Đáp án đề thi tuyển sinh đại học môn Toán (năm 2012): Khối D

Chia sẻ: Codon_11 Codon_11 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh, sinh viên cùng tham khảo "Đáp án đề thi tuyển sinh đại học môn Toán (năm 2012)" đề thi chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo. Đáp án thang điểm gồm có 4 trang. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình ôn thi và làm bài thi của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án đề thi tuyển sinh đại học môn Toán (năm 2012): Khối D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) 2 2 Khi m = 1, hàm số trở thành y = x3 − x 2 − 4 x + . 3 3 • Tập xác định: D = \. 0,25 • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ′ = 2 x 2 − 2 x − 4; y ′ = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 2. Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (2; +∞); khoảng nghịch biến ( −1; 2). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 3, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −6. 0,25 - Giới hạn: lim y = − ∞, lim y = + ∞, x →− ∞ x →+ ∞ - Bảng biến thiên: x −∞ –1 2 +∞ y' + 0 – 0 + 3 +∞ 0,25 y −∞ –6 • Đồ thị: y 3 2 –1 O x 0,25 –6 b) (1,0 điểm) Ta có y ′ = 2 x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1). 0,25 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 13 2 13 0,25 ⇔ 13m 2 − 4 > 0 ⇔ m > hoặc m < − . 13 13 Ta có: x1 + x2 = m và x1 x2 = 1 − 3m 2 , do đó x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m 2 + 2m = 1 0,25 2 2 ⇔ m = 0 hoặc m = . Kiểm tra điều kiện ta được m = . 0,25 3 3 Trang 1/4
Câu Đáp án Điểm 2 Phương trình đã cho tương đương với: (2sin x + 2cos x − 2)cos 2 x = 0. 0,25 (1,0 điểm) π kπ • cos 2 x = 0 ⇔ x = + (k ∈]). 0,25 4 2 • 2sin x + 2cos x − 2 = 0 ⇔ cos x − = π 1 4 2 ( ) 0,25 7π π ⇔x= + k 2π hoặc x = − + k 2π (k ∈ ]). 12 12 Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: 0,25 π kπ 7π π x= + , x= + k 2π, x = − + k 2π (k ∈ ]). 4 2 12 12 3 ⎧⎪ xy + x − 2 = 0 (1) Hệ đã cho tương đương với: ⎨ 2 0,25 (1,0 điểm) ⎪⎩(2 x − y + 1)( x − y ) = 0 (2) −1 ± 5 • 2 x − y + 1 = 0 ⇔ y = 2 x + 1. Thay vào (1) ta được x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = . 2 0,25 ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎛ −1 − 5 ⎞ Do đó ta được các nghiệm ( x; y ) = ⎜ ; 5 ⎟ và ( x; y ) = ⎜ ; − 5 ⎟. ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • x 2 − y = 0 ⇔ y = x 2 . Thay vào (1) ta được x3 + x − 2 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 2) = 0 0,25 ⇔ x = 1. Do đó ta được nghiệm ( x; y ) = (1; 1). Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là: ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎛ −1 − 5 ⎞ 0,25 ( x; y ) = (1; 1), ( x; y ) = ⎜ ; 5 ⎟ , ( x; y ) = ⎜ ; − 5 ⎟. ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π π π π 4 4 4 4 4 x2 4 π2 (1,0 điểm) ∫ ∫ I = xdx + x sin 2 xdx = 2 ∫ + x sin 2 xdx = 32 ∫ + x sin 2 xdx. 0,25 0 0 0 0 0 1 Đặt u = x;dv = sin 2 xdx, suy ra du = dx; v = − cos 2 x. 0,25 2 π π π π 4 4 4 1 4 1 1 Khi đó ∫ x sin 2 xdx = − 2 x cos 2 x 0 + 2 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos 2 xdx 0,25 0 0 0 π 1 4 1 π2 1 0,25 = sin 2 x = . Do đó I = + . 4 0 4 32 4 5 Tam giác A′AC vuông cân tại A và A′C = a nên (1,0 điểm) D' C' a a 0,25 A′A = AC = . Do đó AB = B′C ′ = . 2 2 B' A' 1 1 a3 2 V ABB′C ′ = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C '. AB.BB ' = . 0,25 3 6 48 Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của ∆A′AB. Ta có H AH ⊥ A ' B và AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( A ' BC ), 0,25 D C nghĩa là AH ⊥ ( BCD '). Do đó AH = d ( A,( BCD ')). 1 1 1 6 A B Ta có = . + = 2 2 2 AH AB a2 AA' 0,25 a 6 Do đó d ( A,( BCD ')) = AH = . 6 Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm 6 Ta có ( x − 4)2 + ( y − 4)2 + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) 2 − 8( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8. 0,25 (1,0 điểm) 3 A = ( x + y )3 − 3( x + y ) − 6 xy + 6 ≥ ( x + y )3 − ( x + y )2 − 3( x + y ) + 6. 2 3 Xét hàm số: f (t ) = t 3 − t 2 − 3t + 6 trên đoạn [0; 8]. 0,25 2 1+ 5 1− 5 Ta có f ′(t ) = 3t 2 − 3t − 3, f ′(t ) = 0 ⇔ t = hoặc t = (loại). 2 2 ⎛ 1 + 5 ⎞ 17 − 5 5 17 − 5 5 Ta có f (0) = 6, f ⎜ = , f (8) = 398. Suy ra A ≥ . ⎜ 2 ⎟⎟ 4 4 0,25 ⎝ ⎠ 1+ 5 17 − 5 5 Khi x = y = thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 0,25 4 4 7.a ⎧x + 3y = 0 (1,0 điểm) Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⎨ ⇒ A( −3;1). 0,25 ⎩x − y + 4 = 0 Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN//AD. Suy ra MN có A 4 B phương trình là x − y + = 0. Vì N thuộc AC, nên tọa 3 N 0,25 ⎧ 4 ⎪x − y + = 0 ⎛ 1⎞ K độ của điểm N thỏa mãn hệ ⎨ 3 ⇒ N ⎜ −1; ⎟ . I ⎪⎩ x + 3 y = 0 ⎝ 3⎠ M Đường trung trực ∆ của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD, nên có phương trình là x + y = 0. D C Gọi I và K lần lượt là giao điểm của ∆ với AC và AD. ⎧x + y = 0 Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ ⎨ 0,25 ⎩ x + 3 y = 0, ⎧x + y = 0 và tọa độ của điểm K thỏa mãn hệ ⎨ ⎩ x − y + 4 = 0. Do đó I(0; 0) và K(−2;2). JJJG JJG JJJG JJJG AC = 2 AI ⇒C (3;−1); AD = 2 AK ⇒ D(−1;3); JJJG JJJG 0,25 BC = AD ⇒ B(1;−3). 8.a Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Suy ra H là tâm của đường tròn giao tuyến 0,25 (1,0 điểm) của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có IH = d ( I ;( P )) = 3. 0,25 Bán kính của mặt cầu (S) là: R = 32 + 4 2 = 5. 0,25 Phương trình của mặt cầu (S) là: ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 3)2 = 25. 0,25 9.a 2(1 + 2i ) Ta có: (2 + i) z + = 7 + 8i ⇔ (2 + i) z = 4 + 7i 0,25 (1,0 điểm) 1+ i ⇔ z = 3 + 2i. 0,25 Do đó w = 4 + 3i. 0,25 Môđun của w là 42 + 32 = 5. 0,25 Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình. 7.b 0,25 Do I ∈ d nên tọa độ của I có dạng I (t ;2t + 3). (1,0 điểm) AB = CD ⇔ d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) ⇔ | t | = | 2t + 3 |⇔ t = −1 hoặc t =−3. 0,25 • Với t = −1 ta được I (−1;1), nên d ( I ; Ox) = 1. Suy ra, bán kính của (C) là 12 +12 = 2. 0,25 Do đó (C ): ( x + 1) 2 + ( y − 1)2 = 2. • Với t = −3 ta được I (−3;−3), nên d ( I ;Ox) = 3. Suy ra, bán kính của (C) là 32 +12 = 10. 0,25 Do đó (C ): ( x + 3)2 + ( y + 3)2 = 10. Do M ∈ d nên tọa độ của điểm M có dạng M (1 + 2t ; −1 − t ; t ). 0,25 8.b JJJJG JJJJG (1,0 điểm) Ta có AM = (2t ; −t ; t − 2), BM = (−1 + 2t; −t; t ). JJJJG JJJJG 0,25 Tam giác AMB vuông tại M ⇔ AM .BM = 0 ⇔ 2t (−1 + 2t ) + t 2 + t (t − 2) = 0 ⇔ 6t 2 − 4t = 0 0,25 2 ⎛7 5 2⎞ ⇔ t = 0 hoặc t = . Do đó M (1; −1;0 ) hoặc M ⎜ ; − ; ⎟ . 0,25 3 ⎝3 3 3⎠ 9.b Phương trình bậc hai z 2 + 3(1+ i ) z + 5i = 0 có biệt thức ∆ = −2i. 0,25 (1,0 điểm) = (1 − i ) 2 . 0,25 −3(1 + i) + (1 − i) Do đó nghiệm của phương trình là z = = −1 − 2i 0,25 2 −3(1 + i ) − (1 − i ) hoặc z = = −2 − i. 0,25 2 ------------- HẾT------------- Trang 4/4