intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Số phức - Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Chia sẻ: Somai999 Somai999 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST
Báo xấu
71
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Chuyên đề Số phức - Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán được sưu tầm và chia sẻ nhằm giúp các em học sinh nắm vững lý thuyết trọng tâm, phân dạng toán cơ bản, bài tập minh họa, bài tập rèn luyện cũng như cung cấp cho các em một số mẹo hữu ích khi làm bài thi để các em có thể làm được tất cả các câu hỏi có trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Mời các em cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Số phức - Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

  1. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 1
  2. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ④: FB: Duong Hung Bài ➀: ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC  Dạng ①: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức . Phương pháp: . Số phức có dạng . . Phần thực của là , phần ảo của là . . Số phức có phần ảo bằng được coi là số thực và viết là . . Số phức có phần thực bằng được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) . . Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo. . Mô đun của số phức là . . Số phức liên hợp của là . . Cho hai số phức , . Khi đó: A - Bài tập minh họa: Câu 1. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là Ⓐ. z = 3 + 4i. Ⓑ. z = 4 − 3i. Ⓒ. z = 3 − 4i. Ⓓ. z = 4 + 3i. Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Phần ảo là hệ số trước i, phần thực là số tự do. Câu 2. Cho số phức z = 2 + i . Tính | z | . Ⓐ. z = 5 . Ⓑ. z = 3 . Ⓒ. z = 2 . Ⓓ. z = 5 . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Tính theo công thức:  Casio: MODE 2  Ta có z = 12 + 22 = 5 . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 2
  3. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung SHIFT hyp Câu 3. Số phức liên hợp của số phức 3 − 4i là Ⓐ. z = −3 − 4i. Ⓑ. z = 4 − 3i. Ⓒ. z = 3 + 4i. Ⓓ. z = 4 + 3i. Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Số phức liên hợp có phần thực bằng nhau và phần ảo đối nhau.  Ta có: z = 3 + 4i.  Casio: Dùng chức năng tính liên hợp của số phức : MODE 2 SHIFT 22 B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Số phức z = −3 + 7i. có phần ảo bằng Ⓐ. 3 . Ⓑ. 7i . Ⓒ. −3 . Ⓓ. 7 . Câu 2: Số phức z = 5 + 6i có phần thực bằng Ⓐ. −5 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. −6 . Ⓓ. 6 . Câu 3: Cho số phức z = a; a  . Khi đó khẳng định đúng là Ⓐ. z là số thuần ảo. Ⓑ. z có phần thực là a, phần ảo là i. Ⓒ. z = a . Ⓓ. z = a . Câu 4: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? Ⓐ. z = 3 + 2i . Ⓑ. z = 2i . Ⓒ. z = −2 + 3i . Ⓓ. z = −2 . Câu 5: Cho số phức z = 1 − 2i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?. Ⓐ. Phần thực của số phức z là −1 . Ⓑ. Phần ảo của số phức z là −2i . Ⓒ. Phần ảo của số phức z là −2 . Ⓓ. Số phức z là số thuần ảo. Câu 6: Số phức liên hợp của số phức z = 5 − 3i là Ⓐ. −5 − 3i . Ⓑ. −5 + 3i . Ⓒ. 3 + 5i . Ⓓ. 5 + 3i . Câu 7: Số phức liên hợp của số phức z = 2i − 1 là St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 3
  4. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 2i + 1. Ⓑ. −2i + 1 . Ⓒ. −2i − 1 . Ⓓ. −1 + 2i . Câu 8: Cho số phức z = a + bi (a, b  R). Tìm số phức z là số phức liên hợp của z . Ⓐ. z = a − bi. Ⓑ. z = −a + bi. Ⓒ. z = −(a + bi). Ⓓ. z = a2 − b2i. Câu 9: Số phức z = 4 − 3i có môđun bằng Ⓐ. 2 2 . Ⓑ. 25 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 8 . Câu 10: Cho số phức z = 1 − 2 2.i . Tính z . Ⓐ. z = 1 + 2 2 . Ⓑ. z = 9 . Ⓒ. z = 10 . Ⓓ. z = 3 . Câu 11: Cho số phức z = −1 − 4i . Tìm phần thực của số phức z . Ⓐ. −1 . Ⓑ. 1 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. −4 . Câu 12: Cho số phức z = −2 + i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . Ⓐ. Phần thực bằng −2 và phần ảo bằng −i . Ⓑ. Phần thực bằng −2 và phần ảo bằng −1 . Ⓒ. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 . Ⓓ. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng i . Câu 13: Tìm phần ảo của số phức z biết z = 1 + 3i ? Ⓐ. Phần ảo bằng 3 . Ⓑ. Phần ảo bằng - 3i . Ⓒ. Phần ảo bằng −3 . Ⓓ. Phần ảo bằng i . Câu 14: Gọi a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −3 + 2i . Giá trị của a + 2b bằng Ⓐ. 1 . Ⓑ. −1 . Ⓒ. −4 . Ⓓ. −7 . Câu 15: Phần ảo của số phức liên hợp của z = 4i − 7 là Ⓐ. −4 . Ⓑ. −7 . Ⓒ. 7. Ⓓ. 4. Câu 16: Số phức z = 2m + (m − 1)i , với m  . Với giá trị nào m của thì z = 2 . m = 1 3 Ⓐ. m = −1 . Ⓑ. m = . Ⓒ.  . Ⓓ. m  . 5 m = − 3  5 Câu 17: Cho số phức z có số phức liên hợp z = 3 − 2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng Ⓐ. 5 . Ⓑ. −1 . Ⓒ. −5 . Ⓓ. 1 . Câu 18: Cho số phức z = 2 + 4i . Hiệu phần thực và phần ảo của z bằng. Ⓐ. 2 . Ⓑ. 2 5 . Ⓒ. −2 . Ⓓ. 6 . Câu 19: Số phức z nào sau đây thỏa z = 5 và phần thực gấp đôi phần ảo?. St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 4
  5. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. z = 1 + 2i. Ⓑ. z = 2 + i. Ⓒ. z = 2 + 3i. Ⓓ. z = 4 + 2i. Câu 20: Tìm số thực m sao cho ( m2 − 1) + ( m + 1) i là số ảo. Ⓐ. m = 0 . Ⓑ. m = 1 . Ⓒ. m = 1 . Ⓓ. m = −1 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.C 10.D 11.A 12.B 13.C 14.A 15.A 16.C 17.A 18.C 19.B 20.C  Dạng ②: Điểm biểu diễn của số phức . Phương pháp: ①. Biến đổi số phức cần biểu diễn về dạng z =a+bi ②. Điểm biểu diễn của số phức z là điểm M(a;b) A - Bài tập minh họa: Câu 1. Số phức z = 2 − 3i có điểm biểu diễn là Ⓐ. A ( 2;3) . Ⓑ. A ( −2; −3) . Ⓒ. A ( 2; −3) . Ⓓ. A ( −2;3) . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Số phức z = 2 − 3i có phần thực bằng 2 và Điểm biểu diễn có hoành độ bằng 2 và tung độ phần ảo bằng -3 bằng -3 Câu 2. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . y Ⓐ. Phần thực là −4 và phần ảo là 3 . 3 x Ⓑ. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i . O Ⓒ. Phần thực là 3 và phần ảo là −4 . −4 Ⓓ. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i . M Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C Điểm M ( 3; −4 ) nên M là điểm biểu diễn của số  Hoành độ bằng phần thực ,tung độ bằng phần ảo phức z = 3 − 4i .Vậy phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4 St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 5
  6. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu . Cho số phức z = 1 − 2i Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ. Ⓐ. M (1; −2 ) Ⓑ. M ( 2;1) Ⓒ. M (1; 2 ) Ⓓ. M ( 2; −1) Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Vì z = 1 − 2i nên z = 1 + 2i .Điểm biểu diễn của  Nếu z = a + bi thì điểm biểu diễn của z là z là M (1; 2 ) M ( a; −b ) B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Số phức z = 3 + 4i có điểm biểu diễn là Ⓐ. M ( 4;3) Ⓑ. M ( 3; 4 ) Ⓒ. M ( −3; 4 ) Ⓓ. M ( −4;3) Câu 2: Số phức z 3 7i có điểm biểu diễn là Ⓐ. M ( 3;7 ) Ⓑ. M ( −3;7 ) . Ⓒ. M ( 3; −7 ) . Ⓓ. M ( −3; −7 ) . Câu 3: Điểm M biểu diễn số phức z = 3 + 2i trong mặt phẳng tọa độ là Ⓐ. M (3; 2) . Ⓑ. M (2;3) . Ⓒ. M (3; −2) . Ⓓ. M (−3; −2) . Câu 4: Cho số phức z = −2i − 1 . Điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng là Ⓐ. M (−1; −2) . Ⓑ. M (−1;2) . Ⓒ. M (−2;1) . Ⓓ. M (2; −1) . Câu 5: Cho số phức z = −5i . Điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng là Ⓐ. M (−5;0) . Ⓑ. M (0;5) . Ⓒ. M (0; −5) . Ⓓ. M (5;0) . Câu 6: Cho số phức z = −8 . Điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng là Ⓐ. M (−8;0) . Ⓑ. M (8;0) . Ⓒ. M (0;8) . Ⓓ. M (0; −8) . Câu 7: Cho số phức z = 6 + 7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là Ⓐ. ( 6;7 ) . Ⓑ. ( 6; −7 ) . Ⓒ. ( −6;7 ) . Ⓓ. ( −6; −7 ) . Câu 8: Cho số phức z = −2i − 1 . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là Ⓐ. M (−1; −2) . Ⓑ. M (−1;2) . Ⓒ. M (−2;1) . Ⓓ. M (2; −1) . Câu 9: Cho số phức z = −2i . Điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z là Ⓐ. M (0; −2) . Ⓑ. M (0; 2) . Ⓒ. M (−2;0) . Ⓓ. M (2;0) . Câu 10: Cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . Ⓐ. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i . Ⓑ. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i . Ⓒ. Phần thực là −4 và phần ảo là 3 . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 6
  7. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓓ. Phần thực là 3 và phần ảo là −4 . Câu 11: Cho số phức z có điểm biểu diễn là điểm A trong hình vẽ bên.Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . Ⓐ. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng −2 . Ⓑ. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 2 . Ⓒ. Phần thực bằng 2 , phần ảo bằng −3i . Ⓓ. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 2i . Câu 12: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z = −2 + 5i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. Ⓐ. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. Ⓑ. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung. Ⓒ. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O . Ⓓ. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x . Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z ? Ⓐ. z + z = −4 + 3i . Ⓑ. z = 3 + 4i . Ⓒ. z = 3 − 4i . Ⓓ. z = −3 + 4i . Câu 14: Trong mặt phẳng toạ độ, điểm A (1; −2 ) là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số sau? Ⓐ. z = −1 − 2i . Ⓑ. z = 1 + 2i . Ⓒ. z = 1 − 2i . Ⓓ. z = −2 + i . Câu 15: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i , z2 = 3 − 2i , z3 = −3 − 2i . Khẳng định nào sau đây là sai? Ⓐ. B và C đối xứng nhau qua trục tung. Ⓑ. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G 1;  . 2  3 Ⓒ. A và B đối xứng nhau qua trục hoành. Ⓓ. A, B, C nằm trên đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 13 . Câu 16: Gọi A là điểm biểu diễn số phức M ( x, y ) , B là điểm biểu diễn số phức z = x + yi . Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? Ⓐ. A và B đối xứng nhau qua trục hoành. St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 7
  8. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓑ. A và B trùng gốc tọa độ khi z = 0 . Ⓒ. A và B đối xứng qua gốc tọa độ. Ⓓ. Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Câu 17: Các điểm biểu diễn các số phức z = 3 + bi ( b  ) trong mặt phẳng tọa độ, nằm trên đường thẳng có phương trình là Ⓐ. y = b . Ⓑ. y = 3 Ⓒ. x = b . Ⓓ. x = 3 . Câu 18: Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện phần thực của z bằng -2 là Ⓐ. x = −2 . Ⓑ. y = 2 . Ⓒ. y = 2 x Ⓓ. y = x + 2 Câu 19: Cho số phức z = a + ai . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng tọa độ là Ⓐ. x + y = 0 . Ⓑ. y = x . Ⓒ. x = a . Ⓓ. y = a . Câu 20: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1 trên mặt phẳng tọa độ là Ⓐ. Hình tròn tâm  , bán kính R = 1 , không kể biên. Ⓑ. Hình tròn tâm  , bán kính R = 1 , kể cả biên. Ⓒ. Đường tròn tâm  , bán kính R = 1 . Ⓓ. Đường tròn tâm bất kì, bán kính R = 1 . BẢNG ĐÁP ÁN 1B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B 8.B 9.B 10.D 11.B 12.B 13.C 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A 19.B 20.A  Dạng ③: Hai số phức bằng nhau: . Phương pháp:  Cho hai số phức , .  Khi đó: A - Bài tập minh họa: Câu 1. Bộ số thực ( x; y) thỏa mãn (3 x) (1 y)i 1 3i , với i là đơn vị ảo là Ⓐ. (2; 2) . Ⓑ. ( 2;2) . Ⓒ. (2;2) . Ⓓ. ( 2; 2) . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 8
  9. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Casio: Thay x, y trong các đáp án vào giả thiết đã cho. Ta có: ( 3 + x ) + (1 + y ) i = 1 + 3i ( 3 + 2 ) + (1 − 2)i = 1 + 3i (S) 3 + x = 1  x = −2   . 1 + y = 3 y = 2 ( 3 − 2 ) + (1 + 2 ) i = 1 + 3i (Đ), chọn B Câu 2. Tìm điểm M ( x, y) thỏa 2 x − 1 + (3 y + 2)i = 5 − i. −1 1 Ⓐ. M (3; −1). Ⓑ. M (2; −1). Ⓒ. M (3; ). Ⓓ. M (2; ). 3 3 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio: Thay x, y trong các đáp án vào giả thiết đã cho. 2 x − 1 = 5  2 x − 1 + (3 y + 2)i = 5 − i   2.3 − 1 + (3.(−1) + 2)i = 5 − i (Đ), chọn A 3 y + 2 = −1 x = 3   y = −1 Câu 3. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 3x 2 yi 2 i 2 x 3i với i là đơn vị ảo. Ⓐ. x 2; y 2. Ⓑ. x 2; y 1. Ⓒ. x 2; y 2. Ⓓ. x 2; y 1. Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Casio: Thay x, y trong các đáp án vào giả thiết đã ch  Ta có 3x 2 yi 2 i 2 x 3i x 2 (2 y 4)i 0 x + 2 = 0  x = −2   2 y + 4 = 0  y = −2 B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho x là số thực. Hai số phức z = 3 + i và z = x + i bằng nhau khi Ⓐ. x = 1. Ⓑ. x = 2 . Ⓒ. x = 3 . Ⓓ. x = −1. Câu 2: Cho y là số thực. Hai số phức z = 3 + i và z = 3 − yi bằng nhau khi Ⓐ. y = −1 . Ⓑ. y = −2 . Ⓒ. y = 0 . Ⓓ. y = 1 . Câu 3: Cho x, y là các số thực. Hai số phức z = 2 + yi và z = x − 2i bằng nhau khi Ⓐ. x 2; y 2. Ⓑ. x 2; y 2. Ⓒ. x 2; y 2 . Ⓓ. x 2; y 2. Câu 4: Cho hai số phức z = x + 2i và z ' = 3 − yi . Hai số đó bằng nhau khi St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 9
  10. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. x 2; y 3. Ⓑ. x 3; y 2. Ⓒ. x 3; y 2. Ⓓ. x 3; y 2. Câu 5: Cho hai số phức z = −2 + 3 yi, z = ( x + 1) − 6i, x, y  R. Tìm x, y để z = z. Ⓐ. x = 3, y = −9 . Ⓑ. x = −3, y = −2 . Ⓒ. x = −1, y = 2 . Ⓓ. x = 3, y = −2 . Câu 6: Cho hai số phức z = 2 + 3 yi, z  = ( x + 1) − 6i, x, y  R . Tìm x, y để z = z. Ⓐ. x = 3, y = −9 . Ⓑ. x = −3, y = −2 . Ⓒ. x = 1, y = 2 . Ⓓ. x = 1, y = −2 . Câu 7: Tìm điểm M ( x, y) thỏa 2 x − 1 + ( y + 2)i = 5 − i. Ⓐ. M (3; −1). Ⓑ. M (2; −1). Ⓒ. M (3; −3). Ⓓ. M (2;3). Câu 8: Tìm điểm M ( x, y) thỏa 2 x + 1 + ( y + 2)i = 5 − i. Ⓐ. M (3; −1). Ⓑ. M (2; −3). Ⓒ. M (3; −3). Ⓓ. M (2;3). Câu 9: Cho a , b là hai số thực thỏa mãn a + 1 + 6i = 2 − 2bi , với i là đơn vị ảo. Tìm a và b. Ⓐ. a = −1, b = −3 . Ⓑ. a = 1, b = 3 . Ⓒ. a = 1, b = −3 . Ⓓ. x = 1, y = −2 . Câu 10: Cho a , b là hai số thực thỏa mãn a + 6i = 2 − 2bi , với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng Ⓐ. −1 . Ⓑ. 1. Ⓒ. −4 . Ⓓ. 5. Câu 11: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( x y) (x y)i 5 3i với i là đơn vị ảo. Ⓐ. x 4; y 1. Ⓑ. x 1; y 4 . Ⓒ. x 2; y 3. Ⓓ. x 2; y 3. Câu 12: Với giá trị nào của x, y để 2 số phức z (x y) (2 x y)i và z 3 6i bằng nhau? Ⓐ. x 4; y 1. Ⓑ. x 1; y 4 . Ⓒ. x 1; y 4. Ⓓ. x 1; y 4. Câu 13: Các số thực x, y thỏa mãn 3x + y + 5 xi = 2 y − 1 + ( x − y ) i là Ⓐ. ( x; y ) =  − ;  . Ⓑ. ( x; y ) =  − ;  . Ⓒ. ( x; y ) =  ;  . Ⓓ. ( x; y ) =  − ; −  . 1 4 2 4 1 4 1 4  7 7  7 7 7 7  7 7 Câu 14: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x 2) (1 2 y)i 2 x 3i với i là đơn vị ảo. Ⓐ. x 2; y 2. Ⓑ. x 2; y 1. Ⓒ. x 2; y 2. Ⓓ. x 2; y 1. Câu 15: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 3x + yi ) + ( 4 − 2i ) = 5 x + 2i với i là đơn vị ảo. Ⓐ. x = −2 ; y = 4 . Ⓑ. x = 2 ; y = 4 . Ⓒ. x = −2 ; y = 0 . Ⓓ. x = 2 ; y = 0 . Câu 16: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( x + 3 y ) − ( 3x + 5 y + 3) i = 7 − 16i Ⓐ. x 1; y 2. Ⓑ. x 1; y 2. Ⓒ. x 2; y 2. Ⓓ. x 2; y 1. Câu 17: Cho hai số thực x và y thỏa mãn ( x + 3 y ) − ( 3x + 5 y + 3) i = 7 − 16i . Tính xy? Ⓐ. 3 . Ⓑ. −3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 7 St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 10
  11. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 18: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn 3x + y + ( 2 x − 4 y ) i = 1 + 24i thì x − y bằng? Ⓐ. 3 . Ⓑ. −3 . Ⓒ. −7 . Ⓓ. 7 Câu 19: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn 3x + y + ( 2 x − 4 y ) i = 1 + 24i thì x + y bằng? Ⓐ. 3 . Ⓑ. −3 . Ⓒ. −7 . Ⓓ. 7 Câu 20: Cho số thực x , y thỏa mãn 2 x + y + ( 2 y − x ) i = x − 2 y + 3 + ( y + 2 x + 1) i . Khi đó giá trị của M = x 2 + 4 xy − y 2 là Ⓐ. M = −1 . Ⓑ. M = 1 . Ⓒ. M = 0 . Ⓓ. M = −2 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8.B 9.C 10.A 11.A 12.C 13.A 14.D 15.B 16.B 17.C 18.D 19.B 20.A Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ④: FB: Duong Hung Bài ➁: PHÉP CỘNG-PHÉP NHÂN St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 11
  12. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ①: Thực hiện các phép tính về số phức . Phương pháp: ①. Dạng đại số của số phức  : phần thực số phức ;  : phần ảo của số phức ;  : đơn vị ảo ( ) ②. Các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức: ( ) . Phép cộng 2 số phức: . Phép trừ của 2 số phức: . Số đối của số phức: ( ) là số phức . . Phép nhân của số phức: ③. Nhận xét:  Với mọi số thực và mọi số phức , ✓. ; ✓. A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hai số phức z1 = −2 + i và z2 = 1 + i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là Ⓐ. ( −3; 2 ) . Ⓑ. ( 2; − 3) . Ⓒ. ( −3;3) . Ⓓ. ( 3; − 3) . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Casio:  Ta có: 2 z1 + z2 = 2. ( −2 + i ) + (1 + i ) = −4 + 2i + 1 + i = − 3 + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là ( −3;3) . Câu 2: Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 3 − 4i . Số phức 2 z1 + 3z2 − z1 z2 là số phức nào sau đây? Ⓐ. 10i . Ⓑ. −10i . Ⓒ. 11 + 8i . Ⓓ. 11 −10i . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Nhập vào máy tính  Ta có 2 z1 + 3z2 − z1 z2 = 2 (1 + 2i ) + 3 ( 3 − 4i ) − (1 + 2i )( 3 − 4i ) = 11 − 8i − (11 + 2i ) = −10i . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 12
  13. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 3: Trên tập số phức, cho biểu thức A = ( a − bi )(1 − i ) ( a, b là số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? Ⓐ. A = a + b − ( a + b ) i. Ⓑ. A = −a + b + ( b − a ) i. Ⓒ. A = a − b − ( a − b ) i. Ⓓ. A = a − b − ( a + b ) i. Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Công thức  A = ( a − bi )(1 − i ) = a − ai − bi + bi 2 = ( a − b) − ( a + b) i B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z2 = 7 + 3i . Tìm số phức z = z1 − z2 . Ⓐ. z = 3 + 6i . Ⓑ. z = 11 . Ⓒ. z = −1 − 10i . Ⓓ. z = −3 − 6i . Câu 2: Cho số phức z = 1 − i + i 3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . Ⓐ. a = 1, b = −2 . Ⓑ. a = −2, b = 1 . Ⓒ. a = 1, b = 0 . Ⓓ. a = 0, b = 1 . Câu 3: Cho số phức z = 3 + 2i . Giá trị của z.z bằng Ⓐ. 5 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 13 . Ⓓ. 13 . Câu 4: Cho số phức z = 3 − 2i . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức iz ? Ⓐ. ( −2;3) . Ⓑ. ( 2; − 3) . Ⓒ. ( 3; − 2 ) . Ⓓ. ( −2;3i ) . Câu 5: Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức z1 , điểm Q biểu diễn số phức z2 . Tìm số phức z = z1 + z2 . Ⓐ. 1 + 3i . Ⓑ. −3 + i . Ⓒ. −1 + 2i . Ⓓ. 2 + i . Câu 6: Số phức liên hợp của số phức z = i (1 − 2i ) có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? Ⓐ. E ( 2; −1) . Ⓑ. B ( −1; 2 ) . Ⓒ. A (1; 2 ) . Ⓓ. F ( −2;1) . Câu 7: Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 1 − i . Giá trị của biểu thức z1 + iz2 bằng Ⓐ. 2 − 2i . Ⓑ. 2i . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 2 + 2i . Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 14 2i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng Ⓐ. 14 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 2. Ⓓ. 14 . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 13
  14. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Môđun của số phức z = 5 + 3i − (1 + i ) là 3 Câu 9: Ⓐ. 2 5 . Ⓑ. 3 5 . Ⓒ. 5 3 . Ⓓ. 5 2 . Câu 10: Số phức z = i(3 − i) biểu diễn trên mặt phẳng Oxy bởi điểm nào sau đây? Ⓐ. (−3;1) . Ⓑ. (1;3) . Ⓒ. (−1; − 3) . Ⓓ. (3; −1) . Câu 11: Trong hình vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức z1 , điểm B biểu diễn số phức z2 sao cho điểm B đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O . Tìm z biết số phức z = z1 + 3z2 . Ⓐ. 4 . Ⓑ. 2 5 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 17 . Câu 12: Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z Ⓐ. w = 7 − 3i . Ⓑ. w = −3 − 3i . Ⓒ. w = 3 + 7i. Ⓓ. w = −7 − 7i . Câu 13: Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = a + ( a 2 − 11) i . Tìm tất cả các giá trị thực của a để z + z  là một số thực Ⓐ. a = −3 . Ⓑ. a = 3 . Ⓒ. a = 3 hoặc a = −3 . Ⓓ. a = 13 hoặc a = − 13 . Câu 14: Cho số phức z = 1 + 2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w = 2 z + z . Ⓐ. 3. Ⓑ. 5. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2. Câu 15: Điểm biểu diễn của số phức z là M (1; 2 ) . Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w = z − 2z là. Ⓐ. ( 2; −3) . Ⓑ. ( 2;1) . Ⓒ. ( −1;6 ) . Ⓓ. ( 2;3) . 2 Câu 16: Cho z1 = 2 + 4i, z2 = 3 − 5i . Xác định phần thực của w = z1. z2 Ⓐ. −120 . Ⓑ. −32 . Ⓒ. 88 . Ⓓ. −152 . Câu 17: Cho số phức z = (1 + i ) (1 + 2i ) . Số phức z có phần ảo là 2 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 2. Ⓓ. 2i . Câu 18: Cho hai số phức z = 3 − 5i và w = −1 + 2i . Điểm biểu diễn số phức z  = z − w.z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là Ⓐ. ( −6; − 4 ) . Ⓑ. ( 4; − 6 ) . Ⓒ. ( 4; 6 ) . Ⓓ. ( −4; − 6 ) . Câu 19: Tìm số phức z thỏa mãn z + (2 + i) z = 3 − 5i . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 14
  15. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. z = 2 + 3i . Ⓑ. z = −2 + 3i . Ⓒ. z = 2 − 3i . Ⓓ. z = −2 − 3i . Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy, A (1;7 ) , B ( −5;5 ) lần lượt biểu diễn hai số phức z1 , z2 . C biểu diễn số phức z1 + z2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. Ⓐ. C có tọa độ ( −4;12 ) . Ⓑ. CB biểu diễn số phức − z1 . Ⓒ. AB biểu diễn số phức z1 − z2 . Ⓓ. OACB là hình thoi. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B 13.C 14.B 15.C 16.D 17.A 18.D 19.C 20.C  Dạng ②: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua phép toán. . Phương pháp: ①. Số phức là biểu thức có dạng . Khi đó:  Phần thực của là , phần ảo của là và được gọi là đơn vị ảo. ②. Đặc biệt:  Số phức có phần ảo bằng được coi là số thực và viết là  Số phức có phần thực bằng được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) và viết là  Số .  Số: vừa là số thực vừa là số ảo. A - Bài tập minh họa: Câu 1: Số phức z = ( 2 − 3i ) − ( −5 + i ) có phần ảo bằng Ⓐ. −2i . Ⓑ. −4i . Ⓒ. −4 . Ⓓ. −2 . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Ta có: z = ( 2 − 3i ) − ( −5 + i ) = ( 2 + 5) − ( 3 + 1) i = 7 − 4i . Nên phần ảo của số phức z là −4 . Từ phép tính ta có phần ảo số phức z là −4 . Câu 2: Cho các số phức z1 = 1 − i 2 , z 2 = − 2 + i 3 . Số phức nào sau có phần ảo lớn hơn. Ⓐ. z2 − z1 . Ⓑ. z1 . Ⓒ. z2 . Ⓓ. z2 + z1 . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 15
  16. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Nhập máy tính để tính z2 − z1  Số phức z2 − z1 = −1 − 2 + ( ) 3 + 2 i , có phần ảo là 3+ 2 . Số phức z1 = 1 − i 2 , có phần ảo là − 2 .  Nhập máy tính để tính z2 + z1 Số phức z 2 = − 2 + i 3 , có phần ảo là 3. Số phức z2 + z1 = 1 − 2 + ( ) 3 − 2 i , có phần ảo là 3− 2 . Vậy số phức z2 − z1 có phần ảo lớn nhất. Câu 3: Tìm phần thực a của số phức z = i 2 + ... + i 2019 . Ⓐ. a = 1 . Ⓑ. a = −21009 . Ⓒ. a = 21009 . Ⓓ. a = −1 . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Ta có z = i 2 + ... + i 2019 là tổng của dãy một CSN với số hạng đầu tiên u1 = −1 , công bội q = i  z = i 2 + ... + i 2019 và n = 2018 . Với n  1, ta có: i 2018 − 1 i 4n = 1, i 4 n +1 = i,i 4n+2 = −1 , i 4 n +3 = −i Do đó ta có z = i 2 = −1 − i . Suy ra a = −1 . i −1  i 4n + i 4n+1 + i 4n+2 + i 4n+3 = 0  ( i 4 + i 5 + i 6 + i 7 ) + ... + ( i 2016 + i 2017 + i 2018 + i 2019 ) = 0  z = i 2 + ... + i 2019 = i 2 + i3 = −1 − i  a = −1 . B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm phần ảo của số phức w = (1 + 2i ) z Ⓐ. −4 . Ⓑ. 7 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 4i . Cho số phức z = ( 2i − 1) − ( 3 + i ) . Tổng phần thực và phần ảo của z là 2 2 Câu 2: Ⓐ. 1. Ⓑ. −1 . Ⓒ. −21 . Ⓓ. 21 . Câu 3: Phần ảo của số phức z = 5 + 2i − (1 + i)3 bằng: Ⓐ. 0 . Ⓑ. 7 . Ⓒ. −7 . Ⓓ. 7 . Câu 4: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i ; z2 = 1 + i . Tính z1 + 3 z2 . Ⓐ. z1 + 3z2 = 61 . Ⓑ. z1 + 3z2 = 11 . Ⓒ. z1 + 3z2 = 11 . Ⓓ. z1 + 3z2 = 61 . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 16
  17. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 5: Số phức z = ( 2 − 3i ) − ( −5 + i ) có phần ảo bằng: Ⓐ. −2i . Ⓑ. −4i . Ⓒ. −4 . Ⓓ. −2 . Câu 6: Cho số phức z = a + bi (a, b  ) . Tìm phần ảo của số phức z 2 . Ⓐ. a2 − b2 . Ⓑ. a 2 + b2 . Ⓒ. −2ab . Ⓓ. 2ab . Câu 7: Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i . Phần ảo của số phức w = z1 + z2 là Ⓐ. 5i . Ⓑ. 5 . Ⓒ. −1 . Ⓓ. −i . Câu 8: Cho số phức z = −1 + 2i . Môđun của số phức iz + z bằng Ⓐ. 6. Ⓑ. 3 2 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 18 . Câu 9: Cho số phức z khác 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? z Ⓐ. là số thuần ảo. Ⓑ. z.z là số thực Ⓒ. z + z là số thực Ⓓ. z − z là số ảo. z ( ) (1 − i 2 ) . 2 Câu 10: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu biết z = 2 +i Ⓐ. 2 . Ⓑ. 2. Ⓒ. −2 . Ⓓ. − 2 . Câu 11: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = ( 1 + i )( 2 − i ) ? Ⓐ. M. Ⓑ. P. Ⓒ. N . Ⓓ. Q . Câu 12: Cho số phức z = a + 2bi ( a, b  ) . Khi đó phần thực của số phức w = ( 2 z + i )( 3 − i ) bằng Ⓐ. 6a + 2b + 1 . Ⓑ. −2a + 12b + 3 . Ⓒ. 6a + 4b + 1 . Ⓓ. −2a + 6b + 3 . Câu 13: Số nào trong các số phức sau là số thực? Ⓐ. (1 + 2i ) + ( −1 + 2i ) . Ⓑ. ( 3 + 2i ) + ( 3 − 2i ) . Ⓒ. ( ) ( 3 + 2i − 3 − 2i . ) Ⓓ. ( 5 + 2i ) − ( 5 − 2i ) . Câu 14: Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 z = 2 − 4i . 2 2 2 2 Ⓐ. z = − 4i . Ⓑ. z = − + 4i . Ⓒ. z = + 4i . Ⓓ. z = − − 4i . 3 3 3 3 Câu 15: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + z.z = 2 z ? Ⓐ. 1 . Ⓑ. 0 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 17
  18. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 16: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 3 − i . Số phức 2z1 − z2 có phần ảo bằng Ⓐ. 1 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 7 . Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M (1; − 2 ) biểu diễn số phức; Môđun của số phức iz − z 2 bằng Ⓐ. 6 . Ⓑ. 6 . Ⓒ. 26 . Ⓓ. 26 . Câu 18: Nếu z = 2 − 3i thì z 3 bằng Ⓐ. 27 + 24i. Ⓑ. 46 + 9i. Ⓒ. 54 − 27i. Ⓓ. −46 − 9i. Câu 19: Xét các khẳng định sau: i) z.z  z  ii) z + z  z  iii) z 2  0  z  Số khẳng định đúng là: Ⓐ. 0 . Ⓑ. 1 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 . Câu 20: Cho hai số phức z = a + bi ( a, b  ) và z = a + bi ( a, b  ) . Điều kiện giữa a, b, a, b để z + z  là một số thuần ảo là a + a ' = 0 a + a ' = 0 Ⓐ. a + a = 0 . Ⓑ.  . Ⓒ.  . Ⓓ. b + b = 0 . b + b '  0 b + b ' = 0 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.B 9.A 10.D 11.D 12.C 13.B 14.C 15.D 16.C 17.D 18.D 19.D 20.B St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 18
  19. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ③: Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình -Phương pháp: ①. Sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức , . Khi đó: ②. Số phức liên hợp, mo đun của số phức: Cho số phức . ⬧.Số phức liên hợp của là ( ). ⬧.Tổng và tích của và luôn là một số thực.  .  . ⬧. Mô đun của số phức .  ; . A - Bài tập minh họa: Câu 1: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn x ( 3 + 2i ) + y (1 − 4i ) = 1 + 24i thì x − y bằng? Ⓐ. 3 . Ⓑ. −3 . Ⓒ. −7 . Ⓓ. 7 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Casio  Ta có: x ( 3 + 2i ) + y (1 − 4i ) = 1 + 24i  3x + y + ( 2 x − 4 y ) i = 1 + 24i 3x + y = 1 x = 2   2 x − 4 y = 24  y = −5  Vậy: x − y = 7 Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 |=| z + 3 − 10i | . Tìm số phức w = z − 4 + 3i. Ⓐ. w = −3 + 8i. Ⓑ. w = 1 + 3i. Ⓒ. w = −1 + 7i. Ⓓ. w = −4 + 8i. St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 19
  20. Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Thử lần lượt các đáp án.  z = x + yi, ( x, y  ) . Theo đề bài ta có: A w = −3 + 8i  z = w + 4 − 3i = 1 + 5i x 2 + y 2 = 25 và ( x + 3)2 + y 2 = ( x + 3)2 + ( y − 10)2 . nên | z |= 26 (loại). Giải hệ phương trình trên ta được x = 0; y = 5 .  Tương tự cho đáp án B và C, Vậy z = 5i . D w = −4 + 8i  z = w + 4 − 3i = 5i  Từ đó ta có w = −4 + 8i . thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 |=| z + 3 − 10i | . Câu 3: ( ) Cho số phức z thỏa mãn 3 z − i − ( 2 + 3i ) z = 7 − 16i . Môđun của số phức z bằng. Ⓐ. 5 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 3 . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn C Casio: công thức nhanh  Gọi z = x + yi với x, y  . c.a − bc az + bz = c  z = a −b 2 2  Ta có ( ) 3 z − i − ( 2 + 3i ) z = 7 − 16i  3 ( x − yi − i ) − ( 2 + 3i )( x + yi ) = 7 − 16i  3x − 3 yi − 3i − 2 x − 2 yi − 3xi + 3 y = 7 − 16i  ( x + 3 y ) − ( 3x + 5 y + 3) i = 7 − 16i x + 3y = 7 x + 3y = 7 x = 1 .    3x + 5 y + 3 = 16 3x + 5 y = 13  y = 2 Do đó z = 1 + 2i . Vậy z = 5 . B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 2 x − 3 yi ) + (1 − 3i ) = −1 + 6i với i là đơn vị ảo. Ⓐ. x = 1 ; y = −3 . Ⓑ. x = −1 ; y = −3 . Ⓒ. x = −1 ; y = −1 . Ⓓ. x = 1 ; y = −1 . Câu 2: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn x ( 3 + 2i ) + y (1 − 4i ) = 1 + 24i thì x − y bằng? Ⓐ. 3 . Ⓑ. −3 . Ⓒ. −7 . Ⓓ. 7 . Câu 3: Cho cặp số ( x ; y ) thỏa mãn: ( 2 x − y ) i + y (1 − 2i ) = 3 + 7i . Khi đó biểu thức P = x 2 − xy nhận giá trị nào sau đây: Ⓐ. 30 . Ⓑ. 40 . Ⓒ. 10 . Ⓓ. 20 . Câu 4: Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 z = 2 − 4i . St-bs: Duong Hung - Word xinh 2020-2021 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
7=>1