ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I NĂM HỌC 2023 - 2024
TRƯỜNG THPT YÊN HÒA BỘ MÔN: TOÁN MÔN: TOÁN - KHỐI 11
CẤU TRÚC
PHẦN TT NỘI DUNG CÁC DẠNG TOÁN Trang
1. Góc lượng giác
2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
3. Áp dụng tính chất của GTLG
4. GTLG của các góc có liên quan đặc biệt
1 1-12 5. Tính giá trị biểu thức sử dụng các phép biến đổi Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lượng giác.
6. TXĐ; tính chẵn lẻ, tính đồng biến nghịch biến của hàm số. GTLN, GTNN của hàm số.
7. Giải phương trình lượng giác.
1. Xác định số hạng dãy số ĐẠI SỐ
2. Xét tính tăng giảm, bị chặn của dãy số
3. Xác định số hạng, công sai của CSC
2 12-17 4. Tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
5. Xác định số hạng, công bội của CSN
6. Tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN
1. Tính giới hạn của dãy số và ứng dụng
2. Tính giới hạn của hàm số và ứng dụng 3 18-24 Giới hạn. Hàm số liên tục 3. Xét tính liên tục tại một điểm, trên một khoảng, đoạn.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui.
25-33 4 HÌNH HỌC 4. Chứng minh hai đường thẳng song song. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song 5. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
6. Chứng minh hai mặt phẳng song song
PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác 2. Hàm số lượng giác
- Tập xác định của hàm số. - Tính chất tuần hoàn, sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số. - GTNN, GTLNcủa hàm số.
- Dãy số tăng, dãy số giảm. Dãy số bị chặn. - Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
- Định nghĩa. Tính chất. - Số hạng tổng quát. - Tổng n số hạng đầu tiên của CSC, CSN.
o
3. Phương trình lượng giác - Phương trình lượng giác cơ bản . Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 1. Dãy số: 2. Cấp số cộng, cấp số nhân: Chương 3: Giới hạn 1. Giới hạn của dãy số. 2. Giới hạn của hàm số. 3. Hàm số liên tục.
.
.
.
.
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TRẮC NGHIỆM Bài 1. Góc lượng giác – GTLG của góc lượng giác 108 đổi ra radian là Câu 1: Góc có số đo
3 5
10
3 2
4
Ox Oy ,
2001
A. B. C. D.
,Ox Oy là
3 2
Ox Oy ,
Ox Oy ,
2
k
k
Câu 2: Biết một số đo của góc . Giá trị tổng quát của góc
Ox Oy ,
Ox Oy ,
k
k
2
. . A. B.
2
. . C. D.
3 2 2 2 5
Câu 3: Góc có số đo đổi sang độ là
o72 .
o 135 . o
o 240 . Ox Oy ,
o 22 30 '
A. C.
,
Ox Oy
o 270 . D. o ? 1822 30 '
B. k 360 Câu 4: Cho
k .
k 5.
k 5.
k
11
2
A. . Với k bằng bao nhiêu thì k 3. C. B. D.
2
4.
Câu 5: Giá trị k để góc thỏa mãn 10 là
k 7.
k 5.
;OA OM , trong đó M là điểm không làm trên các trục tọa độ Ox
k Câu 6: Xét góc lượng giác
k 6.
A. B. C. D.
IV .
II
II và
III .
1
. và Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin và cos cùng dấu D. A. I và III . C. I và B. I và
Câu 7: Cho là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?
0 .
0 .
a
k
k
2
a
A. sin B. cos C. tan D. cot
0 . 19; 27
Câu 8: Cho thì giá trị của k là
. Để B.
k . 4
k , 4
k . 5
k , 5
k . 6
,OA OB có số đo bằng
A. D.
0 . 3 k , k . 3 2 Câu 9: Cho góc lượng giác
k , 3
. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của C. 5
.
.
.
.
một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác
6 5
11 5
9 5
,OA OB ? 31 5
A. B. C. D.
Câu 10: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
o30 .
o40 .
o50 .
o60 .
A. B. C. D.
).
,
,
sđ
sđ
đ
k
k
s
2 ,
Câu 11: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy 3,1416 A. 22054 cm . C. 22054 mm . D. 22044 cm . B. 22063 cm .
sđ
k
k
s
2 ,
.
Ox
O
k
,
k 2 ,
.
Ou Ov Ox . Xét các hệ thức sau: Câu 12: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ox O , v Ou Ov , đ Ox O , sđ u Ou Ov , u sđ sđ Ou Ov ,
Ou Ox , Ox Ov , x sđ
I . II . III . Ov O , Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc: A. Chỉ I .
.
III .
II .
III .
sđ
Ox Oz ,
C. Chỉ B. Chỉ D. Chỉ I và
63 2
Câu 13: Nếu góc lượng giác có thì hai tia Ox và Oz
A. Trùng nhau. B. Vuông góc.
3 4
,
k
C. Tạo với nhau một góc bằng . D. Đối nhau.
k 3 3
Câu 14: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ AM
A. 6. B. 4. C. 3. D. 12.
4
Câu 15: Xét góc lượng giác , trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M thuộc
B. II . C. III . D. IV . góc phần tư nào? A. I .
89 6
3
Câu 16: Giá trị cot là
3 3
3 3
a
A. 3 . B. . C. . D. – .
. Kết quả đúng là
a . 0 a . 0
Câu 17: Cho
0a , cos 0a , cos
a . 0 a . 0
2 a
B. sin D. sin
2 a , cos A. sin 0 a , cos C. sin 0 5 2
2
Câu 18: Cho . Kết quả đúng là
a , cot 0 a , cot 0
a . 0 a . 0
0a , cot 0a , cot
a . 0 a . 0
A. tan C. tan B. tan D. tan
x
cos
x
cos
x
x
Câu 19: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau
x
x
cot
x
cot
x
A. sin . B. sin .
2 2
sin
cos
sin
C. tan . D. tan .
2
2 2 2 a sin – cos
A
a 2 cos
a
2sin
A
A
a
2
C.
2 . D.
0A .
Câu 20: Đơn giản biểu thức A cos , ta có:
Câu 21: Trong các giá trị sau, sin có thể nhận giá trị nào?
2
A. B. . .
4 3
5 2
A. 0, 7 . C. . B. . D. .
2
2
2
sin
cos
k
1 tan
k ,
Câu 22: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
. 1
1 2 cos
.
2
k
k
1 cot
,
k
cot
1
A. B.
,
.
2 k 2
.
tan
C. D. tan
. Tính cot
1 2 sin 1 2
cot
cot
2
Câu 23: Cho biết
2 .
.
.
1 4
1 2
sin
A. cot B. C. D. cot .
. Giá trị của cos là:
3 và 5
2
Câu 24: Cho
4 5
4 . 5
4 . 5
16 25
A
A. . B. C. D. .
2 . Giá trị của
3sin sin
cos cos
Câu 25: Cho tan là:
5 3
7 3
A. 5 . B. . C. 7 . D. .
sin
cos
Câu 26: Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?
1 và cos
1 .
1 và 2
3 2
3
sin
cos
A. sin B. .
.
0 .
1 và 2
1 2
C. D. sin và cos
cos
sin
Câu 27: Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai
sin
B 2 C sin
cos
B 2 cos
C
A C 2 A B
A C 2 A B
A. sin . B. cos .
sin
A cos
C. . D. .
A
cos
a
s
A
sin
a
–
c s o
a
A
2 2sin
a
Câu 28: Đơn giản biểu thức , ta có
0A .
cos
–
A. . B. C. . D. .
. Giá trị của sin và tan lần lượt là
in a 12 1 3
2
3
Câu 29: Cho và
5 13
2 3
2 3
5 12
5 13
5 12
5 13
5 12
tan
2
A. ; . B. ; . C. ; . D. ; .
3 2
sin
cos
sin
cos
Câu 30: Cho . Khi đó
5 41
cos
sin
sin
cos
, . A. B. , .
4 với 5 4 41 4 41
5 41
4 41 4 41
5 41 5 41
. C. D. , .
2
2
2
2
a
a .
a a
cos 2 cos 2
cos a 2 2 cos
a cos 2 a cos 2
sin cos 2 a . 1 – 2sin
Bài 2. Các phép biến đổi lượng giác Câu 1: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
a .
b sin .sin . a
b
cos
a cos .cos
b
b sin .sin . a
A. C.
b
sin
b cos .sin . a
sin
a sin .cos
b
b cos.sin .
a b
B. – sin D. a –1. Câu 2: Trong các công thức sau, công thức nào đúng? B. a cos .cos A.
cos a b –
a b –
a b
tan
.
tan
a b –
tan
a
b tan .
a b
C.
tan
.
tan
tan
a
b tan .
a b
a b
A. B.
C. D.
a cos cos
b
cos
a b –
cos
a sin sin
b
a b –
– cos
cos
a b
a b
D. sin .cos a Câu 3: Trong các công thức sau, công thức nào đúng? tan b tan a 1 tan tan b a tan b tan a 1 tan tan b a Câu 4: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
.
.
a sin cos
b
sin
a b –
sin
a sin cos
b
cos
sin
a b
a b
a b
A. B.
.
.
1 2 1 2
1 2 1 2
C. D.
os a c
cos
b
2
cos
.cos
os – cos c
a
b
2
sin
.
.sin
.
Câu 5: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
s
in a
sin
b
2
sin
.cos
s
in – sin
a
b
2
cos
.
.sin
.
A. B.
a b 2 a b 2
a b 2 a b 2
sin
a
a
a
–17
C. D.
– 17 .cos
13 – sin
13 .cos
a b 2 a b 2 a
a b 2 a b 2 , ta được:
.
.
Câu 6: Rút gọn biểu thức:
1 2
1 2
A. sin 2 .a B. cos 2 .a C. D.
, ta được:
Câu 7: Rút gọn biểu thức: cos 54 .cos 4 – cos 36 .cos86
A. cos 50 . B. cos 58 . D. sin 58 .
a và tan
b . Tính a b .
1 7
.
.
.
.
Câu 8: Cho hai góc nhọn a và b với tan
2 3
3
4
C. D. A. B. C. sin 50 . 3 4 6
C 3
sin
cos
C
.
cos
A B C
–
C – cos 2 .
Câu 9: Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.
C 2
C 2
tan
cot
.
cot
tan
.
A. B.
A B 2 A B 2
C 3 2
A B 2
C 2
4
C. D.
sin
.
cos
A B
C 2
– cos
C
.
Câu 10: Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.
cos
– cos
C
.
sin
C 2 B – sin .
A B
A B 2 A C
B. A. cos
sin
cos
D. C.
a ; 0
0b . Giá trị
sin a b
3 b ; sin 4
7
.
7
.
7
.
7
.
Câu 11: Cho bằng:
3 a ; cos 5 9 4
1 5
1 5
9 4
1 5
9 4
1 5
9 4
A. B. C. D.
y
1 sin
x
y
sin
x
cos
x
y
sin
x
y
cos
Bài 3. Hàm số lượng giác và đồ thị Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?
x 3
y y y y
y y y y
y y y y
cot cot tan tan
x x x x
A. B. C. D.
cos sin
x x
y y
cot tan
x x
, , , , Câu 2: Chọn phát biểu đúng: A. Các hàm số x sin B. Các hàm số x sin C. Các hàm số x sin D. Các hàm số x sin , , , , đều là hàm số chẵn. đều là hàm số lẻ. đều là hàm số chẵn đều là hàm số lẻ.
x cos x cos x cot x cot Câu 3: Khẳng định nào dưới đây là sai? là hàm số lẻ. y là hàm số lẻ. y
y
sin
x
cos
x
Câu 4: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? x x
2 cos
2sin
y
y
y
2sin
B. Hàm số D. Hàm số là hàm số lẻ. là hàm số lẻ. A. Hàm số C. Hàm số
. x
y
y
C. D. . A. B. .
f x
2 cos
3
x
y
cos
x
Câu 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số thì là . sin 2 x
y
tan
cot
y
y với chu kỳ T . A. 1
A. Hàm số chẵn. C. Không chẵn không lẻ. x sin 2 B. Hàm số lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. x x Câu 6: Cho các hàm số: , , . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn ,
y
x
y
sin
cot
x
D. 4 ; C. 3 ; y x , có bao nhiêu hàm số thỏa mãn
f x
Câu 7: Trong các hàm số y tính chất k
cos 2
x
y
sin
cot 4
y
tan 2
x
x
A. 3 . B. 2 ; x tan sin 2 , x , k . f x B. 2 . y D. 4 . y , (2) C. 1. ; (3) x Câu 8: Trong bốn hàm số: (1) ; (4) có mấy hàm
y
sin
k
k
k
k
2 ;
2 ;
2
2
số tuần hoàn với chu kỳ ? B. 0 . A. 1. C. 2 . D. 3 .
x 2 k 2 ; 2
A. B. , k . , k .
k
C.
2 2 ; k
D.
, k .
, k .
k Câu 10: Khẳng định nào sau đây sai?
y
cos
x
y
tan
x
; 0
đồng biến trên mỗi khoảng nào dưới đây. 3 2 2 Câu 9: Hàm số 2
2
2
5
A. nghịch biến trong 0; B. đồng biến trong . .
y
sin
x
y
cot
x
; 0
2
2
y
x
C. đồng biến trong D. nghịch biến trong 0; . .
sin
x
y
A. Hàm số
0; . ; 2 .
cos
y
x
B. Hàm số
sin
x
y
nghịch biến trên khoảng C. Hàm số .
đồng biến trên khoảng D. Hàm số . Câu 11: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? đồng biến trên khoảng cot nghịch biến trên khoảng ; 2 2 5 3 ; 2 2
tan cos
y y
y
sin
x
Câu 12: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x x tuần hoàn với chu kì 2. tuần hoàn với chu kì . A. Hàm số B. Hàm số
2
x
cot
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; .
x
D. Hàm số
x x
y y
y y sin 2 sin 2
x x
1 cos 2 x
Câu 13: Với nghịch biến trên . , mệnh đề nào sau đây là đúng?
y 0; 4 A. Cả hai hàm số B. Cả hai hàm số C. Hàm số D. Hàm số
đều nghịch biến. x 1 cos 2 đều đồng biến. x 1 cos 2 y và y sin 2 và sin 2 y nghịch biến, hàm số đồng biến, hàm số y đồng biến. x nghịch biến.
y
cos
x
y
sin
x
x
y
cot
x
tan
Câu 14: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng 0; ?
1 cos 2 2 C. y
A. . B. . D. .
; 3 6
y
cos
x
y
cot 2
x
y
sin
x
y
cos2
x
Câu 15: Hàm số nào đồng biến trên khoảng :
y
f x ( )
cos 2
x
A. . B. C. . D. . . .
3 ; 2 2
Câu 16: Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn là:
A. B.
C. D.
6
Câu 17: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
2
cos
x
y
2 sin
2 cos
cos
y
x
y
x
y
. 1
x Câu 18: Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
y
cos
x
y
x
1 sin 2
y
sin
x
A. .D. C. B. . . 1
. A. C. . . D.
2; 2
y
cot
x
sin 5
x
cos
. A. B. y Câu 19: Tập xác định của hàm số y B. 0; 2 . D.
\
k
\
D R
k Z
, k
D R
2 ,
k Z
C. . x
\
,
\
A. B.
Câu 21: Chọn khẳng định sai?
y
cot
x
k
\
, k
C. D. . x cos là 2sin x 1;1 . Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số 2 k Z D R k 2 k Z 2 , D R k
2
.
y y
x sin x cos
A. Tập xác định của hàm số là
y
tan
x
\
k
, k
B. Tập xác định của hàm số C. Tập xác định của hàm số
.
y
cot
x
D. Tập xác định của hàm số là . là . là 2
\
k
k 2 ,
\
k
, k
Câu 22: Tập xác định của hàm số là:
\
k ,k
\
k
k
2 ,
A. . B. .
2 2
y
tan
x
C. . D. .
D
\
D
k
\
k ,
là:
k , k
.
2
D
\
k 2 ,
D
\
k
k
2 ,
A. B. Câu 23: Tập xác định của hàm số .
k
.
2
.
\
D
k
C. D.
là tập xác định của hàm số nào sau đây?
k 2
7
Câu 24: Tập
y
cot 2
x
y
tan 2
x
y
cot
x
y
tan
x
y
A. B. . C. . D.
x
k
x
x
2
k
k
k 2
Câu 25: Hàm số xác định khi . 2sin 1 x 1 cos x
2
2
x
y
A. B. x C. D.
1 3cos sin x
x
x
x
k
k 2
k
Câu 26: Tìm điều kiện xác định của hàm số
2
y
A. . B. C. . D. x . .
Câu 27: Tập xác định của hàm số là
2;
\ 2
y
C. . A. B. D. .
x 1
k 2 s inx 1 s inx 2 2; 1 cos x sin
\
\
\
k
Câu 28: Tập xác định của hàm số là:
2k
\ k
k
2
2
y
2sin
x
2 Câu 29: Giá trị lớn nhất của hàm số
là 1
A. B. C. . D.
1 . 2
A. 1 . B. 1. C. D. 3 .
là:
y B.
1;1
2 sin
x
sin 2 x 0;1 . D. 0; 2 . Câu 31: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
. . Câu 30: Tập giá trị của hàm số 2; 2 C. A.
1
. Khẳng
m .
1M ;
2M ;
1m .
3M ;
1m .
0m . x 5
lần lượt là:
định nào sau đây đúng? A. B. D. C. y Câu 32: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3M ; 3sin 2 C. 2 ; 5 .
y
3 2sin 2
x
A. 3 ; 5 . B. 2 ; 8 .
; 6 2
3.
m 3
m
m
Câu 33: Gọi m là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Giá trị m thỏa mãn D. 8 ; 2 .
5.
y
sin
x
hệ thức nào dưới đây? A. 3 6. B. C. 4 D.
2 m
; 0
1;
Câu 34: Khi x thay đổi trong khoảng thì lấy mọi giá trị thuộc 16. 7 5 ; 4 4
1;1
2 2
2 2
2 2
;1
A. . B. . D. . C.
sin
x
Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản
3 2
k
2
x
k
x
2
k
Câu 1: Phương trình có nghiệm là:
3
3
k
2
k 6 5 k 6
3 2 3
x x
x x
150
S
k
x k
A. . B. . C. . D. .
k 2 |
sin 30 k 2 |
là .
S
k
30
k 2 |
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình sin A.
30
.
8
B.
S
k
30
150
360 | k
360 |
S
C.
30
.
x là: 1
. 360 | k k Câu 3: Nghiệm của phương trình cos
x
x
k
k 2
D.
2
x
B. A.
0
2
2 k Câu 4: Phương trình lượng giác: 2 cos
x
k
x
k
x
k
k
x
2
2
2
2
C. , k . , k . , k . , k .
k
k
k
k
2
2
2
2
. C. B. . D. . A. .
x
7 4 7 x 4
3
x 3 4 3 x 4 có tập nghiệm là
k
k
k
k
2 ,
, k
, k
D. x k có nghiệm là 4 3 4
. B. .
. D.
4 x 4 Câu 5: Phương trình tan 3
x
3
6
.
x
tan
x
A. C.
x
,
x
k
.
x
k
,
x
,
k
k k
k 2 ,
Câu 6: Nghiệm của phương trình tan 3 là
.
D.
.
k 2
k 6
2
tan
. Câu 7: Giải phương trình:
k
k
k
A. B. C.
3
3x có nghiệm là: 3
3
0x
A. x . C. x . D. vô nghiệm. B. x .
là:
x
x
x
k
x
k
k
k
2
Câu 8: Nghiệm của phương trình 3 3tan
3
2
2 x . 3 0
x
k
x
k
k
. B. A. . C. . D. .
.
.
k
x
x
k
k
A. B.
.
.
6 Câu 9: Giải phương trình 3 tan 2 6 3
k 3 2 k 2 6
C. D.
0
0
a
cos
, 270
360
a)
cos
b)
,
a
0
2
0
0
sin
sin
a
a
, 180
270
d)
c)
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 2 5 1 3
4 5 5 , 13 2
cot
a
2,
e)
f) tan
3,
a
2
3 2
0
0
90
sin
E
Bài 2. Cho
. Tính giá trị của biểu thức
.
180
3 và 5
cot tan
2 tan 3cot
2
8 tan
Bài 3. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: 1
0
0
khi
sin
a
, 90
180
a)
B
a
a a
1 3
3cot a a tan cot
2
2
b)
C
khi
cot
a
3
sin 2sin
a 2 a
2 cos 2sin .cos a a a 2 a a a 3sin .cos 4 cos
9
B. TỰ LUẬN
2
2
2
A
t .co
x
x
x
.
Bài 4. Đơn giản biểu thức
2
2
2
2
2
1 – sin D
x .cot
x
1 – cot 3cos
– cot
x
x
2sin
x
Bài 5. Chứng minh biểu thức
không phụ thuộc x .
cos 2
Bài 6. Đơn giản biểu thức
A
.
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức
sin 307 .sin113
2 cos x 1 sin c os x x M cos –53 .sin –337
sin
a
cos
a
Bài 8. Cho
. Tính giá trị các biểu thức sau:
5 4
3
3
C
sin
a
cos
a
a)
c)
b)
a
a
B
sin
cos
3
4
4
tan
a
cot
a
a)
b)
c)
tan
cot
B
sin .cos a A a Bài 9. Cho tan 2 a A tan
2
2
2
Bài 10. CMR biểu thức
không phụ thuộc x
cos
cos
cos
A
x
x
x
a a cot . Tính giá trị các biểu thức sau: 2 a a cot 3 3
C
a
Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau:
2
b
a tan .tan
a)
b)
2
tan cot
b b
sin
a
a a
1 cot 1 cot
2
cos sin
a sin .cos
d)
c)
1
a
sin
a
cos
a
sin
a cos 2 a cos
a
sin a a 1 cot
a cos a sin a cos a a 2 a 1 tan
sin a tan a a cot 2 sin cos a a a 1 tan Bài 12. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
tan
khi
sin
3
3 , 5 2
b)
cos
khi
sin
2
12 3 , 2 13
3 Bài 13. Rút gọn biểu thức:
B
b)
a)
.
A
cos 120 –
x
x
– cos
x
cos 120
sin cos
x x
x sin 2 x cos 2
x sin 3 x cos 3
o
o
o
o
2 sin 20 2 cos 10
a) A = b) B =
2 sin 140 o 2 cos 130
Bài 14. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 2 sin 100 o cos110 Bài 15. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
cos 2 , sin 2 , tan 2
khi
cos
,
a)
3 2
2
khi
b) cos 2 , sin 2 , tan 2
5 13
o
o
tan Bài 16. Tính giá trị của biểu thức sau: o
a)
o cos 20 .cos 40 .cos 60 .cos80 o
o
o
b)
sin10 .sin 50 .sin 70
A B
2
1)
tg .
A
2 cos x
1 cos 1 cos sin 3 .
x cos x 3
B
2)
Bài 17. Rút gọn biểu thức x x 2 x sin 5 . x cos x 5 x cos
C
g x cot 2
3)
2 sin 4
2
4)
D
x 2 sin 2 2 x sin 2
4sin
4sin 2 x
4
x
x
10
cotg
tg
5)
E
cotg
tg
a 2 a 2
2
H
6)
2
.sin
tg 2
a
a
4
4
a 2 a 2 2 cos a
1 Bài 18. Chứng minh đẳng thức
4.
4 cos x
2
cos x 2
cos x 4
1)
1 2
3
3 cos x
.sin
x
sin
x cosx .
2)
3 2 x sin 4 4
4
sin
x
4 cos x
cos x . 4
3)
3 4
x
4)
cot
g
1 sin x cos
x 2
1 4 4
Bài 19. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
y
2 cos 3
x
y
sinx
a)
b)
x
2
c)
y
x .cot
x
cos
x
d)
y
x
tan |
x
|
x 1 sin 5 .
y
Bài 20. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau: 2 cos
b)
a)
y
x
. 1
y
cos
x
sinx
a)
trên
b)
trên
y
Bài 21. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau ; 3 4
3 ; 2 3
c)
trên
trên
d)
y
cot
;
y
tan
3 2 4
; 2 4
x 6
x 3
Bài 22. Tìm tập xác định của các hàm số sau?
x
y
cos
x
sin
x
y
a)
b)
c)
d)
y
cot
x
y
tan
2
1 tan x sin x 4
Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
2
a)
b)
y
2sin 3
x
3
y
5 2 cos
2
x
2
3
y
2 cos 3
x
c)
d)
y
x
1
2 3cos 3
2 x sin (3 ) 2
2018
y
4 2 cos 2
x
e)
.
f)
y
x
.
3 sin
Bài 24. Giải các phương trình sau:
30
sin 45
a)
sin
b)
x
sin 3
3 4
2
x 3
c)
x
sin
x
d) sin 4
x
0
3 4
6
3
sin 3
11
f)
e) cos
1
sin
2
x
x
x
3
3
7 4
25
g)
h)
x
cos
2
x
cos 2
2 2
1 4
cos 5 6
Bài 25. Giải các phương trình sau:
10
3
a)
b)
x
x
tan
x
tan 2
1
tan 3
3
c) 3 tan 3
x
d) cot 2
x
1
1
6
e)
f) cot
x
cot
x
2
2 cot 3
x 3
3 3
6
u
CHƯƠNG 2: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN A. TRẮC NGHIỆM Bài 1. Dãy số
,
nu
n
,
1,
u
,
,
u
1,
u
,
,
u
,
biết . Viết năm số hạng đầu của dãy số. Câu 1: Cho dãy số
u 5
2
u 3
4
2
u 3
4
u 5
,
1,
u
,
,
u
1,
u
,
,
u
,
. . A. 1 u B. 1 u
u 5
2
u 3
4
2
u 3
4
u 5
1 n 2 n 2 3 2 3 2
11 7 11 7
3 4 5 4
7 5 8 5
5 4 5 4
7 5 7 5
3 2 7 2
11 7 11 3
. C. 1 u D. 1 u
,
nu
u n
n
1
.
.
.
;
;
;
;
;
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là biết Câu 2: Cho dãy số
1 1 1 2 4 8
1 1 1 ; 2 4 16
1 2 3 . ; 2 3 4
u
B. C. A. D.
,
nu
n
8 15
là số hạng thứ mấy của dãy số? . Số biết Câu 3: Cho dãy số
u
.
C. 5. D. 7.
,
nu
n
7 12
5 4
là số hạng thứ mấy của dãy số? biết Số A. 8. Câu 4: Cho dãy số
u
C. 9. D. 10.
nu với
5u .
n
.
. Tính A. 6. Câu 5: Cho dãy số
5 . 6
7
u
A. 5. C. B. D. 1.
nu với
n
. Câu 6: Cho dãy số
6
n 3 1 1 3 ; 2 4 26 1 n 2 n 1 B. 6. n 2 5 n B. 8. n 1 n 6 5 2 3 n n 1 n Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2. Câu 7: Cho dãy số (
)nu biết
nu
C. 1. D. Không có.
. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai
u
B. 4. n 3 A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm
)nu biết
n
n n
5 2
Câu 8: Cho dãy số ( . Mệnh đề nào sau đây đúng?
12
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
u
1
n
1
n n
5 2
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng
nu
nu sau, dãy số nào tăng?
n
2
( 2)
n
.
u
.
u
.
cho bởi số hạng tổng quát Câu 9: Trong các dãy số
1.
nu
u n
n
n
n 2
n n 2
1
2 1 n n 3 2
2 n 2
5
n
A. C. D. B.
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
)nu biết
nu
Câu 10: Cho dãy số (
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai
)nu biết
nu
2
1 n 3
Câu 11: Cho dãy số ( . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều đúng
)nu biết
nu
2
3
1 n
Câu 12: Cho dãy số ( . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
u
A. Dãy số bị chặn. C. Dãy số bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên. D. Không bị chặn
)nu biết
n
n 5 4 1 n
Câu 13: Cho dãy số ( . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3
u
A. Dãy số bị chặn. C. Dãy số bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên. D. Không bị chặn
)nu biết
n
n
n 2 1
Câu 14: Cho dãy số ( . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
3
2
n
n
,
n
,
A. Dãy số bị chặn. C. Dãy số bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên. D. Không bị chặn Câu 15: Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn ?
na , với
nb , với
na
nb
. n *
. * n
n
( 2)
d
,
n
A. Dãy B. Dãy
nc
nd , với
nc
n
. n 3, *
. *
2
n
1 2 n 3 n 3
, với C. Dãy D. Dãy
1
3
u
:
u
:
Bài 2. Cấp số cộng Câu 1: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
n
n
n
u
1
u 1 u 2
n
1
u 1
n
n
n
n
1
1
. . A. B.
:
:
nu
nu
u 2, 1; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; .
u 1, 1 ; 1; 1 ; 1; 1 ; .
22 n
C. D.
nu với
nv
nu
nv
7
n
5 5
Câu 2: Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng? . n 4 1 với . b) Dãy số a) Dãy số
w . d) Dãy số
nw với
nt
n
nt
với . b) Dãy số
1 2 ; 2
a
n 3 B. 2 . 2 a a
1; 2
A. 4 . C. 1. D. 3 .
a
Câu 3: Xác định a để 3 số theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?
3
a
A. Không có giá trị nào của a . B. .
a .
3 4 3 2
13
C. D. .
nu . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp
2
1 3n
3
n
n
. 5
Câu 4: Các dãy số có số hạng tổng quát
2
nu
nu
2x
y
D. . . số cộng? A. n nu 2
B. 49 , 43, 37 , 31, 25 .C. Câu 5: Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3
D. 80 .
u công sai
nu với 1
2u bằng
B. 70 . 7 C. 30 . d . Giá trị 2 bằng. A. 50 . Câu 6: Cho cấp số cộng
7 2
26.
u ,
A. 14 . B. 9 . D. 5 C. .
u 8
nu có 1
1 3
d
d
d
d
Tìm công sai d Câu 7: Cho một cấp số cộng
11 3
10 3
3 10
3
4
u và công sai
3 11 d . Biết tổng n số hạng đầu
253
A. . B. . C. . D. .
nu là một cấp số cộng có 1 nu là
nS
. Tìm n .
Câu 8: Cho dãy số của dãy số A. 9 . B. 11. C. 12 . D. 10 .
1u . Hãy chọn khẳng
Câu 9: Cho dãy số vô hạn nu là cấp số cộng có công sai d , số hạng đầu
u 9
, d
2n .
u n
n
1
u
u 5
*
(
n
d 1).
d 11
định sai? u 1 A. . B.
2
nu
u 1
S 12
u 12
n .
n 2
5
C. . D. ,
u và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công 1
1 4
n
3 2
n
n 2 3
Câu 10: Cho một cấp số cộng
nu
nu
12
C. . D. .
nu Câu 11: Cho cấp số cộng
nu có nu . thức của số hạng tổng quát . A. B. nu n 5 nu có 4 u
24
26
25
24
. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . , 14 18 u
S . 16
S . 16
S 16
S 16 Câu 12: Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng? B. 8 , 13 , 18 .
này. A. C. D. B. . .
C. 7 , 12 , 17 . A. 6 , 12 , 18 . D. 6 , 10 , 14 .
Câu 13: Một đồng hồ đánh giờ, khi kim giờ chỉ số n (từ 1 đến 12) thì đồng hồ đánh đúng n tiếng.
Hỏi trong một ngày (24 giờ) đồng hồ đánh được bao nhiêu tiếng? A. 156. C. 148. B. 152. D. 160.
Câu 14: Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? A. 4095000 đồng. C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng. B. 89000 đồng.
14
Câu 15: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 . C. 76 . B. 79 . D. 78 .
Câu 16: Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều
hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 . C. 4380 . B. 1740 . D. 2190 .
Bài 3. Cấp số nhân Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
15; 5; 1;
; ...
A. 128; 64; 32; 16; 8; ... B. 2; 2; 4; 4 2; ....
1 5
C. 5; 6; 7; 8; ... D.
2
2
2
5
a a ;
a
Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
B. 1; 1; 1; 1; 7 3 D. a ; ; ;
0 .
a
1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
5.
u và 2
q Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
A. 2; 4; 8; 16; C. 2
B. 2; 10; 50; 250. D. 2; 10; 50; 250.
nu sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
2
u
.
.
.
n
n
Câu 3: Cho cấp số nhân Câu 4: Trong các dãy số nu với 1 A. 2; 10; 50; 250. C. 2; 10; 50; 250. nu cho bởi số hạng tổng quát
1.
n
u n
nu
nu
2
1 n 3
1 n 3
1 3
1 3
A. B. C. D.
nu cho bởi số hạng tổng quát
nu sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
n 7 3 .
7 3 .n
7.3 .n
.
Câu 5: Trong các dãy số
nu
nu
nu
nu
7 n 3
A. B. C. D.
Câu 6: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
3x lập thành cấp số nhân.
3
x
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng. D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. 3x ; x ; 2 Câu 7: Xác định x dương để 2
3
3x . x
.
x
A. C. .
.
36.
36.
x
x
x
Câu 8: Với giá trị x nào dưới đây thì các số 4; ; 9 B. D. không có giá trị nào của x . theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
x 6.
13 2
;
b
; 2
A. C. D. B.
0b để các số
2.
b
Câu 9: Tìm theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
b 1.
b 2.
6
A. C. D.
a . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho. 2
24
48
24
1 2 B. na có B.
Câu 10: Cho cấp số nhân
b 1. a và 1 3 a 5
a 5
a 5
a 5
5
A. C. D. . .
5
5
5
. . 48 4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở Câu 11: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là
4. 10, 4 .
4.10 . 0, 05 .
4.10 . 1, 04 .
4.10 . 1, 4 .
5
5
5
5
khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ A. C. D. B.
15
Câu 12: Bài toán “Lãi kép”: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi
người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây? A. 196715000 đồng. B. 196716000 đồng. C. 183845000 đồng. D. 183846000 đồng.
Câu 13: Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng (kể từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có 180 triệu đồng? A. 34 tháng. D. 30 tháng. B. 32 tháng. C. 31 tháng.
32 n
5
n
n 3
1
. n
B. TỰ LUẬN
nu với
nu
nu
u
1). Dãy số 2). Dãy số Bài 1. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: nu với
nu với
nu với
n
u n
n n
n
2
n 2 1
. 3). Dãy số 4). Dãy số
3.cos
32 n
Bài 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau
. 1
nu
nu
u n
1 2
nx 3
n
u
a) . b) c) .
.
nu
n
1 n
2 n 2 n 2 n
...
...
d) . e)
nu
nu
1 2 1
1 2 2
1 2 3
1 2 n
1 n 2 n 1 Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 2.3
1 1.2
1 n n
...
...
a). b).
nu
nu
1 1.3
1 2.5
2
n
n
1 1.4
1 2.5
3
1
1 1 1 2
1 n n
c). d).
n 19
3 n
1
5
nu
nu
n
2
n
n
1
10
n
1
Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số
nu với nu với
nu
2
nu x
x
x
nu với nu với 10 3 , 2
3,7 4
b). Dãy số d). Dãy số cộng đó: a). Dãy số c). Dãy số
theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng.
Bài 6. Định x để 3 số Bài 7. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a.
Bài 8. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. Bài 9. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các
19
u
10
14
5
2
3
cấp số cộng sau, biết rằng:
35
u 3 u
5 26
u 5 129
9
4
s 12
u u
u u
u
51
a) b) c)
nu có các số hạng thỏa:
102
6
2
6 u 1 u
u 5 u a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN. b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069? c). Số 12288 là số hạng thứ mấy?
Bài 10. Cho CSN
16
Bài 11. Tìm số hạng đầu của CSN biết công bội bằng 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486. Bài 12. Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.
4
x
3.
y
Bài 13. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
Bài 14. Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và Tìm x, y.
CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
q
c là hằng số).
A. TRẮC NGHIỆM Bài 1. Giới hạn dãy số Câu 1: Phát biểu nào sau đây là sai?
c ( nu
1
lim
lim
. 0
B. lim .
0
1k .
nq 0 1 kn
L
lim
D. C. A. lim nu 1 n
n 3 n
1 3
Câu 2: Tính .
L 0.
L 3.
L 2.
lim
B. C. D. A.
Câu 3: bằng
L 1. 2018 n A. .
B. 0 . C. 1. D. .
2
2
2
u
u
u
u
Câu 4: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n
n
n
n
2
2
2
n n
5
n n 5
1 2 n n 3 n 5
2 3 n
2 n 2 3 n
1 2 n n 3 n 5
...
A. . B. . C. . D. .
nu
1
n
1
2
1
1 2
1 2
. Câu 5: Tìm lim nu biết
2 1 3 3 5
2 3
4 3
3 4
lim
...
. B. C. D. . A. .
1 1.2
1 1 2.3 3.4
1 n n
1
Câu 6: Tính giới hạn .
3 2
lim
A. 0 . B. 2 . C. 1. D. .
2 n
n 1
Câu 7: Giá trị của bằng
I
lim
A. 1. C. 1 . D. 0 .
I
Câu 8: Tính giới hạn .
I . 1
2 I . 3
2017 2018
5
3
lim
A. B. C. . D. B. 2 . n 2017 2 n 3 2018 3 I . 2
5
2
8 4
n n
2 2
n n
1 1
Câu 9: Tìm .
2
lim
A. 2 . B. 8 . C. 1. D. 4 .
3 2
n 2 1 2 n
Câu 10: Giá trị của bằng
4
3
n
B. 2 . C. 1 . D. 0 .
1
Câu 11: là:
3
L
lim
A. 3 . n lim 2 3 A. C. 81 D. 2
2
17
Câu 12: Tính giới hạn B. 2 n n 2 n n 3
0L .
1 L . 3
3
2
n
u
A. L . B. D. L . C.
n
2
n 2 3 3 n
Câu 13: Tính giới hạn của dãy số
2 3
24 n
n
2
lim
B. . C. 1. D. . A. .
3
1 n 2
Câu 14: bằng
3 2
2
4
n
n
I
lim
A. . B. 2. C. 1. D. .
5 2
4
n
n
1
1
Câu 15: Cho . Khi đó giá trị của I là:
I . 1
I .
3 I . 4
4
, hỏi
; 2
A. B. C. D.
f x
g x
g x
f x
bằng
lim x x 0
lim x x 0
5 I . 3 Bài 2. Giới hạn hàm số 3 lim 3 x x 0 C. 6 .
Câu 1: Cho các giới hạn:
2
x
3
D. 3 . A. 5 .
lim 2 1 x
Câu 2: Giá trị của
L
C. . D. 0 . A. 2 .
x lim x 3 x
Câu 3: Tính giới hạn
0L .
1L .
2
B. 2 . bằng x 1 B. 1. 3 3 B. C. L . D.
x 2 x 2
2020 1
lim x 1 A. 0 .
A. L . 3 x Câu 4: Tính .
A
C. D. 2019 .
2
lim x 2
x
4
Câu 5: Tìm giới hạn . B. . 1 x x
1 . 6
B. . A. C. . D. 1.
?
x
x
x
x
Câu 6: Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng
lim x 1 x
1 2 1
lim x 1 x
1 2 1
4
x
2
A. B. C. D.
. Tính
2 lim 2 x 1 x 1 f x
3 2 1 f x
. 1
lim x 1 x lim x 3 A. 5 .
Câu 7: Cho
2
2
3
x
x
2
lim 3 x B. 6 . 1 1
C. 11. D. 9 .
I
J
J .
lim x 0
lim x 1
x
x 1 x
Câu 8: Cho và . Tính I
A. 6. B. 3. C. 6 . D. 0.
Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
.
.
.
.
lim 0 x
1 lim x 0 x
1 lim x x 0
1 x
4
4
4
4
A. C. B. D.
lim x
lim x
1 lim 5 x 0 x Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng ? 3 lim x 2 x
3 lim x x 2
2
2
3 x
2
3 x
2
x
x
x
x
18
A. C. B. . . . D. .
2
x
1
2
x
3
3 x
Câu 11: Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là ?
lim x
lim x
lim 4 x
lim 4 x
x 1 2 x 4
x 1 2 x 4
x x 1
1
A. . B. . C. . D. .
lim 1 x
2 x
1
x
.
.
Câu 12: Giới hạn bằng
.
.
2 3
1 3
A. B. C. D.
x 1 lim 1 x 1 x A. .
Câu 13: bằng
B. . C. 1. D. 0
1 2 x lim x 1 1 x A. .
Câu 14: Tìm
2
C. 0 . D. .
x lim x 1 x
Câu 15: Tính giới hạn . B. 2 . 1 1
2
ax
1 khi
x
2
A. 0 . C. . D. 1.
x 2.
f x
2
1 khi
x
2
x
2
x
Câu 16: Tìm a để hàm số có giới hạn tại
khi
x
0
A. 1 . C. 2 . D. 1.
f x
mx m
khi
x
0
1 4
x . 0
B. . x B. 2 . 4 2 x x Câu 17: Cho hàm số , m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số
1m .
0m .
m .
1 2
2
3
x
x
B. A. C. D. có giới hạn tại 1 m . 2
lim 2 x
1 B. .
Câu 18: Tính giới hạn
A. . C. 2 . D. 0 .
y
Bài 3. Hàm số liên tục
f x và f a
;a b là liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để f(x) liên tục trên f b
f x
f x
f b
f a
f x
lim b x
lim a x
lim b x
lim a x
A. và B. . Câu 1: Cho hàm số f x
f
f
f
x
f
f b
x
f a
f b
x
lim b x
lim a x
lim b x
lim a x
và . D. và . C.
f a f b thì phương trình
0
0 f x không
f a x ;a b . Tìm mệnh đề đúng. f x xác định trên ;a b và f x liên tục trên
;a b .
Câu 2: Cho hàm số
f a f b thì phương trình
f a f b thì phương trình
;a b 0 f x
0
0 f x liên tục, tăng trên
0 f x có ít nhất một nghiệm trong khoảng ;a b và
;a b .
f x có nghiệm trong khoảng 0
;a b thì hàm số
f x phải liên
A. Nếu hàm số có nghiệm trong khoảng B. Nếu
19
C. Nếu hàm số không có nghiệm trong khoảng D. Nếu phương trình ;a b . tục trên
y
f x ( )
( ) 0
0
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên đoạn
f a f b thì phương trình ( ).
( ) 0
0
A. Nếu
f a f b thì phương trình ( ).
( ) 0
0
B. Nếu
f a f b thì phương trình ( ).
;a b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? ;a b . f x không có nghiệm nằm trong ( ) f x có ít nhất một nghiệm nằm trong ( ) f x có ít nhất một nghiệm nằm trong ( )
( ) 0
0
;a b . ;a b . f a f b . ( ).
C. Nếu
f x có ít nhất một nghiệm nằm trong ( )
;a b thì
y
D. Nếu phương trình
f x
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
y
0
Câu 4: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ sau:
x nhưng không liên tục tại điểm
x . 0
y
0
có đạo hàm tại điểm
x nhưng không có đạo hàm tại điểm
x . 0
y
B. Hàm số liên tục tại điểm
x . 0
y
C. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại điểm
x . 0
D. Hàm số không liên tục và không có đạo hàm tại điểm Chọn mệnh đề đúng. A. Hàm số f x f x f x f x
1x ?
Câu 5: Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại
A. . . B.
y
.
;
C. . . D.
f x
;a b và
f a f b thì tồn tại 0
a b
x 0
0
Câu 6: Cho các mệnh đề: sao liên tục trên
y
0
.
f x
f a f b thì phương trình
0 f x
cho
;a b và
liên tục trên
20
1. Nếu hàm số 0 f x . 2. Nếu hàm số có nghiệm.
y
0
.
f x
f a f b thì phương trình
;a b và
0 f x có nghiệm duy nhất. A. Có đúng hai mệnh đề sai. C. Cả ba mệnh đề đều sai.
3. Nếu hàm số liên tục, đơn điệu trên
3
1
x , khi
y
B. Cả ba mệnh đề đều đúng. D. Có đúng một mệnh đề sai.
x x
1
x
1 1 1 , khi 1x . 1x .
Câu 7: Cho hàm số . Hãy chọn kết luận đúng
12
x
khi
x
3
y
A. y liên tục phải tại C. y liên tục trái tại B. y liên tục tại 1x . D. y liên tục trên .
2 7 x 3 x
1
khi
x
3
3
Câu 8: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x . 0
x khi
2
A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x . 3 0 B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x . 3 0 C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x . 3 0 D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại
f x
x 2 2 2 x 4 khi
x
2
x . 2
f
Câu 9: Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng?
x . 2
. 2
f x
4
lim x 2
A. Hàm số liên tục tại . C. 2 B. Hàm số gián đoạn tại D.
f x
1
1x 2 3 x x x . A. Hàm số liên tục tại
Câu 10: Cho hàm số . Kết luận nào sau đây đúng?
B. Hàm số liên tục tại
1x .
x . 0 1 x . 2
2
C. Hàm số liên tục tại D. Hàm số liên tục tại
1
2
x
1
f
f
f
x
x
f x
x
x x
1 1
x x
x 1 x
1x : 2 x x 2 x 1
x . 1
Câu 11: Hàm số nào sau đây liên tục tại 2 x A. . B. . C. . D. .
2
y
y
y
Câu 12: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm 0
y
x
1
x
2
x
1
x 2 x
x 1 2 1 x
x
1 1
2x ?
y
4 x
22 x
1
y
tan
x
y
sin
y
x
A. . B. . C. . D. .
D.
y
A. B. . . C. . Câu 13: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x 4 3 2 x
0x bằng?
1
x
x .
x . 1
x A. 0 2018
x . B. 0 1
x C. 0 0
Câu 14: Hàm số gián đoạn tại điểm
21
D. 0
y
x 2 x
3 1 A. Hàm số không liên tục tại các điểm 1 C. Hàm số liên tục tại các điểm
x .
1 x .B. Hàm số liên tục tại mọi x . D. Hàm số liên tục tại các điểm
1x .
2
khi x
2
Câu 15: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x 2
f x ( )
khi x
2
Câu 16: Tìm m để hàm số liên tục tại
4m .
4m .
0m .
x 4 2 x m 2m . B.
khi
x
1
A. C. D.
y
f x ( )
x
1
3 1 x 1 x 2 m 1 khi
m .
Câu 17: Cho hàm số . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm
2m .
1m .
0m .
x là: 0 1 1 2
2
x
2
x
3
khi
x
1
1
A. B. C. D.
x thì giá trị của a là
y
4
khi
x
1
x a
Câu 18: Để hàm số liên tục tại điểm
2
x
3 khi
x
1
x
2
A. 4 . B. 4. C. 1. D. 1 .
x . 0 1
f x
3
1 khi
x
1
Câu 19: Cho hàm số . Tìm m để hàm số liên tục tại
1m .
0m .
2m .
x m B.
3m .
A. C. D.
3
n
n
n
n
lim
B. TỰ LUẬN
lim
lim
lim
2
n
n
n
n
n 2 n 5
5 3
3 3
4 4
5 5
1 3 4 3
n 3 n 2 3
2
2
1n
n
lim
. a. b. . c. . d. .
lim
lim 4
n
5
n
2
n
e. . f. . g. h.
lim 2
2 n
n
1 2 n
n
3
2
lim
n n
2 n
i. Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 1 n 2 2 n n n 1 n n n 1 1 1 lim 1 2 4 16
lim
n
n
n
3
3
2
Bài 2. Tìm giới hạn a. b.
n
lim
n
n
1
lim 1 2n n
n
1
c. d.
1
Bài 3. Người ta lấy bốn trung điểm các cạnh của hình vuông trên để được hình vuông nhỏ hơn nằm bên trong hình vuông bên ngoài. Quy trình làm như vậy diễn ra tới vô hạn. Tính diện tích tất cả hình vuông có trong bài toán.
22
Bài 4. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.
2
2
3
3
6
(1
(
x
27
1
2
lim x 0
lim x 0
x lim x 5 x
x 5 25
) x x
3) x
x 2 4 x
lim 2 x Bài 6. Tìm các giới hạn sau:
2
2
x
3
x
2
2
x
6
Bài 5. Tìm các giới hạn sau: x a. b. c. d.
lim 1 x
lim 3 x
3 2 1 x
3
x
x
3
5
a. b. c.
lim 2 x
lim 1 x
lim x 2
2 lim 2 x 7 x 3 4 x
x 49 2 2
x
6 x 2 x 4 x 3 2 x 1
x x
2 2 7 3
3
3
x
1
2
x
x
4 5
3
x
5
x
6
d. e. f.
lim 1 x
lim 2 x
1 x
2 x
5 1
2
2 x
2
3
lim 0 x Bài 7. Tìm các giới hạn sau: 3
7
2
i. g. h.
x
2
x
1
lim x
lim x
lim x
x 2
2
23 x x x 4 2
x 3 1 x 2
c. a.
x
x
x
3
x
x
x
4
x
x
1
2
f. d. e.
lim x
lim x
lim x
b.
3
x 2 x
1
x
2
f x
3
x
1
x
3 x Hàm số có giới hạn tại
1x không? Vì sao?
Bài 8. Cho hàm số
.
f
f
x
x
lim x 1
; lim x 1
3
2
x
x
3
Tìm
4 3
2
lim 1 x
lim 0 x
x
lim 1
x 5
x
4 4 2 x 3
x x
4
2
x
6
x
x x
x x
1
c) a) b) Bài 9. Tìm các giới hạn sau: x 2 x
f
f
.
f x
x
x
3
lim x 1
; lim x 1
x 3
x
1
5 x 1x không? Vì sao?
3
x
1
2
1
x
Tìm Hàm số có giới hạn tại Bài 10. Cho hàm số
y
f x
x
1
2 x
1 8 So sánh
Bài 11. Cho hàm số
f
f
x
.
1f
x
lim x 1
lim x 1
23
và a). Tìm
.
f
3 .
f x
f x
x
x
lim 3
lim 3
3
b). Tìm So sánh và
x
khi x
0
khi x
1
3 2
x 3 1 x
Bài 12. Chứng minh rằng hàm số sau liên tục trên . 2
f x
f x
khi x
0
khi x
1
3
4 3
x x
1 1 1 1
2
x
3
khi x
3
a. b.
x
x 3
2
f x
4
khi x
3
Bài 13. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
3
1 khi
x
1
x
Từ (1) và (2) suy ra
f x liên tục trên . ( ) x f x
4 khi
x
1
5
3
x
1
0
luôn có nghiệm.
4
2
x
2
x
2
0
luôn có nghiệm.
2
2
2
3
Bài 14. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
2
2 m x
4
0
1
x
x m
1
1
2 x 2 m x m m
luôn có 3 nghiệm.
24
Bài 15. Chứng minh rằng phương trình 1 Bài 16. Chứng minh rằng phương trình: Bài 17. Chứng minh rằng phương trình m
PHẦN II: HÌNH HỌC
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song 1. Giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui. 2. Hai đường thẳng song song. 3. Đường thẳng song song với mặt phẳng. 4. Hai mặt phẳng song song.
,AB AD
, A B C D , N
I
A. TRẮC NGHIỆM Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
BCD
ACD
tại
, sao cho B.
M .
Câu 1: Cho bốn điểm các điểm và A. ABD D. . . lần lượt lấy không thuộc mặt phẳng nào sao đây:
ABCD
Câu 2: Cho tứ giác lồi
I CMN
A B C D S ,
,
,
,
cắt BD . S ABCD MN và điểm . Có nhiều nhất bao nhiêu mặt
6
5
8.
7.
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên . Điểm C. không thuộc mp ?
phẳng xác định bởi các điểm . A. B. . D.
C. Câu 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng:
A. Qua ba điểm không thẳng hàng có vô số mặt phẳng. B. Qua hai điểm có một và chỉ một mặt phẳng. C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có vô số điểm chung. D. Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có tối đa một điểm chung. Câu 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì tất cả những điểm chung của chúng sẽ
nằm trên: A. Một đường tròn. C. Một đường thẳng. B. Một đoạn thẳng. D. Nằm tùy ý.
P
A
B
B. Một điểm và một đường thẳng. D. Ba điểm không thẳng hàng. B d Câu 6: Cho mp thuộc mp , điểm không thuộc mp . Đường thẳng đi Câu 5: Một mặt phẳng được xác định nếu biết: A. Bốn điểm không thẳng hàng. C. Hai đường thẳng. P A
và
P
d sẽ có: và Giữa và điểm P
d
B. Đúng một điểm chung. D. Nhiều hơn một điểm chung.
a d N
d
P b K
a b M
Câu 7: Cho hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến Trong cho đường thẳng qua hai điểm A. Vô số điểm chung. C. Ít nhất hai điểm chung. và
Q P b cho đường thẳng
Q
. Giả sử , , . Phát biểu nào , trong
,M N K ,M N K
, ,
,M N K ,
, ,M N K
B. Ba điểm trùng nhau.
a sau đây là đúng: A. Ba điểm C. Ba điểm vuông.
,A B C
,
thẳng hàng. lập thành tam giác cân. D. Ba điểm lập thành tam giác
P
,M N K
,
AB AC BC
,
,
Câu 8: Trong không gian cho mặt phẳng và ba điểm không thẳng hàng không nằm
,M N K ,M N K
, ,
,M N K , ,M N K ,
P P phẳng A. Ba điểm C. Ba điểm
. Gọi lần lượt là giao điểm của các đường thẳng với mặt trong
25
. Khẳng định nào sau đây là đúng. thẳng hàng. lập tam giác cân. B. Ba điểm D. Ba điểm trùng nhau. lập tam giác vuông.
Câu 9: Hình tứ diện có: A. Bốn cạnh D. Bảy cạnh
ABCD cắt nhau. A B C D , , ,
Câu 10: Cho hình tứ diện AB và không đồng phẳng.
CD A. C. Bốn điểm
A B C D , , , cắt nhau.
AC B. Năm cạnh C. Sáu cạnh Khẳng định nào sau đây là đúng? B. Bốn điểm D. BD thẳng hàng. và
Câu 11: Các mặt của hình tứ diện là: A. Tứ giác C. Hình bình hành D. Hình vuông B. Tam giác Câu 12: Hình chóp tứ giác là hình chóp có:
A. Mặt bên là tứ giác C. Mặt đáy là tứ giác
SAB
.S ABCD Câu 13: Cho hình chóp và là đường thẳng: B. Tất cả các mặt là tứ giác D. Bốn mặt là tứ giác
AC
SBC D.
AC
BD
SA A. Giao tuyến của hai mặt phẳng B. C.
SAO
SB là giao điểm của và . Giao tuyến của hai mặt
SB
SO
BD
và
SB O .S ABCD . Gọi là đường thẳng: SBD B. . C. . D. .
Câu 14: Cho hình chóp phẳng SA . A.
Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng?
A. một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng. B. một đường thẳng cắt 2 đường thẳng cắt nhau trước thì cả 3 đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng. C. Một đường thẳng cắt 2 đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì cả 3 đường thẳng đó đồng phẳng. D. Một đường thẳng cắt 2 đường thẳng chéo nhau thì 3 đường thẳng đó đồng phẳng. Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Qua hai đường thẳng song song, luôn xác định được duy nhất một mặt phẳng. B. Nếu hai mặt phẳng có 1 điểm chung thì chúng có vô số điểm chung. C. Tồn tại 4 điểm không đồng phẳng. D. Qua 3 điểm luôn xác định duy nhât một mặt phẳng. Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng?
A. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng quy. B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng phẳng. C. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy. D. Ba đường thẳng đồng quy thì đồng phẳng.
.S ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của
SAB và
SCD là:
Câu 5: Cho hình chóp
26
A. Đường thẳng qua S và song song với CD. B. Đường thẳng qua S và song song với AD. C. Đường SO với O là tâm hình bình hành. D. Đường thẳng qua S và cắt AB .
,I J lần lượt là trung điểm của IJG là
SAB và B. Đường thẳng qua S và song song với AB
AD và BC , G là trọng tâm tâm giác SAB . Giao tuyến của A. SC . C. Đường thẳng qua G và song song với CD.D. Đường thẳng qua G và cắt BC .
. Gọi Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang, AB CD
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
,
,
a b c phân biệt. Trong các mệnh đề sau đây,
,
,
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. Câu 8: Trong không gian cho các đường thẳng
mệnh đề nào sai ? A. Nếu a và b cùng song song với c thì song song với nhau. / /a b thì có duy nhất một mặt phẳng chứa cả a và b . B. Nếu a b c đôi một cắt nhau thì chúng đồng phẳng. C. Nếu , a b c đồng phẳng, a song song với b và c cắt b thì c cắt a . D. Nếu ,
P cắt a thì cũng cắt b . P song song với a thì cũng song song với b . P song song với a thì mặt phẳng
P hoặc song song với b hoặc
P chứa b .
P chứa đường thẳng a thì cũng có thể chứa đường thẳng b .
Câu 9: Cho 2 đường thẳng song song a và b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu mặt phẳng B. Nếu mặt phẳng C. Nếu mặt phẳng mặt phẳng D. Nếu mặt phẳng
Câu 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh
/ /GE CD . B. D. GE cắt CD.
,
,
,
,
đề nào dưới đây đúng: A. GE và CD chéo nhau. C. GE cắt AD.
,
,
, , ,
, , ,
MQ RA NP đôi một song song. MP RA NQ đồng quy. NQ SP RS đồng phẳng.
M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB BC CD , DA, AC và BD. Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Ba đường thẳng B. Ba đường thẳng C. Ba đường thẳng D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
Câu 11: Với giả thiết: tứ diện ABCD. Gọi
P và
Q cắt nhau theo giao tuyến . Hai đường thẳng p và q lần
Q .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? P và lượt nằm trong A. p và q cắt nhau. C. p và q song song.
Câu 12: Cho 2 mặt phẳng
B. p và q chéo nhau. D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
NB
SN
2
.S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song với CD). Gọi , O là giao
M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho điểm của AC và BD. Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau: A. SO và AD B. MN và SO .
Câu 13: Cho hình chóp
C. MN và SC . D. SA và BC .
27
Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song Câu 1: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Nếu hai đường thẳng không song song thì cắt nhau.
BC
M
ABD
ACD
BCD
B. Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Nếu đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau. D. Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung. là trọng tâm là điểm trên cạnh , sao cho , Câu 2: Cho tứ diện
. . C. D.
AB CD BC
,
,
ABCD G MG . Đường thẳng B. ABC và ba điểm
. ; biết
PQR
lần lượt nằm trên cạnh là: và
/ /Qx BC
ACD .
ABCD / /PR AC và song song với mp : P Q R , , 2BM MC A. . ABD Câu 3: Cho tứ diện
AB
.
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . A. / /Qx AC ABCD Câu 4: Cho tứ diện
DMN
/ /Qx CD AC và
C. lần lượt là trung điểm các cạnh
DBC
d
ABC
/ /d
ABC
D. và d và . Xét vị trí tương đối của . . Gọi ABC d là giao là:
/ /Qx AB ,M N B.
không song song
d
ABC
ABC
A. . .
,M N
C. D. cắt
. có đáy là hình bình hành. Gọi
/ /MN BD
MN
BC
.S ABCD B. . Gọi tuyến của hai mặt phẳng . d Câu 5: Cho hình chóp lần lượt là trung điểm của
/ /MN
SBC
SA A.
)
. Khẳng định nào sau đây đúng? SAB B. . C. D. cắt . và AB / /MN
b b , P ),
a a
)
a
b
P
/ /
P )
b
) P ( Q ( )
a
Câu 6: Cho các mệnh đề:. a / / / /( a Q : ( / /( . ( .
a b ,
là hai đường thẳng chéo nhau thì có vô số mặt phẳng chứa và song song
2
4
3
a
1. 2. 3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. 4. Nếu b với . Số mệnh đề đúng là: A. C. D. . B. 1 b và a . . chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song . Câu 7: Cho hai đường thẳng
1
.S ABC
b với ? . A. 2 C. Vô số. B. Không có mặt phẳng nào. D. . Câu 8: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
SB
/ /MN AC
/ /MN BC
/ /MN SC
MN
/ /(
ABC
)
B. trùng với đường thẳng đó. C. chéo với đường thẳng đó. SA chúng (nếu có) sẽ: A. cắt đường thẳng đó. C. song song với đường thẳng đó. ,M N . Gọi Câu 9: Cho hình chóp lần lượt là trung điểm của 2 cạnh và . Khẳng
định nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó đi qua 3 điểm. B. Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó. C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau. Câu 11: Tìm khẳng định đúng:
28
A. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì trùng nhau. D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Bài 4. Hai mặt phẳng song song Câu 1: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
P
Q
và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song
A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau. B. Nếu hai mặt phẳng với nhau C. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau; D. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
ABCD
ABEF
AD
AFD
ABD
BEC
/ /
/ /
/ /
ABF
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại. C. Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại. D. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại. Câu 3: Cho hai hình bình hành và nằm trong 2 mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào
EC
EFC ,
. C. .
B. có đáy là một hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung
. D. A B C D , ,
A B
, A C
A C D
ABC
SAD
sau đây là đúng? . A. BEF / / .S ABCD Câu 4: Cho hình chóp ,
A C BD
. . D. . . điểm của các cạnh A. . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: SA SB SC SD , B. SBD
( )Q
( )P đều song song với mặt phẳng
C. Câu 5: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
( )P
( )Q
.
( )Q
( )P
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt và
( )Q
( )P
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
( )P
( )Q
( )Q
( )P D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
A. Nếu hai mặt phẳng phẳng B. Nếu hai mặt phẳng phẳng C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và thì và song song với nhau.
( )P
( )Q
( )P
Câu 6: Hãy chọn câu sai: A. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng thì và
( )Q B. Nếu hai mặt phẳng
song song với nhau.
( )Q
( )P
( )R
( )P
song song nhau thì mặt phẳng đã cắt đều phải cắt
( )Q C. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
29
và và các giao tuyến của chúng song song nhau.
a
a
P
Câu 7: Cho một đường thẳng song song với mặt phẳng . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
P
và song song với ?
b ( )
) ( )//(
A. 1. B. 2.
a
Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng và C. 0. , D. có vô số. . Kết quả nào sau đây
b .
đúng? A. C. . B. D. chéo a a b , không có điểm chung.
/ /a b . b cắt a Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước, có vô số đường thẳng đi qua và song song với mặt phẳng đó. B. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Cho hai mặt phẳng song song, nếu có một đường thẳng cắt mặt phẳng này thì cắt mặt phẳng kia. D. Bốn điểm không đồng phẳng xác định được một tứ diện.
BC D
BCA
A C C
BDA
Câu 11: Cho hình hộp . Mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng nào trong
Câu 10: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hình lăng trụ có hai mặt đáy bằng nhau. B. Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành. C. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. D. Hình lăng trụ có các mặt bên bằng nhau. ABCD A B C D . các mặt phẳng sau đây? . A. C. B. . . D. .
Câu 12: Tìm mệnh đề Sai trong các mệnh đề sau đây:
( )
( )
A. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thi còn có vô số điểm chung khác nữa. B. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại. Câu 13: Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau: và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong
( )
( )
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong và
( )
.
( )
( )
( )
( ) D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta sẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
A. Nếu hai mặt phẳng ( ) . đều song song với ( ) B. Nếu hai mặt phẳng ( ) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và thì và song song với nhau.
Câu 14: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
30
A. Hình lăng trụ có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau. B. Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành. C. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. D. Hình lăng trụ có các mặt bên là các đa giác bằng nhau. Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
.AD
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. .ABC A B C CB khi đó
AC D
A B
là trung điểm của .AC Câu 16: Cho lăng trụ A. . Gọi D .C D B. C. D. song song với: .
Câu17: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
Q / /d
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. B. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại. D. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. Câu 18: Cho hai mặt phẳng
d
d
P và Q
P
A
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai: d thì . A. và
Q
P
a
/ /a
P
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm và song song với đều nằm trong .
C. Nếu đường thẳng .
P cũng cắt
P
ABCD
D. Nếu đường thẳng thì
thì Q P cắt có đáy
O . Gọi lần lượt là
.S ABCD SA và
SBC
/ /
SD
ON
CB
/ /MN
SBC
. M N , là hình bình hành tâm . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? OMN Câu 19: Cho hình chóp trung điểm của OM SC / / A. . B. .
và
cắt nhau.
C. D.
P
Q
P
. Câu 20: Hãy chọn câu sai: A. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng thì
Q
song song với nhau.
P
P
R
Q
và các giao tuyến của chúng song song nhau.
Q
song song nhau thì mặt phẳng đều phải đã cắt và và B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. C. Nếu hai mặt phẳng
cắt D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại. B. TỰ LUẬN
.S ABCD , đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M là trung điểm của SA . Tìm
Bài 1: Cho hình chóp
MBC với các mặt phẳng
,
giao tuyến của mặt phẳng
ABC S là một điểm không thuộc mặt phẳng
ABCD và ABC . Gọi SCM và trung điểm của AB và AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB . ,M N lần lượt là SAN .
.S ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là giao điểm của AC và
SAM
SBC
BI
Bài 2: Cho tam giác
31
Bài 3: Cho hình chóp , BD M là trung điểm của . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
.S ABCD
ABCD
M
SBC
SA
Bài 4: Cho hình chóp , đáy . Gọi là trung
/ / MCD
ABCD
.S ABCD
điểm của . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
BC OC SA
,
, AD BC AD BC là hình thang và là hình bình hành tâm O . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
, đáy lần lượt là
M
SC
N
MN
. . Gọi ,M N P , MNP SCD và sao cho đường thẳng
.
.S ABC P
I
, . Trên cạnh AB
và lấy và cắt
SA .
MN
thuộc cạnh tại
SAB
PI
Bài 5: Cho hình chóp trung điểm của Bài 6: Cho hình chóp . Điểm AC Xác định giao điểm của: a) Đường thẳng .
.
b) Đường thằng
O
M
SBC là hình bình hành tâm
SA
BD
và mặt phẳng ABCD . Gọi là trung điểm
và mặt phẳng
Bài 7: Cho hình chóp của a) Đường thẳng và mặt phẳng có đáy .S ABCD . Xác định giao điểm của và mặt phẳng
. SAB
SAC
. b) Đường thằng
DM .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M trung điểm của AD, G
SAB SCM .
Bài 8: Cho hình chóp
MN
,AC AD
là trọng tâm tam giác SAB . a) Xác định giao điểm của CM với mặt phẳng b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng c) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng
,M N BCD
sao cho không song
Bài 9: Cho tứ diện CD . Tìm giao điểm của
BC
. song với a) Đường thẳng
O
,SA SB
b) Đường thằng
SAB và GCM và SBC . . Trên lần lượt lấy các điểm ABCD . Gọi là điểm thuộc miền trong tam giác O OMN và mặt phẳng BD OMN . và mặt phẳng lần lượt thuộc hai cạnh có hai điểm ,M N
.S ABC ABC AB
và là điểm nằm
SOC
MN
Bài 10: Cho hình chóp trong tam giác a) Đường thẳng . Xác định giao điểm của và mặt phẳng
SO
b) Đường thằng .
SOC và mặt phẳng CMN ABCD
SC
AMN
c) Đường thẳng .
.S ABCD là trung điểm của
Bài 11: Cho hình chóp N , là hình bình hành tâm .Tìm giao điểm của đường thẳng . O M và mp SD .
,M N theo thứ tự là trung điểm của
)MNQ .
/ /
/ /
và mặt phẳng có đáy OB Bài 12: Cho tứ diện ABCD. Gọi là trung điểm của ,AB BC ; Q là một điểm nằm
PQ MN CD .
;
)
AB CD AB CD (
trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng ( Chứng minh:
,M N lần lượt là trung điểm của
.S ABCD có đáy là hình thang với cạnh đáy là / /MN CD.
,SA SB . Chứng minh:
Bài 13: Cho hình chóp . Gọi
,
Chứng minh:
,
IJ CD . / / .S ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi ,G K lần lượt là trọng tâm tam giác
,M N J lầ lượt là trung điểm của SAB ABC .
SD AB CD và gọi , Chứng minh:
/ /GK MJ .
32
Bài 14: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Bài 15: Cho hình chóp ,
Bài 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Chứng
//MN BCD .
minh rằng
Bài 17: Cho tứ diện ABCD với M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD, ACD . Chứng
//MN ABC . .S ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi F , G lần lượt là trung
minh rằng:
Bài 18: Cho hình chóp
//FG SCD .
điểm các các cạnh SA và BC . Chứng minh rằng:
.S ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC ; G , G lần
Bài 19: Cho hình chóp
b) Chứng minh . lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SBC . a) Chứng minh //MN SAC . //GG SAC
Bài 20: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm
ADF và
AM
AE
BN
BD
lần lượt là O và O . a) Chứng minh rằng OO song song với các mặt phẳng
BCE . 1 3
1 3
CDEF .
b) Gọi M , N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AE , BD sao cho ,
Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng
.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác
AM
AD
SAB , I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho
Bài 21: Cho hình chóp
1 3
. Đường
AD BC 2
//MG SCD . .S ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AD thỏa mãn
thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N . Chứng minh rằng
Bài 22: Cho hình chóp
AD BC 2
Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCD. Chứng minh rằng //OG SBC .
.S ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AD thỏa
M là trung điểm của SD . Chứng minh rằng
//CM SAB . .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt
SAB và
SCD .
Bài 23: Cho hình chóp . Gọi
.S ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD và BC , G là trọng tâm của tam giác SAB . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB và Bài 26: Cho tứ diện ABCD. Gọi
IJG . 2G theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABD và tam giác
1G và
ACD . Tìm giao tuyến của mặt phẳng
ABC .
2
1
AG G với mặt phẳng .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Sx là giao tuyến của hai mặt SBD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và DC . Chứng minh MN
SAD và
Bài 24: Cho hình chóp phẳng Bài 25: Cho hình chóp
SAD và
SBC .
Bài 27: Cho hình chóp phẳng song song với giao tuyến của hai mặt phẳng
.S ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung
//
Bài 28: Cho hình chóp
OMN .
33
điểm của SA và SD . a) Chứng minh: SBC
,
//PQ SBC
OMR
và
P Q R lần lượt là trung điểm của AB , ON , SB . Chứng minh , //
MNP
ABC
//
SCD . Bài 29: Cho hình chóp a) Chứng minh:
b) Gọi
.S ABC có M , N , P lần lượt là trung điểm SA, SB , SC .
,
,H G L lần lượt là trọng tâm tam giác SAB , SAC , SBC .
HGL
//
MNP
.
,M N
b) Gọi Chứng minh: .
N
Bài 30: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường . Các đường thẳng song
ADF
BCE
lần lượt cắt AD và AF tại . Chứng minh:
,M N
ABC
,
. sao cho AM BN M và DEF MM N N // chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm song với AB vẽ từ . a) //
Bài 31: Cho hình hộp BCD
,
AAD
ABCD A B C D . . Chứng minh rằng
b) lần lượt là trọng tâm các tam giác
AA,
,AC
A C
.ABC A B C BC . Chứng minh rằng ,
,H K . A BCD lần lượt là trung điểm các cạnh ,P Q ,N . A B C
Bài 32: Cho hình lăng trụ
,G // ,M //
. Gọi GHK . Gọi MNQ
34
---HẾT---
