heä coù moät nghieäm duy nhaát : d1 caét d2. + Heä coù voâ soá nghieäm : d1 vaø d2 truøng nhau. + Heä voâ nghieäm :

d 1

→ a

→ vaø a

cuøng phöông : d1 // d2.

d 1

khoâng cuøng phöông : d1 vaø d2 cheùo nhau.

→ → , a

- Caùch 2 :

d 1

A d d ∈

≡

2 + Tìm ñieåm A ∈ d1 vaø B ∈ d2. → aø a

+ Tìm vectô chæ phöông a cuûa d1 vaø d2.

→ a) a

d 1

/ /

A d d ∉

cuøng phöông

→ aø a

→ b) a

d 1

2 neáu

i) thì d1,d2 caét nhau.

≠

(cid:71) (cid:71) a a , d d 1 (cid:71) (cid:71) a a , d d 1

⎤ ⎦ ⎤ ⎦

⎡ ⎣ ⎡ ⎣

neáu ii) khoâng cuøng phöông ta coù: (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB thì d1,d2 cheùo nhau.

Vaán ñeà 9

- Caùch 1 :

d // α.

d caét α d ⊂ α

→ a

→ n

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α. + Heä voâ nghieäm : + Heä coù nghieäm duy nhaát : + Heä voâ soá nghieäm : - Caùch 2 :

→ n

→ → . n

Tìm vectô chæ phöông cuûa d, phaùp vectô cuûa α vaø tìm ñieåm A ∈ d.

→ a → → ⊥ a n

→ → + a = 0 ( . n

+ a ) : d caét α.

≠ 0 ( khoâng vuoâng goùc A A

d d

: :

/ / ⊂

α α

∉ ∈

α α

)

Ví duï 1:

Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (D)

− 2 −

z 2 y

x ⎧ ⎨ 3 x ⎩

3 0 0 + − =

vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : x – 2y + z + 5 = 0

Giaûi

−

3 2

t 7 2 t

=⎧ x ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =⎪⎩ z

Phöông trình tham soá cuûa (D) vieát

Maët phaúng (Q) chöùa (D) vaø vuoâng goùc (P) seõ ñi qua ñieåm

(cid:71) ∈ (D) vaø coù caëp vectô chæ phöông laø a

)

3 − , 0 2

7 2

, 1 (vectô chæ phöông cuûa (D) vaø = ( 2,

;

(cid:71) Do ñoù, moät phaùp veùctô cuûa ( Q) laø 1 n

1 1 1 2

2 1 ⎛ − ⎜ 7 ⎜ ⎜ 2 ⎝

2 − ⎞ ⎟ 7 ⎟ ⎟ 2 ⎠

= (1, –2, 1) (phaùp vectô cuûa (P)). M( 0, (cid:71) n

= (– 11, 2, 15)

Vaäy phöông trình (Q) vieát

⇔

+ ) + 15z = 0

3 2

–11x + 2 ( y 11x – 2y - 15 z – 3 = 0.

Caùch khaùc:

Pt maët phaúng (Q) chöùa (D) vaø vuoâng goùc (P) coù daïng:

x-2z = 0 (loaïi) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= 0.

Vaäy pt (Q) coù daïng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – 3 = 0.

(Q) vuoâng goùc vôùi (P) neân ta coù: m + 3 + 4 + 1- 2 m= 0

⇒ m = 8.

Vaäy pt mp (Q) laø: 11x – 2y - 15 z – 3 = 0.

Ví duï 2:

Xaùc ñònh caùc tham soá m vaø n ñeå maët phaúng 5x + ny + 4z + m = 0 thuoäc chuøm maët phaúng coù

phöông trình :

(3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0

Giaûi

Chuøm maët phaúng coù phöông trình

(3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0

chöùa ñöôøng thaúng (D) coù phöông trình :

7 0

− x 9 − x

+ − = 3 y z 5 2 + = − z y

0 3 ⎧ ⎨ ⎩

Ñeå maët phaúng (P) : 5x + ny + 4z + m = 0 thuoäc chuøm maët phaúng treân thì (P) chöùa (D) nghóa laø

, 0,

1 7

18 7

31 9 , 10 10

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ∈ (D). Ñieàu kieän ñeå (P) chöùa A, B thì m, n thoûa heä phöông ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

, B chöùa 2 ñieåm A

trình :

= − 11 = − 5

m n

⎧ ⎨ ⎩

4 0 5 7 ⇒

+ .n m

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ 5 ⎪⎩

0 18 7 9 10 31 10

Ví duï 3: ( ÑH KHOÁI A-2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng

t1x +=

thaúng:

4zy2x =−+ 4z2y2x −

0 =+

− +

⎧ ⎨ ⎩

y t2 += t21z +=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Δ1 : vaø Δ2 :

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng Δ1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng Δ2.

2aΔ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0)

b) Cho ñieåm M (2; 1; 4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng Δ2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû nhaát.

a,a Δ 1

=(2, 0, −1)

]2

(P) : 2x – z = 0

BAØI GIAÛI: a) (P) chöùa Δ1 vaø // Δ2 aΔ = (2, 3, 4); Maët phaúng (P) coù pvt [ b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH min ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Goïi (Q) laø maët phaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi Δ2. Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, 1 + t, −3 + 2t), vôùi H ∈ Δ2

2aΔ = 0 ⇒ t = 1. Vaäy ñieåm H (2, 3, 3).

Do MH .

Ví duï 4: ( ÑH KHOÁI B-2002) Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a. a) Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A1B vaø B1D .

b) Goïi M,N,P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh BB1, CD,A1D1 .Tính goùc giöõa hai ñöôøng

thaúng MP vaø C1N .

a , a)

a , a, 0); P (0, 2

a ); N ( 2

C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a)

BA1

= (a, 0, −a)

= (1, 2, 1)

BAØI GIAÛI: Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz sao cho ta coù : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) Suy ra M (a, 0, 2 DB1 = (−a, a, −a) a) Goïi (P) laø mp qua B1D vaø (P) // A1B ⇒ (P) coù phaùp vectô ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = 0

a 6

a , 0, −a)

a , 2

a ) . NC1 = (− 2 = 0 ⇒ MP ⊥ C1N.

⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) =

b) MP = (−a, 2 Ta coù : MP . NC1 Vaäy goùc giöõa MP vaø C1N laø 900. Ví duï5 ( ÑH KHOÁI D-2002): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho maët phaúng

=− 0

+ +

(m laø tham soá) (P): 2x – y + 2 = 0 vaø ñöôøng thaúng dm : x)1m2( 01my)m1( − + + ⎧ ⎨ z)1m2(mx 2m4 + =+ ⎩

= (2, −1, 0)

−

Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng dm song song vôùi maët phaúng (P). BAØI GIAÛI: . 1 vectô chæ phöông cuûa (dm) laø : a = (−2m2 + m + 1, −(2m +1)2, - m(1 – m)) 1 pvt cuûa (P) laø ycbt ⇔ = 0 ⇔ −4m2 + 2m + 2 + (4m2 + 4m + 1) = 0

1 2

⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m =

Ví duï 6 ( ÑH KHOÁI A-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp

chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác toïa ñoä, B(a;0;0),

D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0). Goïi M laø trung ñieåm CC’. a. Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b.

a b

b. Xaùc ñònh tyû soá ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau.

BAØI GIAÛI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0)

)

b 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BM (0,a, =

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BA '

( a,0, b)

= −

A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a, )

b 2

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD ( a,a,0) = − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD,BA'

2 (ab,ab,a )

; ; a)

⎤ = ⎦ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD,BA' .BM (a b

⇒

⎤ ⎦

⇒ V= ⎡ ⎣

1 6

⎡ ⎣ 1 6

2 (ab,ab,a )

(cid:74)(cid:74)(cid:71) n

2 a b 2 b) (A’BD) coù vectô phaùp tuyeán

(ñvtt)

(b, b,a)

3a b a b = ) = 12 4 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎤ = BD,BA' ⎦

2 , a ) −

(b, b, 2a) −

hay

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎤ = BD,BM ( ⎦

⎡ ⎣

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) m = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) m . n

⎡ ⎣ (MBD) coù vectô phaùp tuyeán ab ab , 2 2 Ta coù : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔

⇔ b2 + b2 – 2a2 = 0 ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔ =

a b

(0;6;0)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC =

hay

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC

Ví duï 7 ( ÑH KHOÁI B-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñieåm A(2;0;0), B(0;0;8) vaø ñieåm C sao cho . Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa BC ñeán ñöôøng thaúng OA. BAØI GIAÛI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8).

= (0; 6; 0) ⇔ ⇔ C (2; 6; 0). I trung ñieåm BC ⇒ I (1; 3; 4)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ C x t =⎧ ⎪ y 0 =⎨ ⎪ =⎩ z = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0

Pt tham soá OA :

(α) qua I ⊥ Toïa ñoä {H} = OA ∩ (α) thoûa :

t,y 0,z x = = x 1 0 − =

⎧ ⎨ ⎩

x 1 =⎧ ⎪ y 0 =⎨ ⎪ =⎩ 0 z (1 1) − +

(0 3) −

−

. Vaäy H (1; 0; 0). ⇔

(0 4)2 = 5.

d(I, OA) = IH =

ky 3

− + =

Ví duï 8 ( ÑH KHOÁI D-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng

z − + + =

⎧ ⎨ ⎩

thaúng

(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1n = (1, 3k, −1);

= (k, −1, 1) Tìm k ñeå ñöôøng thaúng dk vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): x – y – 2z + 5 =0 (cid:74)(cid:74)(cid:71) BAØI GIAÛI: 2n

(cid:74)(cid:74)(cid:71) da (cid:74)(cid:74)(cid:71) Pn

= (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2)

cuøng phöông dk ⊥ (P) ⇔ = (1, −1, 2) − (cid:74)(cid:74)(cid:71) da

3k 1 − 1

k 1 − − 1 −

1 3k − − 2 −

k 1 k

= ∨ = −

1 3

(cid:74)(cid:74)(cid:71) Pn k 1 =⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

⇔ ⇔ ⇔ k = 1

Ví duï9 ( ÑH KHOÁI A-2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC caét BD taïi goác toïa ñoä O. Bieát A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh SC.

S M C

N H D O B

a) Tính goùc vaø khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng SA, BM. b) Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái choùp S.ABMN. BAØI GIAÛI: Caùch 1:

OMB

GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = 2 3 a) Ta coù OM // SA ⇒ Goùc (SA, MB) laø (cid:110)OMB

ΔOBM coù tg (cid:110) OB OM

tgOMB

= ⇒ (cid:110)OMB =300

OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM

⇒ (cid:110) 1 3

Veõ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM vaø OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB)

. ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH =

SBMN

= ⇒ VSMNB =

SBCD

SABCD

1 8

V V

1 4

SBCD

Ta coù:

SABCD

2 6 3 (ABM) ∩ SD = N ⇒ N laø trung ñieåm SD 1 SM SN . 4 SC SD 1 4

Töông töï: VSABN =

SABCD

3 8

.4.2.2 2

Vaäy: VSABMN = VSMNB + VSABN =

1 3 1 . AC.BD.SO . 8 3 2

1 16

−

= (ñvtt)

Caùch 2: a) O laø trung ñieåm BD ⇒ D (0; −1; 0) O laø trung ñieåm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M laø trung ñieåm SC ⇒ M ( 1;0; 2)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

= − −

2 2 ); BM ( 1; 1; 2)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) SA Goïi ϕ laø goùc nhoïn taïo bôûi SA vaø BM

2 0 4

− + −

=(2; 0;-

⇒ ϕ = 300

3 2

+ +

4 8 1 1 2 Goïi (α) laø mp chöùa SA vaø // BM

+ −

= 0

= cosϕ =

⇒ PT (α) : 2x z 2 2

2 6 3

−

. Ta coù d(SA, BM) = d(B, α) =

= 0

0 1 = − +

b) Pt mp(ABM): 2x 2 2y 3z 2 2

t (t ∈ R).

⎧ = x ⎪ y ⎨ ⎪ z 2 2t =⎩

(0;

; 2)

−

Pt tham soá SD:

1 2

−

N laø giao ñieåm cuûa SD vaø mp (ABM) ⇒ N

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BA (2; 1;0) = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

; 2)

−

;

⎤ ; BS,BN .BA 4 2 ⎦

⎡ ⎣

= −

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BS (0; 1;2 2) − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 3 BN (0; = 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎤ = BS,BN (2 2;0;0) ⎦ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎤ BS.BN .BM 2 2 ⎦

⎡ ⎣ ⎡ ⎣

.4 2

.2 2

; BM ( 1; 1; 2) = − − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

1 6

(ñvtt) VSABMN= VSABN + VSBNM =

Ví duï 10 ( ÑH KHOÁI D -2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng

ABCA1B1C1. Bieát A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b)

a > 0, b > 0.

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1C A (a; 1; b)

−

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1B C (a;1; b) Suy ra:

−

b(x 0) 0(y 1) a(z 0) 0 − +

−

a) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b. b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn a + b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 lôùn nhaát. BAØI GIAÛI: a) C1 (0; 1; b) Goïi (α) laø maët phaúng chöùa B1C vaø song song vôùi AC1 − − ;

− (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎤ = − ⎡ B C,C A ( 2b;0; 2a) ⎦ ⎣ Suy ra ptrình (α):

⇔ bx + az = 0.

. Ta coù: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)=

a b +

≤

b) Caùch 1:

2ab

2 2

Ta coù: d=

⇔ a = b = 2

a b =⎧ ⎪ a b 4 + = ⎨ ⎪ > a 0, b 0 ⎩

Max d ⇔ d = 2 ⇔

16 2ab −

≤

Caùch 2: d = , ñaët x = ab, ñk 0 < x ≤ 4.

⎞ ⎟ ⎠

16 x −

a b +⎛ ⎜ 2 ⎝ x

vì x = ab

16 2x−

3 (16 2x) −

Xeùt f(x) = f’(x) = > 0 ∀x ∈ (0; 4]

A (-4; -2; 4) vaø ñöôøng thaúng

⇒ d ñaït max khi x = ab = 4 ⇒ a = b = 2 (vì a + b = 4) Ví duï 11 ( ÑH KHOÁI B-2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm t 3 2 x = − + ⎧ ⎪ 1 t y = − ⎨ ⎪ = − + t 1 4 z ⎩

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng Δ ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d.

BAØI GIAÛI: Caùch 1: A (−4; −2; 4) 3 2t

1 4t

x = − + ⎧ ⎪ y 1 t = − ⎨ ⎪ = − + z ⎩

(d) :

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM

Laáy M (−3+2t; 1 – t; −1 + 4t) ∈ (d)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) da

= (1 + 2t; 3 – t; −5 + 4t) 0= (vôùi Ta coù: AM ⊥ (d) ⇔

⇒ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) =(2; −1; 4)). AM. a d ⇔ 2 + 4t – 3 + t – 20 + 16t = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1. (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) Vaäy ñöôøng thaúng caàn tìm laø ñt AM qua A coù VTCP AM =(3;2;−1)

x+4 3

y 2 + 2

z 4 − −1

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) d a

. ⇒ phöông trình (Δ) :

)

(2; 1;4 −

Caùch 2: Goïi (α) laø mp qua A chöùa d ,Goïi (β) laø mp qua A vaø ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1);

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) d a (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB (1;3; 5)

−

) qua A (-4; -2; 4)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) n

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) a

(2; 1;4) −

(d) ⊥ →

(

) β

⇒ = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1)

x 2y z 4

− + =

−

= (2; −1; 4) (α) qua A (−4; −2; 4) (α) coù 1 caëp VTCP : (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎪ n α ⎨ ( ) ⎪⎩ Pt mp (α) : x – 2y – z + 4 = 0 ( β ⎧⎪ ⎨ ( ) β ⎪⎩

2x y 4z 10

− +

−

⎧ ⎨ ⎩

Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = 0 Pt (Δ) :

vaø maët phaúng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0

d :

y 3 + 2

z 3 − 1

x 1 − 1 −

a) Tìm toïa ñoä ñieåm I thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2. b) Tìm toïa ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng

Δ naèm trong maët phaúng (P), bieát Δ ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.

3 2t

(t∈ R)

Ví duï 12 ( ÑH KHOÁI A-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng:

x 1 t = − y = − + z 3 t = +

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

BAØI GIAÛI: a) Phöông trình tham soá cuûa d :

−

− +

− −

Ta coù : d (I, (P)) = 2 ⇔

| 2 2t 3 2t 6 2t 9 | 4 1 4 + +

⎡

Suy ra : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; 5 ; 7).

⇔

t = − − = ⇔ ⎢ =⎣ | 1 t | 3 t 4

(cid:74)(cid:71) a ( 1;2;1)

b) Theá phöông trình d vaøo phöông trình (P) ta ñöôïc t = 1. Theá t = 1 vaøo phöông trình d, ta ñöôïc x = 0; y = -1; z = 4 Suy ra A (0; -1 ; 4) Vectô chæ phöông cuûa d :

= − (cid:74)(cid:71) n (2;1; 2)

Vectô phaùp tuyeán cuûa (P):

− (cid:71) (cid:71) [a, n]

( 5; 0;

5) hay (1; 0; 1)

= −

−

Suy ra vectô chæ phöông cuûa Δ :

Maët khaùc Δ ñi qua A neân phöông trình tham soá cuûa Δ laø :

(t’∈ R)

x y z

t ' = 1 = − 4 t ' = +

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

a) Tìm toïa ñoä caùc ñænh A1, C1. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng

b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A1B1 . Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A, M vaø song song vôùi

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t)

= −

Hình chieáu cuûa C1 xuoáng mp (Oxy) laø C ⇒ C1(0; 3; 4) Caëp veùc tô chæ phöông cuûa (BCC1B1) laø : BC ( 4;3;0)

(0;0;4)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1BB

= (12; 16; 0) hay

= (3; 4; 0)

(cid:74)(cid:74)(cid:71) m

(cid:74)(cid:74)(cid:71) n

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC, BB 1

⎤ ⎦

Suy ra veùc tô phaùp tuyeán cuûa (BCC1B1) laø : ⎡= ⎣ Maët khaùc (BCC1B1) qua B neân coù phöông trình:

3(x – 4) + 4y + 0z = 0 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0

Baùn kính maët caàu laø :

0 12 12

−

R = d (A, (BCC1B1)) =

24 5

9 16 +

Suy ra phöông trình maët caàu laø : x2 + (y + 3)2 + z2 =

576 25

− ; 4)

b) M laø trung ñieåm cuûa A1B1 ⇒ M (2;

3 2

;4)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = AM (2;

( 4;3;4)

vaø

= −

⇒ veùc tô phaùp tuyeán cuûa mp (P):

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1BC

3 2 = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM; BC 1

Mp (P) coù caëp veùc tô chæ phöông (cid:74)(cid:74)(cid:71) Pn

⎤ ⎦

⎡ ⎣

Maët khaùc (P) ñi qua A neân coù phöông trình : x + 4(y + 3) – 2z = 0 ⇔ x + 4y – 2z + 12 = 0 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) A1C1 ñi qua A1 vaø coù veùc tô chæ phöông

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1 1A C

neân coù phöông trình :

(t ∈ R)

3 = − + 4

x =⎧ ⎪ y ⎨ ⎪ =⎩ z

Ví duï 13 ( ÑH KHOÁI B-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 vôùi A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4). (BCC1B1). BC1. Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N. Tính ñoä daøi MN. BAØI GIAÛI: a) Hình chieáu cuûa A1 xuoáng mp (Oxy) laø A ⇒ A1(0; -3; 4)

Theá phöông trình A1C1 vaøo phöông trình (P) ta ñöôïc t = 2 Theá t = 2 vaøo phöông trình (A1C1) ta ñöôïc x = 0, y = −1, z = 4 ⇒ N (0; −1; 4)

)

(0 2) −

( 1 + − +

(4 4) −

vaø MN =

3 2

7 1 2

Ví duï 14 ( ÑH KHOÁI D-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : x y z 2

+ − − =

d1 :

vaø d2:

x 3y 12

−

x 1 − 3

z 1 + 2

y 2 + 1 −

⎧ ⎨ ⎩

a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng

b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A, B. Tính dieän tích tam giaùc

=(3; −1; 2)

(cid:74)(cid:74)(cid:71) a

thaúng d1 vaø d2. OAB (O laø goác toïa ñoä). BAØI GIAÛI: a) d1 qua N (1; −2; −1) vaø coù 1 vectô chæ phöông laø

(cid:74)(cid:74)(cid:71) b

vaø

= (11, 2, 11) khoâng cuøng phöông vôùi

(cid:74)(cid:74)(cid:71) b

(cid:74)(cid:74)(cid:71) a

=(3; −1; 2) (cid:74)(cid:74)(cid:71) a

(cid:74)(cid:74)(cid:71) n

] = (−15; −11; 17)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) NB

(cid:74)(cid:74)(cid:71) a

d2 qua B (12; 0; 10) vaø coù 1 vectô chæ phöông laø (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = Ta coù : NB Vaäy d1 // d2 Mp (P) qua N vaø coù phaùp vectô : Phöông trình (P) laø: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = 0 ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = 0

b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒

= (0, −10, 0)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA,OB

⎤ ⎦

⇒ Dieän tích (ΔOAB) =

⎡ ⎣

1 2

⎡ ⎣ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎤ ⎦ = 5 (ñvdt). OA,OB * * *

CHUYEÂN ÑEÀ 10: HÌNH CAÀU

TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC

(1) Phöông trình maët caàu

1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø

− neáu ta coù ñieàu kieän

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R =

a2 + b2 + c2 – d > 0

3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng

caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R.

Ví duï 1:

Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d)

4 20 0 x y

4 = 0 − − 3 + + z 8 + − = x y z 5 ⎧ ⎨ 3 ⎩

taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16

Giaûi

Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng

−

5 2 2

t = − 1 2 t = −

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

(d) laø

, 1 −

1 2

(cid:71) Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp vectô laø a ⎞ ⎟ . Vaäy phöông trình (P) vieát ⎠

⎛ ⎜ ⎝

1 2

(x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0

1 2

25 2

t – 14, t – , –t Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä ( )

thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù

) +2t – 9 = 0

25 2

t – 2(t – 14) + ( 1 2

Suy ra t = 11. Vaäy ta coù K (–3, –7, –11).

Khoaûng caùch töø I ñeán (d) laø IK = 25 100 100 = 15 + +

2 IK +

Do ñoù baùn kính maët caàu laø R = = 225 64+ AB 4

Neân phöông trình maët caàu vieát laø :

(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289

Ví duï 2:

Laäp phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d)

2 4 7 0 x y z

4 5 14 0 + + x − − = = + − z y ⎧ ⎨ ⎩

vaø tieáp xuùc vôùi hai maët phaúng coù phöông trình

(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0

Giaûi

Ta coù (P) // (Q) neân khi goïi A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vôùi (P) vaø (Q) thì taâm I maët caàu tieáp xuùc

vôùi (P) vaø (Q) phaûi laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P).

Ta coù toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä

⇒

0 7 − − = y z 14 0 = + − y z 0 2 2 − = − z y

2 4 + x ⎧ ⎪ 4 5 + x ⎨ ⎪ + 2 x ⎩

A(2, 1, 1)

Ta coù toïa ñoä B laø nghieäm cuûa heä

⇒

0 7 − − = 14 0 = 4 0 + =

y z + − y z 2 − z y

2 4 x ⎧ ⎪ 4 5 + x ⎨ ⎪ + 2 x ⎩

B(–4, 5, 5)

Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = 1

Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh

(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1.

Ví duï 3 ( ÑH KHOÁI D –2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua 3

ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P).

Giaûi

4a 2c d

+ = − 1

+ 2a d

+ = −

⇔

a = − ⎧ ⎪ =⎪ 0 b ⎨ = − c ⎪ ⎪ =⎩ d 1

2 IB

Caùch 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Maët caàu qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) neân ta coù: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ + + 2a 2b 2c d ⎪ ⎪ + + = − a b c ⎩

= (P)

+ = − 2 ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 Caùch 2: Goïi I(x; y; z) laø taâm maët caàu ⎧ IA ⎪ ⎨ I ∈⎪⎩ 2

(z 1) −

(x 1) −

(y 1) −

(z 1) −

Giaû thieát cho:

− =

⇔

⎧ − (x 2) ⎪⎪ 2 z (x 1) − + + ⎨ ⎪ + + − = x y z 2 0 ⎪⎩ 2x 2z 4 0 + ⎧ ⎪ y z 1 + = ⎨ ⎪ + + − = x y z 2 0 ⎩

x 1 =⎧ ⎪ y 0 =⎨ ⎪ =⎩ z 1

⇔ ⇒ I (1; 0; 1)

Baùn kính R = IB = 1 Suy ra phöông trình maët caàu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví duï4 ( Ñeà Döï Tröõ KHOÁI D -2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng

−

thaúng d :

vaø maët caàu

=+− 1zy2x2 ⎧ ⎨ − =− 4z2y2x ⎩

(S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9.

Phöông trình maët caàu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m

Giaûi

(S) coù taâm I(−2; 3; 0), R = 13 m−

Vì MN = 9 ⇒ HM = HN =

(IH ⊥ MN)

−

(d) cho x = 0 ⇒

⇒

⇒ A(0; 1; −1)

2y −

= =

9 2 − + z 1 − 2z 4

0 0

1 = − 1

⎧ ⎨ ⎩

=⎧ y ⎨ z ⎩

−

(2, 2, 1)

= 3(2; 1; 2)

(d) coù

⇒

→ a

→ n → n

− (1, 2, 2)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣

] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2)

⎯→ AI

→ a

⏐

+ 9 1 4 4

IH = d(I, d) =

+ +

3 4 1 4

⎯→ = (−2; 2; 1), [ AI ⎯→ → [ AI , a ] → ⏐ ⏐ a

Δ vuoâng IHN ta coù :

IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 +

81 4

117 4

ÑK : m < 13

−

⇔ m =

65 4

Tìm m ñeå maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S). Vôùi m tìm ñöôïc haõy xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm cuûa maët

(P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m laø tham soá) vaø maët caàu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9 phaúng (P) vaø maët caàu (S).

Ví duï 5 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng

Maët caàu (S) coù taâm I(1; −1; 1), baùn kính R = 3.

Giaûi

⇔

1443m3m122

−+−

−

Phöông trình ñöôøng thaúng Δ qua I vaø ⊥ (P) :

⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN) ⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0 = + x 1 2t = − +

t 1 2

⎧ ⎪ y ⎨ ⎪ = + z 1 t ⎩

Theá vaøo phöông trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ Tieáp ñieåm M cuûa P vaø (S) laø M(3; 1; 2).

Maët phaúng P tieáp xuùc vôùi (S) ⇔ d(I: P) = R

Caùch khaùc IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1

⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2)

PHAÏM HOÀNG DANH-TRAÀN MINH QUANG –TRAÀN VAÊN TOAØN

( TRUNG TAÂM LUYEÄN THI CLC VÓNH VIEÃN )

Chuyên đề ôn thi ĐH môn Toán

Để giúp cho học sinh có thêm tư liệu ôn tập kiến thức trước các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán để đạt được kết quả cao trong kì thi.

TOÏA ÑOÄ PHAÚNG

)

)

( 0 ) ∈ ⇔ = −

( IK OK(ñpcm) ⇔ >

n 3 n ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 vaø n2 = 21 ⇒ M ( Ví duï4 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho elip (E): x 9

Ví du 3 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕKHOÁI A –2003) :Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho

1) Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua M tieáp xuùc vôùi E.

2) x = −2.

)

]2

⇒ d ñaït max khi x = ab = 4 ⇒ a = b = 2 (vì a + b = 4) Ví duï 11 ( ÑH KHOÁI B-2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm t 3 2 x = − + ⎧ ⎪ 1 t y = − ⎨ ⎪ = − + t 1 4 z ⎩

vaø MN =

Ví duï 14 ( ÑH KHOÁI D-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : x y z 2

Caùch khaùc IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Chuyên đề ôn thi ĐH môn Toán

Để giúp cho học sinh có thêm tư liệu ôn tập kiến thức trước các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán để đạt được kết quả cao trong kì thi.

TOÏA ÑOÄ PHAÚNG

)

)

( 0 ) ∈ ⇔ = −

( IK OK(ñpcm) ⇔ >

n 3 n ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 vaø n2 = 21 ⇒ M ( Ví duï4 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho elip (E): x 9

Ví du 3 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕKHOÁI A –2003) :Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho

1) Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua M tieáp xuùc vôùi E.

2) x = −2.

)

]2

⇒ d ñaït max khi x = ab = 4 ⇒ a = b = 2 (vì a + b = 4) Ví duï 11 ( ÑH KHOÁI B-2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm t 3 2 x = − + ⎧ ⎪ 1 t y = − ⎨ ⎪ = − + t 1 4 z ⎩

vaø MN =

Ví duï 14 ( ÑH KHOÁI D-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : x y z 2

Caùch khaùc IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok