ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Học viên: Đinh Xuân Nhân Mã số: 02 09 4601 12
DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU
Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Hoàng Quân
,0,
t
> , t
0
( u x y , )
Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ ) , x y ,
) ( = v x y t , , với , trong đó ( u x y z t , , thoả
˛
¶
u
0, ,
x y
< < , 0
z
> 2,
t
0
(1) D - ˛
u = t
=
¶
)
)
( u x y ,
,1,
t
( f x y t , ,
, ,
x y
> t ,
0
=
˛ (2)
)
)
( u x y ,
, 2,
t
( g x y t , ,
, ,
x y
> , t
0
=
˛ (3)
)
( u x y z ,
,
, 0
0, ,
x y
< < z
, 0
2
,f g
trong đó, là các hàm cho trước.
˛ (4)
Đặt
= G
(
)
(
)
)
(
G x y z t , , ,
,
x h q t , ,
,
x h q t , x y z t , , ,
,
,
,
x h q t , x y z t , , ,
,
,
,
1
với
2
- G
h
x
2 +
(
)
(
)
x
q z
1
Ø ø - - -
(
) =
exp
x y z t , , , ,
x h q t , ,
,
3
t
G - Œ œ (5)
y (
) 2 + )
2
( 4
t
t
(
)
p 4
t
2
- Œ œ - Ø ø º ß º ß
x
2 +
(
)
(
(
)
) 2 +
x
y
4
q z
1
Ø ø - - - -
(
) =
exp
x y z t , , , ,
x h q t , ,
,
1
3
t
. (6) G - Œ œ
h (
)
2
4
t
t
(
)
p 4
t
Ta có
- Œ œ - Ø ø º ß º ß
¶
(
)
( =
)
div G u u G
uG
0
.
t
(cid:209) - (cid:209) - (7)
¶
)
,
e
( t xhq , fi +¥
(
(
)
)
)
n
0
, ,
n n ,
n n ,
0,
t
+¥ +¥
t
fi - · - · - ·
Lấy tích phân hai vế của (7) theo trên ( ( ) e 1, 2 ,và cho +¥ +¥ t ( ) x h t
) t
(
(
(
)
)
= x h , , G x y z t , , x , d d d d d d h x ,1, t ,1, x h , ,1, t , f , , , t h t x h , , G x y z t , q u q (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242)
0
0
+¥ +¥
t
xh
t
- ¥ - ¥ - ¥ - ¥
(
)
(
)
(
)
xht ,
g
,
G x y z t , , ,
,
x h t , 2,
,
d d d
u x y z t , ,
,
.
q
- - (8) (cid:242) (cid:242) (cid:242)
0
- ¥ - ¥
z
+ 1
2
2
x
h
fi
)
(
) 2 + -
)
x
x x
Cho trong (8), ta có (
+¥ +¥
t
( 2 + - ( t
y )
+ y ) t
(
1
) 4
t
( h t
4
4 x h t
(
)
xh ,
t ,1,
e
e
d d d
u q
3
3
2
2
t
(
)
p 4
t
0
2
x
- - Ø ø - - - - Œ œ - (cid:242) (cid:242) (cid:242) Œ œ - - ¥ - ¥ º ß
(
)
x
+¥ +¥
t
y t
h )
1
( 2 + - ( t
4
) + 1 x h t
=
(
)
xht ,
g
,
e
d d d
5
- - -
3
2
2
t
(
)
p 4
t
0
2
x
h
(cid:242) (cid:242) (cid:242) - - ¥ - ¥
(
)
) +
x
+¥ +¥
t
y t
)
1
( 2 + - ( t
4
4 x h t
(
)
)
xht ,
f
,
e
d d d
( f x y t , ,
.
5
3
2
2
t
(
)
p 4
t
0
- - - - - (cid:242) (cid:242) (cid:242) (9) - - ¥ - ¥
= G
)
(
)
)
Đặt ( N x y z t , , ,
,
x h q t ,
,
,
x h q t , x y z t , , ,
,
,
,
( x h q t x y z t , , , ,
,
,
,
2
với
2
- G
2 +
(
)
(
)
(
) =
3
) 2 + )
2
( 4
(
)
2
Ø ø x h - - - x q z 1 G - Œ œ x y z t , , , , x h q t , , , exp (10) t - y ( t Œ œ t - Ø ø º ß p 4 t º ß
x
2 +
h
(
)
)
x
( + q z
1
Ø ø - -
(
) =
x y z t , , , ,
x h q t , ,
,
exp
2
3
t
) 2 + )
2
( y ( 4
t
t
(
)
p 4
t
Ta có
G - Œ œ . (11) - Œ œ - Ø ø º ß º ß
¶
(
)
( =
)
div N u u N
uN
0
t
(cid:209) - (cid:209) - . (12)
¶
)
,
t xhq ,
e
( fi +¥
(
)
(
(
)
(
n
0
, ,
n n ,
n n ,
0,
t
Lấy tích phân hai vế của (12) theo trên ) ) e 0,1 , và cho
+¥ +¥
t
+¥ +¥ t x h t
=
(
)
(
) t
(
)
(
)
x h ,
t ,1,
x h , , N x y z t ,
,
t ,
h x ,1,
d d d
f
,
,
x ,
,
,1,
d d d
u q
t h t x h , , N x y z t , q
fi - · - · - ·
(cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242)
0
0
+¥ +¥
t
t
+
- ¥ - ¥ - ¥ - ¥
(
)
(
)
)
v
x h t ,
,
x h , , N x y z t ,
,
,
x h t ,0,
d d d
( u x y z t , ,
,
.
q
- (13) (cid:242) (cid:242) (cid:242)
0
- ¥ - ¥
z
2
2
h
-
(
)
(
) 2 + -
)
y
h y
4
+¥ +¥
t
1 (
t ,1,
( 2 + - ( t
x x )
+ x ) t
(
) 4
t
( x t
4
e
e
x h t d d d
3
2
fiCho trong (13), ta có ) )
xh , (
u q p p 4
t t
0
2
h
- - Ø ø - - - - Œ œ - (cid:242) (cid:242) (cid:242) Œ œ - - ¥ - ¥ º ß
(
)
) +
y
4
+¥ +¥
t
)
(
,
x x t
)
( 2 + - ( t
4
=
x h t d d d
e
5
- - -
2
xht , (
f p p 4
t t
0
2
h
x
(cid:242) (cid:242) (cid:242) - - ¥ - ¥
(
)
) +
y
1
+¥ +¥
t
(
) )
x t
,
( 2 + - (
)
t
4
+
e
x h t d d d
( f x y t , ,
5
) . (14)
2
x ht , (
)
v p p 4
t t
0
- - - - (cid:242) (cid:242) (cid:242) - - ¥ - ¥
Từ (9) và (14), ta có
2
2
h
+
(
)
(
) 2 +
(
)
)
( x
y
1
h y
+¥ +¥
t
+¥ +¥ t
(
)
)
,
x t
x t
2 + (
x )
+ )
(
2
4
t
4
t
=
4 x h t
e
x h t d d d
e
d d d
3
5
3
5
- - - - - - - -
2
2
2
2
x h t , t
(
)
v (
, )
( p
)
, )
1 p 2
t
2
( x h t f ( t t
0
0
x
(cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) - - - ¥ - ¥ - ¥ - ¥
(
)
) 2 +
x
1
+¥ +¥
t
(
)
x h t ,
y t
2 + (
h )
4
( t
+
)
e
x h t d d d
2 2
( f x y t , ,
3
5
2
2
t
)
(
g (
, )
1 p 2
t
0
Đặt
2
2
+
+
x
4
- - - - - . (15) (cid:242) (cid:242) (cid:242) - - ¥ - ¥
2
y t 4
(cid:236) -
(
)
)
e
x y t , ,
( +¥ 0,
,
5
2
)
(
= (cid:237)
R x y t , ,
˛ · (cid:239)
2
(
)
(
1 t 0
x y t , ,
] , 0 ,
2
2
+
x
+ 1
(cid:239) ˛ · - ¥ (cid:238)
2
y t 4
(cid:236) -
(
)
)
e
x y t , ,
( +¥ 0,
,
5
2
(
)
= (cid:237)
S x y t , ,
˛ · (cid:239)
2
(
)
(
1 t 0
x y t , ,
] , 0 ,
(cid:239) ˛ · - ¥ (cid:238)
=
=
)
)
t <
0
( v x y t , ,
( g x y t , ,
( f x y t , ,
0
) = và định nghĩa khi .
=
)
) +
)
( R f x y t 2 * ,
,
( S g x y t ,
*
,
2 2
( f x y t , ,
.
Từ (15) ta có ) ( S v x y t ,
*
,
=
- (16)
Nếu đặt )
(
)
) +
)
F x y t , ,
( R f x y t ,
2 *
,
( S g x y t ,
*
,
2 2
( f x y t , ,
,
và biến đổi Fourier hai vế của (16) thì
=
)
)
)
- (17)
( S p r
,
, w
( v p r
,
, w
( F p r
,
, w
. (18)
3
e
g ˛
(
0, e g
- (cid:230) (cid:246) ˛ (cid:231) (cid:247)
3
2
)
(
3
)
f
L˛
2
3
(
Ł ł
3
e
e
.
)
) ,
g g
( 2 L
0
2
2
3
- £ - £
˛
(
)
2 L
h e
)
v e
)0, 2 Định lí 1. Cho và . Giả sử L˛ 0v là nghiệm duy nhất của (16) ứng với dữ liệu ( 2 g , chính xác . Đồng thời, cho 0 0 f g L˛ , là các dữ liệu đo được thoả f f , với là chuẩn trong . Khi đó, ta 0 2 v xây dựng được hàm thoả e ( v 0 2 ( h e
)
0
C
- - £ (19)
1
3
3
fi
C g + e 2 lim e 0 )
(
= )
˙
1 L
0v H
2
˛
4
- -
}
,ee
min
e
0
trong đó là hằng số và . ( Nếu giả sử thêm và { < < e thì
1
-
v
D
ln
,
v e
0 2
1 e
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (20) - £ (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
0D >
trong đó và phụ thuộc vào .
0v
Ł ł Ł ł
ve
Định lí 2. Với như trong định lí 1, ta có
=
(
)
(
(
(
)
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
x y t , ,
p ,
p S m ,
p ) x S n
t
v e
v e
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:229) (cid:229) (cid:229)
a
a
a
p p m n , a a e e
k a e
e
, e
p ) y S k , e
k
n k m n
trong đó
˛ £ £ Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
(
z
=
) (
)
( S p d
,
z
,
p
> d
,
0.
sin p
- Ø ø º ß ˛
p (
z
) pd d ) pd d
-
=
(
)
)
)
u x y z t , ,
,
( u x y ,
, 0,
t
Ví dụ số. Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ ( , trong đó thoả v x y t , ,
¶
0, ,
x y
< < , 0
z
> 2,
t
0
u
D - ˛ (21)
u = t
2
2
+
+
x
4
¶
y t 4
=
=
-
)
)
,1,
t
( f x y t , ,
, ,
x y
> t ,
0
e
( u x y ,
3
2
1 t
2
2
+
x
+ 1
˛ (22)
y t 4
=
=
-
)
(
)
, 2,
t
g x y t , ,
, ,
x y
> t ,
0
e
( u x y ,
3
2
1 t
=
˛ (23)
(
)
u x y z ,
,
, 0
0, ,
x y
< < z
, 0
2
Bài toán (21) – (24) có nghiệm chính xác là
2
2
+
+
x
9
˛ (24)
y t 4
=
-
(
)
e
3
v 0
2
x y t , ,
1 t
(25)
2
2
+
+
x
4
+
e
y t 4
=
e
-
)
)
)
(
Giả sử dữ liệu bị nhiễu ( f x y t , ,
( = + 1
e
x y t , ,
, ,
x y
> t ,
0
f
e
3
2
2
2
+
x
+ 1
˛ (26)
1 t +
e
y t 4
e
=
-
)
)
(
)
(
x y t , ,
( = + 1
g x y t , ,
e
, ,
x y
> , t
0
g
e
3
2
1 t
˛ (27)
ve
v 0
2
-
2
Bảng đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ e =
e
- ·
3
e
=
- ·
3
e
=
-
510 810 10 10
·
15
6
e
=
10
1,744496 10- 3,858909 10- 1, 274943 10- 9,149228 10-
- ·
00:39:54
