TRÖÔØNG THPT GIA VIEÃN
---------
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I
MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2023-2024
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Góc lượng giác Quy ước: Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó. Chú ý Cho hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360𝑜. 2. Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:
Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:
3. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn - Quan hệ giữa độ và rađian:
và
rad thì có độ dài .
- Độ dài cung tròn. Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo 4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác Hệ thức cơ bản:
,
,
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt. Góc đối nhau và
Góc bù nhau ( )
và
Góc phụ nhau ( và )
Góc hơn kém (
và )
1
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Gọi là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác
, , lần lượt bằng . Chứng minh rằng tam giác là
tam giác đều.
2. Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: .
3. Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:
; b) ; a)
; d) . c)
4. Tính các giá trị lượng giác của góc trong mỗi trường hợp sau:
b) với ; với ; a)
với . ; d) với trong không gian. Từ vị trí , vệ tinh bắt đầu chuyển động . Biết của Trái Đất, bán kính . .
sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến
c) 5. Một vệ tinh được định vị tại vị trí quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường hàng đơn vị)? B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO GÓC Câu 1. Góc có số đo đổi ra rađian là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Nếu một cung tròn có số đo là thì số đo radian của nó là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho góc có số đo , khi đổi góc này sang đơn vị rađian ta được
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Đổi số đo của góc sang đơn vị độ, phút, giây ta được
A. . B. . C. . D.
.
Câu 5. Góc có số đo thì góc đó có số đo là
. B. . C. . D. .
A. DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Câu 1. Trên đường tròn bán kính , lấy cung có số đo . Độ dài của cung tròn bằng
A. . B. . C. . D.
.
Câu 2. Trên đường tròn đường kính 8cm, tính độ dài cung tròn có số đo bằng A. 12cm. C. 6cm. B. 4cm. . D. 15cm.
2
Câu 3. Một đường tròn có bán kính . Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng là:
A. . B. . C. . D. .
trên đường tròn gần bằng Câu 4. Một đường tròn có bán kính 10, độ dài cung tròn A. 7. B. 9. C. 11. D. 13.
Câu 5. Một đường tròn có bán kính , độ dài cung tròn là
A. 5. B. . C. . D. .
thoả mãn
B. . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? . D. C. . DẠNG 3. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Cho góc . A. .
Câu 2. Cho . Chọn mệnh đề đúng.
A. B. . C. . D. .
.
Câu 3. Cho , tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
B. C. D. A.
Câu 4. Cho góc thỏa . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
B. . C. . D. . A. .
Câu 5. Cho . Khẳng định nào sau đây đúng?
. . B. D. . .
A. C. Câu 6. Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. D. C. B. . . . .
Câu 7. Cho . Kết quả đúng là:
. . B. D.
ở góc phần tư thứ mấy nếu . . cùng dấu?
A. C. Câu 8. Điểm cuối của góc lượng giác A. Thứ C. Thứ hoặc B. Thứ D. Thứ hoặc
ở góc phần tư thứ mấy nếu
Câu 9. Điểm cuối của góc lượng giác A. Thứ C. Thứ hoặc B. Thứ D. Thứ hoặc hoặc
Câu 10. Cho . Kết quả đúng là:
B. D. . . . .
A. C. DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Câu 1. Cho . Tính .
3
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Tính , biết và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho thì có giá trị bằng
A. . B. . C. . D.
Câu 4. Cho biết . Tính
A. . B. .
C. . D. .
Câu 5. Cho , khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho và . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho và . Khi đó giá trị của và lần lượt là
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho với . Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10. Cho góc thỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
DẠNG 5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 1. Tính A. C. B. D. . . . .
Câu 2. Tính
4
. B. . C. . D. .
A. Câu 3. Tính
A. . B. .
C. . D. .
Câu 4. Giá trị đúng của biểu thức bằng:
A. . B. . C. . D. .
D. .
Câu 5. Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Công thức cộng 𝑐𝑜𝑠 (𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑡𝑎𝑛 (𝑎 − 𝑏) = tan(𝑎 + 𝑏) = 𝑡𝑎𝑛 𝑎 −𝑡𝑎𝑛 𝑏 1 +𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝑎 +𝑡𝑎𝑛 𝑏 1 −𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑏
*Công thức nhân đôi:
* Công thức hạ bậc:
;
Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tổng thành tích.
𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐𝑜𝑠 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠 𝑢 − 𝑐𝑜𝑠 𝑣 = −2𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑠𝑖𝑛 𝑣 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑖𝑛 𝑢 − 𝑠𝑖𝑛 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑣 2 𝑢 + 𝑣 2 𝑢 + 𝑣 2 𝑢 + 𝑣 2 𝑢 − 𝑣 2 𝑢 − 𝑣 2 𝑢 − 𝑣 2 𝑢 − 𝑣 2
5
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN
1. Cho với . Tính .
2. Cho . Tính: .
3. Cho . Tính: .
4. Cho với . Tính: .
5. Cho . Tính: .
6. Rút gọn biểu thức: .
được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất . Một sợi cáp khác . Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với 7. Một sợi cáp cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất mặt đất tại một vị trí cách chân cột (Hình 18).
là góc giữa hai sợi cáp trên. ,ở đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
a) Tính b) Tìm góc B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG Câu 1. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? A. B.
D.
C. Câu 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
. B. A. .
. D. C. .
Câu 3. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? A. . B. .
. D. .
C. Câu 4. Phát biểu nào sau đây đúng?
. B. A. .
. D. C. .
Câu 5. Biểu thức bằng
. A. . B. C. D. .
6
.
. . . B. D.
Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. C. Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
. . B. A.
. D. C.
Câu 8. Biểu thức bằng biểu thức nào sau đây?
B. A.
D. C.
Câu 9. Cho . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho hai góc thỏa mãn , và , . Tính
giá trị đúng của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho góc lượng giác . Xét dấu và . Chọn kết quả
đúng.
B. . A. .
D. . C. .
Câu 12. Rút gọn biểu thức: , ta được:
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Cho hai góc và thỏa mãn , và . Giá ,
trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Tính giá trị biết
A. . B. . C. . D. .
7
Câu 15. Cho với . Biết giá trị của với
và . Tính .
. C. . . D. .
A. B. DẠNG 2. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI – HẠ BẬC Câu 1. Đẳng thức nào không đúng với mọi ?
B. A. . .
D. C. . .
Câu 2. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
B. A. . .
D. .
B. D.
. .
B. D. .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? .
B. D. .
B. C. Câu 3. Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. C. Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. C. . Câu 5. Cho góc lượng giác . A. C. . Câu 6. Khẳng định nào dưới đây SAI? A. . .
D. .
.
B. D. C. . Câu 7. Chọn đáo án đúng. . A. C. . .
Câu 8. Cho . Giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho , nhận giá trị nào trong các giá trị sau
A. . B. . C. . D. .
. Với thì bằng Câu 10. Biết
B. A. . .
D. . .
là số thực bất kỳ, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? .
B. D. C. Câu 11. Với A. C. . . .
Câu 12. Biết rằng , với , và là các phân số tối giản. Giá trị
của biểu thức . A. là B. . C. . D. .
8
Câu 13. Cho và . Giá trị của là
A. . B. . C. . D.
Câu 14. Cho thì bằng
A. . B. . C. . D. .
. . B. D. . . là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? .
B. D. . . .
Câu 15. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. C. Câu 16. Với A. C. DẠNG 3. ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?
. B. . A.
D. . C.
Câu 2. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
. B. . A.
D. .
C. Câu 3. Công thức nào sau đây là sai?
. B. . A.
. D. . C.
Câu 4. Rút gọn biểu thức ta được:
.
. . B. D. . A. C.
Câu 5. Rút gọn biểu thức .
A. . B. C. . D. .
Câu 6. Biến đổi biểu thức thành tích.
. B. . A.
. D. C.
.
Câu 7. Rút gọn biểu thức .
. B. . C. D. .
A. Câu 8. Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. D. .
9
Câu 9. Giá trị đúng của bằng:
A. B. C. D.
Câu 10. Giá trị đúng của bằng:
A. B. C. D.
Câu 11. Biểu thức có giá trị đúng bằng:
B. D. C.
A. III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. + Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng. + Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng. 2. Hàm số tuần hoàn Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số 𝑇 ≠ 0 sao cho với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 ta có: i) 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷 và 𝑥 − 𝑇 ∈ 𝐷 ii) 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. 3. Hàm số 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 𝐱: + Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [−1; 1]. + Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2π. + Đồng biến trên mỗi khoảng:
π
3π
(− + k2π; + k2π) , k ∈ ℤ π 2 π 2 + Nghịch biến trên mỗi khoảng:
2
2
𝜋
( + k2π; + k2π) , k ∈ ℤ.
2
+ 𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ} và tập giá trị là ℝ;
𝜋
𝜋
+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình 𝑠𝑖𝑛. 4. Hàm số 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬 𝐱: + Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [−1; 1]; + Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2𝜋. + Đồng biến trên mỗi khoảng: (−𝜋 + 𝑘2𝜋; 𝑘2𝜋) và nghịch biến trên mỗi khoảng (𝑘2𝜋; 𝜋 + 𝑘2𝜋), 𝑘 ∈ ℤ. + Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung. 5. Hàm số 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙: + Có tập xác định là ℝ\ { + Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 𝜋; + Đồng biến trên mỗi khoảng:
2
2
(− + 𝑘𝜋; + 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ ℤ;
+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. 6. Hàm số 𝒚 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙: + Có tập xác định là ℝ\ {𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ} và tập giá trị là ℝ; + Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 𝜋; + Nghịch biến trên mỗi khoảng (𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ;
10
+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN Bài 1. Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của nhận giá trị bằng 1 ; a) Hàm số nhận giá trị bằng c) Hàm số trên đoạn b) Hàm số ; d) Hàm số để: nhận giá trị bằng 0 ; nhận giá trị bằng 0 .
Bài 2 . Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của trên khoảng để:
nhận giá trị bằng nhận giá trị bằng 1 ; ; b) Hàm số d) Hàm số nhận giá trị bằng 0 ; nhận giá trị bằng 0 .
a) Hàm số c) Hàm số Bài 3. Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
; a) trên khoảng
. trên khoảng
c) . b)
b) Bài 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: a) B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH Câu 1. Tập xác định của hàm số là
. A. . B. C. . D. .
là Câu 2. Tập xác định của hàm số
A. B.
C. D.
Câu 3. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 4. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 5. Điều kiện xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 6. Tập xác định của hàm số là
A. B.
C. D.
11
Câu 7. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 8. Tập xác định của hàm số là
A. . B. C. . D. . .
Câu 9. Tập xác định của hàm số là
B. . . A.
D. . . C.
Câu 10. Tập xác định của hàm số là
B. . A. .
D. . C. .
C. D. B.
B. DẠNG 2. TÍNH CHẴN LẺ Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A.
D.
C. Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. B.
D. C.
Câu 4. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
B. . A. .
D. . C. .
là hàm số chẵn. là hàm số chẵn. là hàm số chẵn. là hàm số chẵn. B. Hàm số D. Hàm số
là hàm số lẻ. là hàm số chẵn. là hàm số chẵn. là hàm số lẻ. B. Hàm số D. Hàm số
, , , , đều là hàm số chẵn. đều là hàm số lẻ. đều là hàm số chẵn. đều là hàm số lẻ.
Câu 5. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số C. Hàm số Câu 6. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? A. Hàm số C. Hàm số Câu 7. Chọn phát biểu đúng: , A. Các hàm số , B. Các hàm số , C. Các hàm số D. Các hàm số , Câu 8. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn ?
12
A. C. . . B. D. . .
. . C. . D. .
Câu 9. Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ? A. B. Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. B. C. D.
là: . C. . . D. .
bằng
C. . . . D. .
DẠNG 3. TẬP GIÁ TRỊ - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Câu 1. Tập giá trị của hàm số A. B. Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số B. A. Câu 3. Tập giá trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
trên tập xác định là?
. . C. . D. .
là B. . . D. 2.
Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số A. B. Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số . A. Câu 120. Giá trị lớn nhất của hàm số C. là
. B. . C. . D. .
A. IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Phương trình sinx = a Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
Nếu |a| 1: Phương trình có công thức nghiệm
- Trường hợp a không phải giá trị đặc biệt để sinα = a.
Neáu Khi ñoù pt thì
- Trường hợp (α cho là độ) khi đó:
- Tổng quát:
Tröôøng hôïp ñaëc bieät
; ;
b) Phương trình cosx = a Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
Nếu |a| 1 : Phương trình có CT nghiệm là
- Trường hợp a không có giá trị đặc biệt để cosα = a.
13
Neáu thì Khi đó pt: cosx = a có nghiệm
- Trường hợp (α cho là độ) khi đó
- Tổng quát:
Tröôøng hôïp ñaëc bieät:
; ;
c) Phương trình tanx = a: Điều kiện: cosx 0 hay x +k .
- Vậy khi tanα = a thì
- Tổng quát:
thì - Trường hợp giá trị a không đặc biệt: Neáu
Khi ñoù
- Trường hợp cho dạng độ PT:
d) Phương trình cotx = a: Điều kiện: sinx 0 hay x k, k .
- Nghiệm của phương trình cot α = a là
- Tổng quát
- TH giá trị a không đặc biệt khi đó nếu thì
Khi ñoù:
- TH phương trình cho dạng độ: BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Giải phương trình:
; b) ; a)
; d) ; c)
; g) .
e) 2. Giải phương trình
; b) ; a)
; b) ; a)
; d) ; c)
; g) . e)
14
3. Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sau (m) của mực nước
trong kênh tính theo thời gian (giờ) trong một ngày cho bởi công thức
(Nguồn: Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021).
để độ sâu của mực nước là: Tìm a) 15 m; b) 9 m; c) 10,5 m.
B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH sin x = m
Câu 1. Tất cả các nghiệm của phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 2. Nghiệm của phương trình là
A. B.
C. D.
Câu 3. Nghiệm của phương trình là:
, . A. B. , .
, . C. D. , .
Câu 4. Họ nghiệm của phương trình là
A. B. .
. C. D. .
Câu 5. Phương trình có nghiệm là
. A. B. .
. C. D. .
15
Câu 6. Tập nghiệm của phương trình là
A. B. .
C. . D. .
Câu 7. Phương trình A. có tập nghiệm là . B.
C. . D.
Câu 8. Tập nghiệm của phương trình là
A. B. . .
C. D. . .
Câu 9. Họ nghiệm của phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10. Nghiệm của phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
là
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình A. . B. .
C. . D. .
Câu 12. Phương trình có nghiệm là:
A. . B. . C. . D. .
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH cosx = m
Câu 1. Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 32. Giải phương trình
16
. B. . A.
. D. . C.
Câu 3. Nghiệm của phương trình là
. B. . A.
. D. . C.
Câu 4. Nghiệm của phương trình là
. B. . A.
. D. . C.
Câu 5. Phương trình có tập nghiệm là :
. B. . A.
. D. . C.
Câu 6. Phương trình có các nghiệm là
, . B. , . A.
, . D. , . C.
Câu 7. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? A. B. . .
D. . C. .
B. . Câu 8. Phương trình nào sau đây có nghiệm? . A.
D. . C. .
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH tanx = m Câu 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình , .
hoặc , . B. , . A.
, . D. , . C.
Câu 2. Phương trình có tập nghiệm là
. B. . C. . D. . A.
trên đường tròn lượng giác là Câu 3. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình A. B. . . C. . D. .
17
Câu 4. Nghiệm của phương trình là
. . A. B.
. . C. D.
Câu 5. Nghiệm của phương trình là
. A. B. C. D.
. DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH cotx = m Câu 1. Giải phương trình . A. B.
. . C. D.
Câu 2. Nghiệm của phương trình là:
, . . , A. B.
, . . , C. D.
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình
. . A. B.
. . C. D.
Câu 4. Giải phương trình
. . A. B.
. . C. D.
Câu 5. Giải phương trình .
. . A. B.
. . C. D.
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
. A. B. .
. C. D. .
Câu 2. Phương trình có số nghiệm thuộc đoạn là:
A. B. C. D.
Câu 3. Giải phương trình
B. A.
18
D. C.
Câu 4. Phương trình có nghiệm là
A. . . B.
C. . . D.
Câu 5. Tìm số nghiệm của phương trình trên
. C. . D. .
A. Câu 6. Trong khoảng B. . , phương trình có tập nghiệm là . Hãy xác định .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 7. Phương trình có nghiệm là
A. . . B.
C. . . D.
Câu 8. Phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
. . C. . D. .
B. A. Câu 9. Nghiệm của phương trình là
A. ; . B. ; .
C. ; . D. ; .
Câu 10. Phương trình có tổng các nghiệm trong khoảng bằng
B. . C. . D. . .
A. CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
N* th× d·y sè (un) t¨ng. NÕu H < 0 N* th× d·y sè (un) gi¶m I. DÃY SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña d·y sè Ph ¬ng ph¸p chung: * C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b íc: + LËp hiÖu H = un+1 – un + Khi ®ã: NÕu H > 0 * C¸ch 2: NÕu un > 0 N*
19
+ LËp tØ sè P = , tõ ®ã so s¸nh P víi 1.
N* th× d·y sè (un) t¨ng. NÕu P < 1 N* th× d·y sè (un) gi¶m
+ Khi ®ã: NÕu P > 1 3. XÐt tÝnh bÞ chÆn cña mét d·y sè (un) Ph ¬ng ph¸p chung: Sö dông ®Þnh nghÜa
(un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*. (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*. (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*.
Chó ý: + Mäi d·y sè gi¶m lu«n bÞ chÆn trªn bëi u1 + Mäi d·y sè t¨ng lu«n bÞ chÆn d íi bëi u1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:
a) b) ; c) d) .
2. Gọi là số chấm ở hàng thứ trong Hình 1 . Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy
. Gọi là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ trong Hình
số (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số
.
3. Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số , biết:
b. c. . a.
4. Trong các dãy số được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn
. b. ; c. . a.
5. Cho dãy số thực dương . Chứng minh rằng dãy số là dãy số tăng khi và chỉ khi
với mọi .
triệu tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng triệu đồng. Biết lãi suất của ngân
(triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng.
tháng. tháng.
6. Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi đồng. Sau đó, cứ hết một tháng. Gọi hàng là a. Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau b. Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau . c. Dự đoán công thức của tính theo
20
B. TRẮC NGHIỆM D1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT Câu 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là:9; 99; 999; 9999,… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. B. . C. D.
Câu 2. Cho dãy số . Công thức tổng quát nào là của dãy số đã cho?
A. . B. . C. . D.
.
B. . C. D. .
Số hạng tổng quát của dãy số này là: . .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 3. Cho dãy số có các số hạng đầu là: . A. Câu 4. Cho dãy số có các số hạng đầu là: A. . B. .
D. : Không viết được dưới dạng công .
C. thức.
Câu 5. Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D.
.
Câu 6. Cho dãy số có các số hạng đầu là: A. . .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng B. .
C. . D. .
Câu 7. Cho dãy số xác định bởi . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy
B. . . C. . D. .
. Số hạng tổng quát của dãy số
số trên. A. Câu 8. Cho dãy số có các số hạng đầu là: này có dạng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho dãy số xác định bởi: . Xác định công thức của số hạng tổng
. B. . C. . D. quát. A.
.
Câu 10. Cho dãy số có các số hạng đầu là: Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. B. . C. . D.
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Câu 1. Cho dãy số biết Tìm số hạng
21
A. B. C. D.
Câu 2. Cho dãy số biết Mệnh đề nào sau đây sai?
A. B. C. D.
Câu 3. Cho dãy số biết Tìm số hạng
A. B. C. D.
Câu 4. Cho dãy số biết . Chọn đáp án đúng.
A. B. C. D.
Câu 5. Cho dãy số biết . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:
A. 0. B. 9. C. D.
Câu 6. Cho dãy số biết . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số
nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 7. Cho dãy số biết . Viết năm số hạng đầu của dãy số.
. B. A.
.
D. C.
.
Câu 8. Cho dãy số biết . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A. B. C. D.
Câu 9. Cho dãy số biết . Số là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
Câu 10. Cho dãy số biết Số là số hạng thứ mấy của dãy số?
B. 8. C. 9. D. 10.
A. 6. DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM Câu 1. Cho các dãy số sau. Dãy số nào không là dãy số tăng? C. B. A. . . . D.
biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 2. Cho dãy số A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm B. Dãy số giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
22
Câu 3. Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm B. Dãy số giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Câu 4. Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. Dãy số giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. Dãy số giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm Câu 5. Cho dãy số A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm Câu 6. Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. Dãy số giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn
biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm Câu 7. Cho dãy số A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm Câu 8. Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát B. Dãy số giảm D. Mọi số hạng đều âm sau, dãy số nào tăng?
A. B. C. D.
Câu 9. Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào giảm?
B. A.
D. C.
cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào không tăng, không
Câu 10. Trong các dãy số giảm?
B. A.
D. C.
II. CẤP SỐ CỘNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
Nếu dãy số (un ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
Cấp số cộng biết và công sai d ta có số hạng tổng quát:
Mỗi số hạng của cấp số cộng trừ số hạng đầu và số hạng cuối
Cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+un Khi đó:
Chuù yù: Sn có thể tính theo công thức.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao?
a) ; b) ;
23
; d) . c)
Bài 2. Trong các dãy số với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp
số cộng, hãy tìm số hạng đầu và công sai .
a) ; b) c) .
Bài 3. Cho cấp số cộng có số hạng đầu , công sai .
.
a) Viết công thức của số hạng tổng quát b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? Cho cấp số cộng . Tính có . Bài 4.
Bài 5. tuổi phát triển bình thường được cho bởi
có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ
Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ công thức: a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Bài 6. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương
án trả lương nhử sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lường được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
.
.
B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? B. A. D. C. Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?
. A. B. .
D.
C. . Câu 3. Cho cấp số cộng với . . Tìm công sai của cấp số cộng
. C. B. . . D. .
A. Câu 4. Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? . A. B. .
. C. D. .
. .
. .
Câu 5. Trong các dãy số sau, dãy nào là một cấp số cộng? A. B. D. C. Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
24
B. C. . D. .
Câu 8. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. . . Câu 9. Xác định để 3 số theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của . B. . C. . D.
.
Câu 10. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? B. A. C. . . D. .
Câu 11. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
A. . B. .
D. . .
C. Câu 12. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? A. B. . .
. D.
C. Câu 13. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:
A. . B. . C. . D. .
DẠNG 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Câu 1. Cho cấp số cộng có có và . Giá trị của bằng
C.
A. Câu 2. Cho cấp số cộng B. với và D. . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. ] Cho cấp số cộng với và công sai . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho cấp số cộng với và công sai . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
. B. C. D. .
. . và . . . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng . C. D. .
A. Câu 7. Cho cấp số cộng với A. Câu 8. Cho cấp số cộng B. với và công sai . Giá trị của bằng
. C. . D. .
A. Câu 9. Tìm công sai . B. của cấp số cộng , có .
A. . B. C. . . D. .
Câu 10. Cấp số cộng có số hạng đầu công sai thì số hạng thứ là
C. . . B. . A. D. .
Câu 11. Cho cấp số cộng có , công sai . Số hạng thứ hai của cấp số cộng đó là
C. B. A. D.
25
Câu 12. Cho cấp số cộng có . Tính
A. . B. C. . D.
Câu 13. Cho cấp số cộng có . Tính công sai . ,
B. . C. . .
có số hạng tổng quát là . Tìm công sai D. của cấp số
. C. . D. .
B. có các số hạng đầu lần lượt là . Tìm số hạng tổng quát
B. . C. . D. A. . Câu 14. Cho cấp số cộng cộng. A. . Câu 15. Cho cấp số cộng của cấp số cộng? . A.
.
DẠNG 3. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. Cho cấp số cộng có và công sai . Tổng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho dãy số là một cấp số cộng có và công sai . Biết tổng số hạng đầu
của dãy số là . Tìm .
A. . B. . C. . D. .
, có số hạng tổng quát . Tổng của số hạng đầu
B. . C. . D. . Câu 3. Cho cấp số cộng tiên của cấp số cộng bằng. A. .
là cấp số cộng có công sai , số hạng đầu . Hãy chọn khẳng định
Câu 4. Cho dãy số vô hạn sai?
A. . B. , .
C. . D. , .
Câu 5. Cho là cấp số cộng biết . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
A. . B. . C. . D.
với số hạng đầu và công sai Tính tổng của 14 số
. . C. . D. .
Câu 6. Cho cấp số cộng hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. B. A. có Câu 7. Cho cấp số cộng . Công sai bằng:
. B. . C. D.
A. Câu 8. Cho dãy là một cấp số cộng với số hạng đầu . và số hạng thứ . . Công sai là
của cấp số cộng là
. A. B. C. . D. .
Câu 9. Cho cấp số cộng và gọi là tổng số hạng đầu tiên của nó. Biết và
. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho cấp số cộng có . Công sai của cấp số cộng bằng:
. C. . D. . B. A.
26
III. CẤP SỐ NHÂN TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
Nếu dãy số (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi
Cấp số nhân biết và công bội q ta có công thức số hạng tổng quát:
. Mỗi số hạng của cấp số nhân trừ số hạng đầu và số hạng cuối : Cấp số nhân (un) với công bội
Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+un Khi đó:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?
b) . a)
Bài 2. Tìm của cấp số nhân:
a) b) c)
Bài 3. Cho cấp số nhân với số hạng đầu , công bội .
.
a) Tìm b) Số - 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên? c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?
Bài 4. Cho cấp số nhân với .
và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.
a) Tìm công bội b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.
Bài 5. Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là /năm . Gọi là số dân của
năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. năm kể từ năm 2020. tỉnh đó sau a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020. Bài 6. Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá (so với năm trước đó).
năm sử dụng. trị còn lại của ô tô giảm đi a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng. b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?
B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN Câu 1. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho cấp số nhân với và công bội . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho cấp số nhân với và công bội . Giá trị của bằng
27
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Tìm công bội của một cấp số nhân có và .
A. . B. C. . D. . .
Câu 6. Cho cấp số nhân , biết . Tính công bội của cấp số nhân đã cho ,
B. C. . D. . .
A. . Câu 7. Cho cấp số nhân có và .Công bội bằng:
. .
. B. D. .
A. C. Câu 8. Cho cấp số nhân có và . Giá trị của công bội bằng
C. . . . D. .
A. Câu 9. Cho cấp số nhân B. với và công bội . Tìm số hạng thứ của cấp số nhân?
D. . A. . B. . C. .
Câu 10. : Cấp số nhân có có công bội là
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Tìm công bội của một cấp số nhân có và .
A. . B. . C. . D. .
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN Câu 1. Cho cấp số nhân và công bội có . Số hạng là:
. B. . C. . D.
A. . Câu 2. Cho cấp số nhân có và . Tính .
. B. . D.
A. Câu 3. Cho cấp số nhân . có số hạng đầu C. và công bội . Giá trị của . bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho cấp số nhân có , công bội . Ta có bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho cấp số nhân có công bội dương và , . Giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Giá trị bằng
D. B. . . .
. . Hỏi số C. là số hạng thứ mấy? A. Câu 7. Cho cấp số nhân
B. D. .
. có số hạng đầu . C. và công bội . . Số hạng thứ sáu của
B. . C. . D. A. Câu 8. Cho cấp số nhân là A. . .
Câu 9. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân biết rằng và
28
A. . B. . C. . D.
Câu 10. Cho là cấp số nhân, công bội Biết Tìm .
A. . B. C. D.
. Tính tổng có và số hạng đầu tiên của cấp số
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. Cho cấp số nhân nhân. A. B. . .
C. . D. .
, Câu 2. Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn . Tính tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. A. . B. C. . D. . .
Câu 3. Cho dãy với . Tính , ta được kết ,
quả
A. . B. . C. . D. .
có , , có công bội âm. Tổng số hạng đầu của cấn số
B. . . D. .
là cấp số nhân, đặt C. . Biết và , giá trị
Câu 4. Cho cấp số nhân nhân đã cho bằng A. . Câu 5. Cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Giá trị của tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Biết rằng Tính
D.
A. Câu 8. Cho cấp số nhân B. có và C. Tìm
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
Câu 9. Cho cấp số nhân có và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
A. . B. . C. . D.
Câu 10. Cho cấp số nhân có công bội dương và biểu thức đạt giá trị nhỏ
B. D. nhất. Tính A. C.
29
CHƯƠNG III: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM, CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Số trung bình cộng Cho mẫu số liệu ghép nhóm Nhóm … …
Tần số … …
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là
Trong đó, là cỡ mẫu và
(với là giá trị đại diện của nhóm
2.trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau: Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: .
Bước 2. Trung vị là , trong đó n là cỡ mẫu, là tần số
nhóm p. Với , ta quy ước .
3. Tứ phân vị Để tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa , giả
sử đó là nhóm thứ . Khi đó , trong đó là cỡ
mẫu, là tần số nhóm , với , ta quy ước .
Để tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa , giả
sử đó là nhóm thứ . Khi đó , trong đó n là cỡ
. mẫu, là tần số nhóm , với , ta quy ước
Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị .
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thự hiện theo các bước sau: Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: .
Bước 2. Mốt được xác định là , trong đó là tần số nhóm j
(quy ước ) và h là độ dài của nhóm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Mẫu số liệu đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h) 48, 5 43 51 55 44,5 55,5 49 44 46,5 65 53,5 50 41 45 57 60 57 53 68 62,5
30
49,5 52,5 50 47,5 61 61,5 60 48 59 60 54 57 62 47 56 55 47 45 61 49,5 a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?
2. Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam): 40,5 42 39,5 41 39 41 41 40 39,5 40 42 39,5 39 40,5 40 51 40,5 40,5 39 39,5 38,5 30 41 41,5 17 41,5 40 37 40 38,5 a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng :
b) Xác định số trung bình cọng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?
Tần số
a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao
Nhóm [30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) 4 10 14 6 4 2 Tần số tích lũy 4 14 28 34 38 40
người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho 3. Bảng 15 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét) phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. nhiêu? B. TRẮC NGHIỆM 1. Người ta tiến hành phỏng vấn điểm mẫu áo đó theo thang điểm . Kết quả được trình bày trong Bảng 16. Nhóm Tần số Tần số tích lũy
Bảng 16. a) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị: A. C. B. . . . D. . b) Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là: A. . B. .
C. . D. .
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là: . A. C. B. . . . D. CHƯƠNG IV: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I. Nội dung cơ bản cần nắm 1. Các tính chất. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
31
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC)) Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d)) Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng . Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 2. Các cách xác định một mặt phẳng 3. Các quy tắc vẽ hình, biểu diễn của hình không gian thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. 4. Hình chóp và hình tứ diện. a) Hình chóp. Trong mặt phẳng cho đa giác lồi nằm ngoài . Lấy điểm .
Lần lượt nối với các đỉnh ta được tam giác . Hình gồm
đa giác và tam giác được gọi là hình chóp, kí hiệu là .
Ta gọi là đỉnh, đa giác là đáy, các đoạn là các cạnh bên,
là các cạnh đáy, các tam giác là các mặt bên…
b) Hình Tứ diện Cho bốn điểm không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác
và BCD được gọi là tứ diện .
và cần thực hiện:
của và
và là giao tuyến cần tìm ( ).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng - Bước 1: Tìm hai điểm chung . - Bước 2: Đường thẳng Câu 1. Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. Câu 2. Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình.
Câu 3. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung
điểm của các cạnh . Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau:
và và .
32
Câu 4. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác và .
Chứng minh rằng đường thẳng song song với đường thẳng
là hình thang với . là đáy lớn và Câu 5. Cho hình chóp Gọi có đáy lần lượt là trung điểm của các cạnh và . . Chứng minh rằng đường thẳng
song song với đường thẳng .
B. Ba điểm mà nó đi qua. D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
D. C. B. . . . .
B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. LÝ THUYẾT Câu 1. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây? A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó. C. Ba điểm không thẳng hàng. Câu 2. Trong các tính chất sau, tính chất nào không đúng? A. Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. B. Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. C. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. D. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Câu 3. Cho các khẳng định: : Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. : Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. : Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. : Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng. Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là A. Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cheo nhau. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa Câu 5. Cho hai đường thẳng và và song song với
B. Vô số. C. . . D. A. Câu 6. Trong các hình vẽ sau hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện?
. .
. . B. D.
B. C. cạnh. cạnh. cạnh. D. cạnh.
B. mặt, mặt, D. cạnh. cạnh.
cạnh thì có bao nhiêu mặt?
C. B. . D.
. . Gọi lần lượt là trung điểm của . . Bốn
A. C. Câu 7. Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số cạnh là A. Câu 8. Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là cạnh. mặt, A. C. mặt, cạnh. Câu 9. Hình chóp có . A. Câu 10. Cho hình chóp điểm nào sau đây đồng phẳng? A. C. B. D. . . . .
33
. D. C. . .
là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt với
Câu 11. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó? . B. A. DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG Câu 1. Cho hình chóp phẳng và là
. . . .
A. Đường thẳng C. Đường thẳng Câu 2. Cho hình chóp B. Đường thẳng D. Đường thẳng , có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của
và . Giao tuyến của là và
). A. ( là trung điểm của B. là tâm của hình bình hành (
).
là trung điểm của . D.
). có đáy là hình thang với đáy lớn , . Gọi
C. ( Câu 3. Cho hình chóp là giao điểm của và Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
. B. . D. . . C.
A. Câu 4. Cho hình chóp tứ giác Giao tuyến của hai mặt phẳng và là
B. . D. . . C.
. A. Câu 5. Cho hình chóp có đáy là hình thang . Gọi là trung điểm của
. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là:
với là giao điểm của và B. với là giao điểm của và .
với là giao điểm của và D. với là giao điểm của và .
A. . C. . cắt tại , cắt tại . Tìm giao tuyến của
Câu 6. Cho hình chóp hai mặt phẳng và , biết .
B. .
C. là hình bình hành. Gọi và D. . lần lượt là trung
và . có đáy . Khẳng định nào sau đây sai?
A. . Câu 7. Cho hình chóp điểm của A. . là hình thang. B.
. D. ( là tâm C.
).
Câu 8. Cho hình chóp có , . Giao tuyến của hai mặt phẳng
và là:
A. . C. . . D. . B. II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với và và : , khi đó theo kết quả trong hình học phẳng ta có và
, ta kí hiệu . .
cắt nhau tại điểm song song với nhau, ta kí hiệu trùng nhau, ta kí hiệu và và và . và , khi đó ta nói và là hai đường thẳng
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Cho hai đường thẳng Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả ba khả năng sau: - - - Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả chéo nhau. 2.Các tính chất
34
có một và chỉ một .
. Cho biết hai đường thẳng
Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng đường thẳng song song với Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Trong phòng học của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng. 2. Trong Hình 57 , khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh ; mép trên và mép dưới của lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai và mặt phẳng mặt phẳng có song song với mặt phẳng trong đó và đường thẳng song song vởi nhau hay không.
nằm trên cạnh sao cho 3. Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm của tam giác . Chứng minh rằng song song với mặt phẳng
, điểm . là hình bình hành. Gọi 4. Cho hình chóp có đáy
song song vối giao tuyến lần lượt là trung điểm của của hai mặt phẳng và và . Chứng minh rằng đường thẳng .B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song. D. Hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng thì chéo nhau. Câu 2. Cho hai đường thẳng phân biệt và trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và ? B. C. D.
A. Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. C. Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau. D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Trong không gian: A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng không song song, không cắt nhau thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Câu 5. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định sai? Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
35
B. 2. D. 4. C. 3. chéo nhau. Một đường thẳng và song song
chéo nhau. chéo nhau hoặc cắt nhau. B. D. cắt nhau. song song với nhau. và và và và
A. 1. Câu 6. Trong không gian, cho hai đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là đúng? với A. C. Câu 7. Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến trong đó
và . Khi đó vị trí tương đối của
là? B. Cắt nhau. D. trùng nhau.
và cắt theo giao song song với A. Chéo nhau. C. Song song. Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. chứa Câu 9. Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu
và thì là hai đường thẳng
B. trùng nhau. D. song song với nhau.
chéo nhau. . Khẳng định nào sau đây đúng? và
B. D. Tồn tại một mặt phẳng chứa và cắt nhau. song song.
. Lấy và và , thuộc . Khẳng
, và B. Song song nhau. D. Chéo nhau. trong đó , , song song với .
và .
song song với .
song song với thuộc thì ba đường thẳng thuộc và , cùng ở trên một
cắt cắt thì .
tuyến là A. cắt nhau. C. chéo nhau. Câu 10. Cho hình tứ diện và A. C. và . Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song C. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau thuộc Câu 12. Cho hai đường thẳng chéo nhau định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng ? A. Cắt nhau. C. Có thể song song hoặc cắt nhau. Câu 13. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt Khẳng định nào sau đây sai? A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng thì B. Nếu C. Nếu điểm và điểm mặt phẳng. D. Nếu Câu 14. Cho đường thẳng , đường thẳng nằm trên cắt tại và không thuộc
là và
, B. cắt nhau. D. trùng nhau. không thuộc và điểm cũng không thuộc . Có
và ?
B. . . và đồng thời cắt cả .
. Vị trí tương đối của A. chéo nhau. C. song song với nhau. Câu 15. Cho hai đường thẳng chéo nhau nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng đi qua A. Câu 16. Trong không gian cho đường thẳng C. chứa trong mặt phẳng D. và đường thẳng . song
song với mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
. cắt nhau. , B. D. , , không có điểm chung. chéo nhau.
A. C.
36
là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung
. Đường thẳng có đáy song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
D. C. . . .
lần lượt là trong tâm tam giác B. và . Khẳng định nào
D. B. . .
. Gọi lần lượt là
C. không song song với . Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? có và
và và và và
Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Trong không gian hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. C. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. D. Trong không gian hai đường chéo nhau thì không có điểm chung. D2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Câu 1. Cho hình chóp , điểm A. . Câu 2. Cho hình chóp sau đây là đúng? A. . Câu 3. Cho hình chóp trung điểm A. C. Câu 4. Cho hình chóp B. D. có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trọng tâm của
. Khi đó
song song với đường thẳng nào sau đây? B. . .
C. là hình chữ nhật. Gọi . có đáy
. A. Câu 5. Cho hình chóp của và lần lượt là trọng tâm của các cạnh tam giác , D. lần lượt là trung điểm . Trong các đường
. ? C. D. B. . .
thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A. . III. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. và mặt phẳng Cho đường thẳng , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
và cắt nhau tại điểm , kí hiêu hoặc để đơn giản ta kí hiệu
(h1)
song song với , kí hiệu hoặc ( h2)
nằm trong , kí hiệu (h3)
2. Các định lí và tính chất. Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng nằn
trong thì song song với .
Vậy
37
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng
. Nếu mặt phẳng đi qua và cắt
theo giao tuyến thì .
Vậy .
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Vậy .
- Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Giữa hai mặt phẳng và có 3 vị trí tương đối.
cắt
Định nghĩa: Hai mặt phẳng và được gọi là
song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 4. Các định lý:
chứa hai đường thẳng cắt thì
4.1. Định lí 1: Nếu mặt phẳng nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng song song với .
song song với mặt thì mặt phẳng
chứa hai đường thẳng cắt nhau Hệ quả: Nếu mặt phẳng a, b và a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng phẳng .
Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt
38
phẳng kia. 4. 2. Định lí 2 : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
4.3. Định lí 3 : (Định lí Ta-lét trong không gian) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình lăng trụ và hình hộp:
Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trên 2 mặt phẳng song song.
Tùy theo đáy của lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác … mà ta gọi lăng trụ là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác… Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN Dạng 1: Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vẽ hình biểu diễn của một hình chóp, chóp cụt, lăng trụ.
39
Dạng 2: chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng. Phương pháp 1 Để chứng minh đường thẳng // với mp. Ta cần cm đường thẳng này đi song song với đường thẳng nằm trong mp đã cho.
Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song. - Bước 1: Chứng minh
mà
.
- Bước 2: Kết luận Bài 1. Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng và cùng song song
thì luôn song song với . Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì
a) Chứng minh rằng: MN//(SBC), MN//(SAD) b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng: SB//(MNP), SC//(MNP). lần lượt là trọng tâm của các tam giác . Lấy ,
với mặt phẳng sao? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Bài 3. Cho tứ diện . a) Chứng minh rằng .
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng .
không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Bài 4. Cho hai hình bình hành a) Chứng minh rằng và .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt
phẳng . Lấy là giao điểm của và . Tính
B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu thì và B. Nếu và thì
C. Nếu và thì D. Nếu và thì
Câu 2. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó. và B. Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và
thì và song song với nhau.
40
D. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
. đều song song với mặt phẳng
. . . B. C. D. .
và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
đều song song với mặt phẳng .
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng và
.
song song với nhau. thì và và
phẳng Câu 3. Số cạnh của một hình lăng trụ có thể là số nào dưới đây? A. Câu 4. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu hai mặt phẳng phẳng B. Nếu hai mặt phẳng đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt mặt phẳng D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó. Câu 5. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Cho điểm Khi đó tồn tại duy nhất một đt nằm ngoài mặt phẳng và song chứa
song với
B. Cho hai đường thẳng và chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mp chứa và song
song với C. Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa
điểm và song song với
D. Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt
phẳng chứa và song song với
Câu 6. Cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng và thì .
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm và song song với đều nằm trong .
C. Nếu đường thẳng cắt thì cũng cắt .
D. Nếu đường thẳng thì .
Câu 7. Cho hai mặt phẳng phân biệt và ; đường thẳng . Tìm khẳng
định sai trong các mệnh đề sau. A. Nếu thì .
B. Nếu thì .
C. Nếu thì và hoặc song song hoặc chéo nhau.
D. Nếu thì
Câu 8. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng khác thì chúng song song với nhau. B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng quy. C. Nếu đường thẳng song song với một đt nào đó nằm song song với mặt phẳng thì
trong .
D. Cho hai đường thẳng , nằm trong mặt phẳng và hai đường thẳng , nằm trong
mặt phẳng . Khi đó, nếu ; thì .
41
C. D. B. . . .
Câu 9. Trong không gian, cho đường thẳng a và hai mặt phẳng phân biệt và. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Nếu và cùng cắt a thì song song với. B. Nếu và cùng song song với a thì song song với. C. Nếu song song với và a nằm trong mp thì a song song với. D. Nếu song song với và a cắt thì a song song với. Câu 10. Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? A. Vô số. Câu 11. Cho hình lăng trụ . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. song song với . B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng
song song với . D. Hai mặt phẳng đáy song song với
nhau. C. nhau. Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? - Nếu thì và .
- Nếu , và thì .
- Nếu , và thì .
A. Chỉ . B. và .
. , . và và D. Cả
thì d // d’. và
và song song với đều nằm trong.
cắt thì
C. Câu 13. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là A. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. D. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau. Câu 14. Trong không gian cho 2 mặt phẳng và song song với nhau. Khẳng định nào sau đây sai? A. B. Mọi đường thẳng đi qua điểm C. Nếu đường thẳng a nằm trong thì a //. D. Nếu đường thẳng Câu 15. Cho đường thẳng cắt. và đường thẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. và B.
C. a và b chéo nhau. D.
Gọi lần lượt là trung điểm của và . Mệnh đề
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
. Gọi , lần lượt là trọng tâm tam giác và tam giác
Câu 2. Cho hình chóp . Khi đó A. song song với mặt phẳng . B. . C. . D.
.
42
lần lượt là trung điểm của các cạnh . Trong các . Gọi
B. D. . .
Câu 3. Cho hình chóp khẳng định sau, khẳng định nào đúng? . A. C. . Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi và lần lượt là trung điểm của
. . // // . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: B. D. // // . .
có đáy là hình thoi. Gọi lần lượt là trung điểm
và A. C. Câu 5. Cho hình chóp của A. Khẳng định nào sau đây đúng? . B. .
C. . D. .
Câu 6. Cho tứ diện là trọng tâm là điểm trên cạnh sao cho
, . Đường thẳng
A. . và song song với mặt phẳng nào sau đây? . C. . B. D. .
Câu 7. Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm của tam giác thuộc cạnh sao cho
và là trung điểm của Khẳng định nào sau đây đúng?
A. C. cắt B. D. thuộc mặt phẳng
có hai đáy là các hình bình hành. Các điểm
Câu 8. Cho hình lăng trụ lần lượt là trung điểm của cạnh . Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) ii) iii) iv) cắt mp
C. D. . B.
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau lần lượt có và
. Mệnh đề nào sau đây sai? và
C. . D. . Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. Câu 9. Cho hai hình bình hành tâm A. B. . .
là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là
, có đáy . Mệnh đề nào dưới đây sai?
Câu 10. Cho hình chóp trung điểm của A. . B. . C. . D. .
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 1. Cho hình lăng trụ tam giác A. . . Khẳng định nào sau đây là đúng? . B.
C. . D.
. Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào trong các
Câu 2. Cho hình hộp mặt phẳng sau đây? A. . B. . C. . D. .
43
Câu 3. Cho hình hộp . Mặt phẳng song song với
A. . B. . C. . D. .
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 4. Cho hình hộp A. . B. .
C. . D. .
Câu 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm , lần lượt là trung điểm
. Mặt phẳng , gọi song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
như hình vẽ. Mặt phẳng song song với mặt phẳng
Câu 6. Cho hình hộp nào sau đây?
A. . B. C. . D. . .
Câu 7. Cho hình hộp lần lượt là tâm của hình bình hành . Gọi
. Biết là trung điểm . Mặt phẳng và song song với mặt phẳng nào trong
các mặt phẳng sau? A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho hình chóp tứ giác . Gọi , lần lượt là trọng tâm của các tam giác ,
và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. .
C. . D.
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Câu 9. Cho hình hộp A. . B. .
C. . D. .
. Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào trong
Câu 10. Cho hình hộp các mặt phẳng sau đây? A. . B. . C. . D. .
. Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào sau
Câu 11. Cho hình hộp đây? A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hình hộp có các cạnh bên . Khẳng định nào sai?
B. A. là một tứ giác đều. và cắt nhau.
D. . C. là hình bình hành.
Câu 13. Cho hình lăng trụ , , lần lượt là trọng tâm tam giác , ,
. Gọi . Mặt phẳng nào sau đây song song với ?
44
A. . B. . C. . D. .
, có đáy lần lượt là
Câu 14. Cho hình chóp trung điểm . Mặt phẳng . Gọi là hình bình hành tâm song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
. Gọi song . Mặt phẳng là trung điểm của
. . . . C. D.
𝐴𝐵
Câu 15. Cho hình lăng trụ song với đường thẳng nào sau đây? A. B. V. PHÉP CHIẾU SONG SONG TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: Định nghĩa: - Cho mặt phẳng (𝛼) và đường thẳng 𝛥 cắt (𝛼). Với mỗi điểm 𝑀 trong không gian ta xác định điểm 𝑀′ như sau: + Nếu 𝑀 thuộc 𝛥 thì 𝑀′ là giao điểm của (𝛼) và 𝛥. + Nếu 𝑀 không thuộc 𝛥 thì 𝑀′ là giao điểm của (𝛼) và đường thẳng qua 𝑀 song song với 𝛥. Điềm 𝑀′ được gọi là hình chiếu song song của điềm 𝑀 trên mặt phẳng (𝛼) theo phương 𝛥. Phép đặt tương ứng mỗi điểm 𝑀 với hình chiếu 𝑀′ của nó được gọi là phép chiếu song song lên (𝛼) theo phương 𝛥. - Mặt phẳng (𝛼) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương 𝛥 được gọi là phương chiếu. Tính chất - Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng. - Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. - Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song. 1. Hình biểu diễn của một hình không gian Khái niệm Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. - Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam giác; - Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành; - Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip. - Hình biểu diễn của một số hình phẳng (nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu) + Hình biểu diễn của Tam giác (tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,…) là một tam giác. +Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là một hình bình hành. + Hình biểu diễn của hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴𝐵//𝐶𝐷 là một hình thang 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’ với 𝐴’𝐵’//𝐶’𝐷’ thỏa
𝐴′𝐵′ 𝐶′𝐷′.
𝐶𝐷
=
mãn + Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Trong các Hình 88a, 88b, 88c, hình nào là hình biểu diễn cho hình tứ diện
. Xác định ảnh của tam giác qua phép chiếu 2.
Cho hình hộp song song lên mặt phẳng theo phương .
45
3. Vẽ hình biểu diễn của các vật trong Hình 89 và Hình 90.
4.
Vẽ hình biểu diễn của: a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn ; b) Một lục giác đều.
B. Hình thang. D. Hình thoi. , gọi , , . Qua phép
B. TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. Câu 2. Cho hình lăng trụ chiếu song song đường thẳng lần lượt là trung điểm của thành? , mặt phẳng chiếu biến
C. . D.
. là trung điểm của . . Hình chiếu song song của điểm
A. . Câu 3. Cho tứ diện theo phương B. . Gọi lên mặt phẳng là điểm nào sau đây?
. .
. . B. Trung điểm của D. Trọng tâm tam giác
B. Đồng qui. D. Thẳng hàng.
A. C. Trung điểm của Câu 4. Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn? A. Chéo nhau. C. Song song. Câu 5. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng. B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó. D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Câu 6. Cho hình lăng trụ chiếu , qua phép chiếu song song đường thẳng là trung điểm của , mặt phẳng . Chọn mệnh đề đúng? . Trong đó thành biến
là trung điểm của .
là trung điểm của là trung điểm của . . B. D. Cả ba đáp án trên đều sai.
, gọi , , . Qua phép
A. C. Câu 7. Cho hình lăng trụ chiếu song song đường thẳng , mặt phẳng chiếu lần lượt là trung điểm của thành? biến
D.
A. . Câu 8. Cho tam giác B. . ở trong mặt phẳng C. và phương . . . Biết hình chiếu của tam giác
lên mặt phẳng là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
. hoặc D. A, B, C đều sai.
C. Câu 9. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác. B. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng. C. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
46
D. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm. Câu 10. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó. C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau. D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân. Câu 11. Qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành. A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau. B. Một đường thẳng. C. Thành hai đường thẳng song song. D. Cả ba trường hợp trên. Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình chiếu song song của hình lập phương theo phương lên mặt phẳng
là hình bình hành.
B. Hình chiếu song song của hình lập phương theo phương lên mặt phẳng
là hình vuông.
C. Hình chiếu song song của hình lập phương theo phương lên mặt phẳng
là hình thoi.
D. Hình chiếu song song của hình lập phương theo phương lên mặt phẳng
là một tam giác.
Câu 13. Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau? B. Hình bình hành. A. Hình vuông. D. Hình thoi. C. Hình thang. Câu 14. Trong các mện đề sau mệnh đề nào sai: A. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó. B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân. C. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó. D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. Câu 15. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng chiếu thì hình chiếu của tại điểm sẽ là:
. A. Điểm C. Đường thẳng đi qua . B. Trùng với phương chiếu. D. Đường thẳng đi qua hoặc chính CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số. (Nội dung kiến thức cần nắm) Các giới hạn đặc biệt:
;
b) Nếu un = c (c haèng soá ) thì
vôùi ; neáu q >1
c) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của dãy số: a)Neáu vaø thì
; ˜ ˜
; ˜ neáu ˜
vôùi moïi vaø thì vaø
b) Neáu Định lí 2 về giới hạn vô cực của dãy số:
47
Neáu vaø thì .
Neáu >0, thì vaø vn > 0 vôùi
vaø thì
Neáu 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:(Nội dung kiến thức cần nắm) Cho cấp số nhân lùi vô hạn có công bội |q| <1, số hạn đầu u1. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u2 + u3 + u4 + . . .+ un+ . . . tính theo công thức
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN
Bài 1. Cho hai dãy số với . Tính các giới hạn sau :
. a)
. b)
2. Tính các giới hạn sau :
; b) ; c) ; a)
; e) ; g) ; d)
3. a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn , với .
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.
4. Từ hình vuông có độ dài bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
của hình vuông được tạo thành ở bước thứ ;
a) Tính diện tích b) Tính diện tích tổng tất cả các hình vuông được tạo thành.
5. Có chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T=24 000 năm thì một nửa số phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi là chu kỳ bán rã)
(Nguồn : Đại số và giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ . Gọi
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
có giới hạn là .
b) Chứng minh rằng c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ ban đầu không còn độc hại với con người, biết rằng chất phóng xạ này không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn .
48
B. TRẮC NGHIỆM CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu thì và .
B. Nếu thì và .
C. Nếu thì và .
D. Nếu và và với mọi thì .
có , dãy có . Khi đó
B. 8. D. 3.
Câu 2. Cho dãy A. 15. Câu 3. Cho ; . Khi đó C. 5. bằng
. . D. .
. A. Câu 4. Cho dãy số B. thỏa mãn C. . Giá trị của bằng
. . D. .
B. và . thoả mãn C. và . Giá trị của
. B. . . D.
A. Câu 5. Cho hai dãy số bằng A. Câu 6. Cho hai dãy số thỏa mãn C. và . Giá trị của . bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho dãy số thỏa mãn Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho . Khi đó , bằng
. B. C. . D. .
A. Câu 9. Nếu ; . thì bằng:
C. . D. .
. A. Câu 10. Cho dãy số . B. thỏa mãn . Giá trị của bằng
. B. . C. . D.
A. Câu 11. Cho hai dãy số thỏa mãn . Giá trị của . bằng
C. D.
A. Câu 12. Cho dãy số B. thỏa mãn . Giá trị của bằng
D.
bằng
. C. . Giá trị của C. D.
A. Câu 13. Cho dãy số A. Câu 14. Cho dãy số B. thỏa mãn . B. thỏa mãn , , . . Giá trị của . bằng
. . . D. .
A. C. B. Câu 15. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn ,
A. B. . C. . D.
. Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
49
A. Ta nói dãy số có giới hạn là số khi , nếu .
dần tới vô cực, nếu có thể lớn hơn một số
có giới hạn nếu có thể nhỏ hơn một số dương bất kì,
có giới hạn khi nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì,
có giới hạn là khi B. Ta nói dãy số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số khi kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Câu 17. Cho các dãy số và thì bằng
. C. B. . D. . A. . Câu 18. Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? nguyên dương.
với nếu .
nếu
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. Cho dãy số thỏa với mọi . Khi đó
A. không tồn tại. B. .
. D. .
C. Câu 20. Phát biểu nào sau đây là sai? là hằng số ). A. ( B. .
C. . D. .
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
Câu 1. Cho dãy số . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho dãy số với , trong đó là tham số thự C. Tìm
.
để A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Giới hạn bằng
. C. B. . D. . A. . Câu 5. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng ?
B. . . A.
D. . C.
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA
bằng Câu 1.
A. . B. . C. . D. .
50
Câu 2. Giá trị đúng của là:
B. . . C. . D. .
A. Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. bằng.
. B. . C. . D. .
A. Câu 5. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 1. Tính .
B. C. D. A.
Câu 2. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Tìm
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Tính giới hạn ?
B. . . C. . D. . A. Câu 10. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
A. . B. .
51
C. . D. .
bằng Câu 2.
B. . C. . D. . A. .
bằng Câu 3.
B. . C. . D. . A. .
bằng Câu 4.
B. . C. . D. . A. .
Câu 5. Tính
B. . C. . D. . A. .
Câu 6. Tính
B. . C. . D. . A. .
Câu 7. Tính giới hạn ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Giới hạn dãy số bằng:
A. B. C. D.
Câu 9. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ?
A. . B. .
C. . D. .
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG
Câu 1. Tính tổng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Tổng có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội .
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có giá trị bằng bao nhiêu?
52
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm(Nội dung kiến thức cần nắm) Giới hạn đặc biệt: (c: hằng số) ;
Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: a) Nếu thì:
*) *)
*) *) (nếu M 0)
b) Nếu thì L 0 và
Giới hạn một bên: Định lí 2:
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực (Nội dung kiến thức cần nắm)
Giới hạn đặc biệt:
; ; (c hằng số, k số nguyên dương))
3. Giới hạn vô cực của hàm số (Nội dung kiến thức cần nắm)
Giới hạn đặc biệt: (k nguyên dương);
Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
L > 0
L < 0
Quy tắc tìm giới hạn của thương
Dấu của g(x)
L 0
L > 0 0 L < 0 Tùy ý + - + -
Các trường hợp khác ; ;
53
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) b)
Bài 2. Biết rằng hàm sốf thoả mãn và . Trong trường hợp này có
tồn tại giới hạn hay không? Giải thích.
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
b) ; c) . a)
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
; b) ; c) ; a)
; e) ; g) . d)
Bài 5. Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể
lắp ráp được bộ phận mỗi ngày sau ngày đào tạo. Tính và cho biết
sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số:
ý nghĩa của kết quả. 6. Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất .
a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.
b) Tính và cho biết ý nghĩa của kết quả.
B. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN
Câu 1. Cho các giới hạn: ; , hỏi bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Tính giới hạn
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Giới hạn bằng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Giới hạn bằng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Tính giới hạn ta được kết quả
. C. . D. . .
B. A.
54
Câu 8. bằng
B. . C. . D. . A. .
Câu 9. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Tính .
. B. . C. D. .
A. DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN Câu 1. Cho hàm số liên tục trên khoảng . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục
trên đoạn là?
A. và và . B.
.
C. và và . D.
.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
. C. A. . B. . D. .
Câu 3. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng ?
. C. A. . B. . D. .
Câu 4. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Giới hạn bằng
A. B. C. D.
Câu 6. bằng:
A. . B. . C. D. .
Câu 7. bằng?
A. . B. . C. D. .
. Câu 8. Tính
A. . B. . C. . D. .
. Câu 9. Tính
A. . B. . C. . D. .
55
Câu 10. Giới hạn bằng:
A. . B. . C. . D. .
DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC và Câu 1. Giả sử ta có . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 2. Chọn kết quả đúng của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Tính giới hạn
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Giới hạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Tính giới hạn .
A. . B. . C. . D.
Câu 6. bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. bằng
. B. . C. . D. .
A. III. HÀM SỐ LIÊN TỤC TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 1. Hàm số liên tục tại một điểm:(Nội dung kiến thức cần nắm)
Hàm số y = f(x) liên tục tại x0
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0).
56
B2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , )
B3: So sánh với f(x0) và rút ra kết luận.
Nếu => hàm số liên tục tại điểm , nếu => hàm số gián
đoạn tại điểm
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và
4. Hàm số đa thức liên tục trên R. Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0.
tại điểm .
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). BÀI TẬP RÈN LUYỆN: A. TỰ LUẬN 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số 2. Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.
3. Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số Hình 15 liên tục tại điểm , còn hàm số không
không liên tục tại ”. Theo em, ý kiến của bạn Nam
, thì hàm số liên tục tại đúng hay sai? Giải thích. 4. Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) b) c)
5. Cho hàm số .
, xét tính liên tục của hàm số tại . ? thì hàm số liên tục tại thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó? a) Với b) Với giá trị nào của c) Với giá trị nào của B. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Cho hàm số liên tục trên . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là
57
A. và . B. và .
C. và . D. và
Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. liên tục trên đoạn và thì phương trình có nghiệm.
II. không liên tục trên đoạn và thì phương trình vô nghiệm.
B. Cả I và II sai. D. Chỉ II đúng.
A. Cả I và II đúng. C. Chỉ I đúng. Câu 3. Cho hàm số xác định trên . Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình không có
nghiệm trong khoảng .
B. Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng .
C. Nếu hàm số liên tục, tăng trên và thì phương trình
không có nghiệm trong khoảng .
D. Nếu phương trình có nghiệm trong khoảng thì hàm số phải liên tục trên
.
Câu 4. Cho hàm số liên tục trên đoạn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu thì phương trình không có nghiệm nằm trong .
B. Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong .
C. Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong .
. D. Nếu phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong thì
Câu 5. Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ sau:
Chọn mệnh đề đúng. A. Hàm số có đạo hàm tại điểm nhưng không liên tục tại điểm .
B. Hàm số liên tục tại điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm .
C. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại điểm .
D. Hàm số không liên tục và không có đạo hàm tại điểm .
Câu 6. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại ?
A. . B. .
58
C. . D. .
Câu 7. Cho các mệnh đề: 1. Nếu hàm số liên tục trên và thì tồn tại sao cho
.
liên tục trên và thì phương trình có
2. Nếu hàm số nghiệm. 3. Nếu hàm số liên tục, đơn điệu trên và thì phương trình
B. Cả ba mệnh đề đều đúng. D. Có đúng một mệnh đề sai.
có nghiệm duy nhất. A. Có đúng hai mệnh đề sai. C. Cả ba mệnh đề đều sai. Câu 8. Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
. B. . C. . D. .
?
A. Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số Câu 1. Hàm số nào sau đây không liên tục tại A. . B. .
C. . D. .
Câu 2. Hàm số liên tục tại điểm nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Hàm số liên tục tại điểm nào dưới đây?
B. . . . D. .
A. Câu 4. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại điểm C. .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 5. Hàm số gián đoạn tại điểm nào dưới đây?
. B. C. . D. .
. A. Dạng 2.2 Điểm gián đoạn của hàm số Câu 1. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm .
59
. B. . C. . D. . A.
Câu 2. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại ?
B. . C. D. A. . .
Câu 3. Hàm số gián đoạn tại điểm bằng?
A. B. . C. D. . .
Câu 4. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
. .
. B. Hàm số liên tục tại mọi D. Hàm số liên tục tại các điểm .
A. Hàm số không liên tục tại các điểm C. Hàm số liên tục tại các điểm Câu 5. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ?
A. . B. .
C. . D. .
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số . Số nghiệm của phương trình
là: . B. . C. . D. .
trên A. Câu 2. Cho phương trình . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
B. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .
C. Phương trình vô nghiệm.
D. Phương trình có hai nghiệm trên khoảng .
Câu 3. Cho phương trình . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .
B. Phương trình vô nghiệm.
C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
D. Phương trình vô nghiệm trên khoảng .
Câu 4. Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng
A. . B. .
. D.
C. Câu 5. Cho phương trình . . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình vô nghiệm trên khoảng .
B. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .
C. Phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng .
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
----------------------------------HẾT-----------------------------------
60
