Đáp án đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối A năm 2010

Chia sẻ: Bui Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

2.209
lượt xem 231
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đáp án đề thi môn Toán khối A năm 2010 với bố cục và trình bày rõ ràng sẽ giúp các bạn thí sinh kiểm tra bài thi, tra cứu đáp án môn Toán dễ dàng. Tài liệu tham khảo này sẽ giúp các bạn đang chuẩn bị bước vào kỳ thi tuyển sinh Đại học có thêm kinh nghiệm để làm bài thi đạt kết quả tốt nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối A năm 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối A ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 1, ta có hàm số y = x3 − 2x2 + 1. • Tập xác định: R. 0,25 • Sự biến thiên: 4 - Chiều biến thiên: y ' = 3x2 − 4x; y '( x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = . 3 ⎛4 ⎞ ⎛ 4⎞ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và ⎜ ; + ∞ ⎟ ; nghịch biến trên khoảng ⎜ 0; ⎟ . 3 ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ 4 5 0,25 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1, đạt cực tiểu tại x = ; yCT = − . 3 27 - Giới hạn: lim y = − ∞ ; lim y = + ∞. x→ − ∞ x→ + ∞ - Bảng biến thiên: 4 x −∞ +∞ 0 3 + − + y' 0 0 0,25 +∞ 1 y 5 − 27 −∞ • Đồ thị: y 1 0,25 4 O 3 x 5 2 − 27 2. (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0 0,25 ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x2 − x − m = 0 (*) Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm 0,25 phân biệt, khác 1. Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x1 = 1; x2 và x3 là các nghiệm của (*). ⎧∆ > 0 ⎪ 0,25 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi: ⎨ g (1) ≠ 0 ⎪2 2 ⎩ x2 + x3 < 3 ⎧1 + 4m > 0 ⎪ 1 ⇔ ⎨−m ≠ 0 ⇔ − < m < 1 và m ≠ 0. 0,25 4 ⎪1 + 2m < 3 ⎩ Trang 1/4
Câu Đáp án Điểm II 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Điều kiện: cosx ≠ 0 và 1 + tanx ≠ 0. π⎞ 0,25 ⎛ 2 sin ⎜ x + ⎟ (1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx Khi đó, phương trình đã cho tương đương: 4⎠ ⎝ sin x + cos x ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = cos x ⇔ sinx + cos2x = 0 0,25 cos x 1 ⇔ 2sin2x − sinx − 1 = 0 ⇔ sinx = 1 (loại) hoặc sinx = − 0,25 2 π 7π ⇔ x=− + k2π hoặc x = + k2π (k ∈ Z). 0,25 6 6 2. (1,0 điểm) Điều kiện: x ≥ 0. 2( x 2 − x + 1) = x 2 + ( x − 1) 2 + 1 > 1, suy ra 1 − 2( x 2 − x + 1) < 0. Ta có: 0,25 2( x 2 − x + 1) ≤ 1 − x + Do đó, bất phương trình đã cho tương đương với: x (1) 2( x 2 − x + 1) = 2(1 − x) 2 + 2( x ) 2 ≥ 1 − x + 0,25 Mặt khác x (2), do đó: 2( x 2 − x + 1) = 1 − x + (1) ⇔ x (3) Để ý rằng: + Dấu bằng ở (2) xảy ra chỉ khi: 1 − x = x đồng thời 1 − x + x ≥ 0. 0,25 + 1−x = x kéo theo 1 − x + x ≥ 0, do đó: (3) ⇔ 1 − x = x ⎧1 − x ≥ 0 ⎧x ≤ 1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨2 2 ⎪(1 − x) = x ⎪ x − 3x + 1 = 0 ⎩ ⎩ 0,25 3− 5 ⇔x= , thỏa mãn điều kiện x ≥ 0. 2 1 1 1 ⎛ ex ⎞ ex III I = ∫ ⎜ x2 + dx = ∫ x 2 dx + ∫ dx . ⎟ 0,25 ⎜ 1 + 2e x ⎟ x 0 1 + 2e (1,0 điểm) 0⎝ ⎠ 0 1 1 13 1 ∫ x 2 dx = = Ta có: x 0,25 3 3 0 0 1 1 ex d(1 + 2e x ) 1 ∫ 1 + 2e x dx = 2 ∫ và , suy ra: 0,25 1 + 2e x 0 0 1 1 1 1 + 2e 1 1 1 + 2e 1 1 + ln(1 + 2e x ) = + ln I= = + ln . 0,25 3 2 32 3 32 3 0 • Thể tích khối chóp S.CDNM. S IV SCDNM = SABCD − SAMN − SBCM (1,0 điểm) 1 1 = AB2 − AM.AN − BC.BM 0,25 2 2 2 2 5a 2 a a K = a2 − − = . 8 4 8 N D A H 5 3 a3 1 M VS.CDNM = SCDNM.SH = 0,25 . C B 3 24 • Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC. ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN, kết hợp với DM ⊥ SH, suy ra DM ⊥ (SHC). 0,25 Hạ HK ⊥ SC (K ∈ SC), suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC, do đó: d(DM, SC) = HK. Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm CD 2 2a SH .HC 2 3a 2 3a Ta có: HC = = v à HK = = , do đó: d(DM, SC) = . 0,25 CN 5 19 19 2 2 SH + HC 3 5 V Điều kiện: x ≤ ; y≤ . (1,0 điểm) 4 2 0,25 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) 5 − 2 y (1) Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f( 5 − 2 y ), với f(t) = (t2 + 1)t. Ta có f ' (t) = 3t2 + 1 > 0, suy ra f đồng biến trên R. 0,25 ⎧x ≥ 0 ⎪ Do đó: (1) ⇔ 2x = 5 − 2y ⇔ ⎨ 5 − 4 x2 ⎪y = . ⎩ 2 2 ⎛5 ⎞ Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4x + ⎜ − 2 x 2 ⎟ + 2 3 − 4 x −7 = 0 (3). 2 ⎝2 ⎠ 3 Nhận thấy x = 0 và x = không phải là nghiệm của (3). 0,25 4 2 ⎛5 ⎞ ⎛ 3⎞ Xét hàm g(x) = 4x + ⎜ − 2 x 2 ⎟ + 2 3 − 4 x − 7, trên khoảng ⎜ 0; ⎟ . 2 ⎝2 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎛5 ⎞ 4 4 g '( x) = 8x − 8x ⎜ − 2 x 2 ⎟ − = 4x (4x2 − 3) − < 0, suy ra hàm g(x) nghịch biến. 3 − 4x 3 − 4x 2 ⎝ ⎠ ⎛1⎞ 1 Mặt khác g ⎜ ⎟ = 0, do đó (3) có nghiệm duy nhất x = ; suy ra y = 2. 0,25 ⎝2⎠ 2 ⎛1 ⎞ Vậy, hệ đã cho có nghiệm: (x; y) = ⎜ ; 2 ⎟ . ⎝2 ⎠ VI.a 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) | 3. 3 − 1.1| 1 y d1 và d2 cắt nhau tại O, cos(d1, d2) = = và tam giác 3 + 1. 3 + 1 2 0,25 d2 d1 OAB vuông tại B, do đó AOB = 60 ⇒ BAC = 60 . O 1 3 x Ta có: SABC =AB.AC.sin 60 = (OA.sin 60 ).(OA.tan 60 ) B 2 4 A 33 OA2. = 0,25 8 I C 4 3 , suy ra OA2 = . Do đó: SABC = 2 3 ⎧ 3x + y = 0 ⎛1 ⎞ ⎪ Tọa độ A(x; y) với x > 0, thỏa mãn hệ: ⎨ 2 4 ⇒ A⎜ ; − 1⎟ . 2 ⎪x + y = ⎝3 ⎠ ⎩ 3 0,25 Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d2, suy ra AC có phương trình: 3 x − 3y − 4 = 0. ⎧ 3x − y = 0 ⎛ −2 ⎞ ⎪ ⇒ C⎜ ; − 2⎟ . Tọa độ C(x; y) thỏa mãn hệ: ⎨ ⎝3 ⎠ ⎪ 3 x −3y − 4 = 0 ⎩ ⎛ −1 3⎞ ; − ⎟ và bán kính IA = 1. Đường tròn (T) có đường kính AC, suy ra tâm của (T) là I ⎜ 2⎠ ⎝2 3 0,25 2 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ Phương trình (T): ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + 2 ⎟ =1. 2 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm 2. (1,0 điểm) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương v = (2; 1; −1) và mặt phẳng (P) có 0,25 M vectơ pháp tuyến n = (1; −2; 1). () Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có cos HMC = cos v, n . 0,25 () d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = MC. cos v, n 0,25 C H P | 2 − 2 − 1| 1 = = 6. . 0,25 ∆ 6. 6 6 Ta có: z = (1 + 2 2 i) (1 − VII.a 2 i) 0,25 (1,0 điểm) = 5+ 0,25 2 i, suy ra: z = 5− 0,25 2 i. Phần ảo của số phức z bằng: − 2 . 0,25 VI.b 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Gọi H là trung điểm của BC, D là trung điểm AH, ta có AH ⊥ BC. A Do đó tọa độ D(x; y) thỏa mãn hệ: 0,25 ⎧x + y − 4 = 0 ⇒ D(2; 2) ⇒ H(− 2; − 2). D d ⎨ ⎩x − y = 0 •E B C Đường thẳng BC đi qua H và song song d, suy ra BC có phương 0,25 H trình: x + y + 4 = 0. Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x + y + 4 = 0 và B, C đối xứng nhau qua H(− 2; − 2), do đó tọa độ B, C có dạng: B(t; − 4 − t), C(− 4 − t; t). 0,25 Điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác ABC, suy ra: AB . CE = 0 ⇔ (t − 6)(5 + t) + (− 10 − t)(− 3 − t) = 0 ⇔ 2t2 + 12t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = − 6. 0,25 Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) hoặc B(− 6; 2), C(2; − 6). 2. (1,0 điểm) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(−2; 2; −3), nhận v = (2; 3; 2) làm vectơ chỉ phương. 0,25 Ta có: MA = (2; −2; 1), ⎡v, MA⎤ = (7; 2; −10). A ⎣ ⎦ • C ∆ ⎡v, MA⎤ B 49 + 4 + 100 • ⎣ ⎦ Suy ra: d(A, ∆) = = = 3. 0,25 M 4+9+4 v Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại B và C sao cho BC = 8. Suy ra bán kính của (S) là: R = 5. 0,25 Phương trình (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25. 0,25 Ta có: (1 − 3i )3 = − 8. VII.b 0,25 (1,0 điểm) −8 Do đó z = = − 4 − 4i, suy ra z = − 4 + 4i. 0,25 1− i 0,25 ⇒ z + i z = − 4 − 4i + (− 4 + 4i)i = − 8 − 8i. Vậy: z + iz = 8 2 . 0,25 ------------- Hết ------------- Trang 4/4